4.4.1 对数函数的概念（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“对数函数的概念”核心知识点，通过考古中碳14含量的实际情境导入，从指数函数“已知时间求含量”的正向问题转向“已知含量求时间”的反问题，引导学生抽象出对数函数概念，搭建指数函数与对数函数的反函数关系学习支架。 此资料以真实情境驱动概念生成，如碳14衰减、物价增长实例培养学生用数学眼光观察现实世界。通过对比指数与对数函数的定义域、值域，发展数学思维推理能力。任务三小组合作解决物价翻番问题，提升数学语言表达能力，助力学生理解概念本质，为教师提供情境化、结构化的教学方案。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.4.1 对数函数的概念 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数 与指数函数互为反函数(>0,≠1 ). 3.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 教材分析 我们知道，对数函数是指数函数的反函数，它所研究的问题自然也是指数函数“反过来的问题”.例如，指数函数刻画了死亡生物体内碳14的含量 随时间 变化而变化的规律，据此可以确定任意一个时刻 死亡生物体内碳14的含量．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它的死亡时间呢？也就是要解决由的值去求 的值的问题. 由指数函数的单调性（以及连续性）可知，任给一个∈(0,+∞)，都有唯一确定的 ∈R与之对应，所以 是 的函数，以符号记之.因为对数函数与指数函数互为反函数，不难想象，对数函数的性质反映了指数函数性质.所以，对于对数函数的研究，无论从函数的定义还是图象与性质，都要考虑如何根据这种关系，利用指数函数的已有结论得出对数函数的相应结论，而不是去简单重复指数函数的研究过程，这样也能把这个内容处理得简洁明快而且富有数学内涵.当然，像学习指数函数一样，这里也要强调利用对数的运算性质. 指数函数概念是通过比较指数函数与一次函数增长差异的实例引入，建立函数之后就可以借助于函数的图象与性质，通过分析函数而得知现实问题的变化规律.因此接下来研究不同函数增长的差异是有必要的. 一次函数是线性增长，其增长规律是学生熟悉的，因此可以将一次函数作为参照，通过分别将指数函数、对数函数与一次函数比较理解“指数爆炸”、“对数增长”、“直线上升”.在研究的过程中，可以先从具体函数的比较开始，再抽象出一般结论. 学情分析 对数函数是高中阶段学生学习的第三个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础.但是因为对数函数的学习是在其反函数-指数函数得到完整研究的基础上展开的，要借助对数与指数的内在联系，利用指数函数研究对数函数，这是学生以往经验中没有的，所以从这个角度说，学生会遇到一些困难.也就是说，这里的困难主要来自看问题的观点、研究问题的方法.教学中，要通过对数与指数的内在联系，采取适当的教学手段（例如列表对照、将图象画在同一个坐标系中进行比较等），借助指数函数认清对数函数的对应关系.强调通过代数运算的方法研究对数函数的性质，在对数函数作图时也要注意引导学生把它与指数函数的图象联系起来，使学生在借助指数函数研究对数函数的过程中领会这种研究方法的特点. 对三类函数增长速度进行比较是学生之前没有接触过的，对“增长速度”的理解、如何进行增长速度的比较等方面缺乏经验，造成学习的难点.为此，教师可以引导学生从具体函数出发，通过函数图象、代数运算数形结合地展开研究.同时，要借助计算工具的作图、计算功能，引导学生从函数图象上观察当自变量x的值不断增大时函数图象的走势，通过运算观察三种函数值随自变量的不断增大时的增长趋势，形成“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的具体感受. 单元教学目标 1.由实例，利用指数运算与对数运算的关系得出对应关系，并能利用函数概念和指数函数确定这种对应关系也是函数，从而形成对数函数的概念.能类比指数函数的研究，充分利用指数函数与对数函数的关系，展开对数函数的研究.能利用对数函数解决简单的实际问题. 2.能说出对数函数与指数函数之间的特殊关系，知道对数函数与指数函数互为反函数，且≠1). 3.能结合具体实例，借助计算工具，通过数形结合的方法比较对数函数、一次函数、指数函数的增长差异，能用具体例子说明“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义. 单元教学重点 难点 1.教学重点：对数函数的概念、图象和性质，不同函数增长的差异. 2.教学难点：对数函数性质的归纳；对“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的理解. 单元课时分配 本单元分3课时： 第1课时，对数函数的概念； 第2课时，对数函数的图象和性质； 第3课时，不同函数增长的差异. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能从具体问题中抽象出对数的概念. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能求出含对数运算的函数的定义域. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，初步运用对数函数解决简单的实际问题. 课时学习重难点 教学重点：对数函数的概念、求解含对数运算的函数的定义域． 教学难点：运用对数函数解决实际问题． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律做进一步研究.事实上这一点在上一单元学习对数时大家就应该感受到了. 二、目标一：学生能从具体问题中抽象出对数函数的概念. 任务一：学生能从情境中抽象出数学问题 我们知道，指数函数描述了死亡生物体内碳14的含量 随死亡时间的推移而不断衰减的规律. 问题1：（1）结合考古工作的实际情况，你认为，利用这个函数可以解决什么问题？为什么？ （2） 利用函数如何解决这个问题？具体而言，已知和待求的量分别是什么？ （3） 从函数的观点分析上述求解过程中的对应关系是什么．这种对应关系是一个函数吗？请你借助于指数函数进行分析，并给出你的结论. （4）将以上问题一般化：一般地，对于指数函数，且≠1)，根据指数与对数的运算关系得到的，且≠1)是一个函数吗？为什么？ 答： （1） 实际上，考古工作中真正面临的问题是用科学仪器测出死亡生物体内碳14的含量，再利用这个数据去判断该生物体死亡了多长时间. 要解决的问题是： （2）给一个y的值，利用函数关系，求出对应的的值．例如，已知死亡生物体内碳14的含量为0.5、0.7或任意一个 (0< ≤1)，求对应的的值. （3）根据指数与对数的关系，由得到 (0<y≤1).任给一个，如图4.4-1，过y轴正半轴上任意一点（0,）作x轴的平行线，根据指数函数的单调性，这条直线与y=的图象有且只有一个交点.这就说明，对于任意一个y∈(0,1]，通过对应关系 ,在[0,+∞)上都有唯一确定的图4.4-1数x和它对应，所以x也是y的函数. 也就是说，函数y∈(0,1] 刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律． （4）是，对于每一个y 都有唯一确定的x与之对应。 评估一：阅读课本，书写对数函数的概念. 问题2：（1）对数函数的对应关系是什么？它与指数函数的对应关系有什么内在联系？ （2）对数函数底数的取值范围是什么？为什么？ （3）对数函数的定义域是什么？为什么？ 根据指数函数的定义以及指数与对数之间的关系，可以得到如下对照表（表4.4-1)： 指数函数 对数函数 对应关系 ，且 ，且 定义城 R 值域 R 表4.4-1 对数函数与指数函数的底数相同；定义域和值域相互交换. 教师讲解 对数函数的定义表明了它与指数函数具有紧密联系，我们可以利用这种“互换”关系，用已有的指数函数知识来研究对数函数的问题. 1.对数函数的概念： 一般地，函数，且叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 三、目标二：学生能求出含对数运算的函数的定义域. 例1.求下列函数的定义域: (1) ;(2) ，且. 解： (1)因为>0，即≠0，所以函数的定义域是. (2)因为4-x>0，即x<4，所以函数的定义域是 . 任务二：学生能总结步骤，熟练求解. 问题3:（1）依据对数函数的定义，结合之前求定义域的经验可知，求解步骤是什么？ （2） 求下列函数的定义域： ① y=; ② ③ ④，且≠1) 解： （1）第一步，将使函数有意义的条件转化为不等式，即将定义域问题转化为解不等式（组）问题； 第二步，解不等式，求出定义域. （2） ① 因为1-x>0，即x<1，所以函数 y=的定义域是. ② 因为，即 ，所以函数的定义域是. ③因为，即 ，所以函数的定义域是. ④因为，即 ，所以函数的定义域是. 四、目标三：学生能初步运用对数函数解决简单的实际问题. 任务三：学生能初步运用对数函数解决例2. （小组合作）例2.假设某地初始物价为1，每年以5％的增长率递增，经过t年后的物价为． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数t 0 解： （1）由题意可知，经过 t年后物价为 ，即 ∈[0,+∞) 由对数与指数间的关系，可得 由计算工具可得，当=2时，≈14. 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番． 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 （2）根据函数，利用计算工具，可得下表： 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小. 学生独立思考、作答，再全班交流.教师可以适时引导，使学生明确 在学生独立思考、互动交流的基础上明确，再让学生尝试具体求解，得出相应的答案. 学生在阅读教科书第130页之后回答. 学生独立完成，再进行班级交流，在此基础上教师强调两者运算的关系. 教师追问：求解的依据是什么？求解的步骤是什么？ 学生在追问的启发下，依据定义有序思考，并自主完成. 学生自主思考，写出答案，同桌间互相核对答案，上台展示． 学生自主思考，先将实际问题符号化，并区分已知量和所求量，利用函数关系解决问题．再小组讨论解决运算难点与易错点，形成小组答案，上台展示。 在求解第（1）问时，学生可能会利用指数、对数关系直接求解，但是到求解第（2）问时，显然就不方便了因此教师巡视过程中发现这种现象，要给予引导. 通过一个问题两个追问，引导学生从考古研究的真实情况出发，提出问题，培养学生发现和提出问题的能力.在此基础上联系指数与对数的关系，借助指数函数解决对数的问题，推广到一般，由指数函数引出对数函数. 通过求函数定义域，进一步明确对数函数的定义中自变量取值范围的限定，理解“使解析式有意义”的含义. 利用对数函数概念解决实际问题，了解对数函数在解决实际问题中的作用，理解概念.在第（2）问的解决中，通过列表的方式感受对数函数变化快慢的特点，初步体会对数函数的性质，感受对数函数增长速度越来越慢，为“不同函数增长的差异”研究作铺垫. 课堂小结 1.对数函数的概念； 2.求解含对数运算的函数定义域的步骤； 学生作业 1.基础性作业：教科书第131页练习第2、3题； 答案： 2.(１) (2) 3.①④ 2.提升性作业：教科书第140~141页习题4.4第1、3题； 答案：1.(１)(０,＋∞ )(２)( ,1] 3.若火箭的最大速度v＝12ｋｍ/s, 则2000(1+)＝12,则(1+)= , 即1+ =,所以0.006. 故当燃料质量是火箭质量的0.6％时,火箭 的最大速度可达到12ｋｍ/s. 3.拓展性作业:教科书第140~141页习题4.4第5、8题； 5.(１)令 Ｏ＝2700, 则v＝＝1.5(ｍ/s). ∴ 当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速为1.5ｍ/s. (２)令v＝0,则＝0，解得Ｏ＝100. ∴ 一条鱼静止时的耗氧量为100个单位. 8.(１)y=g(x)表示该学校男生体重为x kg时平均身高为y cm . (２)∵f(170)＝55,∴g(55)＝170. 其实际意义是男生体重为55kg时的平均身高为170 cm. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $