精品解析：湖南永州市零陵区2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026年下期期中质量监测 八年级数学（试题卷） 满分：120分 试时量：120分钟 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．本试题卷共6页，如有缺页，请申明． 4．本试题卷共三道大题，24个小题． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵判断分式的依据是分母中含有字母， 又∵选项D的代数式分母为，含有字母， ∴选项D符合要求． 2. 化简得（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的知识，理解并掌握算术平方根的定义是解题关键．一般地说，若一个非负数的平方等于，则叫做的算术平方根，记作．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：C． 3. 若分式的值为0，则x的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ A、B错误； ∵， ∴ C正确； ∵， ∴ D错误． 5. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算．利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后约分即可． 【详解】解：． 故选：B． 6. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵多项式的各项系数为和， ∴系数的最大公约数是， ∵各项都含有的相同字母是、，且的最低指数是，的最低指数是， ∴该多项式的公因式是． 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：C． 8. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特点逐项判断即可． 【详解】解：A、原式，符合题意； B、原式不能分解因式，不符合题意； C、原式，能用完全平方公式分解，不能用平方差公式分解，不符合题意； D、原式不能分解因式，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键． 9. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先去分母化为一元整式方程，再根据增根的定义求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入上述整式方程，得， 化简得， 解得． 10. 已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ） ①若Q有意义，则；②设，当x为整数，y为正整数时，x的值为3或5或． A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先依据分式有意义的条件判断①，再化简y的表达式，结合y为正整数的条件确定x的取值，判断②． 【详解】解：①∵Q有意义， ∴，即，故①正确； ②， ∵y为正整数， ∴为整数，且， ∴是3的整数因数， ∴或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意， ∴满足条件的x的值为3或5或，故②正确． 综上所述，①②正确． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，先整理，再比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 13. 永州江华瑶族自治县是湖南重要稀土资源产区，科研团队对稀土微粉开展加工实验，其中部分颗粒的直径约为，把数据用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】需将给定的绝对值小于的正数按科学记数法规则转化为标准形式，核心是确定符合取值范围的值与对应的负指数． 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为，其中，为正整数， ∵对，要满足， ∴取， ∵原数左起第一个非零数字之前共有个， ∴ ∴ 用科学记数法表示为． 14. 已知，，则的值为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】先对进行提公因式，在代入求值即可． 【详解】解： 故答案为：30． 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是正确进行因式分解并计算． 15. 若表示的整数部分，表示它的小数部分，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出的整数部分，小数部分，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，表示的整数部分，表示它的小数部分， ∴ ， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求出的整数部分和小数部分是解题的关键． 16. 阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想因式分解：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】观察到两个因式中存在公共多项式，将其设为整体变量，展开化简后借助完全平方公式逐步分解，回代整体后即可得到最终结果． 【详解】解：令，则原式， ， ， ， 将代入得． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先算开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算加减． 【详解】解：． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可． （2）综合运用提公因式法以及公式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：分式方程两边乘以，得 解得 经检验，是原方程的解 【点睛】本题考查了解分式方程，找到公分母化为整式方程是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，． 【解析】 【详解】解： ， 将代入，得原式． 21. 对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． （1）求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）1 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 22. 观湘超绿茵激战，游福田茶园茶庄，亲手试一把古法炒茶，喝一口清泉香茶，品味零陵山水茶韵！永州市福田茶场是本地特色茶叶生产基地，茶厂的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术．手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．这种结合主要体现在手工炒茶和机器炒茶两种核心工艺上，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和刘厂长（机器炒茶）的对话： 茶农（手工炒茶）：手工每小时炒茶量只有机器的一半，炒80斤茶比机器多花2小时，机器效率更高！ 刘厂长（机器炒茶）：机器虽快，可手工炒茶风味更佳！咱们合作炒制560斤茶叶，机器先单独炒2小时，余下的一起加工． 仔细阅读茶农与刘厂长的对话，解决以下问题： （1）手工炒茶，每小时能炒多少斤？（设手工炒茶每小时能炒斤） （2）完成刘厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【答案】（1）手工炒茶每小时能炒20斤 （2）两人合作了8小时 【解析】 【分析】（1）根据“手工效率是机器一半”来设未知数，利用“同样80斤，手工用时-机器用时=2小时”列分式方程． （2）先算出机器单独先做的工作量，用总量减去先做的量得到合作工作量，再求两者效率之和，“合作工作量÷合作效率=合作时间”求解． 【小问1详解】 解：设手工炒茶每小时能炒斤， 根据题意得 解得 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：手工炒茶每小时能炒20斤． 【小问2详解】 解：由（1）得手工炒茶每小时能炒20斤，机器炒茶每小时能炒斤， 根据题意得 （小时）． 答：完成刘厂长提出的合作订单，两人合作了8小时． 23. 综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图①所示有正方形1号、2号卡片与长方形3号卡片若干张．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 （1）用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式：__________________． （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要1号卡片______张，3号卡片______张； （3）当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________________． 【应用拓展】 （4）如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4）的值为或或 【解析】 【分析】（1）利用面积相等即可求解； （2）根据整式的乘法计算即可求解； （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解； （4）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：这个乘法公式是； 【小问2详解】 解：， ∵号卡片面积为，号卡片面积为， ∴需要号卡片张，号卡片张； 【小问3详解】 解：由图③可知矩形面积为， ∴； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴，则； ，则； ，则； ∴的值为或或． 24. 【阅读材料】同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积） 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为，三角形的面积为． 【启发应用】 （1）利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积． 【类比迁移】 （2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（1） （2）中最长边的长度为 ②的面积为 【解析】 【分析】（1）依据题意，由时，先求出，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且为整数，分类讨论计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，当，，时， ， ， ， ， 三角形的面积为． 【小问2详解】 解：①由题意，， ， 中最长边的长度为； ②， ， ， ，且为整数， 当时，此时三边为，，， ， 不合题意舍去； 当时，三边为，，， ， 不合题意舍去； 当时，三边为，，， ， 不合题意舍去； 当时，三边为，，， ， ， ， 的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期期中质量监测 八年级数学（试题卷） 满分：120分 试时量：120分钟 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．本试题卷共6页，如有缺页，请申明． 4．本试题卷共三道大题，24个小题． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简得（　　） A. B. C. 4 D. 3. 若分式的值为0，则x的值为( ) A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ） ①若Q有意义，则；②设，当x为整数，y为正整数时，x的值为3或5或． A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 计算______． 12. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 13. 永州江华瑶族自治县是湖南重要稀土资源产区，科研团队对稀土微粉开展加工实验，其中部分颗粒的直径约为，把数据用科学记数法表示为____________． 14. 已知，，则的值为_____． 15. 若表示的整数部分，表示它的小数部分，则的值为________． 16. 阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想因式分解：__________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． （1）求的值； （2）若，求a的值． 22. 观湘超绿茵激战，游福田茶园茶庄，亲手试一把古法炒茶，喝一口清泉香茶，品味零陵山水茶韵！永州市福田茶场是本地特色茶叶生产基地，茶厂的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术．手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．这种结合主要体现在手工炒茶和机器炒茶两种核心工艺上，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和刘厂长（机器炒茶）的对话： 茶农（手工炒茶）：手工每小时炒茶量只有机器的一半，炒80斤茶比机器多花2小时，机器效率更高！ 刘厂长（机器炒茶）：机器虽快，可手工炒茶风味更佳！咱们合作炒制560斤茶叶，机器先单独炒2小时，余下的一起加工． 仔细阅读茶农与刘厂长的对话，解决以下问题： （1）手工炒茶，每小时能炒多少斤？（设手工炒茶每小时能炒斤） （2）完成刘厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 23. 综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图①所示有正方形1号、2号卡片与长方形3号卡片若干张．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 （1）用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式：__________________． （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要1号卡片______张，3号卡片______张； （3）当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________________． 【应用拓展】 （4）如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求的值． 24. 【阅读材料】同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积） 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为，三角形的面积为． 【启发应用】 （1）利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积． 【类比迁移】 （2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $