广东广州市南武中学岭画校区2026学年高三上学期11月综合训练数学问卷

广州市南武中学岭画校区2026学年上学期 高三11月综合训练数学科问卷 班别： 姓名： 学号： 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项符合题目要求. 1.若1+)2=2，则在复平面内z对应的点位于(） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2已知集合A={x2≤x<4},B={x|3≥27}，则A∩B=() A.[2,3] B.(3,4) C.[3,4) D.[2,+0) 3.已知双曲线C:r-上=1的一条渐近线的方程为2x-y=0,则m=() m A.4 B.2 c 4.已知函数f(x)=cos(2x+p)的图象关于点 30中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是() A.x=π 6 Cx=π 12 D.x= 6 5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当0<x≤1时，f(x)=-x2+x,则f 1 A- 2 4 D.Z 6.一条河两岸平行，河的宽度为1.2k,一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行.已知船在静水的速度大小 为13k/h,且船在航行过程中受水流的影响.当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水 流速度的大小为() A.1.3m/h B.5km/h C.10km/h D.12km/h 7.若实数x,y,z满足2-2=3y-3=52-5,则x,y,z的大小关系不可能是() A.x-y=Z B.x>y> C.z>y>x D.z>x>y 8.已知直线x+a①y-2√2a+1=0与圆0：x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最 小值不大于60°，则r的取值范围为() A.（N5,2 B.V5,2W5 c.(3,25 D.(3,6 1 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数=sin+君o>0的最小正周期为受则() A.0=4 B. =0 C.f(x)在 -612) 上单调递增 D.函数四的图象关于（牙对称 10.设，为脑版C:苦+y少=1(a>1)的个焦点，A为C的上顶点，点P在C上，以下港项正确的有 () A.若a=√2，则PF≤V2+1 B.若a=√2，则PFPF的最大值为2 C.若存在点P满足PE·PE,=0,则C的离心率的取值范围是 0 2 2 D.若任意一点P都满足|PAK2,则C的离心率的取值范围是 0,2 11.函数f(x)的定义域是D,对于t∈D,定义集合Uo={xf(x)≤f)},以下选项正确的有() A.若f(x)=2x+1,则Ur2={xx≤2 .若 且4<4，则U∈U C.若f(x)的定义域为R,对任意1都有Uw=U,则f()是偶函数 D.若f()=e-mx2,对任意4<62都有U≤U,则m的取值范围为[0，e] 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.若一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，则该数列的第6项为_一-· 13.某数学竞赛题库有A、B两类试题，A类试题有6000道，B类试题有4000道.某学生解答A类试题正确率为 90%,解答B类试题正确率为70%.若从题库中随机抽取一道试题，则该生解答正确的概率是 4已知6AC的别长为12，且cosC+号c生cas4B=1,对4BC面积的最大植为 2 2 四、解答题：共6小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PC=V5,PD=1. (1)证明：AC⊥平面PBD; (2)求面APB与面PBD夹角的余弦值. D 16.(15分) 已知函数f(x)=x,设曲线y=f(x)在点(x,f(x)(n∈N)处的切线与x轴的交点为(xt,O),其中x=1. (1)写出x2,,并求数列{xn}的通项公式 (2)设数列{nxn}的前n项和为Sn,证明：Sn<4 17.(15分) 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物.能正常工作的摄像头数5为随机变量，其分 布列如下表所示，且（⑤）-】、每个正常工作的搭像头独立地以的概率识别出障背物（香测漏检），记识别出 障碍物的摄像头数为Y. 5 0 1 2 a b 2 (1)求a,b: (2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率. (3)工程师想通过提升单台识别率到p,使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率P(Y≥)达到0.8，这可能吗？ 请说明理由， 3 18.(17分) 年形8C0的长水1家2英边的中点治为裤E荐+若-ab>0的质点 (1)求E方程及离心率： (2)若P,Q,R三点在以AC为直径的圆上，且直线PQ,PR均与E有且只有一个公共点，证明：△PQR是 直角三角形. 19.(17分) 已知函数f(x)=(m+l)sinx-cosx,x∈[0，元]. (1)当m=0时，求f(x)的值域： (2)若∫(x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围： (3)设n∈R,若存在m∈(-o,0)使得m≤V2(f(x)-n)对x∈[0，元恒成立，求n的最大值. 4 参考答案： 21-1)=1-i, 1.【详解)0+2=2,2本1+i行= .在复平面内z对应的点为(1，一1)，位于第四象限 故选：D. 2.【详解】由指数函数y=3在R上单调递增，且3≥27，得x≥3，所以B={xx≥3}. 根据数轴求集合的运算如图： A☐B 0 234 所以A⌒B=[3,4). 故选：C. 3.【详解】由题知，双曲线焦点在x轴上，且其中一条近线方程为y=2x, 所以√m=2,解得m=4. 1 故选：A 4.【详解】因为函数()的图纹关于点（号0中心对称， 所以2×骨+p=+keZ),有四-km若ke2), 不防令=0，则g吾所以)=or2-君。 由2数君mm=z,得-8受me之， 6 5 所以f(x)的对称轴方程为x=工+mm, i22,m∈z, 当m=0时，f(x)的对称轴方程为x= 12 故选：C 5.【详解】因为f(x+2)=f(x), 所以函数是周期函数，2是其一个周期， 以f3)名2-1=f写2)=3， 又因为函数为R上的奇函数， 以2-f9+4 故选：B. 6.【详解】如图： 船的实际过河速度为：6 号-2kmh郎-2 60 6 又V实际⊥V水流，即V实际V水流=0. 所以V静水=V实际-V水流， 所以（水）了=(-Vk'→=+-2V乐Vk, 所以132=122+流-2x0→k=5 即水流速度为：5km/h. 故选：B 7.【详解】令2-2=3'-3=52-5=t,得x=log2(t+2),y=log3(t+3),z=1og5(t+5),t>-2, 在同一坐标系内作出函数f(t)=log2(t+2),g(t)=log,(t+3),h(t)=log5(t+5),t>-2的图象， t三af(t) g(t) h(t) 则x,y,z分别是函数y'=f(t),y'=g(t),y'=h(t),t>-2的图象与直线t=a(a>-2)交点的纵坐标， 观察图象得，当-2<a<0时，2>y>x;当a=0时，x=y=z；当a>0时，x>y>z, 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 8.【详解】将直线方程x+ay-2√2a+1=0变形为x+1+a(y-2W2)=0,则可知直线恒过定点 P-1,2W2), 圆0：2+y2=2(>0)的圆心0(0,0)，则0P=-1-02+(22-0=+8=3, 若r≤3，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A,B, 则∠AOB可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故r>3, 即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B,此时对于任意给定的半径r, 根据圆的性质，当OP⊥AB时，弦AB最短，∠AOB最小，此时弦长|AB=2r2-OP=2F2-9, 在△AOB中，OA=OB=r,当∠AOB=60°时，△AOB为等边三角形，此时|AB上r, 由题意，已知∠AOB最小值不大于60°，则最小值对应的弦AB满足|AB≤r, 即2√r2-9≤r,解得r≤2√5， 综上所述，3<r≤25. 故选：C. 9.ACD 【分析】先由周期公式求出ω=4得到函数解析式，再逐个选项代入求值、换元结合复合函数单调性法则、利 用正弦函数对称中心性质判断正误. 详解】对于A,由函数©的最小周期为，得红-解得o=4,A正确} 对Fc,当e（后时，令1=r+(引。 因为1=4k+名在x(云)上单调迷增，y=s加在（到上单调迷增， 8 由复合函数同增异诚的性质，得在看)上单调选增，C正确： 对于D,国为(4(m0=0, 所以点云0是)的图象的对称中心，D正确. 10.ABD 【详解】选项A,当a=√2，b=1时，c=√a2-b=1,可知PF≤a+c=V2+1,所以A正确； 项8，由苏本不回知内P:-( =2,当且仅当P=PF时等号成立，即P在 上下两个顶点时，PFPF取得最大值为2，所以B正确； 选项C,因为PF≠0，PE≠0，所以PF·PE=0即PF⊥PE,,椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故 需R≥资， 可知A(0,1),F(c,0),E(c,0),所以AE=(-c,-),AE=(c,-), 即所G=t+1s0.得e1,以=≥2，离心速-台-小。 由a222可知e∈ 21 所以C错误， 选项D,设P(xy)y∈[-l,],则x2=a2(1-y2）,PA=a2(1-y2)+(0y-1)=(（1-a2)y2-2yta2+1,是开口向 下的二次函数，对称轴V=一<0， 若1<a≤√2，对称轴y≤-1，函数在[-1，单调递减，在y=-1处取得最大值，P4=4,满足PA≤2； 若a>5,对称轴1<y<0,大值在对称轴处取得.P4-C+4.g。1 41-a2）a2-111, 9 0）则叶不# <as,-号是，即号9， 所以D正确 11.AC 【分析】对于A,先求得f(2)=5,再根据题设定义解不等式即可判断；对于B,根据指数函数的单调性结合 题设定义判断即可；对于C,利用反证法判断即可；对于D,由题设易得函数f(x)=e-mx在R上单调递增， 可得f'(x)=e-2mx之0在x∈R上恒成立，进而求解判断即可. 【详解】对于A,由f(x)=2x+1,得f(2)=5, 则Ua={x2x+1≤5}={xk≤2}，故A正确； 对于B,因为函数()（ 在R上单调递减， 则U={xx≥4}，U={xx≥4}， 又4<5，所以U62U,故B错误； 对于C,假设存在使得f()≠f(-),不妨设f()>f(-), 而U%={xf(x)≤f6},0={xf()≤f(-》, 则0)U6),与题设矛盾，因此对任意都有f()=f(-), 则f(x)是偶函数，故C正确； 对于D,由于U)={xfw)≤fG)},U={xf)≤f4)}, 且对任意4<都有U∈U),因此对任意4<4都有f(4)<f(6), 所以函数f(x)=e-mx2在R上单调递增，即f'(x)=e-2mx≥0在x∈R上恒成立， 10 当x=0时，f"(x)=1>0,显然成立； 则问题等价于x>0时，g≥2m恒成立，且x<0时，g≤2m恒成立， 设g(-=x40,则g=-e x2 令g(x)<0,得x<0或0<x<1;令g(x)>0,得x>1, 则函数g(x)在(-∞，0)和(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 所以x>0时，g(=80=e,则e≥2m,即ms号； x<0时，g(x)<0,则2m≥0，即m≥0， 所以0≤m≤氵，故D错误 12.【详解】由题意41+a2+4=3a2=9,得a2=3, 41+a2+a3+a4+a5+a6+a2=7a4=35,得a4=5, 又a2+a6=2a4, 所以a6=7, 故答案为：7 13. 0.82 【详解】设事件H为随机抽取的试题属于A类”，事件K为"随机抽取的试题属于B类”，事件C为"该生解答 抽取的试题正确”. 题可得P山006，PK0004,PCm=09,cK07 10000 11 所以P(C)=P(CH)P(H)+P(CKP(K)=0.9×0.6+0.7×0.4=0.82, 即该生解答正确的概率是0.82. 14.92 2 【分折1由题设结合二倍角及诱号公式可得4A-3s号，再根据和差化积公式及正弦定理化商可得 2 26,再由 a+b=3c,进而结合AMBC的周长为12可得a+b=9c=3,再根据余弦定理得到cosS_18 Qm45写1可66， inCs42 9 ,进而根据三角形的面积公式求解即可. 【详解由awc+号4wm4上1. 2 2A+B cos 4-B=1-COSC, 得cos 2 2=2sin2C .C A-B 即si2os 2 1 因为nS40,阴以ew4生-3号 2 由和差化积公式可得，sin4+simB=2sin4+Bcos4,B-2 cosCco C A-B 2 2 2 =2cosC.3sin C-3sinC 2 2 设角A,B,C所对的边为a,b,c, 由正弦定理得，a+b=3c, 因为△ABC的周长为12，所以a+b+c=12,则a+b=9,c=3, 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC=（(a+b)-2ab-2 abcosC=81-2ab(1+cosC), 则81-2a+amG)=9,即I+oasC-治-2ax号 s2,所以cos2C=18 2 ab' 12 又c0A-B-3simC1当且仅当A=B且m73,即0=b=45,s咖CA 2 ”2时等号成立， 以aw1m'1号则88 则sin 0a6g,即abs8 又osC=2os9-12xg-1g， 2 所以5 sinC≤*4g-, 2492 则△MBC面积的最大值为y2 2 15.(1)如图，设AC,BD交于点0，连接P0, D B 因为正方形ABCD中，AC⊥BD,1分 因为sPAC为等腰三角形，所以PO1AC,2分 因为PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD..4分 (2)方法一：PD2+DC=PC2,PD2+DA2=PA, 所以PD⊥DC,PD⊥DA,且DA∩DC=D,故PD⊥平面ABCD. 以D为原点，DA,DC,DP为x,y,z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，。。。。6分 13 D 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1). AP=（-2,0,1),AB=(0,2,0), AP.i=-2x+z=0 设平面PAB的法向量为i=(x,y,2),则 AB.n=2y=0' 令x=1,则y=0,z=2,所以i=(1,0,2),.9分 又因为AC⊥平面PBD, 所以平面PBD的法向量可取AC=(-2,2,0）,.11分 设面APB与面PBD的夹角大小为O, 则cos0=cosAC,= 4C.10 4C同5x2V2=10·.13分 所以面APB与面PBD的夹角的余弦值为0. 10 方法二：（等体积法)由PD2+DA2=PA,PD+DC2=PC2,得PD⊥DA,PD⊥DC,故PD⊥平面ABCD· 由正方形边长为2，得DB=2N2;又PB2=PD2+DB2=9,故PB=3. PM+AB2=Pg2,所以Sn=)x2x5-5:同理Sm=)X1x22=V2. 11 四面体P-ABD的体积V=×Sm×PD= *2*2x2x1=2」 3… 14 设二面确4-PB-D为0，则点D到平面PMB的距离A=北 3 32V5 点D到直线PB的距离么=25%m啦-22 PB 3 2V5 由垂直于棱PB的截面关系，$im0=么=，5=3N0 h2210· 3 故cos0=V1-sin20 3v10 10 10 10 所以面APB与面PBD的夹角的余弦值为 10 16.【小问1详解】 由已知f'(x)=2x, 则曲线y=f(x)在点(x,f(xn)处的切线方程为y-f(x)=f'(xn)(x-x,), 即y-x=2xn（x-xn). 令y=0,得-x7=2x（x+1-x).。。。1分 约为七=1，代入上式，依次解得三)，二 4。。。3分 因为名-120，所以520，得m-受所以号 x,2·。。。。4分 解法一：故数列{x}为等比数列，首项为1，公比为).。。。。。。5分 所以x,= 。。。。。6分 .1 解法二：当n≥2时，x=.1点x n-1x-2 21. 15 当n=1时，因为x=1,所以上式亦成立. 所以x= 【小问2详解】 n 解法一：x,= 2-1·。。。。。7分 2+2+4”-1n ,2.3 Sn=1+三 22+ 2’。。。。。8分 1 卡+2±3+.+n-1n了 2-十20，。。。。。9分 两式相减可得： …到 =1+ 。。。。11分 n 11 2n 2 所以8=42是.。：。。4分 因为2>0，所以$，<4。。15分 解法心72” 令cn=n-1 27，则x。=c1-cn 2m+4=4-n+2 =6-G)+(6-9)t+(c-c)=c46=”2 2-1 16 因为导0，所以5<4 17.【详解1（1)(1)由题意知，a+b+1E(G)=0+6+1-,2分 2 解得0=b-=44分 1 (2)（2)设事件A=恰有1台摄像头识别出该障碍物，B,=有(=01,2)台摄像头正常工作， 由全概率公式知， P(A)=P(B)P(A B)+P(B)P(4 B)+P(B2)P(4 B2) P(4) 3 号8分 6 (3)不可能，理由如下.9分 因为P叫5=0，Y=0)=4,P5=Y=0)=x-p）,P5=2Y=0)=2x0-p 阴以Pv-0-0-p+0-p-p2-p1.11分 若要P≥208，则PV=0小≤02，即-+1≤02，…13分 上式化简为10p2-25p+16≤0，△=(-25)-4×10×16=-15<0，故此不等式无解，故不能达到要求..15分 18.【小问1详解】 依题意，2a=4,2b=2,则a=2,b=1,。。。2分：半焦距c=√5，。。。。3分 所以世E的方指为车y-1,。:。:4分%心率为e=台- 。。。。。。5分 4 17 【小问2详解】 法一：依题意，以AC为直径的圆0的方程为x2+y2=5,。。。。6分 当点P是矩形的顶点时，PO,PR均与坐标轴垂直，此时∠RPQ=元： 当点P不是矩形顶点时，设点P的坐标为(x,y),直线PQ的方程为y-y=k(x-), kx-k6消去y得：1+4k)x+8跳，(-kx+4。-)P-4=0, 由 x2+4y2=4 由△=64K20y0-kx)2-41+4k)[4(6-kx)2-4]=0,化简得(4-x)k2+2xk+1-=0, 设直线PR的方程为y-o=k(x-x),同理得：(4-x)k+2xoyk+1-=0, 于是飞，k2是关于k的一元二次方程(4-x)k2+2xyk+1-哈=0的两根， 1-y6又x2+6=5,因此kK,=4-2-一1，PO LPR,即∠R 4-x 所以△PQR是直角三角形. 法二：设M,N分别为Pp,PR与E的公共点，且P(x,y),M(x,y),N(x2,y2), 以AC为直径的圆O的方程为x2+y2=5, 当点P是矩形的顶点时，PO,PR均坐标轴垂直，此时2RPO= 当PM,PN的斜率都存在时，设PM:y-y=k(x-x),PN:y-2=k2(x-x2), y=kx+0-k)消去y得：Q+4kx2+80-kx+40y--4=0, 由 x2+4y2=4 则△=64k2(y-kx)2-4(1+4k[4(y-k)2-4]=0,化简得(4-x)k2+2xyk+1-y=0. 又季-片=1，则4+24+手=0.即2+=0，解符5=衣 18 圆理得：kE是，自线PMyy,即士4=4，自线PN+4y4 4y2 又直线PM,PW过点P,则x+4yy=4,x2x+4y2=4, 于是直线MW的方程为：+4y,y=4,由。+4y4 x+4y2=4消去， 得(x+4y)x2-8xx+16-16y=0,则x+2= 8x0 2+4西七=16-16 x+4yo 出= Xx2 x62后 于是k:-616-+ 1 x6xx2-4x（x+x2)+16 4%%42% 16y1-y) x6+4y 510 1-5-x62=-1, =,又G+6-5,则k=4后 326,+164-6 x号+4好号+4 因此PM⊥PN,∠RPQ=T 2 所以△PQR是直角三角形 A M R 19.【小问1详解】 当m=0时，由f(x)=sinx-xcOSx,得f'(x)=cosx-[cosx+x(-sinx】]=xsinx,。。。1分 又x∈[0，，x≥0，six≥0，所以f'(x)≥0，故f(x)在[0，单调递增.。。。。。。2分 又f(0)=sin0-0=0,f(π)=sinm-π×cosm=π，。。。。3分 19 故f(x)在0，π]上的值域为[0，·。。。。。。。。4分 【小问2详解】 由（1)可知m≠0； 依题意得：f'(x)=(1+m)cosx-[cosx+x(-sinx)】=xsinx+-mcosx; （i)若m<0, ①x∈2元时，sinx≥0，meos>0,此时f'(>0, 故f(x)在 无极值. o当e0写引时，令例=了()-imr+mcsr,得x-(-msir+ox. 由1-m>0,sinx≥0，xcosx≥0，则φ(x)≥0，从而(x) 0, 单调递增. 又(0)=0+m<0,2 π） 0 2 由零点存在性定理可知，存在x∈0,5 (0使得(6)=0. 从而当xQ)f(<0,当x(引.f>0. f(x)在[0，o)单调递减，在o·2 单调递增， 所以f(x)是f(x)在0，π上唯一的极值且为极小值，故m<0符合题意. (i)若m>0,e（径不，f()=m+inc=csm+tan时） 20 令o()=iamr,x∈2元，0(x)=0, 则(x)= xsinx sinxcosx+xcosx+xsinx sinxcosx+ cosx cosx cos-x 令p(x)=sinxcosx-+x= 2sin2x 则(=co2x+1≥0，故p()在单调递增。 所以po0)-0,即小≥0，所以y在行单调增. 因为(m)=0,x→巧时，)→0， 所以(x)的值域为(-o,0]. 0 故当m>0时，-m=xtanx有唯一解x,, 且当x（爱时，了>0，f单调增： 当x∈(x,π)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 此时f(x)在2π有唯一极大值点，不合题意，故m>0舍去。 21 综上，m<0.:。。。。。10分 【小问3详解】 解法一：由（2)可知，∫(x)有目仅有一个极小值点x,, 故f(x)mn=f(x)=(m+1)sin,-cos· 因为f'()=mcos,+osin,-0,所以m=sin6 coSxo 由题意知，f(之2。 多m+n,可得f(x)nmn=f(xo)=(m+l)sinx-xoCOSxo2 2 2 m+n, 即 1- Xosinxo Sinx,-x,cosx≥ 互Xosinxo+n, cosxo ② 化简得n≤sinx,- 。-sin,e0 (2 cosxo 设g()=sin- 72 cOSx 2 人 (sinx+xcosx)cosx+ 2 2 -sinx sinx g'(x)=cosx- cos'x Cosv sincos 2 xcos-cos-xsin xsin2x cosx Cox(cos) sinreosn xcos2x+sin2x） cos2x √2 -cosxsinx+ -sinxcosx-xsinx+ 2 2 cosx 22 (2 cosxsinx sinxx sinx- 2 2 cosx (cosxsinx+x) 2 cos2x 因为x∈0,2)，所以sinx+x>0, 当0c时， 2 -six>0,g'(x)>0: 当子x时， 2 2-simx<0,8'(y<0: 故e()在0到上前调运增，在年)上单调选减。 以=引-91-牙引比-子题限，-引 的大是1-)分 据上：由m6-网符sr是m。 令-利-5aa1-5n 2m, 因为g'(x)=f'(x), 由(2)知，8(x)有且仅有一个极小值点，，且8(x)m=g(x). 23 @当m=-晋时，8倒=-子o+sinx,因为8任-0，所以6-开 4 又8在0上递减，在[子上.所以d=8） 所以n≤ @当m<平时，因为g（ 2 又8(x)在[0，]上递减，所以8()m=8(o)<8 - s) 国当子<m<0时，因为 {-99子0到】 又小上诺以ea)水目号气-到 时加8 综上，当m=一平时，n取得大值， 依题意n的最大值为 24