15.3.1 等腰三角形的性质讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 15.3.1  等腰三角形的性质（第 1 课时） 解析版  15.3.1　等腰三角形的性质 题型分类讲义 解析版  目　录   题型 1  等边对等角：顶角与底角互求 2  题型 2  分类讨论：内角未定与边长未定 3  题型 3  三线合一 5  题型 4  腰上的高、中线与面积 8  题型 5  等腰与垂直平分线、角平分线合体 11  题型 6  双等腰与“角随动点变” 14  题型 7  性质证明：等边对等角与三线合一 17  题型 8  综合探究 21  分层练习  A 基础 · B 提升 · C 拓展 26 　题型 1　　等边对等角：顶角与底角互求 知识梳理 两底角相等，故 底角 顶角 底角 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等．在 中，若 则 ．三个内角满足顶角 底角 知道其中一角，即可求出另一个角，这是本课时最基本的计算。 基本计算：给顶角求底角，用底角 给底角求顶角，用顶角 底角．求出后应回代检验三个内角之和是否为 可以避免多数计算失误。 和差倍关系：如“顶角比底角大 ”，设底角为 则顶角为 由 得 ．之所以设底角，是因为底角在方程中出现两次，所得方程最简单。 “一个内角”要先判断身份：只说“一个内角是 ”，它可能作顶角也可能作底角，两种情况都要算：作顶角时底角为 作底角时顶角为 另一底角仍为 ．若这个角不小于 （如 ），由于底角必为锐角，它只能作顶角，底角为 只有一解。 已知两边求周长要分情况：如两边为 和 腰取 时三边为 周长 腰取 时三边为 周长 两种都成立．每种情形都要用三边关系检验，不成立的舍去。 易错　①顶角、底角公式记反；　②“一个内角”只给一种情况；　③ 的角还讨论成底角；　④边长题不验三边关系；　⑤算完不回代检查三角和。 要点　顶角 底角 ；“一个内角”先判它能否作底角，再决定几解。 1． 等腰三角形的顶角是则这个三角形的一个底角的大小是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据等腰三角形的两底角相等，即可求解． 解：等腰三角形的顶角是 ​这个三角形的一个底角的大小是 ．故选：A 2． 已知等腰三角形中，顶角比底角大则底角的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为此题比较简单．设等腰三角形的底角为x，顶角为根据三角形内角和为得到的方程，求出的值即可． 解：设等腰三角形的底角为x，顶角为 根据题意，得 解得．故选：C． 3． 若等腰三角形有一个内角为则这个等腰三角形的底角是 （  ） A． B． C． D．或 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 解：等腰三角形有一个内角为 ​的内角是顶角， ​这个等腰三角形的底角是．故选：C． 4． 等腰三角形的一个内角是 则它的底角是      ． 　思路分析　　本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 解：当顶角为时， 则底角为： 当底角为时， 则底角为 故答案为：或． 　题型 2　　分类讨论：内角未定与边长未定 知识梳理 内角要分“顶角 / 底角”，边长要分“谁作腰”，每种都用三边关系或三角和筛一遍 两类讨论：给角时，设它作顶角、作底角各算一次；给边时，设它作腰、作底各算一次．讨论之后必须逐一检验：角看底角是否小于 边看两边之和是否大于第三边，不成立者舍去。 倍角关系：“一个内角是另一个内角的 倍”分两种：顶角为底角的 倍时，设底角为 则 底角为顶角的 倍时，设顶角为 则 底角为 ．两种都要试。 中线分周长：一腰上的中线把周长分成“”与“”（ 为腰、 为底），两种对应关系各列一组方程： 且 得 （舍）； 且 得 （成立）．条件没说明分成的两部分各是多少时，两种都要算，再用三边关系筛选。 腰上的高与另一腰的夹角：设夹角为 则顶角 （高在形内）或 （高在形外）．夹角为 时顶角为 或 两个答案正来自“高在形内还是形外”两种情形，画图时应把两种都画出来。 含绝对值的条件：如 先由绝对值得 或 再用三边关系筛： 时 （舍），故 ．含绝对值的条件必有两解，筛选是必不可少的一步。 易错　①只讨论一种情形；　②讨论完不检验；　③“底角 ”的情形不舍；　④腰上的高只画形内；　⑤绝对值方程只取正解。 要点　给角分顶/底、给边分腰/底，最后用三角和与三边关系筛。 1． 若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形的底角为 （  ） A． B． C． D．或者 　思路分析　　分两种情况讨论：底角是顶角的2倍，顶角是底角的2倍，利用三角形内角和定理即可得出答案． 设等腰三角形的底角度数顶角度数为 则 ①当时， ​解得 ②当时， 即解得 综上，这个三角形的底角为或．故选D． 2． 已知等腰三角形ABC的底边且\|AC-BC\|= 那么腰AC的长为  （  ） A．或 B． C． D．或 　思路分析　　根据等腰三角形的定义以及三角形三边长关系，即可求解． 解：等腰三角形ABC的底边且\|AC-BC\|= ​或 ​ ​腰AC的长为．故选B． 3． 等腰三角形一腰上的中线把周长分为和的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（ ） A． B． C． D．或 　思路分析　　设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为21，故应该列两个方程组求解． 设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或 解得或 ​不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为故选A． 4． 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则这个等腰三角形的顶角是 （  ） A．或 B．或 C．或 D．或 　思路分析　　首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ​ ​ 即顶角的度数为 ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ​ ​． 综上，这个等腰三角形的顶角是或．故选：B． 　题型 3　　三线合一 知识梳理 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合；知其一，另外两条同时成立 三线合一的正用与逆用：正用—— 且 是顶角平分线（或底边中线、底边上的高），则另外两条随之确定；逆用—— 且 （或 平分顶角），同样得到其余两条．“等腰”与“其中一条线”给足，另两条就是现成结论，这是本课时使用最频繁的依据。 与角度计算综合：设 是底边中线，则 平分顶角；若又知一个底角为 则顶角为 ．一般先由三线合一确定线段与角的关系，再用等边对等角求角，两条性质常常连用。 多结论判断题：给出“等腰 三线之一”，逐条判断哪些结论可以推出．能推出的只有“”；而“”这类倍数关系取决于具体数据，题目未给出角度时不能断言．判断时应逐条对照三线合一的结论，不能凭印象。 三线合一的逆用：两边相等且底边被平分，即可得这条中线垂直于底边： 平分 则 立得 ．“凉亭顶棚”“路灯固定绳”一类情境题，图形都归结为“等腰三角形底边中线即高”：由 得 绳子因此调垂直．说明原理时抓住“等腰、中点、垂直”三个要素。 答题规范：由三线合一知底边上的高即底边中线，求面积直接用 若题目问“依据”或“原理”，应完整写出“等腰三角形三线合一”，只写“轴对称”不给分。 易错　①把“腰上的中线”当成“底边上的中线”（三线合一仅对底边那条成立）；　②缺少“等腰”这个前提就使用三线合一；　③答“原理”只写“对称”、不写“三线合一”；　④多结论判断时对倍数关系凭印象取舍；　⑤面积公式漏乘 要点　等腰 顶角平分线／底边中线／底边高，任一条推出另外两条（仅限底边那条线）。 1． 如图，在中，为边上的中线，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 解：为边上的中线， ​ ​ ​ ​ ​故选：B． 2． 如图，在中，于点.下列结论不一定正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在中，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 解： ​． 故D错误，A，B，C正确．故选：D． 3．  实际应用 如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的点在上，．若的长为则的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　证明得到据此可得答案． 解：在和中， ​ ​ ​ ​． 4．  实际应用 如图，在三角测平架中，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 解：的中点处挂一重锤， ​ 又 ​ ​是重锤所在的直线， ​是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一．故答案为：等腰三角形的三线合一． 　题型 4　　腰上的高、中线与面积 知识梳理 腰上的高把等腰三角形切成两个直角三角形；底边上任一点到两腰的距离之和 腰上的高（等面积法） 腰上的高的基本图：顶角为 时 故 ．顺序是：先由等边对等角求底角，再在直角三角形中求 最后作差。 高与另一腰的夹角：设夹角为 则顶角 或 ． 时顶角为 （底角 ）或 （底角 ），两解都要写，钝角情形的高落在腰的延长线上。 等面积法：底边上一点 到两腰的距离之和 如面积为 腰长为 则距离之和为 ．这一结论与点的位置无关，宜作为模型记住，可直接处理“到两腰距离之和”一类问题。 中位线关系： 时， 是 的中点， 是 的中位线，故 ．“中点 平行 中位线”是求半值关系的常用路径，也可用等面积式 一类的等量。 写面积题的规范：同一块面积用两种底高表示，列等式 底 高 底 高 ，约掉 再解．“等面积”这一依据要写出来，它是给分点。 易错　①腰上的高与底边上的高混用；　②钝角情形的高画在形内；　③等面积法漏乘 　④未证中位线就把 写成 的一半；　⑤不写“等面积”依据。 要点　底边上一点到两腰距离之和 腰上的高；中线 平行 中位线。 1． 如图，在中，垂足为若求的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及垂直，先根据等腰三角形等边对等角得到的值，利用垂直和三角形内角和即可求． 解： ​ ​ ​ ​．故选：A． 2． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则等腰三角形的底角度数为      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论． 在等腰中，为腰上的高，讨论：当在内部时，如图1，先计算出再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出当在外部时，如图2，先计算出再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 解：在等腰中，为腰上的高， 当在内部时，如图1， ​为高， ​ ​ ​ ​ 当在外部时，如图2， ​为高， ​ ​ ​ ​ 而 ​ 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 3．  动点问题 等腰三角形的面积为腰长．在底边上有一个动点则到两腰的距离之和为      ． 　思路分析　　把原三角形分成两个小三角形，用等面积法：面积 腰 对应高，两腰相等，两个 提出来，距离之和即可求得． 解：设 到两腰 的距离分别为 连结 ． ​ ​即 ． 故 到两腰的距离之和为 与 在底边上的位置无关． 4． 如图，中，于点D，于点E，于点F，则的值为 （  ） A．6 B．7 C．8 D．9 　思路分析　　本题主要考查的是等腰三角形性的性质、三角形中线的性质等知识点，根据面积相等列出等式成为解题的关键． 利用三角形的面积相等列出来等式进行求解：然后根据面积相等列方程求解即可． 解：中，于点D， ​是的中线， ​ ​ ​即解得：．故选：C． 　题型 5　　等腰与垂直平分线、角平分线合体 知识梳理 等腰给等角，垂直平分线给等边；两样一起用，角度就能一层层往外推 两条工具的分工：等腰三角形提供“等角”（等边对等角）与“三线合一”；垂直平分线提供“到线段两端等距”，用以构造等腰．解题时先认清图中的垂直平分线，先造等腰，再用等角推。 等腰套等腰： 时，两个等腰的底角分别相等，设最小的角为 把其余各角都用 表示，最后用外角或内角和收口．如 的情形，就是每个等腰各写一组等角，再相加。 一条典型链条：得 垂直平分 得 故 再用外角得 ．“等腰 底角 垂直平分线造等腰 外角”四步缺一不可。 两腰垂直平分线的交点：交点 到三个顶点等距，故 由 得 顶角为钝角时 在形外，此时 还有 一解，两解都要写。 “平行 等腰”：平行线给内错角相等，等腰给等角，两者合用即可把已知角（如 ）拆到需要的位置，是本章的常见组合。 易错　①只用一个等腰、忘记另一个；　②垂直平分线出来了不造等腰；　③外角定理写成内角和；　④两腰中垂线交点漏掉钝角情形的第二解；　⑤“平行 等腰”不写内错角相等这一步。 要点　垂直平分线先造等腰、等腰再出等角；外心角 （钝角时取补）。 1． 如图，已知在中，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质；设根据等腰三角形性质求出根据三角形的外角性质得出根据得出等式求出即可． 解：设 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 ​ ​ ​故选：C． 2． 如图，中，延长到点则的度数为 （  ） A． B． C． D． 解： ​ ​． 3． 如图，在中，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连结AE，若则的大小为       度． 　思路分析　　先由等腰三角形的性质求出的度数，再由垂直平分线的性质可得出由三角形内角与外角的关系即可解答． 解：如图： 在中， ​ ​DE是线段AB的垂直平分线， ​ ​ 又是的一个外角， ​．故答案为：60． 4．  分类讨论 已知等腰中．两腰的垂直平分线交于点已知则等腰三角形的顶角为      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当在的内部时，连接根据垂直平分线性质可得根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接 ​两腰的垂直平分线交于点P， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 当在的外部，如图2，连接 由题意得： ​ ​ ​ ​ ​ ​ 则等腰三角形的顶角为或 故答案为：或． 　题型 6　　双等腰与“角随动点变” 知识梳理 多个等腰串起来时，设最小的角为 其余角都用 表示；动点题先定角的取值范围，再对照选项 设 法：图中有几个等腰，就有几组等角；设最小的角为 沿图形把每个角写成 的一次式，最后用内角和或外角解出 ．如三等分角仪问题中 三层等腰叠在一起，逐层往外写即可。 动点角的范围： 在 上由 移到 从 变到 （不含端点），先算两端点的值，再取中间范围．“可能是”一类问题必须先写范围，再对照选项。 双等腰的等角传递：则 再用“外角等于两个不相邻内角之和”把两个等腰联系起来，最后常得到“某角是另一角的 倍”一类的结论。 作垂线求长度：先求底角 再由补角得 又 使 则 且 在含 角的直角三角形中用“半斜边”关系求 ．每一步只处理一个角，不要指望一步到位。 “平行 双等腰”：平行线给内错角，等腰给等角，两层关系叠在同一个图上时，先把已知角经平行线搬进三角形，再做等腰的等角代换．搬角的顺序：先平行、后等腰。 易错　①不设 逐角乱猜；　②动点题不写取值范围；　③双等腰只用一个；　④作垂线求长度时漏掉外角一步；　⑤平行线搬角方向搞反。 要点　设最小角为 其余用 表示；动点角先求端点再取中间。 1． 如图，在 中，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则 的度数可能是 A． B． C． D． 　思路分析　　根据等边对等角可得,再根据三角形内角和计算出 的度数,然后根据三角形内角与外角的关系可得 , 再因为所以进而可得答案． 解： ​ ​ ​＋ ​ ​． ​ ​ 则的值可能是．故选C． 2．  实际应用 如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，点D，E可在槽中滑动，若则的度数是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据可得根据三角形的外角性质可知进一步根据三角形的外角性质可知即可求出的度数． 解： ​ ​ ​ ​故选：A． 3． 如图，D、E分别是的边上的点，若则 （  ） A．当为定值时，为定值 B．当为定值时，为定值 C．当为定值时，为定值 D．无法确定 　思路分析　　根据得到根据得利用三角形外角性质，解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​当为定值时，为定值，故选：B． 4． 如图，在中，延长BC到D，在内作射线CE，使得．过点A作垂足为F．若AF=则AB的长为  （  ） A． B．2 C．4 D．6 　思路分析　　过点C作于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出则CA平分根据角平分线的性质可得即可得AB的长． 解：过点C作于H， ​ ​ ​． ​ ​ ​CA平分 ​ ​ ​．故选：B． 　题型 7　　性质证明：等边对等角与三线合一 知识梳理 证“等角”就作底边上的中线（或高）造全等；证“三线合一”就证两条线重合 “等边对等角”的证明：作底边 的中线 则 故 （），于是 ．作中线、证全等、得等角，三步固定；作高（）或顶角平分线（）亦可，辅助线需交代作法。 逆向的问题：给 证 ．先由 得 再用等角的补角相等得 于是 （），故 ．“邻补角”这一步是全题的关键，不可省略。 与垂直平分线、角平分线综合： 是 的垂直平分线，则 故 再由 得 （角平分线上的点到两边距离相等）．两块知识各管一问，条理要分清。 定理的书面表述：要求用几何语言写出三线合一时，格式为“ 平分 ”，两个结论要一并写出，只写一个不算完整；后续各问通常再用该结论去算具体的长度或角度。 面积与三线合一：已知面积与底求高，直接用 反解；求顶角时先由三线合一得底边上的高，再在直角三角形中计算．“高”与“面积”常常配套出现。 易错　①作辅助线不交代作法；　②逆向证明漏掉“邻补角相等”一步；　③垂直平分线与角平分线的工具混用；　④书面表述三线合一只写一个结论；　⑤面积公式漏乘 要点　作中线（或高）证全等得等角；证三线合一要“两条线重合”都写出来。 1． 如图，点D、E在的边上，求证：． 　思路分析　　本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求证． 证明： ​ ​ ​ ​ ​ 2． 已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证： （1） （2）． 　思路分析　　（1）根据垂直平分线的性质可得再根据为公共边，可利用三边对应相等的三角形全等证明由全等即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得再结合可利用角平分线上的点到角两边距离相等可得． （1）证明：是的垂直平分线， ​ ​在和中 ​ ​ ​ （2）证明：是的垂直平分线， ​ ​ ​． 3．  综合实践 在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． （1）【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图在中，平分根据图用几何语言写出该定理： ​平分 ​      ，      ． ②如图在中，的周长为的周长为求的长； （2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图在中，平分且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 　思路分析　　（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得设则再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和得到进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解：①平分 ​ 故答案为： ② ​ 设则 ​的周长 ​ ​的周长 ​ ​ 即的长为 （2）证明：平分 ​ 在和中， ​ ​ ​ ​点是的中点， ​． 在和中， ​ ​ ​ ​ 即． 4． 如图，在中，分别是的中线和角平分线，相交于点O． （1）若的面积是20，且求的长； （2）若求的度数． 　思路分析　　（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得三角形的面积公式即可求解； （2）根据等腰三角形的性质求出利用角平分线定义即可得出然后利用三角形外角的性质求解即可． （1）解：是的中线，． ​ ​的面积是20，且 ​ ​ ​ （2） ​ ​是的角平分线， ​． ​ ​ ​． 　题型 8　　综合探究 知识梳理 条件越多越要“设角、标等量、找全等”；探究题先把特殊情况算完，再猜一般结论 角平分线与中线： 时，顶角平分线与底边中线恰是“三线合一”的同一条线；若二者分别是顶角平分线与底边中线，则它们重合．已知 时，先用外角把它与底角联系起来再求 第二问由三线合一得 一类的关系。 三条边相等（）：两个等腰共顶点，第 ① 问由 与 直接计算；第 ② 问“猜想 与 的关系”，先把两个角都用同一个字母表示，再看倍数关系；第 ③ 问反推位置关系，用平行线的判定．探究题三问按“算 猜 证”一条线展开。 黄金三角形（）：三个等腰串成一条链，设 则 由 得 ．顶角 底角 的三角形称黄金三角形，宜记住。 角平分线与等距： 平分 过 作 由等腰三角形底边上的高平分底边得 第 ② 问“三个角之间的数量关系”，用外角把 表示成两个大角的差的一半，“一半”型结论多来自角平分线。 探究题的书写：①把已知条件逐条翻译成等角、等边；②设字母、列方程；③写出结论并回代检验．“结论 理由”要同时写出，只写结论不给分。 易错　①分不清哪条线是三线合一的那条；　②探究题只验特殊情况就断言一般成立；　③黄金三角形不设角、直接猜 　④忽略 可直接得底边中点；　⑤结论不写理由。 要点　探究题按“算 猜 证”走；“结论 理由”两句都要写。 1．  探究证明 如图，． （1）若 ①如果那么的度数为 ②猜想和的数量关系并证明； （2）如果与有什么位置关系？请证明你的结论． 　思路分析　　本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）①等边对等角，结合平行线的性质，推出进而得到即可得出结果； ②同①即可得出结论； （2）根据等边对等角，结合推出即可得出结论． （1）解：① ​ ​ ​ ​ ​ ​ 故答案为： ②证明如下： ​ ​ ​ ​ ​ （2）解：理由如下： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 2． 如图，在中，点为上一点，且满足．点是的中点，连接并延长，交的延长线于点连接． （1）求和的度数； （2）求证：是等腰三角形． 　思路分析　　（1）设由可得：求出x的值，即可得出答案； （2）先证明垂直平分得出再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明最后得出答案即可． （1）解：设 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 由可得： 解得： 则 ​ （2）证明：是的中点， ​即 ​垂直平分 ​ ​． 又 ​ 又 ​ ​ ​ ​为等腰三角形． 3． 如图，在中，AD平分点D到点B与点C的距离相等，过点D作于点E． （1）求证： （2）请直接写出三者之间的数量关系； （3）若求的度数． 　思路分析　　（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明． （2）结论：．如图2中，作于N，交AC于M．证出再由角的和差求得． （3）如图3中，作于M，于N．首先证明推出推出由MDN=180推出CAB=180 利用（2）的结论求出即可解决问题． （1）证明：如图1中， ​ ​（等腰三角形底边上三线合一）． （2）结论：． 理由：如图2中，作于N，交AC于M． ​ ​ ​ ​ ​． 故答案为 （3）解：如图3中，作于M，于N． ​ ​ 在Rt和Rt中， ​ ​ ​ ​ ​MDN=180 ​CAB=180 ​ ​ ​CAB=180 ​CDB=120 ​ ​． 4． 如图，在中，是的角平分线，是的中线，相交于点． （1）求的度数； （2）若求． 　思路分析　　（1）根据三角形三线合一的性质可求根据直角三角形的性质可求再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可求 （2）根据角平分线的定义可求根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求可得再根据等量关系和线段的和差关系即可求解． （1）是的中线， ​是的高线， ​ ​ ​ ​是的角平分线， ​ ​ ​ （2）是的角平分线， ​ ​ ​ ​ ​ ​． A 组　基础题 必做｜直接套性质：顶角底角互求、三线合一与面积 1． 等腰三角形的一个顶角是则它的底角是 （  ） A． B． C． D．或 　思路分析　　根据等腰三角形的性质，可得底角为即可求解． 解：由题意得， 底角为故选：B． 2． 如图，在中，垂足为点D，且则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　直接根据三线合一定理求解即可． 解： ​．故选C． 3． 如图，已知平分．若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　首先根据平行线的性质求出的度数，再利用角平分线的定义求出 的度数，接着利用等腰三角形的性质求出 的度数，最后根据角的和差关系求出的度数． 解： ​ ​平分 ​ ​ ​ ​ ​． 4．  实际应用 如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和当点在同一直线上，且固定点到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于这种操作方法的依据是 （  ） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 　思路分析　　本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系． 解：已知所以是等腰三角形． 又因为所以是等腰底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即． 因为点在路灯上，所以． 因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”．故选：C． 5． 如图，在中，是的中线，已知则的度数是      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为是的中线，所以是等腰三角形，求得结合利用三角形的外角性质即可作答． 解：是的中线， ​是等腰三角形， ​ ​ ​故答案为：． 6． 如图，在中，是的中线，则的面积为      ． 　思路分析　　由“三线合一”可得再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 解：是的中线， ​ ​． 7． 如图，在中，CDAB，则的度数是      ． 　思路分析　　根据等腰三角形性质，可得再根据平行线的性质，即可求出的度数． 解： ​（）= ​ ​＋ ​BCD=110．故答案为： 8．  分类讨论 等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据等腰三角形的两边长分别是6和10，进行分类讨论，如果满足三边关系，则计算周长，即可作答． 解：等腰三角形的两边长分别是6和10， ​当腰长为6时，三边分别是 则 ​ ​当腰长为10时，三边分别是 则 ​故答案为：22或26． 9． 如图，已知等腰中，平分若的面积是12，则的面积是      ． 　思路分析　　根据三角形面积公式，通过线段之间的关系求得面积之间的关系，即可求解． 解：等腰中，平分 ​是的中线， ​的面积是12， ​的面积为12， ​ ​的面积．故答案为：4 10． 如图，在中，过点C的直线能将分成两个等腰三角形，则的度数为      ． 　思路分析　　根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 解：过点C的直线能将分成两个等腰三角形， ①如图1． ​=BD， ​ ​ ②如图2，=BC， ​ ​ ​ ③ ​ ​ ​． ​故这种情况不存在． ④如图3， ​ 设= ​=2 ​=3 ​． ​ACB=180 ​++3= ​ ， ​ 综上所述：的度数为或或()． 故答案为：或或()． B 组　提升题 必做｜要绕一步：平行与双等腰、含参讨论与作图推理 1． 如图，点C在直线上，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据平行线的性质得到由三角形内角和定理得到再利用等腰三角形的性质得到从而求出的度数． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​． 2．  实际应用 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角，熟练掌握各性质定理是解题关键．延长交于点F，得然后由三角形外角求解即可． 解：延长交于点F，如图： ​是等腰三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：B． 3． 如图，中，作点A在内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且则=  （  ） A．m B．2m C．m D．m 　思路分析　　根据线段垂直平分线的性质得到求得根据等腰三角形的性质得到求得根据三角形的内角和定理即可得到结论． 解：AD垂直平分BE， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ACB=180m ​（）=（）】=（m）】=m 故选：D． 4． 如图，在中，则的度数为      ． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，根据等边对等角求得度数是解题的关键． 根据题意，由可得进而根据可得根据三角形的外角性质可得进而可得根据三角形内角和定理即可得解． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​故答案为：． 5． 已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为      ． 　思路分析　　分腰长为8或底边为8两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 解：若腰长为 则底边 三边为 能构成三角形， 底边长为 若底边为 则腰长 三边为 能构成三角形， ​ 底边长为 或 故答案为： 或 ． 6． 已知三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）． （1）若是等腰三角形，求它的三边的长； （2）若的三条边都不相等，求a的最小值． 　思路分析　　（1）由于所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①a+3=3a+1；②a+5=3a+1．求出a的值后，根据三角形三边关系即可求解； （2）根据三角形三边关系列出关于a的不等式组求出a的范围，再根据三角形的三条边都不相等，且为正整数可求a的最小值． 解：（1）①如果a+3=3a+1， 解得a=1， 三角形三边的长为4，4，6，符合三角形三边关系； ②如果a+5=3a+1， 解得a=2， 三角形三边的长为5，7，7，符合三角形三边关系． 综上所述，等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7； （2）a的最小值为3． 由三角形三边关系知， 解得 ​三角形的三条边都不相等， ​ ​ ​7且 ​a为正整数， ​a的最小值为3． 7． 如图，在中，为边上的两个点，且若则的大小为      度． 解：因为所以 , ​所以 , 则 ，在 中， 即解得则 ​． 8． 如图，在中，点D在的延长线上，且点F为的中点，连接并延长，交于点G． （1）求证：平分 （2）若求的周长． 　思路分析　　本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、、全等三角形的判定（）及性质，以及三角形周长的计算．解题的关键是熟练运用平行线的性质得到角的等量关系． （1）利用平行线与等腰三角形的性质得到再等量代换即可证得 （2）利用即可判定于是可求得的长，则可知的长，于是可求三角形的周长． （1）证明 ​． ​ ​ ​ ​平分． （2）解： 由点F是的中点知． 在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​．又 ​的周长为． 9．  尺规作图 如图，中，． ⑴ 利用直尺和圆规在AB边上求作一点P，使得＋并说明理由；（不写作法，保留作图痕迹） ⑵ 在⑴的条件下，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 　思路分析　　（1）在AB上截取利用等腰三角形的性质可证点P为所求作的点 （2）利用等腰三角形的两个底角相等，求出化简可得 ​利用可证即：． 解：⑴ 如图，在AB上截取则点P为所求作的点 ​ ​ ​＋ ​＋ ⑵ 判断： ​ ​ 即：, ​ ​＋ 即： ​ 即： C 组　拓展题 选做｜三层等腰、动点探究与旋转型等腰 1．  综合实践 综合与实践： 问题情境： 已知在中，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且设． （1）如图1，若点D在BC边上，当时，求和的度数； 拓广探索： （2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出和的数量关系． 　思路分析　　（1）由题意易得的度数，进而可求的度数，最后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得然后根据角的和差关系及等腰三角形的性质可进行求解； （3）根据题意可得+n，则可求的度数，进而问题得解． 解：（1）如图1， ​在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2） 理由如下： 如图2，在中， ​ 在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （3） 如图3，在中， ​ 在中， ​ ​BAD=100+n， ​ ​ ​． 2．  探究证明 如图1，在中，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作使连接CE．设． （1）求证：． （2）当点D在线段BC上运动时， ①则      ． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明 （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 　思路分析　　（1）根据可以得到再结合即可证明全等； （2）①根据的度数可以求出的度数，因为根据（1）中全等，可以得到故即可求出答案； ②因为而故得到可得 （3）同理（1）可证可以得到再根据外角定理， 可以得到． （1）证明：． 又 ​． 又 ​ （2）① ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ②证明如下： 由（1）已证 ​． 又 ​．， ​在中， ​． （3）．证明如下： 同理（1）可证 ​． ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1  等腰三角形的性质（第 1 课时） 学生版  15.3.1　等腰三角形的性质 题型分类讲义 学生版  目　录   题型 1  等边对等角：顶角与底角互求 2  题型 2  分类讨论：内角未定与边长未定 3  题型 3  三线合一 4  题型 4  腰上的高、中线与面积 5  题型 5  等腰与垂直平分线、角平分线合体 7  题型 6  双等腰与“角随动点变” 8  题型 7  性质证明：等边对等角与三线合一 10  题型 8  综合探究 13  分层练习  A 基础 · B 提升 · C 拓展 15 　题型 1　　等边对等角：顶角与底角互求 知识梳理 两底角相等，故 底角 顶角 底角 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等．在 中，若 则 ．三个内角满足顶角 底角 知道其中一角，即可求出另一个角，这是本课时最基本的计算。 基本计算：给顶角求底角，用底角 给底角求顶角，用顶角 底角．求出后应回代检验三个内角之和是否为 可以避免多数计算失误。 和差倍关系：如“顶角比底角大 ”，设底角为 则顶角为 由 得 ．之所以设底角，是因为底角在方程中出现两次，所得方程最简单。 “一个内角”要先判断身份：只说“一个内角是 ”，它可能作顶角也可能作底角，两种情况都要算：作顶角时底角为 作底角时顶角为 另一底角仍为 ．若这个角不小于 （如 ），由于底角必为锐角，它只能作顶角，底角为 只有一解。 已知两边求周长要分情况：如两边为 和 腰取 时三边为 周长 腰取 时三边为 周长 两种都成立．每种情形都要用三边关系检验，不成立的舍去。 易错　①顶角、底角公式记反；　②“一个内角”只给一种情况；　③ 的角还讨论成底角；　④边长题不验三边关系；　⑤算完不回代检查三角和。 要点　顶角 底角 ；“一个内角”先判它能否作底角，再决定几解。 1． 等腰三角形的顶角是则这个三角形的一个底角的大小是 （  ） A． B． C． D． 2． 已知等腰三角形中，顶角比底角大则底角的度数为 （  ） A． B． C． D． 3． 若等腰三角形有一个内角为则这个等腰三角形的底角是 （  ） A． B． C． D．或 4． 等腰三角形的一个内角是 则它的底角是      ． 　 　题型 2　　分类讨论：内角未定与边长未定 知识梳理 内角要分“顶角 / 底角”，边长要分“谁作腰”，每种都用三边关系或三角和筛一遍 两类讨论：给角时，设它作顶角、作底角各算一次；给边时，设它作腰、作底各算一次．讨论之后必须逐一检验：角看底角是否小于 边看两边之和是否大于第三边，不成立者舍去。 倍角关系：“一个内角是另一个内角的 倍”分两种：顶角为底角的 倍时，设底角为 则 底角为顶角的 倍时，设顶角为 则 底角为 ．两种都要试。 中线分周长：一腰上的中线把周长分成“”与“”（ 为腰、 为底），两种对应关系各列一组方程： 且 得 （舍）； 且 得 （成立）．条件没说明分成的两部分各是多少时，两种都要算，再用三边关系筛选。 腰上的高与另一腰的夹角：设夹角为 则顶角 （高在形内）或 （高在形外）．夹角为 时顶角为 或 两个答案正来自“高在形内还是形外”两种情形，画图时应把两种都画出来。 含绝对值的条件：如 先由绝对值得 或 再用三边关系筛： 时 （舍），故 ．含绝对值的条件必有两解，筛选是必不可少的一步。 易错　①只讨论一种情形；　②讨论完不检验；　③“底角 ”的情形不舍；　④腰上的高只画形内；　⑤绝对值方程只取正解。 要点　给角分顶/底、给边分腰/底，最后用三角和与三边关系筛。 1． 若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形的底角为 （  ） A． B． C． D．或者 2． 已知等腰三角形ABC的底边且\|AC-BC\|= 那么腰AC的长为  （  ） A．或 B． C． D．或 3． 等腰三角形一腰上的中线把周长分为和的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（ ） A． B． C． D．或 4． 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则这个等腰三角形的顶角是 （  ） A．或 B．或 C．或 D．或 　题型 3　　三线合一 知识梳理 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合；知其一，另外两条同时成立 三线合一的正用与逆用：正用—— 且 是顶角平分线（或底边中线、底边上的高），则另外两条随之确定；逆用—— 且 （或 平分顶角），同样得到其余两条．“等腰”与“其中一条线”给足，另两条就是现成结论，这是本课时使用最频繁的依据。 与角度计算综合：设 是底边中线，则 平分顶角；若又知一个底角为 则顶角为 ．一般先由三线合一确定线段与角的关系，再用等边对等角求角，两条性质常常连用。 多结论判断题：给出“等腰 三线之一”，逐条判断哪些结论可以推出．能推出的只有“”；而“”这类倍数关系取决于具体数据，题目未给出角度时不能断言．判断时应逐条对照三线合一的结论，不能凭印象。 三线合一的逆用：两边相等且底边被平分，即可得这条中线垂直于底边： 平分 则 立得 ．“凉亭顶棚”“路灯固定绳”一类情境题，图形都归结为“等腰三角形底边中线即高”：由 得 绳子因此调垂直．说明原理时抓住“等腰、中点、垂直”三个要素。 答题规范：由三线合一知底边上的高即底边中线，求面积直接用 若题目问“依据”或“原理”，应完整写出“等腰三角形三线合一”，只写“轴对称”不给分。 易错　①把“腰上的中线”当成“底边上的中线”（三线合一仅对底边那条成立）；　②缺少“等腰”这个前提就使用三线合一；　③答“原理”只写“对称”、不写“三线合一”；　④多结论判断时对倍数关系凭印象取舍；　⑤面积公式漏乘 要点　等腰 顶角平分线／底边中线／底边高，任一条推出另外两条（仅限底边那条线）。 1． 如图，在中，为边上的中线，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，在中，于点.下列结论不一定正确的是 （  ） A． B． C． D． 3．  实际应用 如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的点在上，．若的长为则的长为 （  ） A． B． C． D． 4．  实际应用 如图，在三角测平架中，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是      ． 　 　题型 4　　腰上的高、中线与面积 知识梳理 腰上的高把等腰三角形切成两个直角三角形；底边上任一点到两腰的距离之和 腰上的高（等面积法） 腰上的高的基本图：顶角为 时 故 ．顺序是：先由等边对等角求底角，再在直角三角形中求 最后作差。 高与另一腰的夹角：设夹角为 则顶角 或 ． 时顶角为 （底角 ）或 （底角 ），两解都要写，钝角情形的高落在腰的延长线上。 等面积法：底边上一点 到两腰的距离之和 如面积为 腰长为 则距离之和为 ．这一结论与点的位置无关，宜作为模型记住，可直接处理“到两腰距离之和”一类问题。 中位线关系： 时， 是 的中点， 是 的中位线，故 ．“中点 平行 中位线”是求半值关系的常用路径，也可用等面积式 一类的等量。 写面积题的规范：同一块面积用两种底高表示，列等式 底 高 底 高 ，约掉 再解．“等面积”这一依据要写出来，它是给分点。 易错　①腰上的高与底边上的高混用；　②钝角情形的高画在形内；　③等面积法漏乘 　④未证中位线就把 写成 的一半；　⑤不写“等面积”依据。 要点　底边上一点到两腰距离之和 腰上的高；中线 平行 中位线。 1． 如图，在中，垂足为若求的度数为 （  ） A． B． C． D． 2． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则等腰三角形的底角度数为      ． 　 3．  动点问题 等腰三角形的面积为腰长．在底边上有一个动点则到两腰的距离之和为      ． 　 4． 如图，中，于点D，于点E，于点F，则的值为 （  ） A．6 B．7 C．8 D．9 　题型 5　　等腰与垂直平分线、角平分线合体 知识梳理 等腰给等角，垂直平分线给等边；两样一起用，角度就能一层层往外推 两条工具的分工：等腰三角形提供“等角”（等边对等角）与“三线合一”；垂直平分线提供“到线段两端等距”，用以构造等腰．解题时先认清图中的垂直平分线，先造等腰，再用等角推。 等腰套等腰： 时，两个等腰的底角分别相等，设最小的角为 把其余各角都用 表示，最后用外角或内角和收口．如 的情形，就是每个等腰各写一组等角，再相加。 一条典型链条：得 垂直平分 得 故 再用外角得 ．“等腰 底角 垂直平分线造等腰 外角”四步缺一不可。 两腰垂直平分线的交点：交点 到三个顶点等距，故 由 得 顶角为钝角时 在形外，此时 还有 一解，两解都要写。 “平行 等腰”：平行线给内错角相等，等腰给等角，两者合用即可把已知角（如 ）拆到需要的位置，是本章的常见组合。 易错　①只用一个等腰、忘记另一个；　②垂直平分线出来了不造等腰；　③外角定理写成内角和；　④两腰中垂线交点漏掉钝角情形的第二解；　⑤“平行 等腰”不写内错角相等这一步。 要点　垂直平分线先造等腰、等腰再出等角；外心角 （钝角时取补）。 1． 如图，已知在中，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，中，延长到点则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，在中，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连结AE，若则的大小为       度． 　 4．  分类讨论 已知等腰中．两腰的垂直平分线交于点已知则等腰三角形的顶角为      ． 　 　题型 6　　双等腰与“角随动点变” 知识梳理 多个等腰串起来时，设最小的角为 其余角都用 表示；动点题先定角的取值范围，再对照选项 设 法：图中有几个等腰，就有几组等角；设最小的角为 沿图形把每个角写成 的一次式，最后用内角和或外角解出 ．如三等分角仪问题中 三层等腰叠在一起，逐层往外写即可。 动点角的范围： 在 上由 移到 从 变到 （不含端点），先算两端点的值，再取中间范围．“可能是”一类问题必须先写范围，再对照选项。 双等腰的等角传递：则 再用“外角等于两个不相邻内角之和”把两个等腰联系起来，最后常得到“某角是另一角的 倍”一类的结论。 作垂线求长度：先求底角 再由补角得 又 使 则 且 在含 角的直角三角形中用“半斜边”关系求 ．每一步只处理一个角，不要指望一步到位。 “平行 双等腰”：平行线给内错角，等腰给等角，两层关系叠在同一个图上时，先把已知角经平行线搬进三角形，再做等腰的等角代换．搬角的顺序：先平行、后等腰。 易错　①不设 逐角乱猜；　②动点题不写取值范围；　③双等腰只用一个；　④作垂线求长度时漏掉外角一步；　⑤平行线搬角方向搞反。 要点　设最小角为 其余用 表示；动点角先求端点再取中间。 1． 如图，在 中，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则 的度数可能是 A． B． C． D． 2．  实际应用 如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，点D，E可在槽中滑动，若则的度数是 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，D、E分别是的边上的点，若则 （  ） A．当为定值时，为定值 B．当为定值时，为定值 C．当为定值时，为定值 D．无法确定 4． 如图，在中，延长BC到D，在内作射线CE，使得．过点A作垂足为F．若AF=则AB的长为  （  ） A． B．2 C．4 D．6 　题型 7　　性质证明：等边对等角与三线合一 知识梳理 证“等角”就作底边上的中线（或高）造全等；证“三线合一”就证两条线重合 “等边对等角”的证明：作底边 的中线 则 故 （），于是 ．作中线、证全等、得等角，三步固定；作高（）或顶角平分线（）亦可，辅助线需交代作法。 逆向的问题：给 证 ．先由 得 再用等角的补角相等得 于是 （），故 ．“邻补角”这一步是全题的关键，不可省略。 与垂直平分线、角平分线综合： 是 的垂直平分线，则 故 再由 得 （角平分线上的点到两边距离相等）．两块知识各管一问，条理要分清。 定理的书面表述：要求用几何语言写出三线合一时，格式为“ 平分 ”，两个结论要一并写出，只写一个不算完整；后续各问通常再用该结论去算具体的长度或角度。 面积与三线合一：已知面积与底求高，直接用 反解；求顶角时先由三线合一得底边上的高，再在直角三角形中计算．“高”与“面积”常常配套出现。 易错　①作辅助线不交代作法；　②逆向证明漏掉“邻补角相等”一步；　③垂直平分线与角平分线的工具混用；　④书面表述三线合一只写一个结论；　⑤面积公式漏乘 要点　作中线（或高）证全等得等角；证三线合一要“两条线重合”都写出来。 1． 如图，点D、E在的边上，求证：． 　 　 　 2． 已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证： （1） （2）． 　 　 　 　 　 3．  综合实践 在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． （1）【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图在中，平分根据图用几何语言写出该定理： ​平分 ​      ，      ． ②如图在中，的周长为的周长为求的长； （2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图在中，平分且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 　 　 　 　 　 4． 如图，在中，分别是的中线和角平分线，相交于点O． （1）若的面积是20，且求的长； （2）若求的度数． 　 　 　 　 　 　题型 8　　综合探究 知识梳理 条件越多越要“设角、标等量、找全等”；探究题先把特殊情况算完，再猜一般结论 角平分线与中线： 时，顶角平分线与底边中线恰是“三线合一”的同一条线；若二者分别是顶角平分线与底边中线，则它们重合．已知 时，先用外角把它与底角联系起来再求 第二问由三线合一得 一类的关系。 三条边相等（）：两个等腰共顶点，第 ① 问由 与 直接计算；第 ② 问“猜想 与 的关系”，先把两个角都用同一个字母表示，再看倍数关系；第 ③ 问反推位置关系，用平行线的判定．探究题三问按“算 猜 证”一条线展开。 黄金三角形（）：三个等腰串成一条链，设 则 由 得 ．顶角 底角 的三角形称黄金三角形，宜记住。 角平分线与等距： 平分 过 作 由等腰三角形底边上的高平分底边得 第 ② 问“三个角之间的数量关系”，用外角把 表示成两个大角的差的一半，“一半”型结论多来自角平分线。 探究题的书写：①把已知条件逐条翻译成等角、等边；②设字母、列方程；③写出结论并回代检验．“结论 理由”要同时写出，只写结论不给分。 易错　①分不清哪条线是三线合一的那条；　②探究题只验特殊情况就断言一般成立；　③黄金三角形不设角、直接猜 　④忽略 可直接得底边中点；　⑤结论不写理由。 要点　探究题按“算 猜 证”走；“结论 理由”两句都要写。 1．  探究证明 如图，． （1）若 ①如果那么的度数为 ②猜想和的数量关系并证明； （2）如果与有什么位置关系？请证明你的结论． 　 　 　 　 　 2． 如图，在中，点为上一点，且满足．点是的中点，连接并延长，交的延长线于点连接． （1）求和的度数； （2）求证：是等腰三角形． 　 　 　 　 　 3． 如图，在中，AD平分点D到点B与点C的距离相等，过点D作于点E． （1）求证： （2）请直接写出三者之间的数量关系； （3）若求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 4． 如图，在中，是的角平分线，是的中线，相交于点． （1）求的度数； （2）若求． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜直接套性质：顶角底角互求、三线合一与面积 1． 等腰三角形的一个顶角是则它的底角是 （  ） A． B． C． D．或 2． 如图，在中，垂足为点D，且则 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，已知平分．若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 4．  实际应用 如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和当点在同一直线上，且固定点到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于这种操作方法的依据是 （  ） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 5． 如图，在中，是的中线，已知则的度数是      ． 　 6． 如图，在中，是的中线，则的面积为      ． 　 7． 如图，在中，CDAB，则的度数是      ． 　 8．  分类讨论 等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是      ． 　 9． 如图，已知等腰中，平分若的面积是12，则的面积是      ． 　 10． 如图，在中，过点C的直线能将分成两个等腰三角形，则的度数为      ． 　 B 组　提升题 必做｜要绕一步：平行与双等腰、含参讨论与作图推理 1． 如图，点C在直线上，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 2．  实际应用 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，中，作点A在内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且则=  （  ） A．m B．2m C．m D．m 4． 如图，在中，则的度数为      ． 　 5． 已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为      ． 　 6． 已知三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）． （1）若是等腰三角形，求它的三边的长； （2）若的三条边都不相等，求a的最小值． 　 　 　 　 　 7． 如图，在中，为边上的两个点，且若则的大小为      度． 　 8． 如图，在中，点D在的延长线上，且点F为的中点，连接并延长，交于点G． （1）求证：平分 （2）若求的周长． 　 　 　 　 　 9．  尺规作图 如图，中，． ⑴ 利用直尺和圆规在AB边上求作一点P，使得＋并说明理由；（不写作法，保留作图痕迹） ⑵ 在⑴的条件下，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜三层等腰、动点探究与旋转型等腰 1．  综合实践 综合与实践： 问题情境： 已知在中，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且设． （1）如图1，若点D在BC边上，当时，求和的度数； 拓广探索： （2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出和的数量关系． 　 　 　 　 　 　 　 2．  探究证明 如图1，在中，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作使连接CE．设． （1）求证：． （2）当点D在线段BC上运动时， ①则      ． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明 （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $