2026-2027学年沪教版（五四制）九年级上册数学期中考试模拟试卷（第27-29章）

上海市2026-2027学年九年级上册数学期中考试模拟试卷（第27-29章） （考试时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（共24分） 1．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，列方程与不等式联立求解. 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴且， 解，得或， 解，得， ∴. 2．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点．给出以下结论：；；抛物线与轴的另一个交点在与之间；，，其中正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断；把代入，求得的值，即可判断；由抛物线的对称性即可判断；根据图象即可判断；由整理得到 即可判断⑤； 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是直线， ∴， ，故①正确； 直线经过点，点在点的右侧， ， ，故正确； 抛物线的对称轴是直线，且与轴交点在点的右侧， 与轴另一个交点在点的左侧，故错误； 由图象可知，当时，， ， ， 解得：， ，故正确； ，，， ，故正确， 故正确的结论有①②④⑤，共4个． 3．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，设，用坐标表示出相关的线段，根据位似，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E， ， ∴， ∴， ∵以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， ∴， 解得， 故． 4．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再设，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， ∴． 5．如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得，结合，即可判断D选项． 【详解】解：，， ， ，故A选项正确，不符合题意； 、分别是斜边上的高和中线， ，即， ， ，故B选项不正确，符合题意； ， ，即， ，故C选项正确，不符合题意； ， ，即， ，故D选项正确，不符合题意． 6．如图，在中，，，，P为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点O，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出O为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ O为中点，， ∴ ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ∴ ∵， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， 即的最小值为． 二、填空题（共48分） 7．若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】抛物线与轴没有公共点等价于对应一元二次方程无实数根，通过判别式列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点． ∴没有实数根． ∴． ∴． 解得． 8．如图，，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，通过已知的线段比例关系求出的长． 【详解】解：， ． ，， ． 解得． 9．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 【答案】 15 【分析】已知利润是的二次函数，二次项系数为负，函数开口向下，最大利润对应二次函数的顶点，计算顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：展开函数关系式得 ∵该函数是二次函数，二次项系数 ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得 ∵二次函数顶点的横坐标为，此处， ∴ 即获得最大利润时销售单价为15元． 10．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 11．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 【答案】0 【分析】已知二次函数的常数项与顶点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，结合抛物线开口方向、对称轴与给定x的取值范围的位置关系，确定给定x的取值范围内的最大值m和最小值n，进而计算的值． 【详解】解：∵二次函数（为常数，）的顶点坐标为 ∴列方程组． 解得． ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 则在范围内，自变量的值到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． ∵，， ∴当时，函数取得最小值． 代入计算得． ∵开口向下的抛物线顶点为最高点，且顶点横坐标在范围内， ∴当时，函数取得最大值． ∴． 12．如图，矩形的边，．点E为边上一点，连结交延长线于点P，延长至点Q，使．连结、．则三角形的面积_________ 【答案】12 【分析】利用矩形的性质证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，证明，又相似三角形的性质得出，再根据代入求解即可得出答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴． 13．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：∵将矩形划分成四个全等的矩形， ∴小矩形的宽为，长为， ∵矩形的宽为，长为，且小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________． 【答案】或 【分析】根据位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得对应边的比，再找到位似中心，根据位似变换的性质求解即可． 【详解】∵在矩形中， ∴原矩形长为3、宽为2，面积为， ∵位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，且新矩形面积是原矩形的9倍 ∴面积比为， ∴相似比（即位似比）为， ∵位似中心是原点， ∴平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，位似比为时， 原坐标对应的位似点坐标为或， 当位似图形和原图形在原点同侧时，坐标为； 当位似图形和原图形在原点异侧时，坐标为． 15．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【分析】根据时的函数值判断的符号，从而判断；根据抛物线开口方向确定的符号，对称轴位置确定的符号，从而判断；根据与轴交点确定的符号，从而判断． 【详解】解：∵当时，图象在轴下方， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线对称轴在轴左侧， ∴， 由图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∴，故结论错误； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 16．如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为______．    【答案】 【分析】如图，设交于点D，交于点E，连接，过点D作于点J，连接，根据求解即可． 【详解】解：如图，设交于点D，交于点E，连接，过点D作于点J,连接，    将半径为的扇形沿西北方向平移，即将半径为的扇形向西平移，再向上平移， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查不规则图形的面积、勾股定理、正弦函数、扇形面积公式等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积． 17．如图，过点作直线m：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为，…，这样依次下去，得到一组线段，…，则线段的长为_____．    【答案】 【分析】根据点可得，，，，，，则，，，，……，可推导一般性结论：，然后计算求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， ， ， …… ∴可推导一般性结论：； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦，余弦，正切，一次函数，规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 18．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为______． 【答案】 【分析】先根据图（1）的已知条件求出正方形的边长，再根据已知条件利用三角函数解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， （负值舍去）， ， 如图2，过点作于点， 四边形是菱形，边长没变， ， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ． 三、解答题（共78分） 19．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 【答案】(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 20．已知点是抛物线与直线的公共点． (1)当抛物线的对称轴为直线时，求的值； (2)已知，抛物线上两点的坐标分别为，试比较三者之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求得，进而求得抛物线的解析式，将代入即可求得b的值； （2）先求得，进而求得，再由求得，由，，结合作差法求得，，，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴为直线，得 ， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得； （2）解：由在上得，则； 由得， 将代入，得，则， ∴． ∵是抛物线上的两点， ∴，． ∵，，， ∴，，， ∴． 21．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由题意可得，利用正切的定义可得；再利用勾股定理列方程求得，最后利用正切的定义求的长即可； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，即，再利用勾股定理列方程求得，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去），即， ∵， ∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 22．如图1，在锐角中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． (1)设长为，利用相似三角形的性质，可用含的代数式表示正方形的边长为____________；如图2，当恰好落在边上，此时长为____________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求的值． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）证明，可得，从而得到；证明四边形为矩形，可得，从而得到，即可求解； （2）由（1）同理得：，根据正方形与公共部分的面积为6，可得四边形的面积为6，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 由（1）同理得：， ∵在的外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得：， 即的值为2． 23．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 由 得 且 ，解得 ，，从而确定 ；再由矩形 的边 、 分别在 轴与 轴正半轴上，得 ，，进而确定 、 的坐标； （2） 设 ，由折叠性质得 ，，，进而 ；利用 ，，证 ，得 ，从而 ；在 中由勾股定理列方程 求出 ；再求出 、的长度，过 作 于 ，利用等面积法求出 ，进而求出 ，由 得 为等腰直角三角形，从而求出 ． 【详解】（1）解：， ，解得， ， 矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上， ， ; （2）解：设   由折叠得，，， ∴ ∵，    ∴ ∴ ， ∴    解得 ∴，   ∴   如图，过点G作于点I，    解得   ∴    ∴是等腰直角三角形 ∴ 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式；求直线的解析式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式：；直线： (2)最大值为4，此时 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设点横坐标为，表示出、的长度，构建关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标． （3）先判断射线方向，算出平移后的抛物线解析式；由推出或者对应的对称直线，联立直线与新抛物线方程，求出交点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过，， ， 解得 抛物线解析式为， 当时，， ， 设直线解析式为， 直线过， ， 解得， 直线解析式为； （2）解：设， 轴，在：上， ， 轴， （）， ， ∴ ， ， 当时，取得最大值， 把代入得 ， ； （3）解：，， ， ∵， ∴， 将沿射线方向平移个单位，即将向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即 情况1：当点在轴的下方时，如图， ∵， ∴， 由直线解析式为，设： ， ， 解得， ， 联立 ， ， 解得（舍去） 当，，得 情况2：当点在轴的上方时，如图， ∵，， ∴， ∴直线与直线关于x轴对称， ∵直线为， ∴直线为， 联立， ， 解得（舍去） 当，， ∴ ， 符合条件的坐标为或． 25．实践操作与综合 (1)【模型感知】如图1，四边形的对角线相交于点O，，，，__________,__________； (2)【结论探寻】如图2，在直角三角形中，，绕点B旋转放缩得到（即），连接并延长，分别交、于点E、点D，连接，与有怎样的位置关系，并说明理由； (3)【结论运用】如图3，在直角三角形中，，，，绕点B旋转（不放缩）得到，连接并延长交于点D，连接．在旋转的过程中，当时，求以及的长度． 【答案】(1)， (2)，理由如下： 是由旋转放缩而来， ，， ， ， ． 又， ， ． 又， ， ， ， ， ． (3)的长度为1或5，的长度为 【分析】（1）先证明，得到，再证明，得到； （2）根据旋转缩放可得，，即可证明，得到，再证明，得到，接着证明，得到，即可得到，即． （3）①当在上方时，延长交于点M．由结合，得到，，，再根据勾股定理求出，，即可求出，再根据，求出；当在下方时，连接交于点M．同理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，当在上方时，延长交于点M． ∴， ， ， ， ， ∴， ∵， ，， ． 由旋转可得， ， ． 在中，，， 由（2）得， ∴， ∴． ②当在下方时，连接交于点M． 同理可得，，，，． 综上可得，的长度为1或5，的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市2026-2027学年九年级上册数学期中考试模拟试卷（第27-29章） （考试时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（共24分） 1．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（     ） A． B． C． D．或 2．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点．给出以下结论：；；抛物线与轴的另一个交点在与之间；，，其中正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为(     ) A． B． C． D． 5．如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，P为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点O，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共48分） 7．若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 8．如图，，若，，则的长为_____． 9．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 10．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 11．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 12．如图，矩形的边，．点E为边上一点，连结交延长线于点P，延长至点Q，使．连结、．则三角形的面积_________ 13．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________． 15．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 16．如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为______．    17．如图，过点作直线m：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为，…，这样依次下去，得到一组线段，…，则线段的长为_____．    18．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为______． 三、解答题（共78分） 19．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 20．已知点是抛物线与直线的公共点． (1)当抛物线的对称轴为直线时，求的值； (2)已知，抛物线上两点的坐标分别为，试比较三者之间的大小关系，并说明理由． 21．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 22．如图1，在锐角中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． (1)设长为，利用相似三角形的性质，可用含的代数式表示正方形的边长为____________；如图2，当恰好落在边上，此时长为____________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求的值． 23．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式；求直线的解析式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25．实践操作与综合 (1)【模型感知】如图1，四边形的对角线相交于点O，，，，__________,__________； (2)【结论探寻】如图2，在直角三角形中，，绕点B旋转放缩得到（即），连接并延长，分别交、于点E、点D，连接，与有怎样的位置关系，并说明理由； (3)【结论运用】如图3，在直角三角形中，，，，绕点B旋转（不放缩）得到，连接并延长交于点D，连接．在旋转的过程中，当时，求以及的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $