精品解析：湖南省永州市零陵区八校 2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题

2025年下期初中阶段期中考试 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．共26小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题 （共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确选项填涂到答题卡上） 1. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式；逐一分析即可. 【详解】解：∵因式分解需满足右边为整式的积， A：，是乘法展开，不是分解； B：，含分式 ，不是整式； C：，是和的形式，不是积； D：，是整式的积； ∴故选：D. 2. 下列各式： 中，是分式的共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 3. 2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：由题意，1纳米米， 纳米米米米， 故选C． 4. 下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 5. 若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断即可．熟记平方差公式的公式结构是解题的关键． 【详解】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算和分式的运算，使用幂的乘方、负整数指数幂、分式乘除等知识逐个验证每个选项的计算是否正确即可． 【详解】解：A、，故A正确． B、，故B错误． C、，故C错误． D、，故D错误． 故选：A． 7. 若是多项式因式分解的结果，则的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 先计算，由得到即可求得的值． 【详解】解：∵， 由题意得，， ， ． 故选：C． 8. 若 ，则 （ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂除法逆运算，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算； 由已知方程可得的值，再将所求表达式化为同底数幂的形式，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D. 9. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 10. 已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简以及探究式子的规律．通过计算确定第个式子的变化规律和第个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ，， ，， ， 当为奇数时（1除外）， ，， 当为偶数时， ，， ∵，故①正确； 当时，，故②正确； 由规律知，故③错误； 综上，正确的有①②，一共2个． 故选：C． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内） 11. 若代数式的值等于，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式值为可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 若代数式的值等于，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键． 12. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 13. 与的公因式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的公因式是， 故答案为：． 14. 形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 已知： ， 则 ______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，利用提取公因式法分解因式，是解题的关键； 通过因式分解将所求表达式转化为已知条件的组合，然后代入数值计算. 【详解】解：∵， ∴ 代入已知数值： 故答案为 ：. 16. 已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的大小比较，通过作差法及因式分解，结合已知条件分析即可. 【详解】解：由 ∵ ∴，即 ∴ 故答案为：. 17. 计算∶ ______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18. 规定表示不超过的最大整数，如 ，结合上述知识点，解决问题：某校师生在校运会期间喝了瓶水，经销商提出，每个空瓶可以换1瓶水，那么最多可以换__________瓶水． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数运算，关键在于理解每换1瓶水需个空瓶．通过空瓶换水的过程，总瓶数包括初始喝的瓶和换水得到的额外瓶数；额外瓶数满足不等式 ，即可得到最多换的瓶数． 【详解】解：设额外换到瓶水， 总瓶数为， 产生的空瓶数也为， 每次换水消耗个空瓶得到1瓶水， ， 代入，得，即， ， 考虑到换水后可能剩余空瓶不足个，实际最大为， 最多可以换瓶水． 故答案为：． 三、解答题 （本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、同底数幂和实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，计算即可； （2）利用积的乘方、同底数幂相除进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，．熟练掌握综合提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解∶ 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 21. 当x取3时，先化简，再求分式 的值． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，将原式进行因式分解化简是解题关键．先计算括号内异分母减法，再将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可． 【详解】解： 当时， 原式. 22. 已知关于的分式方程． （1）当时，求方程的解； （2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围； 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得出关于x的分式方程，然后解方程即可； （2）先用a表示出分式方程的解，根据分式方程的解为正数列出关于a的不等式，同时注意，求出a的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴原方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边乘得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵，即， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：且． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情况求参数，解题的关键是准确计算，注意最后要对方程的解检验． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1） （2） （3）， 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． 【小问2详解】 ， ． ． ， ． 【小问3详解】 略 24. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 25. 小亮自学湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1， 常数项，一次项系数，可用十字相乘为 则 ，仿照上述解决下列问题： （1）因式分解： （2）若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． （3）阅读并解答：若多项式 中有因式，我们把代入多项式 发现能使多项式 的值为0， ①已知：二次三项式 有一个因式是 ，求m 的值． ②已知：二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②， 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的应用，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可； （3）①当时，的值为0，即可求解m；②当时，二次三项式 的值为0，即可求解． 【小问1详解】 解： 一次项为∶， 则常数项为， 则 【小问2详解】 解：若 可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能的值是： ， 即整数a的所有可能的值是：． 【小问3详解】 解：根据题意：①当时，二次三项式 的值为0， 即 解得：； ②根据题意：当时，二次三项式 的值为0， 即 解得： ； 则原二次三项式为 ∴另一个因式为. 26. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 （1）理解应用：方程 的解为： （2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】（1）3； （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期初中阶段期中考试 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．共26小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题 （共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确选项填涂到答题卡上） 1. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式： 中，是分式的共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 16 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是多项式因式分解的结果，则的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 8. 若 ，则 （ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 81 9. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内） 11. 若代数式的值等于，则______． 12. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 13. 与的公因式是_______． 14. 形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______． 15. 已知： ， 则 ______________ 16. 已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 17. 计算∶ ______________ 18. 规定表示不超过的最大整数，如 ，结合上述知识点，解决问题：某校师生在校运会期间喝了瓶水，经销商提出，每个空瓶可以换1瓶水，那么最多可以换__________瓶水． 三、解答题 （本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算∶ （1） （2） 20. 因式分解： （1） （2） 21. 当x取3时，先化简，再求分式 的值． 22. 已知关于的分式方程． （1）当时，求方程的解； （2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围； 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 24. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 25. 小亮自学湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1， 常数项，一次项系数，可用十字相乘为 则 ，仿照上述解决下列问题： （1）因式分解： （2）若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． （3）阅读并解答：若多项式 中有因式，我们把代入多项式 发现能使多项式 的值为0， ①已知：二次三项式 有一个因式是 ，求m 的值． ②已知：二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k的值． 26. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 （1）理解应用：方程 的解为： （2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $