15.4.1 等腰三角形中的分类讨论 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 15.4.1  等腰三角形中的分类讨论（章末专题特训 1） 学生版  15.4.1　等腰三角形中的分类讨论 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　顶角与底角：一个角的两种身份 2 　　题型 2　腰上的高：落在形内还是形外 3 　　题型 3　周长被中线一切：腰底互换 4 　　题型 4　坐标与网格：数等腰三角形的个数 6 　　题型 5　画出来的等腰三角形有几个 7 　　题型 6　一条直线分成两个三角形 9 　　题型 7　沿 BD 剪开：两张纸片都要等腰 10 　　题型 8　运动与旋转中的等腰 11 　　题型 9　综合探究：二分线与伴侣分割线 13 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 15 　题型 1　　顶角与底角：一个角的两种身份 知识梳理 题目只说"等腰三角形中 "，这个 可能是顶角、也可能是底角，一律要分两种算；底角必须小于 两分法是全部起点：已知等腰三角形中一个角为 ①若 是顶角，则两个底角各为 ②若 是底角，则另一个底角也是 顶角为 ．答案最多三个：．f11 的 就得 与 两个底角。 为什么顶角只能有一个：底角相等，若有两个顶角，第三个角既是顶角又是底角，内角和就凑不出来；所以"谁当顶角"这件事，本质上是三个角里挑一个特殊，挑法最多三种，四种以上一定是算错了。 钝角只能当顶角：若 还把它当底角，两个底角之和已 三角形不存在．所以 时答案唯一——这正是 s33 第（2）问的第一层分类： 时 只能为顶角， 只有一个值。 第二层分类：三个候选值会不会撞车（s33 的杀手问）。当 时三个候选值是 它们可能相等，相等时解的个数就减少。解 得 解 得 解 也得 ．三个等式同时卡在 ，所以只有当 且 时， 才有三个不同的度数．（ 时是等边三角形，三个角全一样。） "一半 / 两倍"型（f18）："一个内角是另一个内角的一半"，设底角为 则三个内角要么是 （半个的是顶角），要么是 （一半的是底角）．前者 得 后者 得 ．设"底角"而不设"顶角"，两种情形都只用一个未知数。 f19 的"外心"型：两腰中垂线的交点 满足 于是 与顶角 的关系要看 在形内还是形外： 在形内（ 为锐角）时 在形外（ 为钝角）时 ．本题 由 得 由 得 ．别只写 。 易错　①只算" 是顶角"一种；　②把钝角当底角还在求解；　③三个候选值撞车时当成三个答案；　④f19 只写形内一种；　⑤解出的角不回头验证内角和。 要点　一个已知角 顶角 / 底角两种身份；钝角只能当顶角；候选值相等时要合并。 1．  一半与两倍 若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为      ． 　 2．  80 度求 B 数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形中，求的度数.（答案：） 例2 等腰三角形中，求的度数.（答案：或或） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形中，求的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 3．  中垂线交点 P 已知等腰中．两腰的垂直平分线交于点已知则等腰三角形的顶角为      ． 　 　题型 2　　腰上的高：落在形内还是形外 知识梳理 "一腰上的高与另一腰的夹角为 "，这条高可能落在腰上（锐角三角形），也可能落在腰的延长线上（钝角三角形），同一句话对应两个底角 先把它塞进直角三角形：作腰 上的高 则 题给的 就是 ．在 中立刻得 ．这一步与分类无关，先算出来再说。 再判断 是谁（分类就发生在这里）：①锐角三角形时，垂足 落在线段 上， 就是顶角 底角 ②钝角三角形时，垂足 落在 的延长线上， 是顶角的外角，顶角 底角 ． c08 的算例（）：．锐角情形底角 钝角情形底角 ．答案 或 。f13（）同理：底角 或 记住 与答案的关系式 与 ，心算即可验算。 两条答案的"和"是个漂亮的自检：——因为两个底角分别是 与 和恒为 ．算出两个底角后加一下，不等于 就是算错了。 同族的"中垂线"型（f14）： 的中垂线与 所在直线相交，所得锐角为 ．中垂线垂直于 所以 与 的夹角为 或 （"所在直线"四个字就是分类信号）．顶角 时底角 顶角 时底角 ．看到"所在直线""延长线"就要条件反射地想到第二种情况。 易错　①只画锐角三角形一种图；　②钝角情形把 当顶角；　③忽略"所在直线""延长线"这类字眼；　④两个底角之和不等于 却不回头查。 要点　高的夹角 锐角形底角 钝角形底角 。 1．  腰上高 42 度 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为那么这个等腰三角形底角的度数为 （  ） A． B． C．或 D．或 2．  腰上高 50 度 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则这个等腰三角形的一个底角的度数为      ． 　 　题型 3　　周长被中线一切：腰底互换 知识梳理 一腰上的中线把周长分成 "整腰 半腰" 与 "底 半腰" 两段，差恰好是 腰底哪段大哪段小不知道 两组方程 先看清被切成了什么： 是 上的中线，则 ．分出的两段是 与 ．两段都含 ，所以它们的差 就是腰与底之差；而两段之和仍是原周长。 设腰 底 最省事（因为一半是 ）：两段变成 与 ．s26 的"分成 和 "就是 或 得 或 即腰 底 或腰 底 ． "差"型（f20）先写绝对值：一部分比另一部分长 即 也就是 再配上"底边 "给的条件（这里 ）得 或 腰 或 ，然后检验： 构不成三角形，舍去，只剩腰 ． "比例"型（f12）照比例写两套：周长 被分成 即两段是 与 ． 可能等于 也可能等于 ．解完必须验三边： 时腰 底 构不成三角形，舍去；另一组腰 底 成立，故底边 cm． "给周长和一边"型（c07）是另一条线：周长 一边 这"一边"可能是腰也可能是底：① 是腰，则底 三边 成立；② 是底，则腰 三边 成立．s28 第（1）问（分成 与 ）算完也要这样验，腰 底 成立，腰 底 不成立。 易错　①两段之差算成"腰 半腰"；　②只写""一套方程；　③差型忘了加绝对值，漏掉腰小于底的那组；　④解完不检验三边能否成三角形（f12、s28 都靠这一步舍解）；　⑤"一边长 "直接当腰。 要点　设腰 底 两段为 与 差 腰底和 原周长；两组都要解，解完必验三边。 1．  中线分成 1 比 2 等腰三角形的周长是一腰上的中线将周长分为两部分，则此三角形的底边长为      ． 　 2．  中线分差 5 已知等腰三角形的底边长为一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长那么这个三角形的腰长为        cm． 　 3．  21 与 27 等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长． 　 　 　 4．  周长与高两问 （1）在等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为求这个等腰三角形的底角的度数． 　 　 　 　 　 　题型 4　　坐标与网格：数等腰三角形的个数 知识梳理 三个点里哪个是顶角不知道 按" / / "三种，分别用中垂线与以顶点为圆心的圆去扫，最后删掉重合与共线 "两圆一线"是唯一靠谱的计数工具：已知两点 要找 使 等腰，分三种身份——① 在 的中垂线上；② 在以 为圆心、 为半径的圆上；③ 在以 为圆心、 为半径的圆上．中垂线一条、圆两个，与题目限制的直线/网格求交，交点就是答案。 c02 的坐标算例： 在 轴上．① 两个；②以 为圆心 为半径的圆与 轴交于 与 与 重合要舍，留 ③ 的中垂线 与 轴交于 ．共 个． "重合点必须删"是本类题的第一杀手：以 为圆心的圆一定过 求交时 自己会冒出来；中垂线一定过 中点，中点若落在 轴上也要判是不是与别的点重复．数完先清一遍重复，再数。 网格题（f17）用"数格子"代替算距离： 是格点，先算 于是要找的 满足 （横向 纵向 的格点）或 或 （ 中垂线上的格点）．按 这个" 小斜边"去套格点，比在图上盲找快得多；本题共 个点。 直线上动点（c09）与网格同构： 在直线 上，要与 中某两个构成等腰，仍按"两圆一线"与直线 求交，每个交点都要回头核对" 是否与已有的 重合"．先算角度再算位置：则 这些角会直接告诉你哪些交点恰好与 重合。 易错　①只画中垂线，忘了两个圆；　②把与已知点重合的交点算进去；　③网格里不先算已知边长度，凭眼睛找；　④坐标系里漏掉 轴另一侧的对称点；　⑤数完不列表复核，同一位置数两遍。 要点　两圆一线： 找中垂线， 与 找圆；交点排序去重后计数。 1．  x 轴上 4 个点 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有  （  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．  网格 7 个点 如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有      个． 　 3．  直线 BC 上动点 如图，在中，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有 （  ） A．个 B．个 C．个 D．个 　题型 5　　画出来的等腰三角形有几个 知识梳理 "以图形中某条线段为腰或底，第三个顶点落在图形边上"，要把"谁是顶角"的三种身份逐一试，再逐个检验顶点是否真的落在边上（不是延长线上） 先固定"已知边"，再轮换它的身份：已知边 可以是 ①腰、顶角在 （）；②腰、顶角在 （）；③底（）．三种身份分别对应"以 为圆心画弧""以 为圆心画弧""作 中垂线"，与图形的边求交，交点就是第三个顶点．这条动作和上一讲的"两圆一线"是同一件事，只是场地从坐标系换成了三角形、矩形。 c10 的关键在"点 落在 的边上"： 中 以 为边作等腰 必须在 三条边上．三种身份各画一遍，其中""的弧会与 边相交、""的弧会与 边相交、""的中垂线会与 边相交，最后数落在边上的点，别把落在延长线上的算进去。 f15 的矩形题先算清"哪条边够长"：矩形 以一边为边画等腰三角形、第三顶点落在其他边上．把矩形四条边逐条当"已知边"，每条边都试三种身份，再用"圆或中垂线是否够得着对面那条边"筛掉画不出的情形（半径不够就交不上），本题共 个． c04 是"数现成的"而不是"画新的"：三条高交于 先把所有能算的角算出来（ 配上各垂足处的 ），再把"两个角相等"的三角形列出来；按"含 的三小块 / 由两块拼成的 / 整个大三角形"分层数，每数一个就在图上标号，避免重复与遗漏。 这一类题的通用检验清单（三条，缺一不可）：①顶点是否落在线段上（不是直线）；②三条边是否互不重合（重合只算一个）；③是否与"已知边"本身重合（等腰退化成一条线段不算）．画完在图上逐个打勾，比在心里数可靠得多。 易错　①只试"已知边当腰"一种身份；　②把落在延长线上的交点算进去；　③同一位置画两次记成两个；　④c04 数三角形时大小混着数、重复计；　⑤"最多"两字读漏，画出一个就交卷。 要点　已知边三种身份 两弧 一条中垂线；交点必须在线段上，重复的只算一个。 1．  以一边为腰画几个 如图，在中，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是 （  ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 2．  以 BC 为边作等腰 如图，在中以为边作等腰使点D落在的边上，则点D的位置有  （  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．  矩形里画等腰 已知矩形ABCD,,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为      ． 　 4．  三条高里的等腰 如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知则图中的等腰三角形共有 （  ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 　题型 6　　一条直线分成两个三角形 知识梳理 一条直线把三角形分成两个三角形，这条直线必过某个顶点并与对边相交；要数"最多几条"，就按三个顶点分类，每个顶点下再按"哪两条边相等"细分 先证"必过顶点"：一条直线把三角形切成两块，若直线与两条边相交于内部点，切出的是一块三角形加一块四边形；要两块都是三角形，直线必须穿过一个顶点．所以全部候选直线只有"过 ""过 ""过 "三族，每族里再由"与对边的交点位置"连续变化。 "一个是等腰、另一个不是"要成对检查：过顶点 的直线交 于 切出 与 这两个三角形共用 一个变等腰往往把另一个也带成等腰，所以要找的是"恰好一个等腰"的临界位置，答案通常是离散的几个点。 f16 的算法（ 三角形）：以 为腰时，在 上取点使 以 为底时，取 （ 中垂线与 的交点）．三种顶点族各数一遍，共 条．每一条都要回头确认"另一块不是等腰"。 c05 的 三角形自带直角：故 直角这个额外条件会让某些分割"顺手"把另一块也变成等腰，所以候选要多、剔除也要多；先把 算出来再画图，不先算出直角，图画出来就是错的。 这类题的画面纪律：一个顶点画一张图，同一张图里把该顶点的候选直线用不同线型分开，每条线旁标"哪两条边相等"；最后合并三张图的条数。不要在一张图上叠三条族的线——线一多必然漏数。 易错　①画了不过顶点的直线（切出四边形）；　②只数"过最长边对应顶点"一族；　③不检查另一块是否等腰；　④c05 没先证出直角就作图；　⑤把"最多"当"有几条都写"。 要点　直线必过顶点；按三个顶点分族，每族按"哪两边相等"细分；总数 三族之和。 1．  3-4-5 分割直线 已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （  ）条． A．4 B．5 C．6 D．7 2．  4-5-6 分割 7 条 已知的三条边长分别为4，5，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画      条． 　 　题型 7　　沿 BD 剪开：两张纸片都要等腰 知识梳理 一张纸片沿 剪成两块，两块都要等腰 先从"给了确定角的那个三角形"下手，把它的三种等腰身份穷举，再由邻补角把角传给另一块 先挑软柿子：题目给的确定角在哪个三角形里，就先穷举那个三角形．f22 / f23 给的是 就先让 等腰，三种身份：① ② ③ ．三条路各得一个 ，一个都不许省。 再用邻补角传给另一块： 共线（ 在 上），所以 ．这一步是本类题的唯一桥梁，画图时一定把 这条线画直，画歪了角就传错。 f23 的完整算例（）： / / / / ．而 等腰时，若 或 都要求底角为 且需 ，三个 全 所以只能 得 / / ．"顶角必须是锐角"这一条把三种身份砍到一种，这是本题的关键推理。 f24 反过来（给的是 ）：这次先穷举 ① ② ③ ．再传回 / / 逐一让 等腰，得 / / ．第三种（）三种身份都成立且都给出 ，所以答案仍只有三个值，写作 或 或 ． 答案要"去重"不要"凑数"：几种身份算出同一个角时只写一次；同时用内角和复核每个结果——把 和剪开线上的角代回两个三角形，内角和不为 就说明哪一步身份代错了。 易错　①只穷举做了"看起来顺眼"的那一种身份；　②忘了 这一步；　③不筛"顶角必须小于 "，得出不存在的三角形；　④几个身份算出同一个角却写成多个答案；　⑤不代回内角和验算。 要点　先啃给定了角的那个三角形（三种身份穷举） 邻补角传给另一块 再穷举三种，最后去重并验内角和。 1．  剪开 A 等于 72 如图，有一三角形纸片中，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是      ． 　 2．  剪开 C 等于 30 如图，有一个三角形纸片沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是      ． 　 　题型 8　　运动与旋转中的等腰 知识梳理 点在射线（线段）上动、线段绕点旋转，等腰的"身份"随位置变，按"哪两条边相等"分三种，每种解出对应位置或角度，最后检验点是否在允许范围内 动点题的固定套路：①先画出"起点、终点、题给的定点"这几张关键位置的图；②对每个位置，按"哪两条边相等"分三种身份算；③每种身份都要回答"这个点落在哪一段上"，不落在题目给的范围内就舍去．分类讨论 + 范围检验，两件事都做完才算完。 c01 是纯角度版： 平分，故 在射线 上， 等腰：① ② ③ ．三种都成立，故 或 或 ．注意这里的"三种"是边相等顺序，不是"顶角是哪个点"。 c01 里的"射线"两个字也管范围： 在射线 上，若某种身份算出的 落在反向延长线上，就要舍．先算角、再回看 的位置， 为钝角时 一定在 的外侧，这类几何直觉能帮你快速判断取舍。 f21 的旋转题把"旋转角 "当未知数： 绕 顺时针转 得 于是 是等腰、 也是等腰．再由" 等腰"分三种身份（ / / ），每种都化成关于 的一次方程，解得 最后用 筛一遍． s25 是"全等 + 等腰"的复合题：由 得 ，配上 就凑出 （ASA），于是 ．这类"一线三等角"里，等腰与全等是同一枚硬币的两面：证明全等用角，求长度用对应边。 易错　①三种身份算完不做范围检验；　②把"哪两条边相等"和"哪个点是顶角"混为一谈；　③旋转题忘了 这个隐藏条件；　④s25 里把 当多余条件；　⑤答案写成"一个值"，漏掉运动过程中其他位置。 要点　动点 / 旋转题 三种身份 范围检验；线上一动点常配"一线三等角"导全等。 1．  角平分线与等腰三解 如图，平分如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为 （  ）． A． B．或 C． D．或或 2．  旋转 m 度 如图，在中，边BA绕点B顺时针旋转m（180）得到线段BD，连接AD、DC，若为等腰三角形，则m所有可能的取值是      ． 　 3．  动点与一线三等角 如图，在中，点在线段上运动（与不重合），连接作交线段于点． （1）当时，            ． （2）当      时，？请写出证明过程． （3）在点的运动过程中，什么时候是等腰三角形？求出此时的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 9　　综合探究：二分线与伴侣分割线 知识梳理 新定义题：先把定义翻译成"要几个等腰、要几个直角、线从哪里过"的硬条件，再照条件画图；答案一般不唯一，每个答案配一张示意图并标出顶角 读定义要抓到"三个量"：①线段的端点在哪里（端点可以在顶点，也可以在边上）；②分出的每块是什么形状（等腰？直角？）；③有没有附加条件（"顶角是 "" 是最小角"）．s29 的"二分线"是一条线段把三角形分成两个等腰三角形；"三分线"是两条线段分成三个等腰三角形；名字不同，动作完全一样：数等腰的个数。 画"二分线"从不给角度的那个顶点试起：一条线段分三角形为两块，若两块都是三角形，这条线段的端点必是"一个顶点 对边上一点"．于是候选只有三族（过 过 过 ），每族里让两块分别等腰，用"等腰 两底角相等"直接列方程求分割点位置。 s29 第（1）问的标准答法：图 1 三个内角已知，先算出三个角，从最大角的顶点引线（最大角更容易被"平分"成两个可用的角），画完在图上标出每个等腰三角形的顶角度数（题目明确要求"标出顶角"）；第（2）问顶角 的等腰三角形要画"三分线"，两条线、三个等腰、 要在某一块里当顶角，多画几种布局，逐个验证三块都等腰。 s32 的" 是其中一块的顶角"是强条件：过顶点 的直线把 分成两块， 必须是其中一块的顶角——这等于指定了"哪两条边相等"，于是三种身份砍到一种，剩下的只是"另一个三角形怎么等腰"的三种可能．第（1）问 直接算；第（2）问要的是 与 的数量关系，把三种身份各推一遍，写成三段的"或"，别只写一种。 探究题的得分纪律：①每个答案一张小图（不许一张图塞三种）；②图上标出相等的边（用短杠）与相等的角（用弧）；③最后写"综上"时把答案按大小排序；④写"存在"或"不存在"的结论句——新定义题常有一问是"是否可能"，答"不可能"也要给出理由（内角和超 最大角冲突等）。 易错　①只给一个答案就收笔；　②图上不标顶角，阅卷无从判断；　③把分割线画成"过两个边上点"（切出四边形）；　④s32 忽略" 是顶角"这个限制，把三种身份都当答案；　⑤"是否可能"一问只写结论不给理由。 要点　新定义 翻译硬条件 分族画图 每图验证 排序写综上；图上必标相等边与顶角。 1．  C 是顶角 如图，在中，过顶点的一条直线把分割成两个等腰三角形，且是其中一个等腰三角形的顶角． （1）当时，是多少度？说明理由； （2）当为中最小角时，请探究与之间的数量关系． 　 　 　 　 　 2．  二分线与三分线 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （3）在中，其最小的内角过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜给角求底角、给周长与一边求腰、外角转内角 1．  70 度求底角 等腰三角形有一个角度数为则这个等腰三角形的底角的度数为      ． 　 2．  周长 10 一边 4 等腰三角形的周长为其中一边长为则该等腰三角形的腰长为  （  ） A． B． C．或 D．或 3．  外角 100 度 等腰三角形的一个外角等于则与它不相邻的两个内角的度数分别为  （  ） A． B． C． D．或 B 组　提升题 必做｜中垂线的位置分类、中线分周长、两张纸片都等腰 1．  中垂线锐角 70 在中，的中垂线与所在直线相交所得的锐角为则底角等于      ． 　 2．  12 与 15 如图，在中，AC边上的中线BD将的周长分成为和两部分，求三角形的底边BC的长． 　 　 　 3．  剪开 A 等于 80 有一张三角形纸片ABC，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数可以是      ． 　 C 组　拓展题 选做｜两种分割画法、伴侣分割线、腰上高的两解 1．  腰上高 36 度 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为求这个等腰三角形的底角的度数． 　 　 　 2．  22.5 度分割 （1）操作实践：中，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：中，最小内角若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 　 　 　 　 　 　 　 3．  伴侣分割线 已知中，是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt中，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且显然直线BD是关于点B的伴侣分割线． （1）如图2，在中，．请在图中画出关于点B的伴侣分割线，并标注角度； （2）在中，设的度数为y，最小内角的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，存在关于点B的伴侣分割线． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4.1  等腰三角形中的分类讨论（章末专题特训 1） 解析版  15.4.1　等腰三角形中的分类讨论 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　顶角与底角：一个角的两种身份 2 　　题型 2　腰上的高：落在形内还是形外 5 　　题型 3　周长被中线一切：腰底互换 7 　　题型 4　坐标与网格：数等腰三角形的个数 10 　　题型 5　画出来的等腰三角形有几个 13 　　题型 6　一条直线分成两个三角形 18 　　题型 7　沿 BD 剪开：两张纸片都要等腰 20 　　题型 8　运动与旋转中的等腰 22 　　题型 9　综合探究：二分线与伴侣分割线 26 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 29 　题型 1　　顶角与底角：一个角的两种身份 知识梳理 题目只说"等腰三角形中 "，这个 可能是顶角、也可能是底角，一律要分两种算；底角必须小于 两分法是全部起点：已知等腰三角形中一个角为 ①若 是顶角，则两个底角各为 ②若 是底角，则另一个底角也是 顶角为 ．答案最多三个：．f11 的 就得 与 两个底角。 为什么顶角只能有一个：底角相等，若有两个顶角，第三个角既是顶角又是底角，内角和就凑不出来；所以"谁当顶角"这件事，本质上是三个角里挑一个特殊，挑法最多三种，四种以上一定是算错了。 钝角只能当顶角：若 还把它当底角，两个底角之和已 三角形不存在．所以 时答案唯一——这正是 s33 第（2）问的第一层分类： 时 只能为顶角， 只有一个值。 第二层分类：三个候选值会不会撞车（s33 的杀手问）。当 时三个候选值是 它们可能相等，相等时解的个数就减少。解 得 解 得 解 也得 ．三个等式同时卡在 ，所以只有当 且 时， 才有三个不同的度数．（ 时是等边三角形，三个角全一样。） "一半 / 两倍"型（f18）："一个内角是另一个内角的一半"，设底角为 则三个内角要么是 （半个的是顶角），要么是 （一半的是底角）．前者 得 后者 得 ．设"底角"而不设"顶角"，两种情形都只用一个未知数。 f19 的"外心"型：两腰中垂线的交点 满足 于是 与顶角 的关系要看 在形内还是形外： 在形内（ 为锐角）时 在形外（ 为钝角）时 ．本题 由 得 由 得 ．别只写 。 易错　①只算" 是顶角"一种；　②把钝角当底角还在求解；　③三个候选值撞车时当成三个答案；　④f19 只写形内一种；　⑤解出的角不回头验证内角和。 要点　一个已知角 顶角 / 底角两种身份；钝角只能当顶角；候选值相等时要合并。 1．  一半与两倍 若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质、以及三角形的内角和定理，设这个三角形的底角为x，分两种情况：①一个内角是另一个内角的倍，这个内角为底角；②一个内角是另一个内角的倍，这个内角为顶角；再根据三角形的内角和定理即可得，理解题意分两种情况讨论是解题关键． 解：设这个三角形的底角为x，由题意分以下两种情况： ①一个内角是另一个内角的倍，这个内角为底角， 则这个三角形的三个角分别为： 由三角形的内角和定理得： 解得： ②一个内角是另一个内角的倍，这个内角为顶角， 则这个三角形的三个角分别为： 由三角形的内角和定理得： 解得： 故答案为或． 2．  80 度求 B 数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形中，求的度数.（答案：） 例2 等腰三角形中，求的度数.（答案：或或） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形中，求的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围． 　思路分析　　（1）分为顶角和为底角，两种情况进行讨论． （2）分①当时，②当时，两种情况进行讨论． （1）当为顶角，则 当为底角，若为顶角，则 若为底角，则 ​或或． （2）分两种情况： ①当时，只能为顶角， ​的度数只有一个． ②当时， 若为顶角，则 若为底角，则或 当且且即时， ​有三个不同的度数． 综上①②，当且有三个不同的度数． 3．  中垂线交点 P 已知等腰中．两腰的垂直平分线交于点已知则等腰三角形的顶角为      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当在的内部时，连接根据垂直平分线性质可得根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接 ​两腰的垂直平分线交于点P， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 当在的外部，如图2，连接 由题意得： ​ ​ ​ ​ ​ ​ 则等腰三角形的顶角为或 故答案为：或． 　题型 2　　腰上的高：落在形内还是形外 知识梳理 "一腰上的高与另一腰的夹角为 "，这条高可能落在腰上（锐角三角形），也可能落在腰的延长线上（钝角三角形），同一句话对应两个底角 先把它塞进直角三角形：作腰 上的高 则 题给的 就是 ．在 中立刻得 ．这一步与分类无关，先算出来再说。 再判断 是谁（分类就发生在这里）：①锐角三角形时，垂足 落在线段 上， 就是顶角 底角 ②钝角三角形时，垂足 落在 的延长线上， 是顶角的外角，顶角 底角 ． c08 的算例（）：．锐角情形底角 钝角情形底角 ．答案 或 。f13（）同理：底角 或 记住 与答案的关系式 与 ，心算即可验算。 两条答案的"和"是个漂亮的自检：——因为两个底角分别是 与 和恒为 ．算出两个底角后加一下，不等于 就是算错了。 同族的"中垂线"型（f14）： 的中垂线与 所在直线相交，所得锐角为 ．中垂线垂直于 所以 与 的夹角为 或 （"所在直线"四个字就是分类信号）．顶角 时底角 顶角 时底角 ．看到"所在直线""延长线"就要条件反射地想到第二种情况。 易错　①只画锐角三角形一种图；　②钝角情形把 当顶角；　③忽略"所在直线""延长线"这类字眼；　④两个底角之和不等于 却不回头查。 要点　高的夹角 锐角形底角 钝角形底角 。 1．  腰上高 42 度 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为那么这个等腰三角形底角的度数为 （  ） A． B． C．或 D．或 　思路分析　　本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为需分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况讨论，分别计算底角． 解：设等腰三角形中，作腰上的高垂足为D， 则． ​与的夹角为即 ​在中，． 当为锐角三角形时， 点D在上， ​底角． 当为钝角三角形时， 点D在的延长线上， ​ ​底角． 综上，底角为或故选：C． 2．  腰上高 50 度 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则这个等腰三角形的一个底角的度数为      ． 　思路分析　　分两种情况讨论：①若②若先求出顶角即可求出底角的度数． 解：分两种情况讨论： ①若如图1所示： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ②若如图2所示： 同①可得： ​ ​ ​ 综上所述：这个等腰三角形的一个底角的度数为或． 　题型 3　　周长被中线一切：腰底互换 知识梳理 一腰上的中线把周长分成 "整腰 半腰" 与 "底 半腰" 两段，差恰好是 腰底哪段大哪段小不知道 两组方程 先看清被切成了什么： 是 上的中线，则 ．分出的两段是 与 ．两段都含 ，所以它们的差 就是腰与底之差；而两段之和仍是原周长。 设腰 底 最省事（因为一半是 ）：两段变成 与 ．s26 的"分成 和 "就是 或 得 或 即腰 底 或腰 底 ． "差"型（f20）先写绝对值：一部分比另一部分长 即 也就是 再配上"底边 "给的条件（这里 ）得 或 腰 或 ，然后检验： 构不成三角形，舍去，只剩腰 ． "比例"型（f12）照比例写两套：周长 被分成 即两段是 与 ． 可能等于 也可能等于 ．解完必须验三边： 时腰 底 构不成三角形，舍去；另一组腰 底 成立，故底边 cm． "给周长和一边"型（c07）是另一条线：周长 一边 这"一边"可能是腰也可能是底：① 是腰，则底 三边 成立；② 是底，则腰 三边 成立．s28 第（1）问（分成 与 ）算完也要这样验，腰 底 成立，腰 底 不成立。 易错　①两段之差算成"腰 半腰"；　②只写""一套方程；　③差型忘了加绝对值，漏掉腰小于底的那组；　④解完不检验三边能否成三角形（f12、s28 都靠这一步舍解）；　⑤"一边长 "直接当腰。 要点　设腰 底 两段为 与 差 腰底和 原周长；两组都要解，解完必验三边。 1．  中线分成 1 比 2 等腰三角形的周长是一腰上的中线将周长分为两部分，则此三角形的底边长为      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长的计算．分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 解：设该三角形的腰长是底边长是 根据题意，得： ​或​ 解得 ​，或​ 当三边长为：不能构成三角形，舍去； ​可以构成三角形； 因此三角形的底边长为 故答案为：． 2．  中线分差 5 已知等腰三角形的底边长为一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长那么这个三角形的腰长为        cm． 解：根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 3．  21 与 27 等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长． 　思路分析　　设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况讨论，列出方程组即可求解． 解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 则有 ​或​ 解得： ​或​ 此时两种情况都符合三角形三边关系定理， 答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12． 4．  周长与高两问 （1）在等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为求这个等腰三角形的底角的度数． 　思路分析　　（1）分“12是腰长加腰长的一半”和“6是腰长加腰长的一半”两种情况讨论，求出三条边的长度，再判断是否满足三角形三边关系即可； （2）分和两种情况，利用三角形内角和定理和等腰三角形“等边对等角”的性质求解． 解：（1）如图， 根据题意，分两种情况讨论， 若12是腰长加腰长的一半，即 则腰长 底边长 此时三角形的三条边长为8、8、2，可以构成三角形； 若6是腰长加腰长的一半，即 则腰长 底边长 此时三角形的三条边长为4、4、10，不可以构成三角形； 故该等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2． （2）分两种情况讨论： 当时，如图所示： ​ ​ ​ ​ ​ ​ 当时，如图所示： 同理可得： ​ ​ ​ 综上，这个等腰三角形的底角的度数为或． 　题型 4　　坐标与网格：数等腰三角形的个数 知识梳理 三个点里哪个是顶角不知道 按" / / "三种，分别用中垂线与以顶点为圆心的圆去扫，最后删掉重合与共线 "两圆一线"是唯一靠谱的计数工具：已知两点 要找 使 等腰，分三种身份——① 在 的中垂线上；② 在以 为圆心、 为半径的圆上；③ 在以 为圆心、 为半径的圆上．中垂线一条、圆两个，与题目限制的直线/网格求交，交点就是答案。 c02 的坐标算例： 在 轴上．① 两个；②以 为圆心 为半径的圆与 轴交于 与 与 重合要舍，留 ③ 的中垂线 与 轴交于 ．共 个． "重合点必须删"是本类题的第一杀手：以 为圆心的圆一定过 求交时 自己会冒出来；中垂线一定过 中点，中点若落在 轴上也要判是不是与别的点重复．数完先清一遍重复，再数。 网格题（f17）用"数格子"代替算距离： 是格点，先算 于是要找的 满足 （横向 纵向 的格点）或 或 （ 中垂线上的格点）．按 这个" 小斜边"去套格点，比在图上盲找快得多；本题共 个点。 直线上动点（c09）与网格同构： 在直线 上，要与 中某两个构成等腰，仍按"两圆一线"与直线 求交，每个交点都要回头核对" 是否与已有的 重合"．先算角度再算位置：则 这些角会直接告诉你哪些交点恰好与 重合。 易错　①只画中垂线，忘了两个圆；　②把与已知点重合的交点算进去；　③网格里不先算已知边长度，凭眼睛找；　④坐标系里漏掉 轴另一侧的对称点；　⑤数完不列表复核，同一位置数两遍。 要点　两圆一线： 找中垂线， 与 找圆；交点排序去重后计数。 1．  x 轴上 4 个点 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有  （  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 　思路分析　　本题考查等腰三角形的判定和性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是考虑问题要全面，不能漏解，属于基础题，中考常考题型． 分三种情形考虑为顶角，为顶角，为顶角即可解决问题． 解：如图，为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有4个． 故选A． 2．  网格 7 个点 如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有      个． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 根据题意，根据和进行格点探寻即可． 解：根据题意，根据和进行格点探寻，结果如下： 所以符合题意的点C有7个，故答案为：7． 3．  直线 BC 上动点 如图，在中，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有 （  ） A．个 B．个 C．个 D．个 　思路分析　　本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 解：如图， ​在中， ​ 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 　题型 5　　画出来的等腰三角形有几个 知识梳理 "以图形中某条线段为腰或底，第三个顶点落在图形边上"，要把"谁是顶角"的三种身份逐一试，再逐个检验顶点是否真的落在边上（不是延长线上） 先固定"已知边"，再轮换它的身份：已知边 可以是 ①腰、顶角在 （）；②腰、顶角在 （）；③底（）．三种身份分别对应"以 为圆心画弧""以 为圆心画弧""作 中垂线"，与图形的边求交，交点就是第三个顶点．这条动作和上一讲的"两圆一线"是同一件事，只是场地从坐标系换成了三角形、矩形。 c10 的关键在"点 落在 的边上"： 中 以 为边作等腰 必须在 三条边上．三种身份各画一遍，其中""的弧会与 边相交、""的弧会与 边相交、""的中垂线会与 边相交，最后数落在边上的点，别把落在延长线上的算进去。 f15 的矩形题先算清"哪条边够长"：矩形 以一边为边画等腰三角形、第三顶点落在其他边上．把矩形四条边逐条当"已知边"，每条边都试三种身份，再用"圆或中垂线是否够得着对面那条边"筛掉画不出的情形（半径不够就交不上），本题共 个． c04 是"数现成的"而不是"画新的"：三条高交于 先把所有能算的角算出来（ 配上各垂足处的 ），再把"两个角相等"的三角形列出来；按"含 的三小块 / 由两块拼成的 / 整个大三角形"分层数，每数一个就在图上标号，避免重复与遗漏。 这一类题的通用检验清单（三条，缺一不可）：①顶点是否落在线段上（不是直线）；②三条边是否互不重合（重合只算一个）；③是否与"已知边"本身重合（等腰退化成一条线段不算）．画完在图上逐个打勾，比在心里数可靠得多。 易错　①只试"已知边当腰"一种身份；　②把落在延长线上的交点算进去；　③同一位置画两次记成两个；　④c04 数三角形时大小混着数、重复计；　⑤"最多"两字读漏，画出一个就交卷。 要点　已知边三种身份 两弧 一条中垂线；交点必须在线段上，重复的只算一个。 1．  以一边为腰画几个 如图，在中，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是 （  ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 　思路分析　　根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形 ①以为圆心，长为半径画弧，交于点是等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，交于点就是等腰三角形； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点就是等腰三角形，交于点是等腰三角形；； ④作的垂直平分线交于点就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形． 综上所述，最多有7个等腰三角形．故选：D． 2．  以 BC 为边作等腰 如图，在中以为边作等腰使点D落在的边上，则点D的位置有  （  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 　思路分析　　本题主要考查等腰三角形的性质，分情况“为腰，为底”分别进行判断，即可得到答案． 解：①以为腰时， 以B为圆心、长为半径画圆，将会与有一个交点 以C为圆心、长为半径画圆，与有一个交点，与有一个交点，分别为 ②以为底时，做的垂直平分线将会与有一个交点 综上可知，点D的位置有4个， 故选C． 3．  矩形里画等腰 已知矩形ABCD,,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为      ． 　思路分析　　根据题意作出图形即可得出答案, 如图，为等腰三角形，故有8个满足题意得点． 4．  三条高里的等腰 如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知则图中的等腰三角形共有 （  ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 　思路分析　　根据三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质求角度，根据等角对等边进行判断即可． 解：由题意知， ​ ​ ​ ​是等腰三角形， ​为角平分线， ​ ​ ​ ​是等腰三角形， ​ ​ ​是等腰三角形， ​ ​ ​是等腰三角形，即共有8个等腰三角形，故选：D． 　题型 6　　一条直线分成两个三角形 知识梳理 一条直线把三角形分成两个三角形，这条直线必过某个顶点并与对边相交；要数"最多几条"，就按三个顶点分类，每个顶点下再按"哪两条边相等"细分 先证"必过顶点"：一条直线把三角形切成两块，若直线与两条边相交于内部点，切出的是一块三角形加一块四边形；要两块都是三角形，直线必须穿过一个顶点．所以全部候选直线只有"过 ""过 ""过 "三族，每族里再由"与对边的交点位置"连续变化。 "一个是等腰、另一个不是"要成对检查：过顶点 的直线交 于 切出 与 这两个三角形共用 一个变等腰往往把另一个也带成等腰，所以要找的是"恰好一个等腰"的临界位置，答案通常是离散的几个点。 f16 的算法（ 三角形）：以 为腰时，在 上取点使 以 为底时，取 （ 中垂线与 的交点）．三种顶点族各数一遍，共 条．每一条都要回头确认"另一块不是等腰"。 c05 的 三角形自带直角：故 直角这个额外条件会让某些分割"顺手"把另一块也变成等腰，所以候选要多、剔除也要多；先把 算出来再画图，不先算出直角，图画出来就是错的。 这类题的画面纪律：一个顶点画一张图，同一张图里把该顶点的候选直线用不同线型分开，每条线旁标"哪两条边相等"；最后合并三张图的条数。不要在一张图上叠三条族的线——线一多必然漏数。 易错　①画了不过顶点的直线（切出四边形）；　②只数"过最长边对应顶点"一族；　③不检查另一块是否等腰；　④c05 没先证出直角就作图；　⑤把"最多"当"有几条都写"。 要点　直线必过顶点；按三个顶点分族，每族按"哪两边相等"细分；总数 三族之和。 1．  3-4-5 分割直线 已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （  ）条． A．4 B．5 C．6 D．7 　思路分析　　本题考查了勾股定理得逆定理，等腰三角形的判定及应用，作图等知识，正确利用图形分类讨论是解题的关键． 首先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等腰三角形的性质分别利用为腰以及为底得出符合题意的图形即可． 解：如图所示： ​ ​是直角三角形，． ①当符合题意； ②符合题意； ③符合题意； ④符合题意； ⑤符合题意； ⑥ ​ ​ ​ ​ ​ ​分开的两个三角形都是等腰三角形不符合题意， ​前五种都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B． 2．  4-5-6 分割 7 条 已知的三条边长分别为4，5，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画      条． 　思路分析　　可以根据题意画出图形，根据等腰三角形的定义，分情况讨论得出符合题意的图形即可． 解：如图， 若以为腰，则当时能得到符合题意的等腰三角形； 若以为底边，则当时能得到符合题意的等腰三角形； 若以为腰，则当时能得到符合题意的等腰三角形； 若以为底边，则当时能得到符合题意的等腰三角形； 若以为底边，则当时能得到符合题意的等腰三角形， 综上，满足题意的直线有7条，故答案为：7． 　题型 7　　沿 BD 剪开：两张纸片都要等腰 知识梳理 一张纸片沿 剪成两块，两块都要等腰 先从"给了确定角的那个三角形"下手，把它的三种等腰身份穷举，再由邻补角把角传给另一块 先挑软柿子：题目给的确定角在哪个三角形里，就先穷举那个三角形．f22 / f23 给的是 就先让 等腰，三种身份：① ② ③ ．三条路各得一个 ，一个都不许省。 再用邻补角传给另一块： 共线（ 在 上），所以 ．这一步是本类题的唯一桥梁，画图时一定把 这条线画直，画歪了角就传错。 f23 的完整算例（）： / / / / ．而 等腰时，若 或 都要求底角为 且需 ，三个 全 所以只能 得 / / ．"顶角必须是锐角"这一条把三种身份砍到一种，这是本题的关键推理。 f24 反过来（给的是 ）：这次先穷举 ① ② ③ ．再传回 / / 逐一让 等腰，得 / / ．第三种（）三种身份都成立且都给出 ，所以答案仍只有三个值，写作 或 或 ． 答案要"去重"不要"凑数"：几种身份算出同一个角时只写一次；同时用内角和复核每个结果——把 和剪开线上的角代回两个三角形，内角和不为 就说明哪一步身份代错了。 易错　①只穷举做了"看起来顺眼"的那一种身份；　②忘了 这一步；　③不筛"顶角必须小于 "，得出不存在的三角形；　④几个身份算出同一个角却写成多个答案；　⑤不代回内角和验算。 要点　先啃给定了角的那个三角形（三种身份穷举） 邻补角传给另一块 再穷举三种，最后去重并验内角和。 1．  剪开 A 等于 72 如图，有一三角形纸片中，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出再求出然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ​此时 ​ 此时只有 ​ ​此时 ​ 此时只有 ​ ​此时， ​ 此时只有 ​ 综上所述，度数可以为或或 故答案为：或或． 2．  剪开 C 等于 30 如图，有一个三角形纸片沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是      ． 　思路分析　　分或或三种情况，求出再分或或三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可得解． 解：由题意知与均为等腰三角形， ①此时 ​ 此时在中只存在则 ②此时 ​ 此时在中只存在 ③此时 ​ ​时， 或 或． 综上所述，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 　题型 8　　运动与旋转中的等腰 知识梳理 点在射线（线段）上动、线段绕点旋转，等腰的"身份"随位置变，按"哪两条边相等"分三种，每种解出对应位置或角度，最后检验点是否在允许范围内 动点题的固定套路：①先画出"起点、终点、题给的定点"这几张关键位置的图；②对每个位置，按"哪两条边相等"分三种身份算；③每种身份都要回答"这个点落在哪一段上"，不落在题目给的范围内就舍去．分类讨论 + 范围检验，两件事都做完才算完。 c01 是纯角度版： 平分，故 在射线 上， 等腰：① ② ③ ．三种都成立，故 或 或 ．注意这里的"三种"是边相等顺序，不是"顶角是哪个点"。 c01 里的"射线"两个字也管范围： 在射线 上，若某种身份算出的 落在反向延长线上，就要舍．先算角、再回看 的位置， 为钝角时 一定在 的外侧，这类几何直觉能帮你快速判断取舍。 f21 的旋转题把"旋转角 "当未知数： 绕 顺时针转 得 于是 是等腰、 也是等腰．再由" 等腰"分三种身份（ / / ），每种都化成关于 的一次方程，解得 最后用 筛一遍． s25 是"全等 + 等腰"的复合题：由 得 ，配上 就凑出 （ASA），于是 ．这类"一线三等角"里，等腰与全等是同一枚硬币的两面：证明全等用角，求长度用对应边。 易错　①三种身份算完不做范围检验；　②把"哪两条边相等"和"哪个点是顶角"混为一谈；　③旋转题忘了 这个隐藏条件；　④s25 里把 当多余条件；　⑤答案写成"一个值"，漏掉运动过程中其他位置。 要点　动点 / 旋转题 三种身份 范围检验；线上一动点常配"一线三等角"导全等。 1．  角平分线与等腰三解 如图，平分如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为 （  ）． A． B．或 C． D．或或 　思路分析　　分别以每个顶点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义和性质确定的度数即可得到答案． 解：平分 ​ 如图，当时， 当时， ​ 当时， 综上可知，的度数为或或故选：D 2．  旋转 m 度 如图，在中，边BA绕点B顺时针旋转m（180）得到线段BD，连接AD、DC，若为等腰三角形，则m所有可能的取值是      ． 　思路分析　　由旋转的性质得出=BC，分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别求出m的值即可． 解：由旋转的性质得：=BC， ​为等腰三角形， ​分三种情况： ①当时，（）= ​m=130； ②当时，ABC=100 ​m=100； ③当时，ABC=100 ​ABD=360 ​m=160； 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160．故答案为：130或100或160． 3．  动点与一线三等角 如图，在中，点在线段上运动（与不重合），连接作交线段于点． （1）当时，            ． （2）当      时，？请写出证明过程． （3）在点的运动过程中，什么时候是等腰三角形？求出此时的度数． 　思路分析　　（1）先利用平角的意义求出再三角形的内角和定理求出 （2）先利用等式的性质判断出再用全等三角形的性质得出即可得出结论； （3）分三种情况，利用等腰三角形的性质求出再用三角形外角的性质求出最后用平角的性质即可得出结论． （1）解： ​ ​ 在中， 故答案为： （2）当时， 理由：当时， 在中， ​ ​ 在中， ​ ​ 故答案为：． （3）是等腰三角形， ​①当时， ​ ​点与点重合，不符合题意，舍去， 当时， ​ ​ 当时， ​ ​ 即当是等腰三角形时的度数为或． 　题型 9　　综合探究：二分线与伴侣分割线 知识梳理 新定义题：先把定义翻译成"要几个等腰、要几个直角、线从哪里过"的硬条件，再照条件画图；答案一般不唯一，每个答案配一张示意图并标出顶角 读定义要抓到"三个量"：①线段的端点在哪里（端点可以在顶点，也可以在边上）；②分出的每块是什么形状（等腰？直角？）；③有没有附加条件（"顶角是 "" 是最小角"）．s29 的"二分线"是一条线段把三角形分成两个等腰三角形；"三分线"是两条线段分成三个等腰三角形；名字不同，动作完全一样：数等腰的个数。 画"二分线"从不给角度的那个顶点试起：一条线段分三角形为两块，若两块都是三角形，这条线段的端点必是"一个顶点 对边上一点"．于是候选只有三族（过 过 过 ），每族里让两块分别等腰，用"等腰 两底角相等"直接列方程求分割点位置。 s29 第（1）问的标准答法：图 1 三个内角已知，先算出三个角，从最大角的顶点引线（最大角更容易被"平分"成两个可用的角），画完在图上标出每个等腰三角形的顶角度数（题目明确要求"标出顶角"）；第（2）问顶角 的等腰三角形要画"三分线"，两条线、三个等腰、 要在某一块里当顶角，多画几种布局，逐个验证三块都等腰。 s32 的" 是其中一块的顶角"是强条件：过顶点 的直线把 分成两块， 必须是其中一块的顶角——这等于指定了"哪两条边相等"，于是三种身份砍到一种，剩下的只是"另一个三角形怎么等腰"的三种可能．第（1）问 直接算；第（2）问要的是 与 的数量关系，把三种身份各推一遍，写成三段的"或"，别只写一种。 探究题的得分纪律：①每个答案一张小图（不许一张图塞三种）；②图上标出相等的边（用短杠）与相等的角（用弧）；③最后写"综上"时把答案按大小排序；④写"存在"或"不存在"的结论句——新定义题常有一问是"是否可能"，答"不可能"也要给出理由（内角和超 最大角冲突等）。 易错　①只给一个答案就收笔；　②图上不标顶角，阅卷无从判断；　③把分割线画成"过两个边上点"（切出四边形）；　④s32 忽略" 是顶角"这个限制，把三种身份都当答案；　⑤"是否可能"一问只写结论不给理由。 要点　新定义 翻译硬条件 分族画图 每图验证 排序写综上；图上必标相等边与顶角。 1．  C 是顶角 如图，在中，过顶点的一条直线把分割成两个等腰三角形，且是其中一个等腰三角形的顶角． （1）当时，是多少度？说明理由； （2）当为中最小角时，请探究与之间的数量关系． 　思路分析　　本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，注意同一个三角形中内角不能存在两个钝角． （1）过作直线交于．可以求出和的度数，从而求解； （2）先证出不能为另一等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解． （1）解： 理由：过作直线交于则是等腰三角形． ​为顶角， ​ ​ ​． （2）解：理由如下： ​是其中一个等腰三角形的顶角， ​ ​ ​ ​必为钝角， ​同一个三角形中内角不能存在两个钝角， ​不能为顶角， ​为等腰三角形的顶角， ​ ​ ​ ​． 2．  二分线与三分线 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （3）在中，其最小的内角过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点连接使得线段即为所求； （2）取的中点再过点作于点然后连接即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，当时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． （1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当时， ​ ​ ​ 当时， ​ ​ 当时， ​ ​ ​ 当时， ​ ​ 此时在中，其最小的内角为故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． A 组　基础题 必做｜给角求底角、给周长与一边求腰、外角转内角 1．  70 度求底角 等腰三角形有一个角度数为则这个等腰三角形的底角的度数为      ． 　思路分析　　本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 2．  周长 10 一边 4 等腰三角形的周长为其中一边长为则该等腰三角形的腰长为  （  ） A． B． C．或 D．或 　思路分析　　本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，分两种情况讨论：当为腰长或底边长，分别计算另一边的长度并验证是否满足三角形三边关系． 解：当为腰长时： 另一腰长也为底边长为周长减去两腰之和，即： ​ 此时三边为验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为 当为底边长时： 两腰之和为周长减去底边，即： 每边腰长为： 此时三边为验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为 综上，腰长可能为或对应选项C；故选：C 3．  外角 100 度 等腰三角形的一个外角等于则与它不相邻的两个内角的度数分别为  （  ） A． B． C． D．或 　思路分析　　根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质求解． 解：等腰三角形的一个外角等于 ​与其不相邻的两个内角之和是 ​与外角相邻的那个内角的度数为是锐角 ​与外角相邻的那个内角是等腰三角形的顶角或者底角， ①当与外角相邻的那个内角是等腰三角形的顶角时，与它不相邻的两个内角的度数分别为 ②当与外角相邻的那个内角是等腰三角形的底角时，与外角不相邻的两个内角的度数为 综上所述：与它不相邻的两个内角的度数分别为或故选：D． B 组　提升题 必做｜中垂线的位置分类、中线分周长、两张纸片都等腰 1．  中垂线锐角 70 在中，的中垂线与所在直线相交所得的锐角为则底角等于      ． 　思路分析　　本题主要考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理．分为钝角三角形和锐角三角形两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质计算即可． 解：如图1，是的中垂线， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 如图2， ​是的中垂线， ​ ​ ​等于或． 故答案为：或． 2．  12 与 15 如图，在中，AC边上的中线BD将的周长分成为和两部分，求三角形的底边BC的长． 解：试题分析：由在中，AC边上的中线BD把的周长分成和两部分，可得\|ABBC\|=1512=3（cm），AB+BC+然后分别从ABBC与ABBC去分析求解即可求得答案． 试题解析：略 点睛：本题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 3．  剪开 A 等于 80 有一张三角形纸片ABC，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数可以是      ． 　思路分析　　分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出再求出然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ①此时 ​BDC=180ADB=180 ​（）= ②此时（）=（）= ​BDC=180ADB=180 ​（）= ③此时， ​BDC=180ADB=180 ​（）= 综上所述，度数可以为或或 故答案为或或． C 组　拓展题 选做｜两种分割画法、伴侣分割线、腰上高的两解 1．  腰上高 36 度 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为求这个等腰三角形的底角的度数． 　思路分析　　根据等腰三角形的定义，性质，分高在三角形的内部和外部两种情形解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，高，定义，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 解：分两种情况讨论： ①若顶角如图①． ​ ​． ​ ​． ​ ​ ②若顶角如图②． 同（1）可得． ​． ​ ​． 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为或． 2．  22.5 度分割 （1）操作实践：中，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：中，最小内角若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 　思路分析　　本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想． （1）按要求画图（作的中垂线或作的中垂线）即可； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有5种情况，分别画图即可； （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 解：（1）略 （2）图1的最大角 图2的最大角 图3的最大角 图4的最大角 图5的最大角因为不是最小内角，此种情况不符合题意， 故的最大内角可能值是或或或 （3 ）略 3．  伴侣分割线 已知中，是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt中，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且显然直线BD是关于点B的伴侣分割线． （1）如图2，在中，．请在图中画出关于点B的伴侣分割线，并标注角度； （2）在中，设的度数为y，最小内角的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，存在关于点B的伴侣分割线． 　思路分析　　（1）根据伴侣分割线的定义，只需把分成角和角即可； （2）设BD为的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形；第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理解答即可． （1）如图所示： （2）设BD为的伴侣分割线，分以下两种情况． 第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形，如图3， 易知和必为底角，． 当时，存在伴侣分割线，此时y=x， 当时，存在伴侣分割线，此时y=+x， 当时，存在伴侣分割线，此时x=且 第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形，如图4， 当时，若则存在伴侣分割线，此时 ​xyx， 当时，若则存在伴侣分割线， 此时x． 综上所述，当y=x或y=+x或x=且或y=x或y=x时，存在伴侣分割线． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $