精品解析：安徽省合肥市蜀山区西苑中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

合肥西苑中学2024-2025学年度第一学期九年级期中 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝﹣2 C. 顶点坐标是（2，1） D. 与x轴有两个交点 3. 在平面直角坐标系中，点(－3，2)，(－1，)，(2，)都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. y1<2<y2 B. y1>2>y2 C. y1<y2<0 D. y1>y2>0 4. 如图，直线，直线a，b与直线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，， 则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 抛物线平移得到抛物线平移得到，平移方法是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移3个单位，再向上平移5个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移14个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移14个单位 6. 如图，平行四边形中，E为上一点，交于点F．已知，则下列判断错误的是（ ） A. 与的周长比为 B. 与四边形的面积比为 C. 若连接，则与不相似 D. 若题中条件“”改为“点E为边的黄金分割点，”，则 7. “直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在等腰中，，过点作，且，于点，连接，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若，则的值为 ________． 12. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为____． 13. 如图，双曲线 经过斜边上的点，且满足，与交于点，的面积为，则 ____． 14. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为____________； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段a，b满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 16. 如图，在中，，于D， （1）求证：； （2）若，，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 4 14 28 … （1）请直接写出该抛物线的顶点； （2）请求出该抛物线的解析式； （3）当时，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）求证：无论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点； （2）若函数图象不经过第三象限，则m的取值范围为______． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， （1）若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； （2）求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接，求面积． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 h 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上；根据上述数据，直接写出h的值为____________，直接写出满足的函数关系式：____________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记她平时训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____________（填，，）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成？ 22. 如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥西苑中学2024-2025学年度第一学期九年级期中 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．该函数是二次函数，故此选项符合题意； C．若，则该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝﹣2 C. 顶点坐标是（2，1） D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断． 【详解】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）， 当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，整理得：，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 3. 在平面直角坐标系中，点(－3，2)，(－1，)，(2，)都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. y1<2<y2 B. y1>2>y2 C. y1<y2<0 D. y1>y2>0 【答案】B 【解析】 【分析】根据点（-3，2）在反比例函数的图象上，求得k=-6＜0，即可得到反比例函数的图象在二、四象限，根据图象上点的坐标特征即可判断y1与y2的大小． 【详解】解：∵点（-3，2）在反比例函数的图象上， ∴k=-3×2=-6， ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限y随x的增大而增大， ∵点（-3，2），（-1，y1），（2，y2）都在反比例函数的图象上， ∴点（-3，2），（-1，y1）在第二象限，点（2，y2）在第四象限， ∴y1＞2＞y2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，在每个象限内，y随x的增大而增大． 4. 如图，直线，直线a，b与直线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，， 则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 抛物线平移得到抛物线平移得到，平移方法是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移3个单位，再向上平移5个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移14个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移14个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移．熟练掌握函数平移规律，是解决问题的关键． 把化为顶点式，根据平移规律“左减右加，下减上加”即得． 【详解】∵平移后的抛物线为， ∴抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移14个单位长度得到抛物线． 故选：C． 6. 如图，平行四边形中，E为上一点，交于点F．已知，则下列判断错误的是（ ） A. 与的周长比为 B. 与四边形的面积比为 C. 若连接，则与不相似 D. 若题中条件“”改为“点E为边的黄金分割点，”，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而利用相似三角形的性质即可判断A；然后利用相似三角形的性可得，从而可得的面积：的面积，再设的面积为，则的面积为，从而可得的面积，进而可得的面积，再利用平行四边形的性质可得，，从而利用证明，进而可得的面积的面积，再利用面积的和差关系可得四边形的面积，从而可得的面积：四边形的面积比，即可判断B；再根据相似三角形的性质可得，从而可得和不一定相似，即可判断C；最后根据黄金分割的定义可得，从而可得，再利用相似三角形的性质可得，从而进行计算即可判断D，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的周长比为；与的面积比为；故A不符合题意； ∵， ∴， ∴的面积：的面积， 设的面积为，则的面积为， ∴的面积， ∴的面积的面积的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴的面积：四边形的面积比，故B不符合题意； 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴和不一定相似，故C符合题意； ∵点E为边的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，黄金分割以及全等三角形的判定与性质等知识 ，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质是解题的关键． 7. “直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清“每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量”是解题的关键． 【详解】解：解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：， 故选C． 8. 如图，已知在等腰中，，过点作，且，于点，连接，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】在线段上取点，使，连接．由平行线的性质得，，进而证明，得，，从而证是等腰直角三角形，利用勾股定理得，代入即可得解． 【详解】解：在线段上取点，使，连接． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故应选∶． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理及比例，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形形． 9. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数图象的综合，函数图像与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限． 先判断出一次函数图象与二次函数的对称轴交于轴同一点，再进行逐一分析，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可求解． 【详解】解：二次函数对称轴为：直线， 令，则， 解得， ∴一次函数图象与二次函数的对称轴交于轴同一点， A．∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； B．∵二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限， 但一次函数图象不与二次函数的对称轴交于轴同一点，故本选项不符合题意； C．∵二次函数开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限， 且一次函数图象与二次函数的对称轴交于轴同一点，故本选项符合题意； D．∵二次函数开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键． 【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示： ， ∵，E为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若，则的值为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 12. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 13. 如图，双曲线 经过斜边上的点，且满足，与交于点，的面积为，则 ____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】过A作AE⊥x轴于点E，可得△AOE∽△BOC，根据相似三角形的性质得出，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得，求出，再根据得出方程，求出k的值即可． 【详解】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO＝∠BCO＝90°， ∵， ∴， ∵∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE∽△BOC， ∴， ∵点A，D分别在双曲线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，能灵活运用相似三角形的性质得出三角形面积之间的关系是解此题的关键． 14. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为____________； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）根据待定系数法即可求解； （2）分情况讨论，即可求解； 【详解】解：（1）将代入，得，即①， 将代入，得，即②， 联立两个式子，解得：， ， 当时，， ， 故答案为： （2）将，代入，得， 解得：， ， ， 时，有最小值， 当时，函数的最大者与最小值的差和函数的最大值与最小值之差相等， 当时，当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为 故 解得：（舍去）或 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， ， 解得：或（舍去） 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， 故，即， 故不满足题意， 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， 即，不符合题意 综上所述，的值为或， 故答案为：或 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段a，b满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例中项，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）设，得到，根据，求出的值，即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵线段x是线段b，c的比例中项， ∴，且， ∴． 16. 如图，在中，，于D， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质证明即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，； ∴； ∴； ∴； 解得：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 4 14 28 … （1）请直接写出该抛物线的顶点； （2）请求出该抛物线的解析式； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）根据抛物线的对称性，观察自变量量和函数值的部分对应值即可确定抛物线的顶点坐标； （2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）求出当和 时，的对应值，结合抛物线的性质即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，由自变量和函数值的对应值可以确定抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 由图表得，，；，；，， 代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 当时，；当时，， 又当时，得最小值为， 得取值范围为：． 18. 已知函数． （1）求证：无论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点； （2）若函数图象不经过第三象限，则m的取值范围为______． 【答案】（1） 证明：由题意得：， ∵， ∴， ∴无论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据可进行求解； （2）由（1）可知二次函数的图象与x轴始终有2个不同的交点，且该图象不经过第三象限，然后可列不等式组进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：二次函数的图象与x轴始终有2个不同的交点，且该图象不经过第三象限， ∴， 解得：； 故答案为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， （1）若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； （2）求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【答案】（1）， （2），最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，二次函数的应用； （1）设，根据得出，，进而得出，根据窗框的周长为得出，进而求得的取值范围； （2）根据题意列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设， ∵ ∴， ∵ 则，即 ∴ ∴， ∵窗框的周长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 【小问2详解】 解：依题意， ∴当时，取得最大值 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接，求面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 【小问3详解】 连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 h 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上；根据上述数据，直接写出h的值为____________，直接写出满足的函数关系式：____________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记她平时训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____________（填，，）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成？ 【答案】（1）3.5， （2）< （3）她当天的比赛能成功完成 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，即可． （2）分别求出两个解析式，当时，的值，进行比较即可． （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，图象过点， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：3.5，． 【小问2详解】 解：∵， 当时：， 解得：或 (不合题意，舍去)； ． ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：<． 【小问3详解】 解：， ， ， ， 当时， 即她在水面上能够完成此动作， ∴她当天的比赛能成功完成此动作． 【点晴】本题考查二次函数的实际应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． 22. 如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求． 【答案】（1） 证明：， ， ， 是的平分线， ， ； （2） 解：取中点G，连接， 是边上的中线，即点E为的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质； （1）根据等边对等角得到，进而得到，由是的平分线，得到，即可证明； （2）取中点G，连接，利用三角形中位线的性质，易证，得到，进而得到，即可证明； （3）同理（2）取中点G，连接，证明，根据可得，根据得出，进而得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（2）中图，可知， ， ， 点是的中点，点E为的中点， ， ∵，，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由如下： ， ∴对称轴为 ， ， ∴抛物线开口向上， 又∵点P在第一象限， ∴， ∴当点 P 在对称轴左侧时， S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于； 当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于； ∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可； ②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴点， 把代入得：，解得： ∴点， 又∵点， ∴可设此抛物线的解析式为， 把点A代入可得:， 解得： ∴， 即：此抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为． ①在和中，， ∴， ∴， ∴， 由点D的坐标为得：， ∴； ②略 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $