期中自编综合验收卷2026-2027学年沪科版九年级数学上册（测试范围：第21～22章）

2026-2027学年九年级数学上册期中综合验收卷 （测试范围：第21～22章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数，先化简各选项函数，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合． B选项：，是二次函数，符合． C选项：，是一次函数，不符合． D选项：的右边含分式，不是整式函数，不符合． 2．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 3．如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 【答案】C 【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 观察四个选项，只有选项C符合题意． 4．一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同列出关于的比例式，最终解得的值． 【详解】解：由题意得，，解得或（舍去）． 故选：B． 5．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，确定对称轴与顶点坐标，结合开口方向和给定的取值区间，分别计算顶点和区间端点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：将二次函数配方得， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵ 在范围内， ∴ 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 6．如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意有：， A项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； B项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； C项，，无，无法利用两边成比例且夹角相等来判定与相似，故此项符合题意； D项，，结合，利用两边成比例且夹角相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； 故选：C． 7．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 8．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（     ） A．16 B．32 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义可得，，进而根据同底等高可求出，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，过原点的直线与双曲线的两个交点A、B关于原点对称， ∴， ∵双曲线在第一、三象限， ∴， ∵双曲线为， ∴， ∵，和以、为底时，底相等，且高都是点C到直线的距离（同高）， ∴， ∴的面积为， ∴， ∵， ∴． 9．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 10．二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的开口方向由的符号决定，函数过原点，对称轴为；反比例函数比例系数是，位于第一、第三象限，位于第二、第四象限，结合两个函数特征逐项分析即可． 【详解】解：选项，抛物线开口向上，，反比例函数位于第二、第四象限，说明，即，二者矛盾，故选项错误； 选项，抛物线开口向下，，反比例函数位于第二、第四象限，说明，即，当时，二次函数的对称轴，应在轴右侧，图中抛物线在轴左侧，故选项错误； 选项，抛物线开口向上，，反比例函数位于第一、第三象限，说明，即，当时，二次函数的对称轴，在轴左侧，图中所表示函数图象符合所有条件，故选项正确； 选项，抛物线开口向下，，反比例函数位于第一、第三象限，说明，即，二者矛盾，故选项错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 【答案】 【分析】先利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，再代入点的横坐标计算的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴将，代入，得． 12．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为． 13．若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式，得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴将，代入抛物线解析式，得， ∴， ∴． 14．如图，已知，若，，，则的长为_________． 【答案】 4 【分析】过点作交于点，交于点，利用平行四边形性质和相似三角形性质求解． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，， 四边形和四边形均为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点A，的坐标分别为，， ，， 五边形，的相似比为：， ， ． 16．如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形的面积是，则点B的横坐标为_________． 【答案】 【分析】先求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵经过原点O， ∴设直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∵反比例函数经过点C， ∴设，且， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点B的纵坐标为， ∵的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点B的横坐标为. 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：由得，该抛物线的对称轴为， ， ∴当时，随的增大而减小， ∴x的取值范围为． 18．如图，，，． (1)填空：的值为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平行线分线段成比例，直接写出对应线段的比值； （2）根据比值设参数，得出，再结合列关系求出． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：据（1）可知，， 设，， 可得， 则． 19．已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)该抛物线的顶点坐标为 【分析】（1）把时，函数值是4；当时，函数值是分别代入列出方程组，解出即可得二次函数的表达式． （2）把（1）的二次函数表达式配方后得，即可得抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）解：根据（1）得：二次函数的表达式为， 配方得， ∴该抛物线的顶点坐标为． 20．如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 【答案】(1)10 (2)50 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）由（1）可知相似比为，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此列比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：∵，， ∴的相似比为， ∴，即， 解得：， ∴的面积为50． 21．为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 【答案】古树的高度为米． 【分析】设古树的高度为米，根据树顶的仰角为得出，进而得出，由光线的反射原理得出，即可证明，得出，即，解方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：设古树的高度为米， ∵树顶的仰角为，， ∴，是等腰直角三角形， ∴米， ∵米，米，米， ∴米， 由光线的反射原理可知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴古树的高度为米． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）把、两点代入一次函数求出坐标，再代入求反比例解析式； （2）求出直线与轴交点，将转化成求面积； （3）根据函数图象，在部分找反比例在一次函数上方对应的范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 则点的坐标为， 把代入，得，解得， 则点的坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图，设直线交轴于点， 当时，， 则的坐标为，即， 据（1）可知点的坐标为，点的坐标为， 故． （3）解：，即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点的坐标为， 故当时，的解集为． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出点坐标； (2)根据图象，当时，直接写出时的取值范围； (3)过线段上的动点，作x轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，，点 (2)或 (3) 【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数，求出，，再联立两个函数解析式解方程，得到另一交点． （2）不等式就是，结合交点、和的图像，读出的取值范围是或． （3）设点横坐标为，得到、，表示出和，代入列方程求解，得到． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， 解得：． ， 解得：． 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 由 解得，． ． （2）解：， ， ， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． （3）解：设， 轴， ，， ， ， 解得：， ． 24．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先令求得点C的坐标，再令求得点A和点B的坐标，然后求得的面积； （2）先由轴求得点D的坐标得到线段的长度，然后结合得证，再利用相似三角形的性质得到的面积； （3）过点D作轴交于点F，过点E作于点H，然后由可知的度数不变，由轴可知的度数不变，从而知道在点D的移动过程中的形状保持不变，即有当最大时，的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出的长度，得到取最大值时的点D的坐标，即可得到直线的解析式，最后联立直线的解析式和直线的解析式求得点E的坐标，进而得到长的最大值． 【详解】（1）解：当时，， ∴，则， 当时，由解得：或， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点D作轴交于点F，过点E作于点H， ∵，， ∴，，则， ∴的度数不变，的度数不变， ∴在点D的移动过程中的形状保持不变， ∴当最大时，的长度也最大， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标，则点F的坐标， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，此时，点D的坐标为， ∴直线是由直线向右平移3个单位所得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得，解得：， ∴点E的坐标为， ∴的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上册期中综合验收卷 （测试范围：第21～22章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 3．如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 4．一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（     ） A．16 B．32 C．8 D．4 9．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 10．二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 12．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 13．若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 14．如图，已知，若，，，则的长为_________． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 16．如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形的面积是，则点B的横坐标为_________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 18．如图，，，． (1)填空：的值为______； (2)若，求的长． 19．已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)求该抛物线的顶点坐标． 20．如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 21．为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出点坐标； (2)根据图象，当时，直接写出时的取值范围； (3)过线段上的动点，作x轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 24．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $