精品解析：山东省烟台莱阳市（五四制）2025-2026学年八年级上学期数学期中考试卷

2025—2026学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟， 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 4. 下列多项式能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 7. 若a，b，c是的三边长，则的结果（ ） A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不确定 8. 数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被弄脏了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（ ） A. 蓝 B. 绿 C. 黄 D. 红 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. －1或 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 多项式的最大公因式是______． 12. 关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 13. 若，，，的平均数为4，，，，，的平均数为6，则，，，的平均数为_______． 14. 若，，则的值为_________． 15. 某校组织了“古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，8分，9分，则该班的最终得分为______分． 16. 观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为______． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2） 19. 解方程： （1） （2） 20. 某班40名学生进行数学小测试，随机抽取10人的测试成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19． （1）写出这组数据的中位数和众数； （2）小明抄录这组数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，他抄错的原成绩是多少？ （3）已知全班的平均分是分．小亮说：“所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．”通过计算说明小亮的说法是否正确． 21. 在将因式分解时，小明看错了的值，分解得；小红看错了的值，分解得．请你把进行正确的因式分解． 22. 为了解八年级学生的体育水平，体育老师共抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．在这次测试中，女生得10分的人数为4人．根据这次测试成绩，制作了如下统计图表． 抽测体育模拟测试成绩分析表 平均分 众数 中位数 男生 7 女生 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）求这次抽测中女生的人数； （2）补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图； （3）求出表中的值； （4）这个年级共有男生240人，请估计男生成绩达到优秀的人数． 23. 先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 24. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟， 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合题意即可． 【分析】解：A、左边是整式的积，右边是多项式的形式，是整式乘法，故不是因式分解； B、左边为多项式，右边为积的形式，且等式成立，故是因式分解； C、左边，右边，等式不成立，不是因式分解； D、右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解． 故选：B． 2. 下列各式：中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，是分式，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型． 3. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从大到小的顺序，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 4. 下列多项式能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 5. 若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质，，的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 6. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 7. 若a，b，c是的三边长，则的结果（ ） A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解，后利用三角形三边关系定理解答即可． 本题考查了三角形三边关系定理，因式分解，求代数式的值，熟练掌握因式分解，三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故选：A． 8. 数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲每小时做个盒子，根据“乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟”，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做个盒子，则乙每小时做个盒子， 由题意得：， 故选：D． 9. 小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被弄脏了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（ ） A. 蓝 B. 绿 C. 黄 D. 红 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，从统计图准确获取信息是解题的关键．从扇形统计图可知最喜欢的颜色的人数最少的是蓝色，即可求出总人数为50人，继而可求得喜欢红色的人数14人，从而可求出喜欢绿色和黄色的人数为16人和15人，即可求解． 【详解】解：由扇形统计图可知：最喜欢的颜色的人数最少的是蓝色，有5人，占， ∴被调查的同学总人数为：（人）， ∴喜欢红色人数为：（人）， 喜欢红色和蓝色的人数为：（人）， 喜欢黄色和绿色的人数为：（人）， 由条形图知其中一种颜色是16人，则另一种颜色15人， ∵条形统计图中小长方形的高度按照从高到低的顺序排列， ∴丙代表的颜色的人数为14人， ∴丙代表的颜色为红色． 故选：D． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. －1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 多项式的最大公因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是公因式的含义，找出多项式中各项的系数最大公约数和字母部分的最低次幂，确定最大公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为6和，最大公约数为 2； 字母部分的最低次幂为 ，的最低次幂为， 因此最大公因式为． 故答案为：． 12. 关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且， 解得，且． 故答案为：且． 13. 若，，，的平均数为4，，，，，的平均数为6，则，，，的平均数为_______． 【答案】5.2 【解析】 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为5.2． 【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握求解一组数据的平均数是解题的关键． 14. 若，，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 15. 某校组织了“古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，8分，9分，则该班的最终得分为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、加权平均数等知识点，理解加权平均数的意义是解题的关键．根据加权平均数，结合扇形统计图得出，然后求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，该班的最终得分． 所以该班的最终得分为分． 故答案为：． 16. 观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为______． 【答案】998 【解析】 【分析】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式； 根据给定的变形规律，将求和中的每一项拆分为两个分数的差，通过（裂项相消法）化简求和式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 由方程得： 经检验， 满足分母不为零的条件； 故答案为： 998． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先利用整式的乘法进行化简，再利用完全平方公式分解因式即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及方法是解题关键； （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，并检验即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；并检验即可． 【小问1详解】 解： 经检验：是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 经检验：是原分式方程的解. 20. 某班40名学生进行数学小测试，随机抽取10人的测试成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19． （1）写出这组数据的中位数和众数； （2）小明抄录这组数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，他抄错的原成绩是多少？ （3）已知全班的平均分是分．小亮说：“所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．”通过计算说明小亮的说法是否正确． 【答案】（1）中位数为，众数为18 （2）18 （3）小亮的说法正确 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的知识；求解关键是准确掌握中位数、众数、平均数定义，从而计算得到答案． （1）根据众数和中位数的定义，即可求解； （2）根据众数的定义求解即可； （3）根据平均数的定义计算，即可计算得到答案． 【小问1详解】 解：样本数据重新排列为：12，14，15，16，17，18，18，18，19，20． 中位数为， 18出现了三次，出现次数最多，则众数为18． 【小问2详解】 解：小明抄录数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，除18外，其它数各不相同， ∴抄错一个后，其它各数最多有2个，众数不会变化， ∴他抄错的原成绩是18分． 【小问3详解】 解：小亮的说法正确．理由如下： 样本数据的平均数为， ， ∴小亮的说法正确． 21. 在将因式分解时，小明看错了的值，分解得；小红看错了的值，分解得．请你把进行正确的因式分解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握公式法、能根据乘法与因式分解的关系确定a、b的值是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小明、小红没有看错的值确定a、b，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：， ∵小明看错了的值， ∴； 而， ∵小红看错了的值， ∴． ∴ ． 22. 为了解八年级学生的体育水平，体育老师共抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．在这次测试中，女生得10分的人数为4人．根据这次测试成绩，制作了如下统计图表． 抽测体育模拟测试成绩分析表 平均分 众数 中位数 男生 7 女生 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）求这次抽测中女生的人数； （2）补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图； （3）求出表中的值； （4）这个年级共有男生240人，请估计男生成绩达到优秀的人数． 【答案】（1）人 （2） 补全条形统计图如下： （3），， （4）大约有96名男生的成绩能够达到优秀． 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）利用抽测女生得分的人数除以抽测女生得分的人数所占百分比即可得； （2）先求出抽测男生的人数，再求出男生得分的人数，据此补全条形统计图即可得； （3）根据方差的公式、中位数、众数的定义即可得； （4）成绩达到9分及以上（包含9分）的比例乘以240即可得． 【小问1详解】 解：抽测女生总人数为（人）． 【小问2详解】 解：抽测男生的人数为（人）， 男生得分的人数为（人）． 【小问3详解】 解：抽测男生的平均成绩为：； 抽测男生的中位数位于成绩排在第10位和第11位成绩的平均数，即， 由女生成绩的扇形统计图可知，在女生的成绩中，8分的人数最多， 则女生成绩的众数是． 【小问4详解】 解：（人） 答：估计大约有96名男生的成绩能够达到优秀． 23. 先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】（1） （2） （3） 证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子的值一定是一个不小于1的数． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 【小问1详解】 解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 【小问2详解】 解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； 【小问3详解】 略 24. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）整数的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； 【小问2详解】 解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $