4.4 对数函数【知识清单+10大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4 对数函数 第一部分：知识清单 知识点一：对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点二：对数函数的图象及其性质 (1)函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 (2)底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 知识点三：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 第二部分：典型例题汇总 典例一 对数函数的概念 典例二 与对数函数有关的定义域问题 典例三 对数型函数图象过定点问题 典例四 根据对数型函数图象求参数 典例五 对数函数的图象的应用 典例六 对数型复合函数的单调性的问题 典例七 利用对数函数的单调性比较大小 典例八 利用对数函数的单调性解不等式 典例九 与对数函数有关的值域或最值 典例十 与对数函数的相关的综合问题 典例十一 反函数 典例十二 反函数的性质应用 第三部分：典型例题 典例一 对数函数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，若图象过点，求的值. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数（，且），且，求. 典例二 与对数函数有关的定义域问题 5．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 典例三 对数型函数图象过定点问题 9．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 10．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 11．（25-26高一上·山东日照·期末）函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 12．（25-26高一上·陕西安康·期末）函数的图象恒过定点_____. 典例四 根据对数型函数图象求参数 13．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 16．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 典例五 对数函数的图象的应用 17．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 20．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 典例六 对数型复合函数的单调性的问题 21．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）（多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 22．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 23．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2027高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例七 利用对数函数的单调性比较大小 25．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·山西·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（26-27高三上·河北·阶段检测）设，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 典例八 利用对数函数的单调性解不等式 29．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 31．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（）是奇函数. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 32．（26-27高一上·全国·课堂例题）设a为常数且，解关于x的不等式． 典例九 与对数函数有关的值域或最值 33．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 34．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 35．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 36．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 典例十 与对数函数的相关的综合问题 37．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 38．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 39．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 40．（25-26高二下·福建南平·期末）若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 典例十一 反函数 41．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 42．（2026高三·全国·专题练习）设函数，函数的图象与的图象关于直线对称，函数的图象由的图象向右平移1个单位得到，则解析式为________________． 43．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 典例十二 反函数的性质应用 45．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 46．（25-26高二下·陕西渭南·期末）若函数的反函数为，那么（    ） A． B． C． D． 47．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 48．（2026高三下·重庆·竞赛）已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 第四部分：课后检测 1．（26-27高三上·新疆巴州·阶段检测）函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知函数，若，则的值是（    ）． A． B．1 C．1或0 D．或0或1 3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 6．（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·吉林·阶段检测）设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 9．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 10．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）（多选）有下列几个命题，其中正确的是（    ） A．给定幂函数，则对任意，，都有 B．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数，，则函数的最大值为3 12．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则，，的大小关系是_________．（从小到大顺序） 13．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为___________． 14．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 15．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数 第一部分：知识清单 知识点一：对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点二：对数函数的图象及其性质 (1)函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 (2)底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 知识点三：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 第二部分：典型例题汇总 典例一 对数函数的概念 典例二 与对数函数有关的定义域问题 典例三 对数型函数图象过定点问题 典例四 根据对数型函数图象求参数 典例五 对数函数的图象的应用 典例六 对数型复合函数的单调性的问题 典例七 利用对数函数的单调性比较大小 典例八 利用对数函数的单调性解不等式 典例九 与对数函数有关的值域或最值 典例十 与对数函数的相关的综合问题 典例十一 反函数 典例十二 反函数的性质应用 第三部分：典型例题 典例一 对数函数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，若图象过点，求的值. 【答案】 【详解】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数（，且），且，求. 【答案】 【详解】已知 （，且），则， 所以， 因为 ，即， 由对数的定义可得，即， 将 代入 ， 可得. 典例二 与对数函数有关的定义域问题 5．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 6．（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 7．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以的定义域为. 8．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有， 解得或， 所以函数的定义域是. 典例三 对数型函数图象过定点问题 9．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 10．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 11．（25-26高一上·山东日照·期末）函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先利用对数函数的性质，找到的定点，再利用“1的代换”构造可应用基本不等式的形式，最后运用基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 12．（25-26高一上·陕西安康·期末）函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【分析】根据题意结合对数函数性质求定点即可. 【详解】令，解得， 则，所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 典例四 根据对数型函数图象求参数 13．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数型函数及对数型函数的图象及性质判断即可. 【详解】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 14．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 15．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 16．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 典例五 对数函数的图象的应用 17．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，将三个解析式分别看成关于的对数函数，幂函数与指数函数，作出图象，根据交点情况及图象的位置即可逐一判断选项. 【详解】设，则，且， 在同一个坐标系中作出三个函数的图象： 其中与交于点，与交于点. 由图知，当时，，故D符合； 当时，，故A符合； 当时，，故B符合.即只有C项不合题意. 18．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 20．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 典例六 对数型复合函数的单调性的问题 21．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）（多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】ABC 【详解】首先对数真数需满足，解得定义域为. 令真数，对称轴为，代入得最大值，因此真数范围为. 函数的底数，在上单调递减：当时，取最小值； 当时，，故函数值域为. 选项A：，符合要求； 选项B：，符合要求； 选项C：，符合要求； 选项D：，不符合要求. 22．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 23．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用换底公式将不同底对数化为同底，再根据复合函数“同增异减”，转化为系数小于0即可求解． 【详解】， 因为，故在上单调递增， 要使在上单调递减，则， 即，即， 结合得，故只需， 因此可得的取值范围为． 24．（2027高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上是增函数， 故内层函数在上是减函数且成立， 只需对称轴且， 解得：，即. 典例七 利用对数函数的单调性比较大小 25．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 26．（26-27高三上·山西·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上为增函数，且，所以， 得，即， 因为在上为增函数，且，所以， 得，即， ， 所以. 27．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 且，所以. 28．（26-27高三上·河北·阶段检测）设，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数在上为增函数，所以， 因为对数函数在上为减函数，所以， 因为指数函数在上为减函数，所以，故. 典例八 利用对数函数的单调性解不等式 29．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况结合指数函数和对数函数单调性求解即可. 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 30．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3)若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【详解】（1）由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （3）可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 31．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（）是奇函数. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）先根据复合函数单调性法则判断函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】（1）设定义域为 因为是奇函数，所以对，恒成立， 所以，即：， 所以，所以， 因为，所以. （2）由（1）， 因为在上单调递减，在定义域上单调递减， 则根据复合函数单调性可得在上单调递增. 又函数是奇函数， 所以由，可得 . 所以，解得：， 所以原不等式的解集为. 32．（26-27高一上·全国·课堂例题）设a为常数且，解关于x的不等式． 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性去掉对数符号，转化为真数的大小关系，结合定义域得到不等式组，分解因式后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴且， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∴原不等式解集为． 典例九 与对数函数有关的值域或最值 33．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 34．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 35．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】先求出二次内层函数在指定区间的值域，再根据对数底数的范围分单调性两种情况，利用最值差值为1列方程求解参数. 【详解】设，对称轴为直线，定义域为，则在上单调递增， 当，当，得， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当，在上单调递增，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 ②当，在上单调递减，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 综上，或. 36．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 典例十 与对数函数的相关的综合问题 37．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【详解】（1）当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 38．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，定义域为， (2)或4 【分析】（1）根据函数过一点得参数的值，再根据对数复合函数求定义域与值域即可； （2）根据对数恒等式化简方程得关于的一元二次方程，解方程得实数的值，检验的值使得有意义即可． 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以， 则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 39．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 40．（25-26高二下·福建南平·期末）若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 【答案】1 【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 令， 若存在使得不等式成立， ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ， 即， ， 解得：， ， 实数的最大值为1， 故答案为：1． 典例十一 反函数 41．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由，可得，故原函数的反函数为，． 42．（2026高三·全国·专题练习）设函数，函数的图象与的图象关于直线对称，函数的图象由的图象向右平移1个单位得到，则解析式为________________． 【答案】 【详解】与的图象关于直线对称的图象所对应的函数为， 再将其图象右移1个单位得到的图象． 43．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 44．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 典例十二 反函数的性质应用 45．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 【答案】 【分析】根据函数与函数的图象关于直线对称可知与互为反函数，求出解析式后根据复合函数单调性求单调区间. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以， ，因为在上单调递减，在上单调递减，上单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知的单调递增区间是. 46．（25-26高二下·陕西渭南·期末）若函数的反函数为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互为反函数的两个函数可以互相还原，先求出的反函数表达式，再和题干给出的原函数 划等号，整理变形得到 的关系式. 【详解】由知，， 即函数的反函数为． 因函数的反函数为， 故；则B正确． 47．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 48．（2026高三下·重庆·竞赛）已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 【答案】 【分析】设，可得出，由反函数的性质可得出函数与图象的交点必在直线上，于是得出，，进而得出，，再利用对数的运算性质化简可得答案. 【详解】设，由得， 函数与互为反函数，且均单调递增， 因此函数与图象的交点必在直线上，即，所以，． 于是，，故． 因此． 第四部分：课后检测 1．（26-27高三上·新疆巴州·阶段检测）函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为. 2．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知函数，若，则的值是（    ）． A． B．1 C．1或0 D．或0或1 【答案】C 【详解】因为， 若，则，可得， 则，所以； 若，则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值是1或0. 3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 6．（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得或，即函数定义域为. 设， ，在上单调递减. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为. 7．（26-27高三上·吉林·阶段检测）设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域，分段函数特征，及对数函数单调性列式计算即可求出的范围． 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为； 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则， 所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则， 所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得． 8．（25-26高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题. 【详解】因为函数是偶函数，则， 则，则， 所以，则， 所以， 令，当且仅当，即时取等号，则， 由题意可得的最小值为，因的对称轴为， 则当，即时，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：； 则当，即时，，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：（舍去）， 综上所述：，故B正确. 故选：B. 9．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的定义域，即可判断A选项；利用偶函数的定义，即可判断B选项；根据复合函数“同增异减”的原则，即可判断C选项；利用对数与分式不等式运算，即可判断D选项； 【详解】根据对数函数的定义域可得：，，，A选项正确； ，，为奇函数，B选项错误； 设，在定义域上单调增，根据复合函数的“同增异减”原则，在定义域上单调递增，C选项正确； ，，，，，，D选项正确； 10．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】使用特值法求解. 【详解】取，，，，满足，且，选项A正确； 若，则， 若，则， 若，则，，， 若，则，，， 均不符合题意，选项B错误. 取，，，，满足，且，选项C正确； 取，，，，满足，且，选项D正确. 11．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）（多选）有下列几个命题，其中正确的是（    ） A．给定幂函数，则对任意，，都有 B．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数，，则函数的最大值为3 【答案】ABD 【详解】对于A，对任意， 易知，， 由 得恒成立，故A正确； 对于B，由分段函数的单调性可知 则的取值范围为,故B正确． 对于C，易知，在上单调递增， 要有意义需，或， 又，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性知的单调递减区间为，故C错误． 对于D，,定义域为， 函数, , 函数定义域为 , 最大值为3，故D正确． 12．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则，，的大小关系是_________．（从小到大顺序） 【答案】 【分析】先根据偶函数的对称性得到，再根据对数函数和指数函数的性质得到，再根据偶函数的对称性得到在的单调性，进而即可得到答案． 【详解】由是定义在上的偶函数，即， 则， 又在上是增函数，则， 又在上是减函数，则， 则， 又在上是减函数，则在上是增函数， 所以，即． 13．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为___________． 【答案】（写成也正确） 【分析】通过幂函数定义求出与，换元结合函数单调性，得到方程唯一实数解为. 【详解】设幂函数（为常数），由，得， 两边取自然对数得，则， 所以． 因为，所以， 等价于， 令，方程转化为，化简得，两边同时除以， 得，当时，左边，满足等式． 设，易得在上单调递减， 因此有唯一解，由，解得，即方程的实数解为． 14．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】内层一次函数递减，由同增异减得底数，再保证区间内真数最小值大于0，即可求解. 【详解】令，，则在严格递减. ，复合函数“同增异减”，在严格递减，单调递增，所以得出； 由真数恒大于零，所以在恒成立. 在严格递减，最小值在，所以. 综上所述，， 所以实数的取值范围是. 15．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数单调性：同增异减求参数取值范围； （2）将条件转化为对恒成立，再参变分离，转化为最值处理. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $