15.3.1等腰三角形（10大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学等腰三角形核心知识点，从定义出发，系统梳理等边对等角、三线合一、对称性等性质，以及等角对等边判定定理，结合含30°角直角三角形性质，通过10类题型构建从基础到综合的学习支架。 资料特色为题型分类清晰，例题与变式题结合，易错点与解题技巧突出。通过格点图作图、找等腰三角形等题型培养几何直观（数学眼光），证明与计算过程强化推理能力（数学思维），规范几何语言表述提升数学表达（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

15.3.1 等腰三角形 【新人教版】 【题型1 等边对等角】..........................................................................................................................................2 【题型2 三线合一】..............................................................................................................................................3 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】......................................................................................................4 【题型4 根据等角对等边证明边相等】..............................................................................................................5 【题型5 根据等角对等边求边长】......................................................................................................................6 【题型6 含30°角的直角三角形】.....................................................................................................................7 【题型7 格点图中画等腰三角形】......................................................................................................................8 【题型8 找出图中的等腰三角形】......................................................................................................................9 【题型9 与图形中任意两点构成等腰三角形的点】........................................................................................10 【题型10 等腰三角形的性质与判定综合】......................................................................................................11 1. 基础定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 相等的两条边：腰；第三条边：底边 · 两腰夹角：顶角；腰与底边夹角：底角 2. 性质1（等边对等角） 文字：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 3. 性质2（三线合一，核心考点） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 三层常用几何语言： · AB=AC，AD平分∠BAC⟹ AD⊥BC，BD=DC； · AB=AC，AD是中线⟹ ADBC，AD平分∠BAC； · AB=AC，AD⊥BC⟹ AD平分∠BAC，BD=DC。 4. 等腰三角形对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是唯一对称轴。 5. 判定定理（等角对等边） 文字：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。 几何语言：在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC。 1.“三线合一”仅限顶角平分线、底边中线、底边高，腰上的三线不重合； 2.滥用等边对等角、等角对等边到普通三角形； 3.边长、角度计算题未分类讨论，忽略三角形三边关系、内角和限制； 4.误将等腰三角形当作多条对称轴图形。 1.求角度：优先等边对等角，结合内角和180°设未知数列方程； 2.证明线段相等：等角对等边优先于全等； 3.辅助线：等腰三角形常作底边高线/中线/顶角平分线，启用三线合一； 4.多解题型：已知一边或一角，分顶角、底角分类讨论，结果核验合理性。 题型一 等边对等角 【例1】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，和分别是边和的垂直平分线，且D点在边上，连接，则_____． 【变式1-2】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．求证：平分． 题型二 三线合一 【例2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 【例3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【变式3-1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 题型四 根据等角对等边证明边相等 【例4】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点在边上，点在的平分线上，于点，且，则线段的长度为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 题型五 根据等角对等边求边长 【例5】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【变式5-1】（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）如图，点A，B和点C，D分别在一把直尺的两边上，连接，，平分，若，则______． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为________． 题型六 含30°角的直角三角形 【例6】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【变式6-3】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 题型七 格点图中画等腰三角形 【例7】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-1】（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【变式7-2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别是． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)是点关于轴的对称点，是轴上的动点，在图中找出使最小的点，直接写出点坐标； (3)在坐标轴上找出点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数为_______个． 【变式7-3】（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 题型八 找出图中的等腰三角形 【例8】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-1】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【变式8-2】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【变式8-3】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 题型九 与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例9】（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式9-2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式9-3】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 题型十 等腰三角形的性质与判定综合 【例10】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式10-1】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【变式10-3】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1 等腰三角形 【新人教版】 【题型1 等边对等角】...........................................................................................................................................2 【题型2 三线合一】...............................................................................................................................................5 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】.......................................................................................................8 【题型4 根据等角对等边证明边相等】.............................................................................................................11 【题型5 根据等角对等边求边长】....................................................................................................................14 【题型6 含30°角的直角三角形】...................................................................................................................16 【题型7 格点图中画等腰三角形】....................................................................................................................19 【题型8 找出图中的等腰三角形】....................................................................................................................22 【题型9 与图形中任意两点构成等腰三角形的点】........................................................................................27 【题型10 等腰三角形的性质与判定综合】......................................................................................................30 1. 基础定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 相等的两条边：腰；第三条边：底边 · 两腰夹角：顶角；腰与底边夹角：底角 2. 性质1（等边对等角） 文字：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 3. 性质2（三线合一，核心考点） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 三层常用几何语言： · AB=AC，AD平分∠BAC⟹ AD⊥BC，BD=DC； · AB=AC，AD是中线⟹ ADBC，AD平分∠BAC； · AB=AC，AD⊥BC⟹ AD平分∠BAC，BD=DC。 4. 等腰三角形对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是唯一对称轴。 5. 判定定理（等角对等边） 文字：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。 几何语言：在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC。 1.“三线合一”仅限顶角平分线、底边中线、底边高，腰上的三线不重合； 2.滥用等边对等角、等角对等边到普通三角形； 3.边长、角度计算题未分类讨论，忽略三角形三边关系、内角和限制； 4.误将等腰三角形当作多条对称轴图形。 1.求角度：优先等边对等角，结合内角和180°设未知数列方程； 2.证明线段相等：等角对等边优先于全等； 3.辅助线：等腰三角形常作底边高线/中线/顶角平分线，启用三线合一； 4.多解题型：已知一边或一角，分顶角、底角分类讨论，结果核验合理性。 题型一 等边对等角 【例1】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，和分别是边和的垂直平分线，且D点在边上，连接，则_____． 【答案】90 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而推出角相等，再结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：和分别是边和的垂直平分线， ，， ，， ， ， ，即． 【变式1-2】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．求证：平分． 【答案】证明：， ，， ∵， ， 又∵， ， 平分． 【分析】先由平行线的性质得到，，再根据已知条件结合对顶角相等可得，则可证明平分． 【详解】略 题型二 三线合一 【例2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 【变式2-2】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据题意得到点关于直线对称，利用对称点的性质，将求的最小值转化为求的最小值，再利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ， ∵，，， ∴， 即， 解得， ∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴的最小值为． 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 【例3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 是等腰三角形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由已知可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件利用补角的定义得到，再利用等边对等角得出，证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到，再由等角对等边可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型四 根据等角对等边证明边相等 【例4】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点在边上，点在的平分线上，于点，且，则线段的长度为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，平行线的性质，含的直角三角形的性质等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过点作，利用角平分线性质得，由推出，从而得到，在中，利用角的性质求出，进而得到． 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 题型五 根据等角对等边求边长 【例5】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选C． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）如图，点A，B和点C，D分别在一把直尺的两边上，连接，，平分，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形． 根据直尺两边平行可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：由已知， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，等角对等边．根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平分交于点，得出则，求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵平分交于点， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 题型六 含30°角的直角三角形 【例6】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，两直线平行内错角相等，求出，结合直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式6-1】（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【答案】2 【分析】先根据直角三角形的性质得出，故可得出，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ，， ． ， ． 的垂直平分线交于点， ． 【变式6-3】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； (2)2.5 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 题型七 格点图中画等腰三角形 【例7】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 【变式7-2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别是． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)是点关于轴的对称点，是轴上的动点，在图中找出使最小的点，直接写出点坐标； (3)在坐标轴上找出点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数为_______个． 【答案】(1) 直角坐标系如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据，两点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求； （3）分三种情形寻找点即可． 【详解】（1）略 （2）如图，点即为所求，; （3）当点为等腰三角形的顶点时，满足条件的点有两个，图中； 当点为等腰三角形的顶点时，满足条件的点有个，图中； 当点为等腰三角形的顶点时，满足条件的点有个，图中； 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1) 如图所示：点即为所求； (2) 如图所示：即为所求； (3) 如图所示：点即为所求. 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）根据全等三角形的判定及性质可得； （3）根据平行线的性质画图即可. 【详解】（1）解：∵点平移得到， ∴点经过同样的平移得到， ∴， （2）解：如图，∵由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，连接，交于点， 则， ∵由上题可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 题型八 找出图中的等腰三角形 【例8】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【变式8-1】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【变式8-2】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 【变式8-3】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 题型九 与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例9】（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 【答案】4 【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离的公式是解题的关键． 分、、三种情况讨论即可． 【详解】解：如图： 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有2点满足条件的点M； 符合条件的有4个点M； 故答案为4． 题型十 等腰三角形的性质与判定综合 【例10】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 【变式10-3】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：， 即， 在和中， ． (2)，；理由如下： ， ，即， 在和中， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． (3)6 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形的面积为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $