精品解析：四川省广安友谊中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

广安友谊中学高2025级10月月考 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分150分 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，若，则实数m为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的充要条件，即两向量的数量积为0，列方程求解参数即可； 【详解】因为，所以，即，解得； 2. 在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】由题意可知，即，则， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 故. 故选：D. 3. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B. C. 事件A与B相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出各事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式及事件关系、独立性的定义逐一判断即可. 【详解】由题意可知，样本空间， 事件“得到的点数为偶数”，则，； 事件“得到的点数大于4”，则，； 事件“得到的点数为3的倍数”，则，， 对于A，，故事件B与C不互斥；， 故A与C不相互对立，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，则，因为， 所以，故事件与相互独立，故C正确； 对于D，，则，而， 所以，故D错误. 4. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 5. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求平面的法向量；先证明平面，再将直线到平面的距离转化为直线上一点到平面的距离，用向量距离公式求解即可. 【详解】根据题意，，，两两垂直，则以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为. 因为，所以，又平面，所以平面. 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，即. 6. 将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，第一次点数记为，第二次点数记为.则满足方程有实数根且的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于一元二次方程，其判别式， 因为方程有实数根，所以，即，即， 骰子点数取值为，且均为正整数， 因为，所以， 当时，，要求，无符合条件的值， 当时，，要求，符合条件的有，共2种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共3种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共 2 种， 当时，，骰子，要求，符合条件的有，共 1 种， 当时，要求，骰子无对应点数，无符合条件的值， 满足条件的总组合数为种， 则总基本事件数为种， 则满足方程有实数根且的概率为. 7. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 设上底面圆心为，下底面圆心为，连接 以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则 则 又异面直线所成角的范围为 故异面直线与所成角的余弦值为 故选：A 8. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解． 【详解】   点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 所以的最小值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机事件，的对立事件分别为，，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件及概率加法公式对选项逐一分析即可. 【详解】若，为互斥事件，则故A正确， 若，为互斥事件，则,所以，故B错误. 若事件与事件相互独立，则,故C正确 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，所以，故D错误. 10. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的运算得到，根据题意即可判断A；根据，可得到可判断B；通过举反例可判断C；证明点均在平面内可判断D. 【详解】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确； 对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行， 故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误； 对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，P是侧面上一点，则（　　） A. 存在点P，使 B. 若，则动点P的轨迹长度为 C. 当P在线段上时，直线与平面平行 D. 当P在线段上时，直线与平面所成角最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，逐个分析各选项.选项A：求出，的坐标，由，计算出时P的坐标，判断是否在正方体侧面上即可；选项B：把的坐标代入空间向量的模长公式，得出关于x、z的二次方程，得出P的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆，计算出弧长判定即可；选项C ：证明出平面平面，则平面中的任意一条直线皆平行于平面，因为平面，所以直线平面；选项D：求出平面的一个法向量，直线与平面所成角为时，或，此时，进而可求解. 【详解】 以D为原点，以、、的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由棱长为2可得 ，，，， ，，，， P是平面上一点，则P在y轴的坐标为2，设P在x轴、z轴的坐标分别为x，z，则有，. A选项：，，， 则，可知P在线段上，所以A是真命题. B选项：，， 则，，可知P的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆， 弧长为，所以B为真命题. C选项： 如图，在平面与平面中，因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，，所以平面平面. 因为，所以平面，又因为平面，所以直线平面， 因为平面平面，所以直线平面，所以C是真命题. D选项：若P在线段上，则P坐标为，， ，，设为平面的一个法向量，则有，解得，设，得， . ， 的最小值为，所以的最大值为， 设直线与平面所成角为， 即，又， 所以，所以D为假命题. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中关于平面的对称点为_______. 【答案】 【解析】 【详解】关于坐标平面对称的两点,横、纵坐标不变,竖坐标互为相反数, 即点关于平面的对称点为. 所以点关于平面的对称点为. 13. 如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析电流通过的路径情况，再利用独立事件概率公式分别计算各路径概率，最后求和得到总概率. 【详解】串联，只有两者都通过电流时，该支路才能导通， ， 并联部分导通的条件是串联支路导通或导通（至少一个导通）， 先计算该并联部分不导通的概率：， 因此，并联部分导通的概率为：， 整个电路导通的条件是并联部分导通且导通，， 最终，电流能在之间通过的概率是. 故答案为：. 14. 已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作面， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 而，由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 代入可得，解得（负根舍去）， 得到，则， 因为，所以， 设，则，可得，解得， 而，可得， 则，而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 因为平面，所以， 得到，化简得， 此时变为， 则，由模长公式得， 令，由二次函数性质得在处取得最小值， 而，则. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 广安市某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，） （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出年龄在内的频率，即可求对应人数；再利用所有矩形面积之和为列方程求. （2）先根据分层抽样确定两组抽取人数，再利用对立事件求概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得年龄在内的频率为， 则选取的市民年龄在内的人数为， 又，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得年龄在内的频率为， 则选取的市民年龄在内的人数为， 年龄在内的频率为，则选取的市民年龄在内的人数为，所以第，组的人数比为. 因此从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，其中从第组选人，分别记为、、，从第组选人，分别记为、. 再从这名市民中选取人的样本点有、、、、、、、、、，共个， 人都来自第组的样本点有、、，共个. 因此作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率为. 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为PD，BC的中点． （1）求证：平面平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为 平面 ，且 平面 ，所以， 又底面 是正方形，因此， 由于 ，且 平面 ，所以平面 又 平面 ，因此平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 17. 甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. （1）求甲在本次挑战赛中获胜的概率； （2）求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【小问1详解】 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. 【小问2详解】 记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 18. 如图，在三棱锥中，与均是边长为的等边三角形，平面平面是棱上的动点. （1）证明：； （2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）取中点, 连接、， 、为边长的等边三角形, , , , 且， 由, , , 得, 故为定长， 平面平面, 交线为, 平面且, 平面, 故， 由, , 得, , , ， 在中, , , , 由勾股定理逆定理得, 即. （2） 【解析】 【分析】（1）通过取中点构造辅助线，利用面面垂直的性质证明线面垂直，结合勾股定理逆定理完成垂直关系的证明； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值确定动点的位置，再通过点到平面的距离公式求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系： ，，，，设在上，， 故设，. 平面的法向量为，，， 设平面的法向量为， 则得，取，， 故. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 故两边平方得， 整理得，即， 解得（舍去），故. ，，平面的法向量， ，点到平面的距离： . 【点睛】 19. 如图甲所示，是梯形的高，，，，先将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由; （2）点是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）存在点，使得平面，此时,详见解析（2） 【解析】 【分析】（1）过作交于，作交于，连接，易得平面，平面，从而得到平面平面，所以得到平面，而此时根据几何关系可以得到；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，，表示出与所成角为的余弦值，并求出最小时的值，从而得到各点坐标，再求出平面和平面的法向量，根据两个法向量之间的夹角公式，求得答案. 【详解】解:（1）存在点，使得平面，此时，理由如下: 依题，，，， 即， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以，所以， 过作交于，作交于，连接， 因为，， 所以， 所以， 而，所以有 ，平面，平面， 所以平面 ，平面，平面， 所以平面 平面，， 所以平面平面， 而平面 所以平面. 故存在点，使得平面，此时 （2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设， 即，所以， ， 设直线与所成角为 则 令，则， 令，则，， 当时，取最大值， 此时直线与所成的角最小.此时. 所以，又因为，， 所以，， 设平面法向量分别为 则，即 取得平面的法向量为， 设平面法向量为 则，即 取得平面法向量为 所以， 由图可知，二面角为钝二面角，则其余弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定和性质，利用空间向量表示线线角和面面角，对计算的要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友谊中学高2025级10月月考 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分150分 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，若，则实数m为（ ） A. B. C. D. 2. 在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B. C. 事件A与B相互独立 D. 4. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 7 5. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A. B. C. D. 6. 将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，第一次点数记为，第二次点数记为.则满足方程有实数根且的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机事件，的对立事件分别为，，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件相互独立，则 10. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线 11. 如图，在棱长为2的正方体中，P是侧面上一点，则（　　） A. 存在点P，使 B. 若，则动点P的轨迹长度为 C. 当P在线段上时，直线与平面平行 D. 当P在线段上时，直线与平面所成角最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中关于平面的对称点为_______. 13. 如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________. 14. 已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 广安市某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，） （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为PD，BC的中点． （1）求证：平面平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. （1）求甲在本次挑战赛中获胜的概率； （2）求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 18. 如图，在三棱锥中，与均是边长为的等边三角形，平面平面是棱上的动点. （1）证明：； （2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 19. 如图甲所示，是梯形的高，，，，先将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由; （2）点是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $