二次函数中的四边形存在性问题专题复习讲义2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数中的四边形存在性问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 先分清已知线段是边还是对角线，再利用图形性质确定点的位置。把坐标代入抛物线后，还要检查四个点是否不同、是否能按题目顺序组成所求四边形。 已知条件 先确定什么 再用什么求点 指定四边形的顶点顺序 哪两条线段是对角线 中点坐标与抛物线表达式 未指定平行四边形顶点顺序 三种对角线配对 分别求点并排除重合、共线 矩形 固定的是边还是对角线 直角或等长对角线 菱形 邻边或对角线关系 等邻边或垂直平分 正方形 已知线段为边还是对角线 两侧分类与全等直角三角形 同高的两个抛物线动点 对称轴与点的位置范围 宽、高、周长或对角线条件 内容目录 一、顶点顺序确定的平行四边形 2 二、未指定顶点顺序的平行四边形 4 三、两个动点的平行四边形 7 四、矩形的边与对角线 9 五、菱形的邻边与对角线 12 六、已知一条边的正方形 15 七、已知对角线与未指定点序的正方形 18 八、利用对称性求活动矩形与正方形 21 A 基础通关 23 B 难点突破 27 C 综合进阶 31 D 中考真题精选 35 一、顶点顺序确定的平行四边形 【先认对角线】“四边形”按的顺序依次连接，和是对角线。平行四边形的对角线互相平分，因此两条对角线的中点相同。 不能把一条边与一条对角线配成一组。 【坐标关系】若则这是分别比较中点的横、纵坐标。先用点在坐标轴或直线上的条件求一个坐标，再代入抛物线，通常比计算四条边长简便。 【最后检查】中点相同是重要条件，但有两个点重合，或者四点都在同一直线上时，不能组成四边形。若算出活动点恰好等于已知顶点，应删去这一结果。 如：平行四边形的第四个顶点为两条对角线的中点都是 例1、点在抛物线上，点在轴上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 【解析】设由与中点相同，得 所以四点互不相同，竖直而不竖直；两对角线互相平分，因此所求四边形成立。 变式1-1、点在抛物线上，点在直线上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 【解析】设由两条对角线中点相同，得 代入直线得即解得 所以或 两组四点互不相同。若在直线上，则代入的表达式得到与两根均不符。因此两组都不共线；结合对角线互相平分，两组均成立。 变式1-2、四边形是平行四边形。若点在抛物线上，则的值为（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】正确选项为由与中点相同，得代入得 变式1-3、点在抛物线上，点在直线上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 【解析】设由对角线互相平分，得 点在给定直线上，所以即时点与点重合，不能组成四边形；时， 这四点互不相同且不共线，两对角线互相平分，所以所求坐标为 二、未指定顶点顺序的平行四边形 【三种补点】“以为顶点的平行四边形”没有规定连接顺序。已知三个不共线的点时，可以分别令与与与为对角线，求出三个第四顶点。三种情形应画成三幅小图，不把交叉线当作四边形的边。 【先求点，再筛选】固定三点时，三个候选点的位置已经确定。分别代入抛物线，符合表达式的点才能保留；若抛物线含参数，就分别得到参数条件。题目限定第一象限、线段内等位置时，还要同时检查。 【数量与参数】不同候选点可能对应同一个参数，因此“有几个点”和“有几个参数值”不是同一件事。要按题目所求统计，不重复计数。 如：三个候选点分别为若明确四边形的顺序，则只取 例2、点在抛物线上。求使以为顶点的四边形成为平行四边形的所有点的坐标。 【解析】分别以与与与为对角线，由中点相同得到 代入后两点符合，第一点不符合。因此或已知三点不共线，每个保留点均可与它们组成平行四边形。 变式2-1、点在抛物线上。若符合“以为顶点的四边形为平行四边形”的点恰有两个，求的值及这两个点的坐标。 【解析】三种对角线配对给出前一点在抛物线上要求后两点在抛物线上均要求 因此恰有两个点时对应 变式2-2、点在抛物线上，以为顶点可以组成的不同平行四边形共有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】正确选项为三种对角线配对给出三点均在抛物线上，且得到三个不同的平行四边形。 变式2-3、点在第一象限内的抛物线上。若以为顶点的四边形是平行四边形，则____。 【解析】三个候选点为只有在第一象限。代入得所以 三、两个动点的平行四边形 【固定两点时的配对】固定活动点为未指定顺序时，仍按与与与三种对角线配对。每种情形写出横、纵坐标的两条等式，不能只比较一项。 【利用点的位置】在轴上，可设在轴上，可设在直线上，可设先用中点关系把一个动点的坐标表示出来，再代入另一点所在的图像，减少未知量。 【保留完整结果】同一个可能对应不同的应分组写清。含参数时，某些参数会使两个点重合或四点共线，需要单独排除。是否存在图形要同时检查两点的位置与平行四边形的判定条件。 如：当与是对角线时，当与是对角线时，两个不同，所得图形也不同。 例3、点在抛物线上，点在轴上。求使以为顶点的四边形成为平行四边形的所有点的坐标。 【解析】设①与为对角线：得 ②与为对角线：得③与为对角线：得 三组中的四点都互不相同且不共线，每组对应的对角线互相平分，所以三组均成立。 变式3-1、点在抛物线上，点在轴上。以为顶点可以组成的不同平行四边形共有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】正确选项为三种对角线配对给出： 后两组四点都在轴上，不能组成四边形。第一组合法，所以只有1个。 变式3-2、点在抛物线上，点在轴上。若四边形是平行四边形，则点的坐标为____。 【解析】按顺序对角线为与由纵坐标之和相等，得所以 解得所以或对应的横坐标均比小2，两条水平边相距1，图形成立。 变式3-3、点在抛物线上，点在轴上。若以为顶点可以组成的不同平行四边形恰有两个，求的值。 【解析】三种对角线配对分别给出 第一组在时两动点重合，其他均成立；后两组在时四点共线，其他均成立。 所以时恰有两个，时只有一个，其余情况下有三个。所求 四、矩形的边与对角线 【两种判定方法】先确认四边形为平行四边形，再增加“有一个角是直角”或“两条对角线相等”，即可得到矩形。只知道两条线段等长，不能直接判定矩形；它们必须是同一个平行四边形的对角线。 【固定边】若已知水平边它的邻边竖直，另两个顶点的横坐标随之确定。若倾斜，可向坐标轴作垂线，用相似直角三角形或勾股定理确定垂直方向，不凭图形外观判断直角。 【固定对角线】若为对角线，中点为另两点关于对称，且由点到的距离和抛物线表达式求出再求若点与点或点重合，四点不能组成矩形，必须排除。 如：为矩形的对角顶点，则点与原点重合，由勾股定理，点满足点为 例4、点在抛物线上。若四边形是矩形， 求点的坐标。 【解析】矩形对角线相等且互相平分，中点为故设得 整理为得或对应 由中点关系，相应依次为三组四点均不同，对角线等长且互相平分，均为矩形。 变式4-1、点在抛物线上。若四边形是矩形，则点的坐标为____。 【解析】水平，故竖直，代入得再由水平、竖直，得 变式4-2、点在抛物线上。若四边形是矩形， 求点的坐标。 【解析】的水平长度为2、竖直长度为1。由垂直方向所成的两个相似直角三角形，可设其中正负对应直线的两侧。 代入抛物线得即所以 因此或两组均不为0，对边平行且邻边垂直，均成立。 变式4-3、点在抛物线上。若四边形是矩形， 则点共有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】正确选项为矩形要求设得即 时与或重合，舍去。时相应合法。因此只有1个。 变式4-4、点在抛物线上，点在平面内。求使以为顶点的四边形为矩形的所有点的坐标。 图1 图2 【解析】若为边，则另外两个顶点分别在直线和上。代入抛物线得到或 若为对角线，中点为须有设由勾股定理得即所以 此时四点不同，两对角线等长且互相平分，成立。 因此共有上述三组坐标，分别对应两个不同的矩形。 五、菱形的邻边与对角线 【先确定图形】在平行四边形中，一组邻边相等，或者两条对角线互相垂直，都能判定菱形。只满足“对角线垂直”不够，还须互相平分。正方形也是菱形，不能因它有直角而漏掉。 【固定对角线】若是对角线，在的垂直平分线上，且关于中点对称。先由确定所在直线，再与抛物线联立，最后用中点求两距离的平方相减后，二次项会消去，不必同时计算四条边。 【固定边】若是边，另两个顶点先满足平行四边形条件，再用邻边与等长求点。若未说明是边还是对角线，两种情况都要检查。 如：设由得化简为这就是所在的垂直平分线。 例5、点在抛物线上。若四边形是菱形，求点的坐标。 【解析】设菱形中所以化为 代入抛物线得所以得到或 由对角线互相平分，相应或中点不在抛物线上，故不与中点重合，两条对角线均有正长度；它们互相垂直平分，因此两组均为菱形。 变式5-1、点在抛物线上，四边形是菱形， 则点的坐标为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】正确选项为垂直平分所以在轴上，得由中点为得 变式5-2、点在抛物线上。若四边形是菱形，且则____。 【解析】垂直平分故得或两值都使两条对角线有正长度，均应保留。 变式5-3、点是抛物线上的两个不同的点。若以为顶点的四边形是菱形，求的值。 【解析】若为对角线，则都在的垂直平分线即轴上；同一抛物线与轴只有一个交点，不可能得到不同的 若为边，把相邻顺序记为必要时交换此时水平且长2。同一抛物线上纵坐标相同的两点关于轴对称，故 邻边相等给所以或两种情况下都是边长2的正方形，均属于菱形，应全部保留。 六、已知一条边的正方形 【一条边对应两侧】已知为正方形的一条边时，可在直线两侧分别作一个正方形。题目没有限定位置时，两侧都要检查，再看活动点是否在抛物线上。 【水平边或竖直边】水平边长为时，邻边竖直且长也为第三、四顶点分别向上或向下移动竖直边同理，向左、向右分别考虑。 长度为正数，不把带正负号的坐标直接当作长度。 【倾斜的边】向坐标轴作垂线，得到两个全等的直角三角形。原边的水平、竖直长度交换后得到邻边的投影长度，还要确定向左向右、向上向下的方向，使两边垂直。交换数值而不检查方向，可能得到错误图形。 如：在一侧作正方形可得在另一侧可得两组都由水平、竖直长度为2和1的全等直角三角形确定。 例6、点在抛物线上。若四边形是正方形，求点的坐标。 【解析】的水平长度为2，竖直长度为1。以图示一侧为例，过作轴的垂线，垂足为过作平行于轴的直线，再过作这条直线的垂线，垂足为由两个直角三角形全等，邻边的水平长度为1、竖直长度为2。 在两侧分别得到： 代入抛物线，时时两个都符合。两组均有邻边垂直且等长、对边平行，均为正方形。 变式6-1、四边形是正方形，点在抛物线上， 则点的坐标为____。 【解析】在上方或下方作正方形，分别为或代入抛物线只有符合，所以 变式6-2、四边形是正方形，点在抛物线上。则的所有可能值为（ ）。 A．2 B． C．2或 D．或8 【解析】正确选项为由全等直角三角形确定两个候选位置：或 分别代入得或 变式6-3、点四边形是位于轴上方的正方形。若点在抛物线上，求点的坐标。 【解析】正方形边长为2，且在轴上方，所以 点在抛物线上，得所以或2。 对应四点依次为或两组均符合。 七、已知对角线与未指定点序的正方形 【固定对角线】正方形的两条对角线等长、互相垂直且互相平分。已知时，先求中点再确定另一条对角线的方向； 半条对角线的长度不等于正方形的边长。 【交换字母不一定得到新图形】固定对角线后，另外两个顶点的位置已确定。若两点都在给定抛物线上，可以交换字母，得到两组坐标，但四个顶点的位置没有变，仍只有一个正方形。 【未指定顺序】若只说“以为顶点的正方形”，则可能是边，也可能是对角线。为边时有两侧，为对角线时有一个图形。先求这三个图形的候选顶点，再按各自所在的位置筛选。 如：对角线中点另一条对角线两端为可由两个全等直角三角形得到。若把当成一条边，会得到另外两个正方形，不能混用。 例7、四边形是正方形，点在抛物线上。（1）求点的坐标；（2）按四个顶点的位置计，符合条件的正方形共有几个？ 【解析】中点为由两条对角线垂直、等长且互相平分，另一对顶点为 两点都在抛物线上，所以或 两组只是交换了字母，四个顶点的位置相同，所以只有1个正方形。 变式7-1、四边形是正方形，点在抛物线上， 则点的坐标为____。 【解析】中点为由全等直角三角形，另一对顶点为只有在抛物线上，所以 变式7-2、四边形是正方形，点在抛物线上，则的所有可能值为（ ）。 A．3 B． C．3或 D．1或 【解析】正确选项为中点为半条对角线长为2，故为或代入得或 变式7-3、点在抛物线上，点在平面内。求使以为顶点的四边形为正方形的所有点的坐标，并求不同正方形的个数。 【解析】为边时，两侧对应的另两顶点分别是以及逐点代入抛物线，前两个点都符合，后两个点都不符合。 为对角线时，另两顶点为只有在抛物线上。 所以或或前两组对应同一个图形，共有2个不同的正方形。 八、利用对称性求活动矩形与正方形 【同高两点】抛物线上纵坐标相同的两个不同点，关于对称。可设左点右点其中两点的水平距离为不需要设四个互不相关的坐标。 【从位置到长度】若两点在轴上方，向轴作垂线得到的矩形高为还须满足若没有“上方”限制，高应为纵坐标的绝对值。矩形的宽、高都必须大于0。 【加入题目所需条件】正方形用“宽等于高”；已知对角线用勾股定理；已知周长用两邻边和。求解后回到的范围检查。 一个合适的正对应一幅左右位置确定的图，不把重复算作两幅。 如：在上取同高且位于轴上方的两点，可设矩形宽高成为正方形时列 例8、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且两点都在轴上方。分别过作轴的垂线，垂足为若四边形是正方形，求点的坐标。 【解析】设正方形的宽和高相等，所以 解得只有符合范围，此时 所以宽、高相等且均为正，图形成立。 变式8-1、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且两点都在轴上方。分别过作轴的垂线，垂足为若矩形的对角线长为 求点的坐标。 【解析】设由勾股定理， 令得所以或5，均在内。 因此或 变式8-2、水平直线与抛物线交于位于轴上方的两点分别过两点作轴的垂线，垂足为若矩形的周长为10，则符合条件的不同矩形共有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【解析】正确选项为设两点横坐标为周长为整理得 只有宽2、高3，所以只有1个矩形。 变式8-3、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且两点都不在轴上。分别过作轴的垂线，垂足为若四边形是正方形，求点的坐标。 【解析】设且宽为高为 当两点在轴上方时，取正根得 当两点在轴下方时，取正根得两组都满足相应位置，均保留。 A 基础通关 A1、四边形是平行四边形。点在抛物线上，则____。 【解析】对角线中点相同给代入得所以 A2、点在抛物线上。以为顶点可以组成的不同平行四边形共有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】正确选项为三种对角线配对给 只有满足抛物线。 A3、点在抛物线上。若四边形是矩形， 求该矩形的面积。 【解析】竖直，故相应宽为3，高为4，所以面积为12。 A4、点在抛物线上，四边形是菱形。则点可以是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】正确选项为给与联立得或是中点，不能作为顶点；保留相应 A5、四边形是正方形，点在抛物线上。 求点的坐标。 【解析】正方形可以位于轴两侧。时时两个均满足故两组均保留。 A6、四边形是正方形，点在抛物线上， 则点的坐标为____。 【解析】中点为另一条对角线竖直，两个端点为只有在曲线上，故 A7、点在抛物线上，纵坐标相同，在左侧。分别过作轴的垂线，垂足为若则矩形的周长为（ ）。 A．8 B．12 C．16 D．20 【解析】正确选项为由对称性，宽4、高4，周长16。 A8、点在抛物线上，点在轴正半轴上。若四边形是平行四边形，求两条对角线的交点坐标。 【解析】由中点关系，故满足在正半轴上。两条对角线的交点即中点，为 B 难点突破 B1、点在抛物线上，点在直线上。求使以为顶点的四边形为平行四边形的所有点的坐标。 【解析】设与为对角线时两动点重合，舍去。 与为对角线时得与为对角线时四点共线，舍去。 因此只有四点不同且对角线互相平分，成立。 B2、点在抛物线上。若点在轴上，且四边形是面积为12的菱形，则____。 【解析】菱形面积为故即或 B3、点在抛物线上，四边形是矩形。符合条件的点共有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【解析】正确选项为由对角线性质和勾股定理，令得即 时点与点或点重合，舍去；时两点都合法。因此2个。 B4、点在抛物线上，四边形是菱形。若菱形的周长为则____。 【解析】垂直平分故每条边长为由勾股定理得所以或两值均使图形成立。 B5、在直线两侧作正方形若这两个正方形的顶点都在抛物线上，求的值。 图1 图2 【解析】由全等直角三角形，两侧的分别为 代入得联立解得符合二次函数要求。 B6、四边形是正方形。若点都在抛物线上，则符合条件的的个数为（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】正确选项为另一对顶点为同一函数在时只能有一个函数值，不可能同时经过这两点，所以没有这样的 B7、四边形是矩形，点在抛物线上。当该矩形也是正方形时，的所有可能值为（ ）。 A．2 B． C．2或 D．2或 【解析】正确选项为正方形以为边，两侧的分别为代入得或两组都合法。 B8、水平直线与抛物线交于位于轴上方的两点，在左侧。分别过作轴的垂线，垂足为若矩形的周长为10，则点的横坐标为____。 【解析】设周长条件给即时两点重合，舍去；符合范围，所以横坐标为 C 综合进阶 C1、水平直线与抛物线交于在左侧，且两点均在轴上方。分别过作轴的垂线，垂足为记矩形的对角线长为求能得到两个不同矩形时的取值范围。 【解析】设两点横坐标为由勾股定理，令则且 两个不同矩形要求是两个不同且均在内的数。因而 所以即两端不取：下端两根合为一个位置，上端一根为6，使矩形高为0。 C2、在抛物线上选取四个不同的点，以这四点为顶点能够组成的平行四边形个数为（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【解析】正确选项为假设存在，把两条对角线的中点横坐标记为两对端点的横坐标分别写为及其中 两对角线中点的纵坐标相同，代入抛物线并相加，得所以 两对角线端点因而重合，与四点不同矛盾。因此0个。 C3、点在抛物线上。若四边形是菱形， 求点的坐标及菱形的面积。 【解析】得与联立，得所以或 相应或两组对角线互相垂直平分且长度为正，均成立。 第一组面积为4；第二组面积为8。 C4、点在轴上，在左侧，正方形位于轴上方，且都在抛物线上。求正方形四个顶点的坐标。 【解析】纵坐标相同，关于对称。设 边长相等给取正根此时高度为 所以宽、高相等且为正，成立。 C5、点是抛物线上的两个不同的点。求使以为顶点的四边形为矩形的所有点的坐标。 【解析】为边时，另两点的横坐标分别为0、4，得到构成矩形。 为对角线时，中点应为横坐标之和为4。抛物线关于对称，因此两点纵坐标相同；又纵坐标之和为0，只能都在轴上，四点共线，不能组成矩形。 所以或两组对应同一个矩形。 C6、点在抛物线上，点在抛物线上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 【解析】设按顺序由对角线互相平分得 代入所在抛物线，得解得 所以两条水平边长都为2且位于不同高度，图形成立。 C7、点四边形是正方形，点在抛物线上。求点的所有可能坐标。 【解析】的水平长度为1、竖直长度为2。由全等直角三角形，两侧对应或 第一种情形得第二种情形得或 所以或各组的固定边长均为两侧正方形均有正边长，四个结果都合法。 C8、水平直线与抛物线交于位于轴上方的两点分别过两点作轴的垂线，垂足为记矩形的周长为当符合条件的不同矩形恰有两个时， 的取值范围为____。 【解析】设左右两点横坐标为其中周长 两个不同的正要求此时两根都在内，也在内。 因此时一根为0，不能组成矩形；时两根相同，只有一个矩形。 D 中考真题精选 D1、（2026年江苏省苏州市中考第15题）如图，关于的二次函数的图象为抛物线直线与抛物线交于两点，过抛物线的顶点作轴的平行线过分别作的垂线，垂足为若四边形为正方形，则________。 【解析】配方得所以顶点的纵坐标为1，直线为 设正方形的边长为关于对称，横坐标分别为纵坐标均为 由竖边长得把代入抛物线，得所以由解得因此 D2、（2025年四川广安中考第27题（1）（3）节选）如图，二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点已知连接 （1）求抛物线的解析式； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上的一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标。 【解析】（1）由得代入得所以抛物线为 （3）原抛物线与轴另一交点为对称轴为从到向左1、向上3，且所以题设平移是向左2、向上6。新抛物线为 设①与为对角线：得所以②与为对角线：得所以 ③与为对角线：得所以三种情况下，由纵坐标中点相同，相应17、35。 三组四点都不同，且均不在直线上；每组对角线互相平分，所以三个结果均成立。 D3、（2025年四川泸州中考第25题（1）（2）节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点与轴交于点和点 （1）求该抛物线的解析式； （2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标。 【解析】（1）代入及得解得所以 （2）设其中且正方形中已知直线每向右2个单位上升1个单位，因此从到向右向上得 由且分别向坐标轴作垂线，利用两个直角三角形全等，得到的水平距离为竖直距离为两侧候选为或 若取第二个位置，代入直线得即与矛盾。故取代入得即 联立得即由得 此时均在指定直线上，相邻边垂直且等长；在抛物线第一象限部分。故 D4、（2025年天津中考第25题（Ⅱ）②节选）已知抛物线（为常数，，与轴交于两点，与轴交于 若以为边的平行四边形的顶点在抛物线的对称轴上。当取得最小值为时，求顶点的坐标。 【解析】由得由两根和知设则在轴上左侧取使连接为等腰三角形且故得到 设则且由和勾股定理，有得因此 抛物线对称轴是的垂直平分线，故在上时由平行四边形得所以等号当且仅当在线段上。与交点确在线段内，故最小值为 勾股定理得与联立得由取于是对称轴方程最值时 平行四边形中可看作平移得到：到向右向上将同样平移得 D5、（2026年江西中考第23题（2）③节选）如果两条不共顶点的抛物线，能够经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”。 若与互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为记组成的图形为 如图2，若分别为上的点，且四边形为正方形，求的值。 图2 【解析】记由得是的顶点，又在上，所以且 设两条对角线交于则由正方形对角线垂直、等长且互相平分，作水平、竖直辅助线后，用直角三角形全等得到另两个顶点为和 先排除第二个位置作为若它的纵坐标为负，不在上；若代入要求而左边至少为大于也不成立。 因此只能取第一个位置。代入得因整理为 所求式为这里求的是代数式的值，不必继续求 同时，由经过且顶点为得另一个顶点的横坐标与的横坐标之和为纵坐标之和为因在上，代入可知另一个顶点确在上，与题设一致。 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中的四边形存在性问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 先分清已知线段是边还是对角线，再利用图形性质确定点的位置。把坐标代入抛物线后，还要检查四个点是否不同、是否能按题目顺序组成所求四边形。 已知条件 先确定什么 再用什么求点 指定四边形的顶点顺序 哪两条线段是对角线 中点坐标与抛物线表达式 未指定平行四边形顶点顺序 三种对角线配对 分别求点并排除重合、共线 矩形 固定的是边还是对角线 直角或等长对角线 菱形 邻边或对角线关系 等邻边或垂直平分 正方形 已知线段为边还是对角线 两侧分类与全等直角三角形 同高的两个抛物线动点 对称轴与点的位置范围 宽、高、周长或对角线条件 内容目录 一、顶点顺序确定的平行四边形 2 二、未指定顶点顺序的平行四边形 4 三、两个动点的平行四边形 6 四、矩形的边与对角线 9 五、菱形的邻边与对角线 12 六、已知一条边的正方形 14 七、已知对角线与未指定点序的正方形 17 八、利用对称性求活动矩形与正方形 20 A 基础通关 22 B 难点突破 26 C 综合进阶 30 D 中考真题精选 34 一、顶点顺序确定的平行四边形 【先认对角线】“四边形”按的顺序依次连接，和是对角线。平行四边形的对角线互相平分，因此两条对角线的中点相同。 不能把一条边与一条对角线配成一组。 【坐标关系】若则这是分别比较中点的横、纵坐标。先用点在坐标轴或直线上的条件求一个坐标，再代入抛物线，通常比计算四条边长简便。 【最后检查】中点相同是重要条件，但有两个点重合，或者四点都在同一直线上时，不能组成四边形。若算出活动点恰好等于已知顶点，应删去这一结果。 如：平行四边形的第四个顶点为两条对角线的中点都是 例1、点在抛物线上，点在轴上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 变式1-1、点在抛物线上，点在直线上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 变式1-2、四边形是平行四边形。若点在抛物线上，则的值为（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-3、点在抛物线上，点在直线上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 二、未指定顶点顺序的平行四边形 【三种补点】“以为顶点的平行四边形”没有规定连接顺序。已知三个不共线的点时，可以分别令与与与为对角线，求出三个第四顶点。三种情形应画成三幅小图，不把交叉线当作四边形的边。 【先求点，再筛选】固定三点时，三个候选点的位置已经确定。分别代入抛物线，符合表达式的点才能保留；若抛物线含参数，就分别得到参数条件。题目限定第一象限、线段内等位置时，还要同时检查。 【数量与参数】不同候选点可能对应同一个参数，因此“有几个点”和“有几个参数值”不是同一件事。要按题目所求统计，不重复计数。 如：三个候选点分别为若明确四边形的顺序，则只取 例2、点在抛物线上。求使以为顶点的四边形成为平行四边形的所有点的坐标。 变式2-1、点在抛物线上。若符合“以为顶点的四边形为平行四边形”的点恰有两个，求的值及这两个点的坐标。 变式2-2、点在抛物线上，以为顶点可以组成的不同平行四边形共有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-3、点在第一象限内的抛物线上。若以为顶点的四边形是平行四边形，则____。 三、两个动点的平行四边形 【固定两点时的配对】固定活动点为未指定顺序时，仍按与与与三种对角线配对。每种情形写出横、纵坐标的两条等式，不能只比较一项。 【利用点的位置】在轴上，可设在轴上，可设在直线上，可设先用中点关系把一个动点的坐标表示出来，再代入另一点所在的图像，减少未知量。 【保留完整结果】同一个可能对应不同的应分组写清。含参数时，某些参数会使两个点重合或四点共线，需要单独排除。是否存在图形要同时检查两点的位置与平行四边形的判定条件。 如：当与是对角线时，当与是对角线时，两个不同，所得图形也不同。 例3、点在抛物线上，点在轴上。求使以为顶点的四边形成为平行四边形的所有点的坐标。 变式3-1、点在抛物线上，点在轴上。以为顶点可以组成的不同平行四边形共有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-2、点在抛物线上，点在轴上。若四边形是平行四边形，则点的坐标为____。 变式3-3、点在抛物线上，点在轴上。若以为顶点可以组成的不同平行四边形恰有两个，求的值。 四、矩形的边与对角线 【两种判定方法】先确认四边形为平行四边形，再增加“有一个角是直角”或“两条对角线相等”，即可得到矩形。只知道两条线段等长，不能直接判定矩形；它们必须是同一个平行四边形的对角线。 【固定边】若已知水平边它的邻边竖直，另两个顶点的横坐标随之确定。若倾斜，可向坐标轴作垂线，用相似直角三角形或勾股定理确定垂直方向，不凭图形外观判断直角。 【固定对角线】若为对角线，中点为另两点关于对称，且由点到的距离和抛物线表达式求出再求若点与点或点重合，四点不能组成矩形，必须排除。 如：为矩形的对角顶点，则点与原点重合，由勾股定理，点满足点为 例4、点在抛物线上。若四边形是矩形， 求点的坐标。 变式4-1、点在抛物线上。若四边形是矩形，则点的坐标为____。 变式4-2、点在抛物线上。若四边形是矩形， 求点的坐标。 变式4-3、点在抛物线上。若四边形是矩形， 则点共有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式4-4、点在抛物线上，点在平面内。求使以为顶点的四边形为矩形的所有点的坐标。 五、菱形的邻边与对角线 【先确定图形】在平行四边形中，一组邻边相等，或者两条对角线互相垂直，都能判定菱形。只满足“对角线垂直”不够，还须互相平分。正方形也是菱形，不能因它有直角而漏掉。 【固定对角线】若是对角线，在的垂直平分线上，且关于中点对称。先由确定所在直线，再与抛物线联立，最后用中点求两距离的平方相减后，二次项会消去，不必同时计算四条边。 【固定边】若是边，另两个顶点先满足平行四边形条件，再用邻边与等长求点。若未说明是边还是对角线，两种情况都要检查。 如：设由得化简为这就是所在的垂直平分线。 例5、点在抛物线上。若四边形是菱形，求点的坐标。 变式5-1、点在抛物线上，四边形是菱形， 则点的坐标为（ ）。 A． B． C． D． 变式5-2、点在抛物线上。若四边形是菱形，且则____。 变式5-3、点是抛物线上的两个不同的点。若以为顶点的四边形是菱形，求的值。 六、已知一条边的正方形 【一条边对应两侧】已知为正方形的一条边时，可在直线两侧分别作一个正方形。题目没有限定位置时，两侧都要检查，再看活动点是否在抛物线上。 【水平边或竖直边】水平边长为时，邻边竖直且长也为第三、四顶点分别向上或向下移动竖直边同理，向左、向右分别考虑。 长度为正数，不把带正负号的坐标直接当作长度。 【倾斜的边】向坐标轴作垂线，得到两个全等的直角三角形。原边的水平、竖直长度交换后得到邻边的投影长度，还要确定向左向右、向上向下的方向，使两边垂直。交换数值而不检查方向，可能得到错误图形。 如：在一侧作正方形可得在另一侧可得两组都由水平、竖直长度为2和1的全等直角三角形确定。 例6、点在抛物线上。若四边形是正方形，求点的坐标。 变式6-1、四边形是正方形，点在抛物线上， 则点的坐标为____。 变式6-2、四边形是正方形，点在抛物线上。则的所有可能值为（ ）。 A．2 B． C．2或 D．或8 变式6-3、点四边形是位于轴上方的正方形。若点在抛物线上，求点的坐标。 七、已知对角线与未指定点序的正方形 【固定对角线】正方形的两条对角线等长、互相垂直且互相平分。已知时，先求中点再确定另一条对角线的方向； 半条对角线的长度不等于正方形的边长。 【交换字母不一定得到新图形】固定对角线后，另外两个顶点的位置已确定。若两点都在给定抛物线上，可以交换字母，得到两组坐标，但四个顶点的位置没有变，仍只有一个正方形。 【未指定顺序】若只说“以为顶点的正方形”，则可能是边，也可能是对角线。为边时有两侧，为对角线时有一个图形。先求这三个图形的候选顶点，再按各自所在的位置筛选。 如：对角线中点另一条对角线两端为可由两个全等直角三角形得到。若把当成一条边，会得到另外两个正方形，不能混用。 例7、四边形是正方形，点在抛物线上。（1）求点的坐标；（2）按四个顶点的位置计，符合条件的正方形共有几个？ 变式7-1、四边形是正方形，点在抛物线上， 则点的坐标为____。 变式7-2、四边形是正方形，点在抛物线上，则的所有可能值为（ ）。 A．3 B． C．3或 D．1或 变式7-3、点在抛物线上，点在平面内。求使以为顶点的四边形为正方形的所有点的坐标，并求不同正方形的个数。 八、利用对称性求活动矩形与正方形 【同高两点】抛物线上纵坐标相同的两个不同点，关于对称。可设左点右点其中两点的水平距离为不需要设四个互不相关的坐标。 【从位置到长度】若两点在轴上方，向轴作垂线得到的矩形高为还须满足若没有“上方”限制，高应为纵坐标的绝对值。矩形的宽、高都必须大于0。 【加入题目所需条件】正方形用“宽等于高”；已知对角线用勾股定理；已知周长用两邻边和。求解后回到的范围检查。 一个合适的正对应一幅左右位置确定的图，不把重复算作两幅。 如：在上取同高且位于轴上方的两点，可设矩形宽高成为正方形时列 例8、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且两点都在轴上方。分别过作轴的垂线，垂足为若四边形是正方形，求点的坐标。 变式8-1、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且两点都在轴上方。分别过作轴的垂线，垂足为若矩形的对角线长为 求点的坐标。 变式8-2、水平直线与抛物线交于位于轴上方的两点分别过两点作轴的垂线，垂足为若矩形的周长为10，则符合条件的不同矩形共有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 变式8-3、水平直线与抛物线交于两点，在左侧，且两点都不在轴上。分别过作轴的垂线，垂足为若四边形是正方形，求点的坐标。 A 基础通关 A1、四边形是平行四边形。点在抛物线上，则____。 A2、点在抛物线上。以为顶点可以组成的不同平行四边形共有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 A3、点在抛物线上。若四边形是矩形， 求该矩形的面积。 A4、点在抛物线上，四边形是菱形。则点可以是（ ）。 A． B． C． D． A5、四边形是正方形，点在抛物线上。 求点的坐标。 A6、四边形是正方形，点在抛物线上， 则点的坐标为____。 A7、点在抛物线上，纵坐标相同，在左侧。分别过作轴的垂线，垂足为若则矩形的周长为（ ）。 A．8 B．12 C．16 D．20 A8、点在抛物线上，点在轴正半轴上。若四边形是平行四边形，求两条对角线的交点坐标。 B 难点突破 B1、点在抛物线上，点在直线上。求使以为顶点的四边形为平行四边形的所有点的坐标。 B2、点在抛物线上。若点在轴上，且四边形是面积为12的菱形，则____。 B3、点在抛物线上，四边形是矩形。符合条件的点共有（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 B4、点在抛物线上，四边形是菱形。若菱形的周长为则____。 B5、在直线两侧作正方形若这两个正方形的顶点都在抛物线上，求的值。 图1 图2 B6、四边形是正方形。若点都在抛物线上，则符合条件的的个数为（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B7、四边形是矩形，点在抛物线上。当该矩形也是正方形时，的所有可能值为（ ）。 A．2 B． C．2或 D．2或 B8、水平直线与抛物线交于位于轴上方的两点，在左侧。分别过作轴的垂线，垂足为若矩形的周长为10，则点的横坐标为____。 C 综合进阶 C1、水平直线与抛物线交于在左侧，且两点均在轴上方。分别过作轴的垂线，垂足为记矩形的对角线长为求能得到两个不同矩形时的取值范围。 C2、在抛物线上选取四个不同的点，以这四点为顶点能够组成的平行四边形个数为（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 C3、点在抛物线上。若四边形是菱形， 求点的坐标及菱形的面积。 C4、点在轴上，在左侧，正方形位于轴上方，且都在抛物线上。求正方形四个顶点的坐标。 C5、点是抛物线上的两个不同的点。求使以为顶点的四边形为矩形的所有点的坐标。 C6、点在抛物线上，点在抛物线上。若四边形是平行四边形，求点的坐标。 C7、点四边形是正方形，点在抛物线上。求点的所有可能坐标。 C8、水平直线与抛物线交于位于轴上方的两点分别过两点作轴的垂线，垂足为记矩形的周长为当符合条件的不同矩形恰有两个时， 的取值范围为____。 D 中考真题精选 D1、（2026年江苏省苏州市中考第15题）如图，关于的二次函数的图象为抛物线直线与抛物线交于两点，过抛物线的顶点作轴的平行线过分别作的垂线，垂足为若四边形为正方形，则________。 D2、（2025年四川广安中考第27题（1）（3）节选）如图，二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点已知连接 （1）求抛物线的解析式； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上的一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标。 D3、（2025年四川泸州中考第25题（1）（2）节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点与轴交于点和点 （1）求该抛物线的解析式； （2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标。 D4、（2025年天津中考第25题（Ⅱ）②节选）已知抛物线（为常数，，与轴交于两点，与轴交于 若以为边的平行四边形的顶点在抛物线的对称轴上。当取得最小值为时，求顶点的坐标。 D5、（2026年江西中考第23题（2）③节选）如果两条不共顶点的抛物线，能够经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”。 若与互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为记组成的图形为 如图2，若分别为上的点，且四边形为正方形，求的值。 图2 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $