广东东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年第一学期学习效率检测（三）高三数学

东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学 2025-2026学年第一学期学习效率检测（三） 高三数学 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 5．角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知、是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（ ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现4点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥． D．对于随机事件与，若，，则事件与独立． 10．已知二项展开式，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知，，分别是三个内角，，的对边，若，，则（ ） A． B． C． D．若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集（用区间表示）________________． 13．若函数在处有极小值，则实数的值为________． 14．已知双曲线：（，）与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）求值：； （2）已知，求的值； （3）在中，向量，若，求． 16．（本小题满分15分） 记为数列的前项和，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分） 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度．若不存在，说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，． 学科网（北京）股份有限公司 $