期中考试模拟提升卷（第25-28章）2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026-2027学年人教版九年级上册数学期中考试模拟提升卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B选项、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； C选项、它不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是，即． 3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B．7 C． D．14 【答案】C 【详解】解：把代入方程， 得， 即， 解得. 4．下列函数中，是反比例函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．是一次函数，不是反比例函数． B．符合反比例函数形式． C．，无自变量，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数． D．由得，是正比例函数，不是反比例函数． 5．人工智能应用加速普及．某应用上线后用户数持续增长：月底用户为万人，到月底达到万人．设月平均增长率为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确3月底到5月底共经历2次月增长，以此为基础列方程． 【详解】解：∵3月底用户为100万人，月平均增长率为， ∴4月底用户数为万人， ∴5月底用户数为万人， ∵5月底用户为144万人， ∴可列方程． 6．石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得到方程求解，进而得到水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，解得：， 故水面的宽度为米． 7．若，则的值为（     ） A．或2 B．或4 C．或3 D．3或 【答案】A 【分析】将看作整体，换元后解一元二次方程． 【详解】解：设， 则原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得或， 即的值为或． 8．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数的值符号确定图象所在象限与增减性，结合横坐标范围分象限比较值大小. 【详解】解：反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ， 点、在第二象限，点在第四象限． ，，． ， ， ． 9．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点．给出以下结论：；；抛物线与轴的另一个交点在与之间；，，其中正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断；把代入，求得的值，即可判断；由抛物线的对称性即可判断；根据图象即可判断；由整理得到 即可判断⑤； 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是直线， ∴， ，故①正确； 直线经过点，点在点的右侧， ， ，故正确； 抛物线的对称轴是直线，且与轴交点在点的右侧， 与轴另一个交点在点的左侧，故错误； 由图象可知，当时，， ， ， 解得：， ，故正确； ，，， ，故正确， 故正确的结论有①②④⑤，共4个． 10．如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，点的对应点为，点的对应点为，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在中，，，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， 在中，， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 二、填空题（共18分） 11．已知关于的方程的一个根是，则实数________． 【答案】 【分析】将已知的方程根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程后等式成立， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ． 12．用公式法解方程时，得，则“”处应填_________． 【答案】 【详解】解：原方程化为一般形式为， ， ，     ， ∴“”处应填． 13．正比例函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象有一个交点的纵坐标为2，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用交点同时在两个函数图象上的性质，先结合已知的交点纵坐标，通过正比例函数解析式求出交点横坐标，得到完整交点坐标，再代入反比例函数解析式计算k值 【详解】解：∵两函数图象的交点在正比例函数上，且该交点的纵坐标为． ∴将代入，得． 解得． ∴该交点的坐标为． ∵该交点同时在反比例函数的图象上． ∴将代入，得． 解得． 14．已知抛物线的图象经过三点，则该抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式和抛物线的顶点坐标．利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的图象经过三点， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标是． 15．如图，某小区有一块绿地为等腰直角三角形，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上．若，则当的长为________时，矩形的面积最大． 【答案】 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可用表示出，再利用矩形的面积公式可得关于的二次函数关系式，问题随之得解． 【详解】解：∵等腰直角，矩形， ∴结合图形有，，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 即当时，． 16．如图，，绕点B顺时针旋转，得到，连接，若，则______． 【答案】 【分析】解：作，，结合旋转证明，则，设，根据三线合一得到，即．由，得到，根据勾股定理得到，最后代入计算即可． 【详解】解：作，，则， ∵绕点B顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设 ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得． 18．已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)（或）时，随的增大而减小 【分析】本题考查了解析式的顶点式，对称轴，增减性．熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）化成顶点式后确定对称轴即可； （2）根据抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）， 该抛物线的顶点坐标． （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线， （或）时，随的增大而减小． 19．一次函数图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求出这个一次函数关系式； (2)根据函数图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用反比例函数求出点的坐标，再代入一次函数求解解析式，结合图象分析函数值的大小关系． （1）先将点A、代入反比例函数求出其坐标，再将坐标代入一次函数解析式，求解和的值； （2）画出一次函数和反比例函数的图象，根据图象交点的横坐标，分析一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1） 解：点在反比例函数的图象上， 对于点，即； 对于点，解得，即． 将和代入一次函数，可得方程组： 解得，， 一次函数关系式为； （2）解：由（1）知，一次函数与反比例函数的交点为和， 画出两个函数的图象，观察可得： 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即一次函数值小于反比例函数值， 的取值范围是或． 20．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.45 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m． (1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为已知点在抛物线上，且，所以将，和代入关系式即可求解，得到与的关系式． （2）首先利用点代入关系式，得到用h表示的表达式，确定抛物线含参数h的解析式．因为球要越过球网，所以当时，对应的值大于，据此列关于h的不等式．因为球不出边界，所以当时，对应的值小于等于，据此列关于h的不等式．联立两个不等式求解，即可得到h的取值范围． 【详解】（1）解：，球从O点正上方2 m的A处发出， ∴抛物线过点， ． 解得：， 故y与x的关系式为：． （2）解：∵抛物线过点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴此时二次函数解析式为：， ∵球越过球网， ∴当时，， ∴， 解得； 又∵球不出边界， ∴当时，， ∴， 解得． 综上：． 21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个． (1)若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔； (2)为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先算出每降价元多卖的头盔数量，再用原有销量加上增加的销量，得到对应销量和表达式； （2）设降价元，表示出单件利润和销量，列利润方程求解，再根据库存上限舍去不合题意的解，算出最终售价． 【详解】（1）解：已知售价每下降元，其月销售量就增加个， 则售价每下降元，其月销售量就增加个， 可知售价每下降元，每月能售出个头盔， 故售价下降元，每月能售出个头盔． （2）解：设每个头盔降价元， 降价以后每个头盔的利润为元， 降价后头盔的销售量为个， 根据题意可得，即， 解得，， 已知库存为个头盔， 可得， 解得， 则， 故每个头盔的售价为元． 22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另外一个根的两倍，则称这样的方程为“倍根方程”．请根据倍根方程的定义，完成下列问题． (1)请写出一个关于的一元二次“倍根方程”， （方程用一般形式表达）． (2)若关于的一元二次方程(为常数)是“倍根方程”，探讨满足的数量关系．（要求：给出结论，并写出所得结论的推理过程）． 【答案】(1)； (2)，推理过程： 由求根公式，得方程的根为 若，则， 整理得， 两边平方得， 即； 若，则， 整理得， 两边平方得， 即； 综上，若关于x的一元二次方程(为常数)是“倍根方程”，则． 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义写出一个即可； （2）先根据求根公式写出方程的两个根，然后根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设方程的一个根为2，另一个根为1， 则该方程为，化为一般式为， ∴关于的“倍根方程”为（答案不唯一）； （2）略 23．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）连接，，先求出点C的坐标，再根据求解即可； （3）根据一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，反比例函数的图像经过一、三象限，由图象直接求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． （2）解：连接，， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴令得：， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，反比例函数的图像经过一、三象限， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 24．如图，在等腰三角形中，，，点是边上一动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)点在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； (3)如图，点在上，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，再利用旋转的性质证明，得到，即可求解； （）如图，过点作于，则，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，，，再分两种情况解答即可求解； （）如图，过点作于，连接并延长至点，可得，，得到的周长，又由（）知，得到点在射线上运动，延长至，交射线于点，使得，连接交于点，连接，可证点关于射线对称，即得，即得到，根据两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段的长，利用直角三角形的性质及线段的和差关系得，过点作于 点，利用勾股定理得，可知此时点和点重合，即，再利用勾股定理求出线段的长即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若是直角三角形，分以下两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的长为或； （3）解：如图，过点作于，连接并延长至点， 由（）可知，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴的周长， 又由（）知， ∴点在射线上运动， 延长至，交射线于点，使得，连接交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点关于射线对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于 点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴此时点和点重合，即， ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值． 25．阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令，，，，； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、（） 则关于的一元二次不等式的解集为：或 则关于的一元二次不等式的解集为：； 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于的二次三项式为，则此代数式的最小值为__________． (2)若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值． (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)或 【分析】（1）令，按照材料1的思路解答即可； （2）令，按照材料1的思路求出y的取值范围，二次三项式（为常数）的最小值为，列等式即可求出； （3）先确定代数式恒有意义，令，，根据代数值的取值范围，确定当时，x的值恒有意义，整理出关于x的一元二次方程，根据方程有实数根，利用方程的判别式得出关于y的一元二次不等式，结合材料2中的方法，即可求解． 【详解】（1）解：令， ， ， ， 则此代数式的最小值为； （2）解：令， ， ， ， ∵关于的二次三项式（为常数）的最小值为， ∴， 解得：， 即的值为或； （3）解：∵， ∴恒有意义， 令，且， 当时，有：， ∵， ∴， ∴恒有意义， 整理得：， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 整理得：， ∵， ∴关于y的一元二次方程有两个根分别为和4， ∴根据根与系数的关系有：， 解得：，或者． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级上册数学期中考试模拟提升卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B．7 C． D．14 4．下列函数中，是反比例函数的是（） A． B． C． D． 5．人工智能应用加速普及．某应用上线后用户数持续增长：月底用户为万人，到月底达到万人．设月平均增长率为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 6．石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（     ）. A． B． C． D． 7．若，则的值为（     ） A．或2 B．或4 C．或3 D．3或 8．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点．给出以下结论：；；抛物线与轴的另一个交点在与之间；，，其中正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，点的对应点为，点的对应点为，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．已知关于的方程的一个根是，则实数________． 12．用公式法解方程时，得，则“”处应填_________． 13．正比例函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象有一个交点的纵坐标为2，则的值为__________． 14．已知抛物线的图象经过三点，则该抛物线的顶点坐标是______． 15．如图，某小区有一块绿地为等腰直角三角形，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上．若，则当的长为________时，矩形的面积最大． 16．如图，，绕点B顺时针旋转，得到，连接，若，则______． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程 (1) (2) 18．已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 19．一次函数图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求出这个一次函数关系式； (2)根据函数图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值的的取值范围． 20．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.45 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m． (1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个． (1)若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔； (2)为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价． 22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另外一个根的两倍，则称这样的方程为“倍根方程”．请根据倍根方程的定义，完成下列问题． (1)请写出一个关于的一元二次“倍根方程”， （方程用一般形式表达）． (2)若关于的一元二次方程(为常数)是“倍根方程”，探讨满足的数量关系．（要求：给出结论，并写出所得结论的推理过程）． 23．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 24．如图，在等腰三角形中，，，点是边上一动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)点在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； (3)如图，点在上，，求周长的最小值． 25．阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令，，，，； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、（） 则关于的一元二次不等式的解集为：或 则关于的一元二次不等式的解集为：； 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于的二次三项式为，则此代数式的最小值为__________． (2)若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值． (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 学科网（北京）股份有限公司 $