精品解析：四川宜宾三江新区第一高级中学校2026-2027学年高二上学期第一学月考数学试卷

三江一中2026年秋期高2025级第一学月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量与共线， 则，解得． 2. 已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由向量加法得， 所以. 3. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 【答案】C 【解析】 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 4. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 6. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 7. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 8. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，满足，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数量积、模、平行、垂直的坐标逐一运算. 【详解】由题意得，，故A错误； ，则，故B错误； 因为，所以，得，故C正确； 由题意得，，则，得，故D正确. 故选：CD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点为线段中点时，平面平面 D. 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项即可，A选项，计算向量与平面法向量的数量积；B选项，判断直线是否平行于平面；C选项，求出平面的法向量，验证两平面法向量是否垂直；D选项，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得， 因为分别是的中点，所以. 设是线段上的动点，， 设，其中，则. 设平面的法向量为，， 由，取，可得. 对于A：因为，又， 所以与平面的法向量不垂直，即与平面相交， 不存在点，使得平面，故A错误； 对于B：因为，又，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：当为线段中点时，此时， 设平面的法向量为， 由，取，可得， 因为，所以， 即平面平面，故C正确； 对于D：点与重合时，， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共77分. 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以，即，所以，解得. 【小问2详解】 由题可知，则，， 又，所以， 所以，解得. 16. 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. （1）用表示； （2）求的值. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 17. 如图，正三棱柱中，为中点. （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且，求点F到平面的距离. 【答案】（1）连接交于，连接， 为中点，为中点， ， 而平面，平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线找到线线平行，依据线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量点到面的距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点，由正三棱柱得，则平面. 为等边三角形，为的中点， . 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 即 令 ∴平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三江一中2026年秋期高2025级第一学月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 4. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 7. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 8. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，满足，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点为线段中点时，平面平面 D. 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共77分. 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. （1）用表示； （2）求的值. 17. 如图，正三棱柱中，为中点. （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且，求点F到平面的距离. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $