精品解析：山东烟台市福山区 2026-2027学年九年级上学期期中数学试题（五四制）

26-27学年度第一学期期中学业水平考试 初四数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分 2．考试过程中允许学生进行剪、拼、折叠等实验 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 在中，都是锐角，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则cosα的值为(　　) A. B. C. D. 4. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 若函数是二次函数，则“”可以是（ ）． A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 9. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于直线对称 C. 图象位于第二、四象限 D. 在每一个象限内，y随着x的增大而增大 10. 如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 在中，，则_______． 12. 如图，在中，，点D在边上，，点E在边上， ，点F为上一点，，若，则的长为_____． 13. 如图，一条抛物线与轴的交点为、两点，其顶点在折线上运动．若、、的坐标分别为、、、，点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为________． 14. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为__ 15. 已知二次函数和一次函数的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,4)，当时，自变量x的取值范围是___. 16. 双曲线经过点，则代数式的值为_______． 三、解答题（共8道小题，满分72分，本题写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算题 （1） （2）先化简，再求值：，其中． 18. 双曲线（k为常数，且）与直线交于两点. （1）求k与b的值； （2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积. 19. 第31届世界大学生运动会代表建筑主火炬塔，在亮灯之夜，塔身通体透亮，流光溢彩．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度．在点A处放置高为1米的测角仪AB，在B处测得塔顶F的仰角为30°；沿AC方向继续向前行38米至点C，在CD处测得塔顶F的仰角为65°（点A，C，E在同一条直线上）． （1）点D相对于点F的方位角是______． （2）依据上述测量数据，求出主火炬塔EF的高度． （结果保留整数，参考数据：，，，） 20. 农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x且为正整数）． （1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价； （2）若政府规定销售价格不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值． 21. 如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为轴、中心线为轴建立平面直角坐标系，则水柱高度（单位：）与水柱距离喷水池中心的水平距离（单位：）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2时，达到最大高度3.61，此时水柱刚好经过中心线上的点，已知点距水面高2.61． （1）求如图2所示抛物线的解析式． （2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用表示．（仅考虑轴右侧的情况）． ①求的取值范围； ②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时的值______． 22. 如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． （1）求建筑物的高度（结果精确到米）； （2）驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 23. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点的坐标为. （1）求点的坐标； （2）求图像经过、、三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标. 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当PE的长度取得最大值时，求点P的坐标和PE长度的最大值； （3）在第（2）问条件下，在平面直角坐标系中，是否存在一点Q，使以P、A、B、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年度第一学期期中学业水平考试 初四数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分 2．考试过程中允许学生进行剪、拼、折叠等实验 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 在中，都是锐角，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据特殊角的三角函数值，确定的度数，然后利用三角形内角和求出的度数，判断所有角均为锐角，从而确定三角形形状． 【详解】解：∵在中，都是锐角，且， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故选：A． 2. 在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 3. 已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则cosα的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，90°－α=60°，得α=30°，即可求得cosα的值. 【详解】解：∵α为锐角，且cos(90°－α)＝， ∴90°－α=60°， ∴α=30°， ∴cosα=cos30°=. 故选D 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，掌握这些特殊角的三角函数值是解此题的关键. 4. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设能建成的饲养室总占地的面积为，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， 根据题意得，，，有最大值， ∴当时，取得最大值， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5. 若函数是二次函数，则“”可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：根据二次函数的定义，“”可以是． 故选：C． 6. 平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，于y轴交于负半轴得到，根据抛物线对称轴为直线，得到，即可判断①；由当时，得到进而推出，即可判断②；求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断③；二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断④；由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点，即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵二次函数对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴，即，故④正确； 由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故⑤正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，二次函数与一元二次方程之间的关系等等，熟知相关知识是解题的关键． 7. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， 当时，，故①正确； 当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确； ，， 当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误； 故选：． 8. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 9. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于直线对称 C. 图象位于第二、四象限 D. 在每一个象限内，y随着x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故反比例函数的图象不经过，原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一三象限，关于直线对称，原说法正确，符合题意； C、反比例函数的图象分布在第一三象限，原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象，在每一个象限内，随着的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答，①点P在上运动，点Q在上运动，②点P在上运动，点Q在上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象． 【详解】解：①点P在上运动，点Q在上运动，即时，，， 故可得，函数图象为抛物线； ②点P在上运动，点Q在上运动，即时，，底边上的高保持不变，为正方形的边长4， 故可得，函数图象为一次函数． 综上，总过程的函数图象，先是一段抛物线，然后是一条线段，故D正确． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 在中，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 由可得，进而求得，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，点D在边上，，点E在边上， ，点F为上一点，，若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作交于点，设，，，根据等边对等角可推出，从而证出，然后等角的正弦值相等即可求出，从而求出，再根据等角对等边可得，最后根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【详解】解：过点作交于点， 设，，， 则，，，， ， ， ， 整理可得：， 在中，，即， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， 在中，，即， 整理，得， ， 整理，得， 解得：（不符合实际，舍去）， 即， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握等边对等角，等角对等边，等角的锐角三角函数相等和勾股定理是解决本题的关键． 13. 如图，一条抛物线与轴的交点为、两点，其顶点在折线上运动．若、、的坐标分别为、、、，点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值． 【详解】由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（-1，4）， 设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4， 代入点B坐标，得0=a（1+1）2+4， 解得：a=-1， 即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y=-（x+1）2+4． 当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1）， 则此时抛物线的解析式：y=-（x-3）2+1=-x2+6x-8=-（x-2）（x-4）， 即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去）， 故点A的横坐标的最大值为2． 故答案是：2． 【点睛】考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果． 14. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为__ 【答案】x1＝﹣3，x2＝1 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的一个交点坐标为（-3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， 所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， 即x＝1或﹣3时，函数值y＝0， 所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣3，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 15. 已知二次函数和一次函数的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,4)，当时，自变量x的取值范围是___. 【答案】x<−1或x>3. 【解析】 【分析】此题可画出函数图象求出，若时，则二次函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围即为所求． 【详解】 二次函数和一次函数的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,4)， 则当时，即位于上方时，x<−1或x>3. 故答案为x<−1或x>3. 【点睛】此题考查一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于结合图象解答即可. 16. 双曲线经过点，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8道小题，满分72分，本题写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算题 （1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算； （2）先化简分式，再根据特殊角的三角函数值，求出值，再代值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ； 把，代入，得：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，以及分式的化简求值．熟练掌握特殊角的三角函数值，以及分式的运算法则，是解题的关键． 18. 双曲线（k为常数，且）与直线交于两点. （1）求k与b的值； （2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积. 【答案】（1）；（2）S△BOE= . 【解析】 【分析】（1）将A点的坐标代入一次函数解析式可得b的值，得到一次函数解析式再将B（1，n）代入一次函数解析式可得n的值，则求出点B（1，-4），将B（1，-4）代入反比例函数解析式可求出k的值． （2）先求出点C、D两点的坐标，再求出E点坐标，所以S△BOE=S△ODE+S△ODB =OD•(xB−xE)，可求出△BOE的面积． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴ ∴， ∵点B（1，n）在直线上， ∴ ∴B（1，-4），∵B（1，-4）在双曲线上， ∴ （2）∵直线AB的解析式为y=-2x-2， 令x=0，解得y=-2，令y=0，解得x=-1， ∴C（-1，0），D（0，-2）， ∴S△COD= ∵点E为CD的中点， . 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19. 第31届世界大学生运动会代表建筑主火炬塔，在亮灯之夜，塔身通体透亮，流光溢彩．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度．在点A处放置高为1米的测角仪AB，在B处测得塔顶F的仰角为30°；沿AC方向继续向前行38米至点C，在CD处测得塔顶F的仰角为65°（点A，C，E在同一条直线上）． （1）点D相对于点F的方位角是______． （2）依据上述测量数据，求出主火炬塔EF的高度． （结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】（1）南偏西25° （2）主火炬塔EF的高度为31米 【解析】 【分析】（1）根据方位角的定义求解即可； （2）延长BD交EF于点G，由已知可知BG⊥EF．设FG为x米，利用三角函数的定义得BG和DG的长度，根据题意列出关于x的方程，解方程后再代入求EF的长度即可． 【小问1详解】 解：∵在CD处测得塔顶F的仰角为65°， ∴点D相对于点F的方位角是南偏西25°， 故答案为：南偏西25°． 【小问2详解】 解：延长BD交EF于点G，如图所示， 由已知可知BG⊥EF，设FG为x米， 在Rt△BFG中，∠FBG＝30°， ∴， ∵∠FDG＝65°，∠DGF＝90° ， ∴∠DFG＝90°－65°＝25°， 在Rt△DFG中，， 由已知可得BD＝AC＝38， ∴1.73x－0.47x＝38， 解得：， ∵EG＝AB＝1， ∴EF＝FG＋EG＝30＋1＝31， 答：主火炬塔EF的高度为31米． 【点睛】本题考查了方位角的定义、三角函数解直角三角形等知识点．掌握三角函数的定义是解决该题的关键． 20. 农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x且为正整数）． （1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价； （2）若政府规定销售价格不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值． 【答案】（1）该日产品的单价为14元/千克 （2）关于的函数表达式为（，且为正整数）；的最大值为338元，最小值为240元 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据日销售额日售价日销售量，即可求得；由二次函数的性质可求得的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：根据题意列方程得， 解得， 答：该日产品的单价为14元/千克． 【小问2详解】 解：根据题意得（且为正整数）， ， ， 当时，有最大值，最大值为； 当时，，当时，， 故的最小值为， 答：关于的函数表达式为（，且为正整数）；的最大值为338元，最小值为240元． 21. 如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为轴、中心线为轴建立平面直角坐标系，则水柱高度（单位：）与水柱距离喷水池中心的水平距离（单位：）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2时，达到最大高度3.61，此时水柱刚好经过中心线上的点，已知点距水面高2.61． （1）求如图2所示抛物线的解析式． （2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用表示．（仅考虑轴右侧的情况）． ①求的取值范围； ②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时的值______． 【答案】（1） （2）①②5 【解析】 【分析】（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点，设该抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）对于抛物线，当时，可解得或（舍去）； 则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，此时抛物线解析式为，令，即有，解得或（舍去），即可确定的取值范围；②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为，则抛物线解析式为，根据题意，将点代入并求解，可得，即可确定此时抛物线解析式为，再令，求解即可确定此时喷头位置． 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①对于抛物线， 当时，可有， 解得或（舍去）， 根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图， 则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时， 此时抛物线解析式为， 令，即有， 解得或（舍去）， ∴的取值范围为； ②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为， 则抛物线解析式为， 当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点， 将点代入抛物线， 可得， 解得或（滑动距离超出①中范围，舍去）， ∴此时抛物线解析式为， 令，即有， 解得或（舍去）， ∴此时喷头位置为． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，利用数相结合的思想分析问题是解题关键． 22. 如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． （1）求建筑物的高度（结果精确到米）； （2）驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 【答案】（1）28.7米 （2）10人 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人． 23. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点的坐标为. （1）求点的坐标； （2）求图像经过、、三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标. 【答案】（1）点坐标为；（2），顶点坐标为. 【解析】 【分析】（1）如图，过A作AC⊥OD于C，过B作BD⊥DO与D，由于点A的坐标为，利用勾股定理可以求出AO=2，然后在Rt△AOB中由于∠BAO=60°，利用三角函数即可求出BO，然后即可求出B的坐标；（2）首先根据（1）的结论利用待定系数法即可求出二次函数的解析式和这个函数图象的顶点坐标． 【详解】解：（1）如图，过A作AC⊥OD于C，过B作BD⊥DO与D， ∵点A的坐标为 ∴AO=2， ∵∠AOB=90°，∠BAO=60°， ∴tan∠BAO= ， ∴BO=2， ∵ ， ∴∠AOC=30°，∠BOD=60°， ∴点B的坐标为（ ，3）； （2）设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵二次函数的图象经过A、O、B三点， ∴ ， 解得： ， 所以二次函数的解析式为 ∴函数图象的顶点坐标为． 【点睛】此题首先考查了解直角三角形的知识，接着考查了利用待定系数法确定二次函数的解析式，有一定的综合性． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当PE的长度取得最大值时，求点P的坐标和PE长度的最大值； （3）在第（2）问条件下，在平面直角坐标系中，是否存在一点Q，使以P、A、B、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8，P点坐标为 (2，-4) （3）存在，Q（2，4），（-2，-6），（6，-2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1），B（4，1）．代入坐标得：，解方程组即可； （2）先利用待定系数法求直线AB的解析式为，求出，得出，设P ， , 0＜＜4根据两点距离公式即可； （3）设点Q（x，y）分三种情况，PQ为平行四边形APBQ的对角线，则有，BQ为平行四边形APBQ的对角线，则有，AQ为平行四边形APBQ的对角线，则有，解方程组即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1），B（4，1）．代入坐标得： ， 解得： ， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线AB: ，代入点的坐标得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为， 直线AB与x轴的交点 C: (2,0) ， ∴OC=2，OA=1，在Rt△OAC中， ， ∵PE∥x轴, ∴∠ACO=∠CEP， ， 过P作PF⊥PE交AB于F. ， ， 设P ， , 0＜＜4， ， ， ， ， 故当 时, PE有最大值为8,此时P点坐标为 (2,-4). 【小问3详解】 解：设点Q（x，y），点A（0，﹣1），B（4，1），P（2，-4）， 分三种情况考虑， 当PQ为平行四边形APBQ的对角线，四点坐标满足， ∴， ∴， Q1（2，4）； 当BQ为平行四边形APBQ的对角线，四点坐标满足， ∴， ∴， Q2（-2，-6）； 当AQ为平行四边形APBQ的对角线，四点坐标满足， ∴， ∴， Q2（6，-2）； 综合得Q（2,4），（-2,-6），（6，-2）． 【点睛】本题考查待定系数法求求抛物线解析式和一次函数解析式，二次函数最值，平行四边形的性质，掌握待定系数法求求抛物线解析式和一次函数解析式，二次函数最值，平行四边形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $