精品解析：陕西山阳县第一初级中学2025-2026学年度第一学期期中检测九年级数学

试卷类型：A 山阳县第一初级中学2025～2026学年度第一学期期中检测 九年级数学（人教版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 某款电子产品两年前的年平均待机时长为200小时，在使用时长保持稳定的情况下，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在年平均待机时长变为128小时，设该款电子产品待机的长的年平均下降率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是（ ） A. 该函数图象的开口向上 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数的最大值为 D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 10. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 11. 如图，将等边绕中心点旋转，当等边第一次与自身重合时，其旋转角的度数为________． 12. 已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 13. 已知玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图，实验发现当水面高度到达点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“”．其中点为瓶高的黄金分割点，即，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为______． 14. 图，为正方形内一点，，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点为对应点），延长交于点，交于点，连接，已知，，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 解方程：． 17. 已知二次函数，证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点． 18. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 19. 某旅游团旅游结束时，大家互相握手道别，每两位参加旅游的人互相握一次手，共握了45次手，求这个旅游团的游客人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O中心对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）点的坐标为________． 21. 同学们在开展的综合实践活动中取得了丰硕的成果，需要推广宣传．他们计划将一块长为，宽为的长方形区域按如图的方式划分为四块相同的小长方形，用于展示四个小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道． （1）设过道的宽度为，则各展区的长为___①__，宽为__②____；（用含的代数式表示） （2）在（1）的条件下，若这四个展区的总面积为，求过道的宽度． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，点在二次函数的图象上． （1）求该二次函数的解析式； （2）求的面积． 23. 制定商品定价策略 某特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋．设该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元． （1）当每袋核桃的销售单价上涨x元时，平均每天的销售量为________袋（用含x的代数式表示）； （2）①求y与x之间的关系式； ②当每袋核桃的销售单价上涨多少元时，每天获得的利润最大．并求出利润的最大值． 24. 如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心O分别作边，的垂线；交各边于点E，F，G，H，连接，，，． （1）求的长； （2）求四边形的周长． 25. 南水北调工程塑造了我国水资源分配新格局．如图是南水北调某段河道的截面图，河道轮廓为某抛物线的一部分，小明在枯水期测得河道宽度，河道最低处到河岸水平线的距离为，以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求河道轮廓所在抛物线的函数解析式； （2）丰水期时测得水面到的距离为，求此时水面截痕的长． 26. 【问题提出】 小华遇到这样一个问题，如图①，在中，，，，在内部有一点P，连接，，，求的最小值．他发现通过旋转可以解决这个问题． （1）如图②，将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，得到，由两点之间，线段最短，可知的长即为所求．则的最小值为________； （2）如图③，菱形在平面直角坐标系中，点B与原点O重合，点C的坐标为，，若在菱形内部有一动点P，求的最小值，并求出此时点P的坐标； 【问题解决】 （3）如图④，某村庄准备在一片空地中开辟一片矩形菜地，在A，B，C三个顶点处建造三个菜窖，在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点P，经研究发现，运输点P到A，B，C三个菜窖的总路程至少为千米，，求此矩形菜地面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 山阳县第一初级中学2025～2026学年度第一学期期中检测 九年级数学（人教版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项为， 系数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形沿某条直线折叠，折叠后直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形；把一个图形绕某个点旋转后能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 3. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可得，，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解：绕点A顺时针旋转得到，， ，， ． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：D． 7. 某款电子产品两年前的年平均待机时长为200小时，在使用时长保持稳定的情况下，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在年平均待机时长变为128小时，设该款电子产品待机的长的年平均下降率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．据此根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该款电子产品待机的长的年平均下降率为， 由题意得：． 故选：B． 8. 下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是（ ） A. 该函数图象的开口向上 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数的最大值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，结合图象性质逐一判断选项． 【详解】解：A选项：对于二次函数（）， 二次项系数为，且， ，函数图象开口向下，故A选项错误； B选项：二次函数的对称轴为直线，故B选项错误； C选项：函数图象开口向下，函数有最大值，且在对称轴处取得最大值. 将代入解析式，得，即最大值为，故C选项正确； D选项：函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故D选项错误． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：点关于原点的对称点为． 10. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 11. 如图，将等边绕中心点旋转，当等边第一次与自身重合时，其旋转角的度数为________． 【答案】 ##120度 【解析】 【分析】等边三角形是旋转对称图形，其中心 将周角三等分，最小旋转角即为相邻顶点与中心连线的夹角． 【详解】 解： 为等边三角形， 为中心 ， 点 、、 均匀分布在以 为圆心的圆周上， ， 周角为 ， ． 当 绕点 旋转 时，点 转到点 的位置，点 转到点 的位置，点 转到点 的位置 ． 第一次与自身重合时的旋转角为 ． 12. 已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 已知玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图，实验发现当水面高度到达点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“”．其中点为瓶高的黄金分割点，即，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用，解一元二次方程，设，则，根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵点为瓶高的黄金分割点，即， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 14. 图，为正方形内一点，，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点为对应点），延长交于点，交于点，连接，已知，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解的关键．利用旋转的性质得，，．进而证明四边形是正方形．设正方形的边长为，则，利用勾股定理求出的长，过点作于点，利用证明，进而解决问题． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转，得到， ，，． 又， 四边形是正方形． 设正方形的边长为，则， 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ， ． 如图，过点作于点， ， ， ， ． ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程；方程左右两边同时加上1，则左边是完全平方式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ∴或， 解得，． 17. 已知二次函数，证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点． 【答案】 证明： ∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点. 【解析】 【分析】根据题意利用二次函数的定义进行分析，然后计算判别式的值得到△=，从而得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，注意掌握把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 18. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 【答案】 证明：由旋转可知， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据旋转的性质可得，再利用“”证明，结合全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】略 19. 某旅游团旅游结束时，大家互相握手道别，每两位参加旅游的人互相握一次手，共握了45次手，求这个旅游团的游客人数． 【答案】这个旅游团的游客人数为10人． 【解析】 【详解】解：设这个旅游团的游客人数为人， 则， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：这个旅游团的游客人数为10人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O中心对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）点的坐标为________． 【答案】（1）图见详解； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据关于原点O中心对称的，则对应点的横、纵坐标互为相反数，找出各对应点连接即可； （2）由C的对应点为即可解答 . 【小问1详解】 解：如图为所求作三角形， 【小问2详解】 解：∵与点关于原点O中心对称， ∴ . 21. 同学们在开展的综合实践活动中取得了丰硕的成果，需要推广宣传．他们计划将一块长为，宽为的长方形区域按如图的方式划分为四块相同的小长方形，用于展示四个小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道． （1）设过道的宽度为，则各展区的长为___①__，宽为__②____；（用含的代数式表示） （2）在（1）的条件下，若这四个展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】(1)将四组展区平移后组成矩形，进而即可表示出长和宽； (2)由（1）得，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：如图，将四组展区平移后组成矩形， ∴平均每个展区长为，宽为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 解得：（不合题意，舍去）， 答：过道的宽度为． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，点在二次函数的图象上． （1）求该二次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， ，， ， 的面积是． 23. 制定商品定价策略 某特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋．设该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元． （1）当每袋核桃的销售单价上涨x元时，平均每天的销售量为________袋（用含x的代数式表示）； （2）①求y与x之间的关系式； ②当每袋核桃的销售单价上涨多少元时，每天获得的利润最大．并求出利润的最大值． 【答案】（1） （2） ① （） ② 当每袋核桃的销售单价上涨5元时，每天获得的利润最大，最大利润为2250元 【解析】 【分析】（1）用200减去销售单价上涨x元时减少的销售量即可； （2）①根据“总利润每袋利润每天销量”即可求解； ②利用配方法及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当每袋核桃的销售单价上涨x元时，平均每天的销售量为袋； 【小问2详解】 ①解：利润为y元，每袋销售单价上涨x元，根据题意得， ； 其中； ②； ∵， ∴当时，y有最大值，此时最大值为， 答：每袋核桃的销售单价上涨5元时，每天获得的利润最大，最大利润为2250元． 24. 如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心O分别作边，的垂线；交各边于点E，F，G，H，连接，，，． （1）求的长； （2）求四边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据菱形的性质得，，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，继而求出． （2）先证明，从而证明是等边三角形，求出，同理可证，，都是等边三角形，然后求出，，即可． 【小问1详解】 解：连接，， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴  ∴是等边三角形， ∴， 同法可证，，都是等边三角形， ∴，， ∴四边形的周长为． 25. 南水北调工程塑造了我国水资源分配新格局．如图是南水北调某段河道的截面图，河道轮廓为某抛物线的一部分，小明在枯水期测得河道宽度，河道最低处到河岸水平线的距离为，以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求河道轮廓所在抛物线的函数解析式； （2）丰水期时测得水面到的距离为，求此时水面截痕的长． 【答案】（1） （2）水面截痕长19米 【解析】 【分析】（1）先由确定，抛物线顶点是最低点，横坐标等于中点的横坐标为，纵坐标为，设顶点式代入一点求解析式； （2）水面到距离为，即，代入解析式求横坐标，两点横坐标之差就是长度． 【小问1详解】 解：由题意，，，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 把代入：， 解得：， 所以抛物线解析式：； 【小问2详解】 解：水面到距离为，所以，代入解析式： ， 解得：，， 故． 26. 【问题提出】 小华遇到这样一个问题，如图①，在中，，，，在内部有一点P，连接，，，求的最小值．他发现通过旋转可以解决这个问题． （1）如图②，将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，得到，由两点之间，线段最短，可知的长即为所求．则的最小值为________； （2）如图③，菱形在平面直角坐标系中，点B与原点O重合，点C的坐标为，，若在菱形内部有一动点P，求的最小值，并求出此时点P的坐标； 【问题解决】 （3）如图④，某村庄准备在一片空地中开辟一片矩形菜地，在A，B，C三个顶点处建造三个菜窖，在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点P，经研究发现，运输点P到A，B，C三个菜窖的总路程至少为千米，，求此矩形菜地面积的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为， （3）平方千米 【解析】 【分析】（1）先由旋转的性质得出，则，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； （2）连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为，先由旋转的性质得出，则，再证明是等边三角形，得到，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出，同理，得出，则，可得结论； （3）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于．当，，，共线时，的值最小，最小值为线段的长．构建不等式求出，的最小值，可得结论． 【小问1详解】 解：如下图中， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当，，，四点共线时，值最小，最小值等于的长， ， ， ， ． 在中， ，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如下图中， 连接， 在菱形中，，， 是等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转，则与重合，所以可以得到，再连接，，， 则，，， 是等边三角形， ， ， ∴当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点， 是等边三角形， ，． 菱形中，， ， ， ， 同理，， ． 连接，交于点，则． 在中，，，， ， ， ， ， 作于点， 则，， ． 的最小值为，此时． 【小问3详解】 解：如下图中， 将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于，则，，， 是等边三角形， ， ， 当，，，共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米， 千米，，， ， （千米），（千米）， ， 由题意千米， ， ， ， 的最小值为千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，同时考查了学生的阅读理解能力和知识的迁移能力，综合性较强，有一定难度．读懂阅读材料，画出最小值的线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $