精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

25-26学年度第一学期期中学业水平考试 初四数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 2. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律． 先将原抛物线化为顶点式，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”计算即可． 【详解】解：， 则将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为：． 故选：A． 3. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，图象开口向上，当时，随着的增大而减小，则关于对称轴对称的点坐标为，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，图象开口向上，当时，随着的增大而减小， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：C． 4. 在，已知、都是锐角，，那么是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，由题意得：，进而得，推出、即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴、； ∴； ∴是直角三角形； 故选：B 5. 已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由图可知，的正切值是， ∴的度数为． 故选A． 6. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 7. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，此时． ∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， ∴， 故选：A． 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，相交于点E，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，连接，从而可得，然后根据勾股定理的逆定理可证是等腰直角三角形，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，连接， ， 由题意得：，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 10. 魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形，和都是正方形， ，，，，， ， ， ， 设，则， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个与轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达式：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学握二次函数与x轴交点的特点以及二次函数的开口方向与二次项系数的关系． 先根据与x轴交点横坐标互为相反数设出交点坐标，再结合开口向下确定二次项系数，进而写出二次函数表达式． 【详解】解：设二次函数与x轴的交点横坐标为和，那么二次函数可表示为，即， 因为二次函数开口向下，所以二次项系数， 我们可以取，则二次函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线y= -（x+2）2+3的顶点坐标是(m，n)．则mn的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线y= -（x+2）2+3的顶点坐标是(m，n) ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 13. 是直角三角形，，，则的长为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 14. 一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，米， 在中，米， 故答案为：． 15. 某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，由图发现过原点，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：由图发现过原点， ∴， 解得， ∴顶点坐标， ∴在水中倒影点， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为米， 故答案为：． 16. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊值三角函数值，熟练掌握分式的化简求值是解答本题的关键，先计算括号内的分式加减，然后计算分式的乘除，化简结果为，再计算特殊值三角函数值求得x的值，最后代入即可． 【详解】 ， ， 原式． 18. 图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) （1）图（2）中，___________°； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 19. 如图，已知二次函数的图象经过原点，． （1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式； （2）若将线段绕点逆时针旋转到，试判断点是否为该函数图象的顶点? 【答案】（1）对称轴为直线；解析式为 （2）点是该函数图象的顶点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析，坐标与图形变化—旋转； （1）根据抛物线经过，，可得对称轴为直线，进而得出，然后将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴与，先根据旋转的性质得，，再根据含度的直角三角形三边的关系得，，则点的坐标为，根据抛物线的顶点式可判断点为抛物线的顶点． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过原点，． ∴对称轴为直线 将点代入抛物线 即， 解得： ∴解析式为 【小问2详解】 点是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作轴于点， 线段绕点逆时针旋转到， ，， 在中，， ， ， 点的坐标为， 点为抛物线的顶点， 20. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：，， 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 21. 某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： （1）求日销售量与时间的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（， 为整数）； （2）第天的日销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （）设日销售利润为，则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：设日销售量与时间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴（，为整数）； 【小问2详解】 解：设日销售利润为， 则， 当时， ∵， ∴当时，有最大值元； 当时， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 22. 如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： （1）①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 【答案】（1）（1）①3；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到接球位置的坐标范围是，把这两点代入函数解析式分别得到和，于是得到结论． 【小问1详解】 解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为， ∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 故与满足的函数解析式． 【小问2详解】 ∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包， ∴此时，接球位置的坐标范围是， 当经过点，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴b的取值范围是． 故答案为：． 23. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 24. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 （3）如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）的长的最大值为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，再把代入，计算即可得出答案； （2）过点作轴交于点，交于点，根据题意，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据对顶角相等，得出，进而得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后设点，则，再根据两点之间的距离公式，得出，再根据，得出，再根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）根据题意，设，然后分两种情况：当、在直线的上方时和当、在直线的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴设抛物线解析式为， 又∵抛物线与轴交于点， ∴把代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的长的最大值为； 【小问3详解】 解：存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，理由如下： 设， 如图1，当、在直线的上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，当、在直线的下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点， 同理可得：， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等腰直角三角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年度第一学期期中学业水平考试 初四数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在，已知、都是锐角，，那么是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. 已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 7. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，相交于点E，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个与轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达式：_____． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线y= -（x+2）2+3的顶点坐标是(m，n)．则mn的值为______． 13. 是直角三角形，，，则的长为_______． 14. 一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为________米（结果保留根号）． 15. 某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为_____米． 16. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) （1）图（2）中，___________°； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 19. 如图，已知二次函数的图象经过原点，． （1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式； （2）若将线段绕点逆时针旋转到，试判断点是否为该函数图象的顶点? 20. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 21. 某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： （1）求日销售量与时间的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： （1）①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 23. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 24. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 （3）如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $