精品解析：山东烟台市莱阳市五四制2026-2027学年度第一学期期中学业水平检测初二数学

2026—2027学年度第一学期期中学业水平检测 初二数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 已知，，为的三边长，下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从角的数量关系与边的数量关系两方面入手，逐一验证各选项能否判定为直角三角形． 【详解】解：A选项，，， ， ，可判定是直角三角形，不符合题意； B选项，，即， 可判定是直角三角形，不符合题意； C选项，， ， 即， 可判定是直角三角形，不符合题意； D选项，， 最大角， 不能判定是直角三角形，符合题意． 3. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 5. 如图所示的方格纸上，点，，，都在格点上，且点在的边上，则与的度数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：设小正方形网格的边长为1， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形 ∴ ∴． 6. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 7. 如图，点在上，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设、，由全等得到，利用等边对等角和外角性质得到，再根据三角形内角和列方程求出，最后利用平角求出． 【详解】解：设，则． ， ，． ， ． ， ． ． ， ， ， ． ． 点在上，， ． 8. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开为平面矩形，利用轴对称转化为两点之间线段最短问题，再通过勾股定理计算最短路径． 【详解】解：将容器侧面展开，如图，作点关于的对称点，连接，则即为最短距离． 由题意得，，． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体最短路径转化为平面图形，利用轴对称和勾股定理求解是解题的关键． 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x（）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（ ） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，，,由于，所以当，时，，即，，当，时，，即，，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】解：根据题意得，，， ， ∴当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，； 综上所述，x的值为3或2． 10. 如图，在中，于点D，于点E，、交于点F，已知，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的面积算出的长度，再根据全等三角形的知识算出的长度，由即可求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 一个三角形的两边长分别为 2 和 5，若第三边取奇数，则此三角形的周长为_____. 【答案】12 【解析】 【分析】先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，再将三边长相加即可得出周长的值． 【详解】解：设第三边长为x． 根据三角形的三边关系，则有5-2＜x＜5+2， 即3＜x＜7． ∴x=5． ∴周长=2+5+5=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是能够根据第三边取奇数这一条件熟练找到第三边的值． 12. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据垂直平分线的性质得，，再结合，即可求解． 【详解】解：∵ 的边的垂直平分线交于点， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 13. 如图，将长方形纸片沿折叠，点落到纸片外部的点处．若交于点，，，则的长为_______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据平行线的性质和折叠性质得到，推出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是长方形 ∴，， ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 14. 如图，，，，若，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点J，先利用“”证明，可得，再利用三角形外角的性质即可作答． 【详解】解：连接，交于点J， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，，，， ∴， ∴． 15. 如图，点E在等边的边上，，射线于点B，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，作点关于射线的对称点，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，则，由垂线段最短可得，当时，的值最小，求出，从而可得，计算出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于射线的对称点，过点作于点，交于点， 由轴对称的性质可得，， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 某数学兴趣小组的同学就“测量河两岸，两点间距离”这一问题，设计了如下方案： ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点，，在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得，这时测得的的长度就是，两点间的距离． 请你说明其中的道理． 【答案】 证明：，， ， ， ，， ， ， 【解析】 【分析】先用三角形内角和说明与相等，再由共线和共线得，结合用判定与全等；由全等得，把与分别写成两条线段的差，即得两者相等． 【详解】略 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①作边的垂直平分线分别交和于点，； ②连接，作的平分线交于点； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】（1）按题面要求作图，并保留尺规作图痕迹即可； （2）由垂直平分线得，则，再用三角形内角和求，最后由角平分线求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 19. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长． 【答案】（1）114m2； （2）的长为m 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可； （2）由三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 是直角三角形，， 需要绿化的空地的面积； 【小问2详解】 解：，， ， ， 解得：， 即小路的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出． 20. 如图，四边形中，，，，是的中点，与相交于点．连接． （1）与全等吗？为什么？ （2）判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】（1）全等，理由如下： ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， （2），，理由如下： 由（1）得， ，， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由与得，再由中点与得，用判定与全等； （2）由全等得与，把换成后，在中用三角形内角和说明，从而得到两线段的位置关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画，使，，； （2）在图2中以格点为顶点画一个面积为的正方形； （3）如图3，各顶点都在格点上，请作出，使和关于直线成轴对称． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用勾股定理把两条等长的边化成格点间的横、竖格数，据此定出三个顶点，再核对第三边的平方； （2）把面积开方得到边长，把边长写成两个格数的平方和，用横、竖格数作出互相垂直且等长的两条邻边，再补全正方形； （3）利用轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，逐点作出三个顶点的对应点后顺次连接． 【小问1详解】 解：取格点、，使线段沿竖直方向跨格，则． 取格点，使点在点右侧格、下方格处． 由勾股定理得． ∵点在点右侧格、上方格处， ∴． 顺次连接、、，即得所求作的(图形见答案处)． 【小问2详解】 解：∵正方形的面积为， ∴边长为． ∵， ∴取格点，向右格、向下格取格点，向左格、向下格取格点． 由勾股定理得． 同理可得． ∵， ∴． 由勾股定理的逆定理得． 取格点，使点在点右侧格、下方格处． 同理可得． ∵， ∴四边形是正方形． ∴它的面积为(图形见答案处)． 【小问3详解】 解：∵和关于直线成轴对称， ∴直线垂直平分、、． 分别作出点、、关于直线的对称点、、． 顺次连接、、，即得所求作的(图形见答案处)． 22. 如图，在中，，垂直平分，为垂足，交于点，连接． （1）若平分，，那么的长是多少？ （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线得，结合角平分线把与联系起来，用直角三角形两锐角互余求出，再分别求与； （2）设，先用勾股定理求，再由垂直平分线把写成含的式子，在中列方程解出． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在上， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 23. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，且，． （1）与全等吗？为什么？ （2）若平分，试说明与的大小关系． 【答案】（1）全等，理由如下： ， ， ， ，， （2），证明： ， ，， 平分， ， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由两边同减得，结合与，用判定与全等； （2）由全等得，再由平分得，用判定与全等，从而比较与． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，四边形，，，，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理求出即可作答； （2）过点D作，交的延长线于点E，利用勾股定理的逆定理证明是直角，再利用“”证明，最后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ； 【小问2详解】 过点D作，交的延长线于点E， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中学业水平检测 初二数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，为的三边长，下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 4. 如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 5. 如图所示的方格纸上，点，，，都在格点上，且点在的边上，则与的度数和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x（）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（ ） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 10. 如图，在中，于点D，于点E，、交于点F，已知，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 一个三角形的两边长分别为 2 和 5，若第三边取奇数，则此三角形的周长为_____. 12. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为______． 13. 如图，将长方形纸片沿折叠，点落到纸片外部的点处．若交于点，，，则的长为_______． 14. 如图，，，，若，，则的度数为_______． 15. 如图，点E在等边的边上，，射线于点B，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________． 16. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 某数学兴趣小组的同学就“测量河两岸，两点间距离”这一问题，设计了如下方案： ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点，，在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得，这时测得的的长度就是，两点间的距离． 请你说明其中的道理． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①作边的垂直平分线分别交和于点，； ②连接，作的平分线交于点； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 19. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长． 20. 如图，四边形中，，，，是的中点，与相交于点．连接． （1）与全等吗？为什么？ （2）判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由． 21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画，使，，； （2）在图2中以格点为顶点画一个面积为的正方形； （3）如图3，各顶点都在格点上，请作出，使和关于直线成轴对称． 22. 如图，在中，，垂直平分，为垂足，交于点，连接． （1）若平分，，那么的长是多少？ （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，且，． （1）与全等吗？为什么？ （2）若平分，试说明与的大小关系． 24. 如图，四边形，，，，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $