专题3.3.2 抛物线的简单几何性质（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理标准方程、顶点、焦点、准线等几何要素及与椭圆、双曲线的差异，通过开口方向、范围、求标准方程等六大题型构建从基础到应用的学习支架。 资料以题型分类与举一反三为特色，例题融入拱桥、卫星天线等实际情境，培养数学眼光与应用意识，变式题强化逻辑推理与问题解决能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习、弥补知识盲点。

专题3.3.2 抛物线的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 抛物线的开口方向、开口大小】 2 【题型2 抛物线的范围】 3 【题型3 利用抛物线的几何性质求标准方程】 5 【题型4 抛物线的对称性及其应用】 6 【题型5 根据抛物线的对称性求相关的参数】 9 【题型6 抛物线的实际应用】 11 考点1 抛物线的简单几何性质 知识点1 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【题型1 抛物线的开口方向、开口大小】 【例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解题思路】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【解答过程】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式1.1】（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由抛物线的性质，即可得出结果. 【解答过程】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解题思路】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【解答过程】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二下·浙江绍兴·期末）下列抛物线中，开口最小的是（    ）                          A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的性质，进行判断即可. 【解答过程】对于对于抛物线的标准方程中，开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 则开口最小的是A选项中的抛物线. 故选：A. 【题型2 抛物线的范围】 【例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【解答过程】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设 ，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【解答过程】设 ，则， 所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2.2】（25-26高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则_____________. 【答案】4 【解题思路】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得. 【解答过程】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此， 所以. 故答案为：4. 【变式2.3】（2026·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【解题思路】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【解答过程】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为：. 【题型3 利用抛物线的几何性质求标准方程】 【例3】（25-26高二上·黑龙江双鸭山·期末）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质，即可求抛物线的标准方程. 【解答过程】依题意设抛物线方程为． 因为焦点到准线的距离为4， 所以，所以， 所以抛物线方程为或． 故选：C． 【变式3.1】（25-26高二·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出的值，结合焦点的位置可得出所求抛物线的标准方程. 【解答过程】顶点在原点，对称轴为轴的抛物线的标准方程为． 由顶点到准线的距离为4知，故所求的抛物线的标准方程为． 故选：D. 【变式3.2】（25-26高二·全国·课后作业）已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为______________． 【答案】或 【解题思路】设出，由题意，可以解出的值，再结合对称轴是x轴，即可求出抛物线方程. 【解答过程】设焦点，即， 解得或． 当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为； 当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为． 故答案为：或. 【变式3.3】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【解题思路】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解. 【解答过程】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得， 所以抛物线的方程是． （2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知， 所以抛物线的方程是或． （3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即， 所以抛物线的方程是或． （4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，可得，解得， 所以抛物线的方程是． 【题型4 抛物线的对称性及其应用】 【例4】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 【变式4.1】（2026·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【解答过程】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意得到四边形为菱形，再结合，求出点A的坐标，进而求解结论． 【解答过程】根据抛物线的对称性以及为线段的垂直平分线， 可得四边形为菱形， 又，可得， 故可设，代入抛物线方程可得，解得， 故， 故四边形的周长为：. 故选：D. 【变式4.3】（25-26高三上·青海西宁·期末）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出的坐标，再求出的垂直平分线的方程，从而可求的坐标，故可求的面积. 解法二：先根据焦半径公式求出的坐标，过点作的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得重合，从而可求的面积. 【解答过程】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由点到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为， 令，得，即． 所以的面积为． 故选：B. 解法二：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接， 则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为． 故选：B. 【题型5 根据抛物线的对称性求相关的参数】 【例5】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解题思路】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【解答过程】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 【变式5.1】（2026·江西赣州·二模）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解题思路】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值. 【解答过程】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设， ∵的面积为， ∴，而， ∴由上整理得：，解得，则. 故选：B. 【变式5.2】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则____________． 【答案】2 【解题思路】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【解答过程】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2. 【变式5.3】（2026·江西景德镇·模拟预测）已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为____________. 【答案】或 【解题思路】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【解答过程】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或. 【题型6 抛物线的实际应用】 【例6】（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【解题思路】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【解答过程】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当 时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 【变式6.1】（25-26高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【解答过程】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 【变式6.2】（25-26高二·全国·随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 【变式6.3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m． (1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程； (2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 【答案】(1)； (2)船身应降低m，才能安全通过桥洞． 【解题思路】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A，B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得； （2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度，再由，可知船身应降低的高度 【解答过程】（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，， 设拱桥所在的抛物线方程为， 因点在抛物线上，代入解得， 故拱桥所在的抛物线方程是； （2）因，故当时，， 故当水位暴涨后，船身至少应降低， 故船身应降低m，才能安全通过桥洞． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.2 抛物线的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 抛物线的开口方向、开口大小】 2 【题型2 抛物线的范围】 2 【题型3 利用抛物线的几何性质求标准方程】 3 【题型4 抛物线的对称性及其应用】 3 【题型5 根据抛物线的对称性求相关的参数】 4 【题型6 抛物线的实际应用】 4 考点1 抛物线的简单几何性质 知识点1 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【题型1 抛物线的开口方向、开口大小】 【例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式1.1】（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式1.3】（24-25高二下·浙江绍兴·期末）下列抛物线中，开口最小的是（    ）                          A． B． C． D． 【题型2 抛物线的范围】 【例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则_____________. 【变式2.3】（2026·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【题型3 利用抛物线的几何性质求标准方程】 【例3】（25-26高二上·黑龙江双鸭山·期末）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3.1】（25-26高二·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二·全国·课后作业）已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为______________． 【变式3.3】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是轴，经过点． 【题型4 抛物线的对称性及其应用】 【例4】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2026·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4.2】（25-26高二下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高三上·青海西宁·期末）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据抛物线的对称性求相关的参数】 【例5】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【变式5.1】（2026·江西赣州·二模）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式5.2】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则____________． 【变式5.3】（2026·江西景德镇·模拟预测）已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为____________. 【题型6 抛物线的实际应用】 【例6】（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【变式6.1】（25-26高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【变式6.2】（25-26高二·全国·随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【变式6.3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m． (1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程； (2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $