精品解析：甘肃白银市靖远县北部乡镇2026-2027学年九年级上学期期中检测数学试卷

2026—2027学年度第一学期九年级期中检测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误； 对于选项B：方程含有分式，不是一元二次方程，故B错误； 对于选项C：当时，方程不是一元二次方程，故C错误； 对于选项D：整理，得，符合一元二次方程的定义，故D正确． 2. 已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段，，，成比例，则（或），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，，，成比例线段，且，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 3. 如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用矩形对角线相等及已知条件得出，从而利用等腰三角形性质求出，再根据矩形性质求解． 【详解】解：连接，设，的交点为点， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． 4. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 综上可知：方法，都对， 故选：． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个相等的实数根且两根同号 C. 有两个不相等的实数根且两根异号 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 6. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 7. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止移动，若四边形的面积等于，则点移动的时间是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设点，移动的时间为 ，根据面积列一元二次方程求出的值，再检验即可求解． 【详解】解：设点，移动的时间为， ∵点的速度为，，  ，， ∵点的速度为， ∴， 又∵，  ，  ∵四边形的面积等于，  ，  ， 整理得，  解得，，  当时，，点与点重合，不能构成四边形， ∴不合题意，舍去，  ，即点移动的时间是． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为， ∴， ∴相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选：C． 9. 如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 10. 如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（ ） A. B. 点为上任意一点，则的最小值为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为直角三角形，可得，故A不符合题意；证明，可得，再证明，可得，故D符合题意；证明，可得，求解，证明是的垂直平分线，如图，连接交于，连接，可得的最小值为，故B不符合题意；求解，可得，故C不符合题意． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴，故A不符合题意； ∵四边形为正方形，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵点是上一点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， 如图，连接交于，连接， ∴， ∴， ∴的最小值为，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得或． 又，即， 所以 ． 故答案为：3． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：∵点M，N分别是边，的中点，且， ， ， ， ， 在菱形中，对角线相交于点O， ， ， ∵点M是边的中点， ． 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则=__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2， ∴x1+x2+x1x2=﹣3 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 14. 如图，在中，，点是斜边的中点，交于点，以为边作正方形，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形面积求出的长，利用直角三角形斜边中线定理得出，结合，判定为等边三角形；根据平行线性质得出且为中点，利用勾股定理求出，最后计算三角形面积． 【详解】解：， ， 在 中，是斜边的中点， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ，即， 是的中点， ， 是的中点， ， 在中，， ∴． 15. 如图，，点在上，，，___________________． 【答案】##2.4## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用相似三角形的性质解题．首先证明，，由相似三角形的性质可得，，进而可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ，解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】x1=3+，x2=3﹣ 【解析】 【分析】先把-4移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. 【详解】解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13， 开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 18. 如图，在正方形中，分别延长至点E，F，且，连接，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据正方形的性质和已知条件，利用证明，则可证明． 【详解】略 19. 若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 解求出两个根，分别将根代入，再根据一元二次方程定义，可知，解，进而求出k值． 【详解】， ，解得， 当关于的一元二次方程与方程有一个相同的根为0时， 代入， 即，解得， 此时，符合题意； 当关于的一元二次方程与方程有一个相同的根为4时， 代入， 即，解得， 此时，不符合题意； 所以的值为3. 20. 如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 21. 如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）24 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22. 在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标； （2）将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】（1）， ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据原点为位似中心、相似比、在轴左侧的条件，将点、点横纵坐标同时乘，得到，，再画出． （2）先利用向右平移 5 个单位，横坐标加 5 纵坐标不变求出，，再延长两组对应顶点连线，交点就是位似中心． 【小问1详解】 解：∵ 以原点为位似中心，在轴左侧作位似图形，相似比为， ∴ 对应点的横、纵坐标都乘． ∵ ，，， ∴ ，． 在方格中描出，，，连接得到． 【小问2详解】 解：∵ 向右平移个单位长度得到， 平移规律：横坐标加，纵坐标不变． 连接对应顶点，对应直线交于一点， ∴ 与是以点为位似中心的位似图形， 据图可知，位似中心的坐标为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）的取值范围是； （2）． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由，再代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴即， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 24. 如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． （1）求证：： （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 25. 再读教材： 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中_____（保留根号）； （2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：四边形的形状是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ∵原纸片为矩形， ， ∴， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， 四边形为菱形； （3） 解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． 理由如下： ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∴四边形为黄金矩形，； 又∵， ∴四边形为黄金矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的判定，勾股定理，黄金分割，正确理解黄金矩形的定义是解题的关键。 （1）由正方形的性质得到，，则可得到，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，根据矩形的对边平行结合平行线的性质可证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而证明四边形为菱形； （3）由矩形的性质可得，，，再证明四边形是矩形，得到，求出，得到，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：如图③所示， 由题知四边形为正方形，且， ，， 又把正方形折成两个相等的矩形，， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）30元 （3）能；10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； 【小问3详解】 解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 27. 在菱形中，，点E在对角线上，点F，G分别在边上，且，连接，延长交于点P． （1）如图1，当A，E重合时，求证：是等边三角形． （2）如图2，已知． ①若，，求的长； ②连接，当时，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，即是等边三角形； （2）①8；② 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可证明是等边三角形，即是等边三角形； （2）①如图，在上截取，连接，易得是等边三角形，再证明可得，即；由可得，进而求得，最后利用线段的和差求解即可；②如图：在上截取，连接，结合（2）①可得，再利用相似三角形的性质可得；设，则，，，进而得到，，，最后代入化简即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图：在上截取，连接， 由（1）知是等边三角形， ∴， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， 菱形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，在上截取，连接， 同理可得是等边三角形， ∴， 由（2）①知是等边三角形， ∴， 根据（2）①得， ， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 设，则， 根据（2）①得， ∴， ∴，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级期中检测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个相等的实数根且两根同号 C. 有两个不相等的实数根且两根异号 D. 没有实数根 6. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 7. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止移动，若四边形的面积等于，则点移动的时间是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（ ） A. B. 点为上任意一点，则的最小值为 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为______． 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则=__________． 14. 如图，在中，，点是斜边的中点，交于点，以为边作正方形，若，则的值为______． 15. 如图，，点在上，，，___________________． 16. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，在正方形中，分别延长至点E，F，且，连接，．求证：． 19. 若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 20. 如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 21. 如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 22. 在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标； （2）将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 24. 如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． （1）求证：： （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 25. 再读教材： 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中_____（保留根号）； （2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 26. 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 27. 在菱形中，，点E在对角线上，点F，G分别在边上，且，连接，延长交于点P． （1）如图1，当A，E重合时，求证：是等边三角形． （2）如图2，已知． ①若，，求的长； ②连接，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $