精品解析：上海市闵行区2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用符号或填空：________ 2. 已知集合，若，则______． 3. 不等式的解集为______． 4. “或”的否定形式为______． 5. 若，则_______（填“>”或“<”） 6. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 7. 已知方程的两个根为、，则_______． 8. 满足的集合M的个数为_____个. 9. 若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____. 10. 若，，则=___________（用的代数式子表示） 11. 设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________. 12. 对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 14. 用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ） A. 中至多有两个能被5整除 B. 都能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 都不能被5整除 15. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 以下四个命题中，正确的有（ ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知集合，，，. （1）求； （2）求. 18. 已知关于x的不等式的解集为M. （1）若，求x的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围. 19. 漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过1分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至 （1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位） （2）某企业生产制冷杯每月的成本s（万元）由两部分构成：①固定成本（与产品的数量无送）20万元；②材料成本：万元，其中x（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？ 20. 已知一元二次方程（a，b，，）的两个实根为，． （1）若，，，求的值； （2）若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； （3）若，，求y的取值范围． 21. 若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. （1）判断是否为“双集合”，说明理由； （2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“双集合”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用符号或填空：________ 【答案】 【解析】 【分析】由元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为为无理数，为有理数集， 所以， 故答案为： 2. 已知集合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的定义知. 故答案为：. 3. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】，得， 所以不等式的解集为. 4. “或”的否定形式为______． 【答案】“且” 【解析】 【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解. 【详解】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 5. 若，则_______（填“>”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可得到答案. 【详解】因为且，利用不等式性质得， 故答案为：>. 6. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 7. 已知方程的两个根为、，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】应用根与系数关系及，即可求值. 【详解】由题设，，则. 故答案为：4 8. 满足的集合M的个数为_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】通过列举法即可求解. 【详解】由题意可知：可以是： ，，共3个， 故答案为：3. 9. 若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设两条直角边的边长分别为，则， 故即，当且仅当时等号成立， 故直角三角形面积的最大值为， 故答案为： 10. 若，，则=___________（用的代数式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】运用换底公式以及对数的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：. 11. 设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可. 【详解】由或，所以或， 当时，由，可得， 当时，由，可得， 因此有， 当时，； 当时，， 故答案为： 12. 对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求． 【详解】由与都是集合的元素， 不妨设， 因为，所以， 由已知，所以，则， 又，所以，即， 所以， 所以，， 则，即， 因为，所以，则，即. 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】A 【解析】 【分析】化简，根据取值得出充分非必要条件 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14. 用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ） A. 中至多有两个能被5整除 B. 都能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 都不能被5整除 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可. 【详解】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”， 故选：D. 15. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再对进行转化，可得，观察集合，对其是否为空集进行分类讨论即可求解． 【详解】对于，因式分解可得，解得， 故． 因为，所以． 若，则，解得； 若，则需满足，解得， 综上，可得实数a的取值范围是． 16. 以下四个命题中，正确的有（ ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算性质即可判断①；举特例即可判断②③④. 【详解】对于①，对，以及，恒成立，①正确； 对于②，当，以及时， 此时，， 故，②正确； 对于③，当，以及时，此时， 故，③正确； 对于④，当，以及时，此时， 故，④正确. 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知集合，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，利用交集的定义运算； （2）化简集合，根据并集、交集、补集的定义运算. 【小问1详解】 ，或， 则； 【小问2详解】 ，则， 得或，得或，则或， 则， 则. 18. 已知关于x的不等式的解集为M. （1）若，求x的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得解； （2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解. 【小问1详解】 （1）当时，原不等式为，即， 可得，解得， 即x的取值范围为. 【小问2详解】 当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为，符合题意. 当时，不等式的解集为，则需满足， 化简可得，解得或. 综上，实数k的取值范围. 19. 漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过1分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至 （1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位） （2）某企业生产制冷杯每月的成本s（万元）由两部分构成：①固定成本（与产品的数量无送）20万元；②材料成本：万元，其中x（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？ 【答案】（1）8 （2）该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合对数的运算，即可求解； （2）设平均每一万套所需的成本费用为万元，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 设经过分钟，这杯茶水由降温至，则， 解得， 故欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要8分钟. 【小问2详解】 设平均每一万套所需的成本费用为万元， 则有， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元. 20. 已知一元二次方程（a，b，，）的两个实根为，． （1）若，，，求的值； （2）若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； （3）若，，求y的取值范围． 【答案】（1）2 （2）证明：假设，都小于2， 因为，， ，且与异号， 的两个实根，， 由韦达定理可得：， 则与同正，且此时， 则， 因为，都小于2， ，这与矛盾， 故假设不成立， 所以，中至少有一个大于等于2. （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用韦达定理，首先判断出，的符号，进而求出的值； （2）首先假设，都小于2，结合韦达定理，以及，的范围，推出矛盾，即可证明； （3）利用已知将方程中的消去，通过已知结合一元二次方程根的判别式解出的范围即可解出答案. 【小问1详解】 当，，时， 化为， 则两个实根，由韦达定理可得：， 则， 则. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， ， 则可化为：， 因为一元二次方程有两个实根， ，且， 即， 则， 解得或， y的取值范围为. 21. 若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. （1）判断是否为“双集合”，说明理由； （2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“双集合”. 【答案】（1）不是为“双集合”，理由：假设，则，故不是为“双集合”. （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接按照题中概念判断即可； （2）直接按照题中概念计算； （3）先根据（2）讨论有两个元素时的情况，然后再讨论多余两个元素的情况即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设，则另一个元素为，因为， 若解得不符合题意； 若解得（符合题意）或（不符合题意） 所以此时 假设则另一个元素为，因为， 若解得符合题意； 若解得不符合题意 所以此时 【小问3详解】 若满足条件的“双集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“双集合”的有 当“双集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大元素为，第二大的元素为， 所以有是“双集合”中的元素 所以 若 与已知矛盾， 故 解得，显然与不可能同时为整数，故该假设不成立 所以“双集合”不可能有两个以上的元素； 故所有满足的“双集合”为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $