精品解析：上海市上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

2025学年第一学期上师闵分-宝分期中联考 高一数学试卷 命题人：郭卫华 申题人：李建薇 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的运算规律，计算即可 【详解】. 故答案为： 2. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 3. 设，方程的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 4. 已知a，，记，，则M与N的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由作差法即可比较大小. 【详解】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 5. 若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数式与指数式互化关系及对数运算计算即得. 【详解】依题意，，所以． 故答案为：8 6. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】当时，即时，原不等式即为恒成立； 当时， 则，解得， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 8. 若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 9. 已知，，则用，表示______ 【答案】 【解析】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 10. 已知，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用计算作答. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 11. 集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算______________________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题设条件，，，，，的大小关系，根据集合运算新定义求即可. 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 12. 若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出对任意的，的值域为，接着求出时，函数值域B，再依据题意得，从而得到一个关于m的不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】因为，为增函数，所以， 令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以当时，，所以， 即当时，函数的值域， 设时，函数值域为集合， 因为是增函数，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，即. 所以满足题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题意将问题等价转化成两个函数和 的值域的关系即可求解. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用对数函数值域及运算律结合必要不充分条件判断求解. 【详解】若成立，则，分为或两种情况， 但时不能推出成立，故充分性不成立； 而成立一定能推出成立，故必要性成立． 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件． 故选：B. 14. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 15. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 16. 对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用取整函数的性质得到的取值情况，即可得到答案. 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：C. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知幂函数经过点. （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，求出的值，即可求出函数解析式及定义域； （2）首先判断函数的单调性，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 幂函数经过点， ，即，解得， ； 因为，所以的定义域为. 【小问2详解】 由于函数在其定义域上单调递减， 又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足， 可得，解得， 所以. 18. 已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分式不等式等价于，解得即可； （2）分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 等价于，解得，则； 【小问2详解】 因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 （1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【答案】（1）为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （2）变好了，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列不等式求的最小值并求此时的值； （2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 小问1详解】 设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且， 所以， 又矩形面积 设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小， 此时由（1）可得或， 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. 【小问2详解】 设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则， 因为， 所以. 又，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了. 20. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，若存在，使得，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将解析式代入不等式后可得关于a的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为，可得a的值. （2）将代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为函数的最值问题后求出t的取值范围. （3）对a进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式解集是否为R，进而求出a最终的取值范围. 【小问1详解】 不等式的解集为， 所以的解集为， 由，可得，求得， 又因为解集为， 故有， 故． 【小问2详解】 当时，， 若存在，使得， 即存在，使得， 令， 故的最小值， 又， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 故， 故使有解的实数的范围为. 【小问3详解】 若恒成立， 则恒成立， 则或恒成立， 即或恒成立. ①当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ②当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ③当时， 解得或， 若不等式解集为， 则， 所以，解得， ④当时，解得或，解集不为（舍）， ⑤当时，解得或，解集不为（舍）， 综上所述，的取值范围是. 21. 已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． （1）判断集合是否具有性质 M； （2）已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； （3）已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 【答案】（1）具有 （2）证明见解析； （3）证明见解析；的最大值为9 【解析】 【分析】（1）由集合新定义求解即可； （2）由集合新定义证明即可； （3）由所给性质变形为，再用累加法证明，再当时，取，则求出值即可； 【小问1详解】 由题意得 所以集合是否具有性质 M， 【小问2详解】 证明: 因为，，则有：， 所以 ，可得：， 所以，， 所以，可得：，所以， 即 又因为为整数，所以符合条件的为4,5,6. 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 所以符合条件的为4,5,6. 【小问3详解】 证明: 因为，则有： 当 时， ，符合题意； 当时, 因， 且， 所以，可得: ， 所以， 即 ， 综上所述：. 因为由上式可得，所以， 当时，取，则，可知. 又当时，，当且仅当时取等号，所以. 因此集合中元素个数的最大值为9. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是能够根据所给性质把不等式变形为，再利用累加法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期上师闵分-宝分期中联考 高一数学试卷 命题人：郭卫华 申题人：李建薇 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1 已知集合，则__________. 2. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 3. 设，方程的解集是__________． 4. 已知a，，记，，则M与N的大小关系是________． 5. 若，则__________． 6. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是______. 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 8. 若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 9. 已知，，则用，表示______ 10. 已知，若，则的最小值为__________. 11. 集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算______________________________. 12. 若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_________ 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 14. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 15. 已知集合，若，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知幂函数经过点. （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 18. 已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 19. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 （1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）若同时增加相同窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 20. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，若存在，使得，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数取值范围． 21. 已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． （1）判断集合否具有性质 M； （2）已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； （3）已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $