15.4.2 构造等腰三角形的方法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 15.4.2  构造等腰三角形的方法（章末专题特训 2） 学生版  15.4.2　构造等腰三角形的方法 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　角平分线：等腰的三个开关 2 　　题型 2　截长补短：一条长边等于两段之和 4 　　题型 3　面积法：垂线段之和等于高 8 　　题型 4　等腰里的高与倍分 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 11 　题型 1　　角平分线：等腰的三个开关 知识梳理 角平分线一出，配平行线、配高线、配垂线三种配法都能直接得到等腰三角形；反过来，"角平分线 高（或中线）重合"也能反推出等腰 开关一：角平分线 平行线（s14 的标准套路）．若 平分 且 则 于是 是等腰三角形（）．认法只有一句：角平分线与平行线一碰，必出等腰——因为"被平分的角"和"内错角"恰好相等。这条结论在证"线段相等"时几乎百发百中，看到"角平分 平行"就先在图上把等腰描出来。 开关二：角平分线 高线（s05 的三线合一逆用）．若 平分 且 则 加上公共边 得 （ASA），故 ．这就是"三线合一"的逆命题：高、中线、角平分线三者中任意两条重合，第三条自动重合，三角形就是等腰。证明时走全等，别直接引用"三线合一"（那是由等腰推出的，方向反了）。 开关三：角平分线 垂线（延长出全等）（c02 的关键动作）．题中 平分 且 把 延长交 于 ，则 既是 的平分线又是 上的高，于是 再由题给的 得 只要 就能算出 ——"角平分线垂直于一条线段"永远是"延长凑等腰"的信号。 为什么这三招都成立：等腰三角形的本质是"两个角相等 两条边相等"，而角平分线恰好制造一对相等的角，平行线、垂线、高线则负责把这对角搬到同一个三角形里．搬进去就成等腰——这就是"构造等腰"的全部原理，其余所有辅助线都是它的变体。 f03 是这套原理的"选择题版"： 上任意一点到 两边距离相等， 平分 （角平分线的判定，注意方向："距离相等 在角平分线上"）．要证 只需证 已有的条件是"公共边 一对角（）"，所以再补"一对角"（①ASA；②AAS）就都能判定全等；③ 才是 ——两边及其中一边的对角，不能判定全等，必须排除．本题真正能用的只有 ①②④，"补条件"题的纪律：每补一个就写出用哪条判定， 一律不算。 易错　①看到"角平分 平行"不描等腰，绕一大圈证全等；　②直接引用"三线合一"当已知（方向反了）；　③角平分线配垂线时忘记"延长出全等"；　④f03 把 当成判定；　⑤等腰结论出来了却不回头用它换线段。 要点　角平分线是"造等角"的机器：配平行（内错角）、配高（全等）、配垂线（延长）；三线中任意两条重合 等腰。 1．  角平分配平行 如图1和2，中，平分交边于点E． （1）图1过点E作交于点D，求证：为等腰三角形； （2）图2，若判断的数量关系，并说明理由． 　 　 　 　 　 2．  延长 BD 交 AC 如图，D为内一点，平分于点D．若则的长为 （  ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．  三线合一的逆用 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小华尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形． 如图1，已知， 点D在的边上，平分 且求证:．请你帮助小华完成证明． 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【模型应用】请根据（1）中的结论解决以下问题： （2）①如图2，在中，是角平分线， 证明:． ②如图3， 在四边形中， 平分当的面积最大时，的长为 ． （3）如图4，在城市规划的三角形文化公园中， 公园内有艺术步道 其中入口M、N分别在上， 步道分别平分和现要在区域修建主题雕塑，需要用围栏封闭该区域，请直接写出围栏的长度．(步道宽度和接头忽略不计) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　截长补短：一条长边等于两段之和 知识梳理 要证 （一条长边 两段之和），就在长边上截一段等于短的（截长），或把短边延长一段等于另一段（补短），造出全等后再把两段拼起来 先认清题型：结论形如 且 是同一条直线上的三段或分散在三处，就该想到截长补短．判据只有一条：结论里有""或""号．若结论是"两段相等"，那是全等或等腰的活，不用截长补短。 截长（在长边上做）：要证 就在 上取 连 ．由 平分 得 加上公共边 得 （SAS），于是 ．剩下的活全在证 ：由 及外角关系得 故 于是 ．截长的三步：截 全等 证剩下那一段等腰。 补短（在短边上做）：同一个结论也可以"延长 到 使 "，连 则 于是 而 一条等腰把两段拼成一段．截长与补短证的是同一件事，选哪个看哪个方向的全等更好凑：角平分线在长边一侧时用截长，等腰在外侧时用补短。 s09 的"双思路"正是这两条路的对照：小敏在 上截 （截长），小洁延长 至 使 （补短），两条路的第二步都是"证出一对相等的角"，然后靠等腰收尾．答题时写清"我选择哪一种、在哪条线上动刀"，比堆砌步骤得分高。 s04 是"和等于定值"的动点版： 从 沿 走、 从 沿 的延长线走，速度相同故 要证 把 拆成 把 写成 ，代入 立得 ．动点题的"和"多半靠"一段减、一段加"抵消，先写出两条动线段关于同一个 的表达式，再相加，别急着作辅助线。 易错　①结论有""号却硬证全等，绕不出来；　②截长时截错边（在短边上截长的）；　③截完不利用题给的倍角关系（如 ），全等之后就走不动；　④补短后忘了" 要由两段拼成"这一步；　⑤s04 里把 写成 之外的关系，导致加减符号错。 要点　结论有" / " 截长或补短；三步走：截（补） 全等 证剩下那段等腰。 1．  两种思路对照 综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，是的平分线． 求证：． （1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取连接．（如图2） 小洁的证明思路：延长至点E，使连接．（如图3） 请你任意选择一种思路完成证明． （2）问题升华：如图4，在中，若是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段之间的数量关系又如何？请证明． 　 　 　 　 　 2．  截长补短阅读 “截长补短”是一个汉语成语，也是一种几何证明中常用的辅助线添加方法．在几何问题中，“截长”是指在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段，构造全等三角形等条件来解题．例如，已知线段较长，较短，要证明一些和这两条线段相关的结论时，可以在上截取．“补短”与之相反，是将较短的线段延长，使延长后的长度等于较长的线段，然后利用全等或其他几何关系来求解问题，比如延长使． （1）【理解运用】在中，平分交于点．求证：． 方法一：如图1，在上截取使连接． 方法二：如图2，延长至点使连接． 选择一种方法证明（写出证明过程）． 选择方法 ． （2）【拓展运用】如图3，在中，垂足为求证：． 　 　 　 　 　 3．  动点与 AP 加 AQ 如图，中， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)． （1）求证: （2）求证: （3）如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　面积法：垂线段之和等于高 知识梳理 等腰三角形底边上任取一点，到两腰的距离之和恒等于一腰上的高；证法只有一句：把大三角形拆成两块，算两次面积 结论： 为 上任一点，则 ．这不是巧合，是面积恒等式：即 约去 就得到结论．"同底等高、拆面积"是这类题的唯一引擎。 面积法的三个动作：①连一条线（通常连 ），把图形拆成两块；②写两次面积（整体一次、部分和一次）；③约掉公共的高或底．关键在"连 "这一步——不连就没有两块，这也是学生最常卡住的地方：看到"点到两腰的距离"，先连顶点与那个点． 点跑到延长线上，结论要变号（s11 的第（3）问）．当 落在 的延长线上时，同样的推导给出 ，即"离得远的那条 另外两条之和"．记忆口诀：点在边上，两段相加；点在延长线上，长段减短段——每次都用面积等式重推一遍，比背结论安全。 s10 的第（3）问把面积法搬到矩形里：折叠后 配合 得 于是 （又是"平行 等角 等腰"），再用同一套 的面积恒等式收尾．同一个模型换个场地出现，动作一步都不改。 面积法的"适用范围"要记住：只要出现"垂直"与"距离"，就该想面积；反之，如果题里一个垂直都没有，面积法无从下手．本讲三道题（s10、s11 与 s11 的变式）都靠"点到直线的距离"活着，看到 就条件反射地写 底 高。 易错　①不连 两块面积写不出来；　②约分时把 与 当成不相等（等腰这个条件白给）；　③点在延长线上仍写"相加"，符号错；　④s10 里没先证 就用 　⑤把"距离"与"线段长"混写，忘了垂直这个前提。 要点　连顶点 拆两块 算两次面积 约公共量；点在边上相加、点在延长线上相减。 1．  矩形里的距离和 【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，P为边上的任一点，过点P作垂足分别为D、E，过点C作垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证： 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作垂足分别为G、H，若则的值为 ． 　 　 　 　 　 　 　 2．  点在延长线上 在中，D为直线上任意一点，连结于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为      ；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：       ​      ． ​      ． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　等腰里的高与倍分 知识梳理 等腰（直角）三角形里的高，常与角平分线、中点配合出 倍关系；见到"一半"" 倍"就往"含 的直角三角形"或"斜边中线"上想 倍分关系的三个来源（初中阶段只有这三个）：① 角所对的直角边 斜边；②直角三角形斜边上的中线 斜边；③等腰三角形"三线合一"后，底边被平分成两段．看到""这种结论，先问自己：这三条路哪条能通向它，而不是先画一堆辅助线。 s13 的经典结构： 平分 （ 在 的延长线上），求证 ．关键动作：把 延长与 的延长线相交于 ，则 既是 的平分线又是 上的高，由"三线合一"得 是等腰；再证 （一对直角、一对余角），得 ．"角平分线 垂线 延长凑等腰"在上一题型已经出现过，这里再用一次，就得到" 倍"。 s07 的算例把 用到底： 中 则 由 与 得 是等边三角形，于是 在 里再用一次 ，得 ．第（2）问的 则通向等腰直角三角形，把 与 拼在一起， 与 的倍分就出来了。 倍分题的书写纪律：①每一步都写出"因为哪个角是 / 哪个是斜边"，不写清楚阅卷会判跳步；②" 倍"的结论最后一定要落到一条具体的等式（如 且 ），不要只说"由图可知"；③作图题（如 s07 第（2）问的辅助线）先在图下方写"如图，延长……"，图与话对不上是最常见的扣分点。 易错　①看到" 倍"就乱作辅助线，不先想三个来源；　②s13 不延长 硬在全等里绕；　③s07 里把 当成 　④用"三线合一"时不先说明" 既是平分线又是高"；　⑤结论只写" 倍"不落具体等式。 要点　倍分只有三个来源： 对边、斜边中线、三线合一平分底边；角平分线 垂线 延长凑等腰 出 倍。 1．  CD 等于 2BE 如图，中，CD平分垂足E在CD的延长线上．求证：BE． 　 　 　 2．  30 度与 45 度 已知在中，为线段上一点且满足连接过点作于点与交于点． （1）如图1，求的长和的面积． （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接．若求证：． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜补一个条件证全等、延长凑等腰求角 1．  补一个条件证全等 如图，已知射线OC上的任意一点到的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得只需要添加以下四个条件中的某一个即可，①②③④．请写出所有可能的条件的序号      ． 　 2．  延长凑等腰求角 如图，已知平分则的度数为 （  ） A． B． C． D． B 组　提升题 必做｜角平分线配平行出等腰、等腰与倍角 1．  角平分与平行 如图，在四边形中，平分交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接与相交于点求证：垂直平分． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜截长补短阅读材料：三种辅助线一次走完 1．  等腰与倍角 如图，在中，点是边上一点，且过点作于点与交于点过点作垂足为点． （1）求证： （2）判断的形状，并说明理由． 　 　 　 　 　 2．  B 等于 2C 截长 阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分交于点且求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取使得连接解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形中，已知是的高，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4.2  构造等腰三角形的方法（章末专题特训 2） 解析版  15.4.2　构造等腰三角形的方法 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　角平分线：等腰的三个开关 2 　　题型 2　截长补短：一条长边等于两段之和 7 　　题型 3　面积法：垂线段之和等于高 14 　　题型 4　等腰里的高与倍分 19 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 23 　题型 1　　角平分线：等腰的三个开关 知识梳理 角平分线一出，配平行线、配高线、配垂线三种配法都能直接得到等腰三角形；反过来，"角平分线 高（或中线）重合"也能反推出等腰 开关一：角平分线 平行线（s14 的标准套路）．若 平分 且 则 于是 是等腰三角形（）．认法只有一句：角平分线与平行线一碰，必出等腰——因为"被平分的角"和"内错角"恰好相等。这条结论在证"线段相等"时几乎百发百中，看到"角平分 平行"就先在图上把等腰描出来。 开关二：角平分线 高线（s05 的三线合一逆用）．若 平分 且 则 加上公共边 得 （ASA），故 ．这就是"三线合一"的逆命题：高、中线、角平分线三者中任意两条重合，第三条自动重合，三角形就是等腰。证明时走全等，别直接引用"三线合一"（那是由等腰推出的，方向反了）。 开关三：角平分线 垂线（延长出全等）（c02 的关键动作）．题中 平分 且 把 延长交 于 ，则 既是 的平分线又是 上的高，于是 再由题给的 得 只要 就能算出 ——"角平分线垂直于一条线段"永远是"延长凑等腰"的信号。 为什么这三招都成立：等腰三角形的本质是"两个角相等 两条边相等"，而角平分线恰好制造一对相等的角，平行线、垂线、高线则负责把这对角搬到同一个三角形里．搬进去就成等腰——这就是"构造等腰"的全部原理，其余所有辅助线都是它的变体。 f03 是这套原理的"选择题版"： 上任意一点到 两边距离相等， 平分 （角平分线的判定，注意方向："距离相等 在角平分线上"）．要证 只需证 已有的条件是"公共边 一对角（）"，所以再补"一对角"（①ASA；②AAS）就都能判定全等；③ 才是 ——两边及其中一边的对角，不能判定全等，必须排除．本题真正能用的只有 ①②④，"补条件"题的纪律：每补一个就写出用哪条判定， 一律不算。 易错　①看到"角平分 平行"不描等腰，绕一大圈证全等；　②直接引用"三线合一"当已知（方向反了）；　③角平分线配垂线时忘记"延长出全等"；　④f03 把 当成判定；　⑤等腰结论出来了却不回头用它换线段。 要点　角平分线是"造等角"的机器：配平行（内错角）、配高（全等）、配垂线（延长）；三线中任意两条重合 等腰。 1．  角平分配平行 如图1和2，中，平分交边于点E． （1）图1过点E作交于点D，求证：为等腰三角形； （2）图2，若判断的数量关系，并说明理由． 　思路分析　　（1）由角平分线的定义和平行线的性质求出即可证得结论； （2）延长到M，使得连接过点A作于点N，证明根据全等三角形的性质得出再证根据全等三角形的性质得出结合即可得出． （1）证明：平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​为等腰三角形； （2） 理由：如图，延长到M，使得连接过点A作于点N， ​平分 ​ ​ 在和中， ​， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在和中， ​， ​ ​ ​ ​ 即． 2．  延长 BD 交 AC 如图，D为内一点，平分于点D．若则的长为 （  ） A．4 B．5 C．6 D．7 　思路分析　　延长与交于点E，由题意可推出依据等角的余角相等，即可得等腰可推出根据即可推出的长度． 解：延长与交于点E， ​ ​ ​ ​ ​平分 ​ ​ ​为等腰三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​,故答案为：B． 3．  三线合一的逆用 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小华尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形． 如图1，已知， 点D在的边上，平分 且求证:．请你帮助小华完成证明． 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【模型应用】请根据（1）中的结论解决以下问题： （2）①如图2，在中，是角平分线， 证明:． ②如图3， 在四边形中， 平分当的面积最大时，的长为 ． （3）如图4，在城市规划的三角形文化公园中， 公园内有艺术步道 其中入口M、N分别在上， 步道分别平分和现要在区域修建主题雕塑，需要用围栏封闭该区域，请直接写出围栏的长度．(步道宽度和接头忽略不计) 　思路分析　　（1）证明即可得证； （2）①延长交于点易得得到根据三角形的外角的性质，推出进而得到根据线段的和差关系即可得出结论；②延长交于点易得进而得到推出根据三角形的中线的性质，得到根据垂线段最短，得到时，的面积最大，此时的面积最大，勾股定理求出的长，即可得出结果； （3）延长交于点D，延长交于点E，由（1）可知，得到进而证明得到再利用勾股定理得到设则从而得到即可求出的周长，得到答案． （1）证明：平分 且 ​ 又 ​ ​ （2）①证明：延长交于点 同（1）法可得 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ②延长交于点 同（1）法可得： ​ ​平分的面积，即： ​为定值，为定值，点到的距离小于等于 ​当时，的面积最大，此时的面积最大， ​ ​ （3）延长交于点D，延长交于点E， ​分别平分和 由“情境建模”的结论得： ​ 在和中， ​， ​ ​ ​ ​ 设 ​ ​ ​ ​ ​ ​的周长 答：至少需要围挡． 　题型 2　　截长补短：一条长边等于两段之和 知识梳理 要证 （一条长边 两段之和），就在长边上截一段等于短的（截长），或把短边延长一段等于另一段（补短），造出全等后再把两段拼起来 先认清题型：结论形如 且 是同一条直线上的三段或分散在三处，就该想到截长补短．判据只有一条：结论里有""或""号．若结论是"两段相等"，那是全等或等腰的活，不用截长补短。 截长（在长边上做）：要证 就在 上取 连 ．由 平分 得 加上公共边 得 （SAS），于是 ．剩下的活全在证 ：由 及外角关系得 故 于是 ．截长的三步：截 全等 证剩下那一段等腰。 补短（在短边上做）：同一个结论也可以"延长 到 使 "，连 则 于是 而 一条等腰把两段拼成一段．截长与补短证的是同一件事，选哪个看哪个方向的全等更好凑：角平分线在长边一侧时用截长，等腰在外侧时用补短。 s09 的"双思路"正是这两条路的对照：小敏在 上截 （截长），小洁延长 至 使 （补短），两条路的第二步都是"证出一对相等的角"，然后靠等腰收尾．答题时写清"我选择哪一种、在哪条线上动刀"，比堆砌步骤得分高。 s04 是"和等于定值"的动点版： 从 沿 走、 从 沿 的延长线走，速度相同故 要证 把 拆成 把 写成 ，代入 立得 ．动点题的"和"多半靠"一段减、一段加"抵消，先写出两条动线段关于同一个 的表达式，再相加，别急着作辅助线。 易错　①结论有""号却硬证全等，绕不出来；　②截长时截错边（在短边上截长的）；　③截完不利用题给的倍角关系（如 ），全等之后就走不动；　④补短后忘了" 要由两段拼成"这一步；　⑤s04 里把 写成 之外的关系，导致加减符号错。 要点　结论有" / " 截长或补短；三步走：截（补） 全等 证剩下那段等腰。 1．  两种思路对照 综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，是的平分线． 求证：． （1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取连接．（如图2） 小洁的证明思路：延长至点E，使连接．（如图3） 请你任意选择一种思路完成证明． （2）问题升华：如图4，在中，若是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段之间的数量关系又如何？请证明． 　思路分析　　（1）小敏的证明思路：由是的平分线，可证明再证明最后证明为等腰三角形即可求解． 小洁的证明思路：证明得到进而得出即可求解． （2）如图，在的延长线上取一点E，使连接证明再证明为等腰三角形即可求解． （1）小敏的证明思路：如图2，在上截取连接． ​是的平分线， ​, 在与中， ​, ​ ​, ​ ​ ​ ​． 小洁的证明思路：如图3，延长至点E，使连接则, ​ ​． ​ ​ ​ ​是的平分线， ​． ​ ​ ​ ​． （2） 如图在的延长线上取一点E，使连接 ​平分 ​ 在与中 ​， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 2．  截长补短阅读 “截长补短”是一个汉语成语，也是一种几何证明中常用的辅助线添加方法．在几何问题中，“截长”是指在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段，构造全等三角形等条件来解题．例如，已知线段较长，较短，要证明一些和这两条线段相关的结论时，可以在上截取．“补短”与之相反，是将较短的线段延长，使延长后的长度等于较长的线段，然后利用全等或其他几何关系来求解问题，比如延长使． （1）【理解运用】在中，平分交于点．求证：． 方法一：如图1，在上截取使连接． 方法二：如图2，延长至点使连接． 选择一种方法证明（写出证明过程）． 选择方法 ． （2）【拓展运用】如图3，在中，垂足为求证：． 　思路分析　　（1）截长法在上截取结合角平分线条件由证再利用倍角与外角性质推代换得证；补短法延长使同理证全等与等腰，通过线段和代换完成证明； （2）在上截取由通过可证得到再结合与三角形外角性质，推导将拆分为经等量代换后完成证明． （1）方法一：证明：如图： ​平分 ​ 在和中， ​， ​ ​ ​ ​． 又是的外角， ​ ​ ​． ​ 又 ​ ​且 ​ 方法二：证明：平分 ​ 在和中， ​， ​ ​ ​是的外角， ​ 又 ​． 将代入，得 ​ ​ ​ ​ ​． 又 ​ （2）证明：在上截取连接如图： ​ ​ 在和中， ​， ​ ​ ​ ​． 又是的外角， ​ ​ ​． ​ 又 ​． ​且 ​． 3．  动点与 AP 加 AQ 如图，中， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)． （1）求证: （2）求证: （3）如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 　思路分析　　本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键． （1）利用的移动速度相同，得到利用线段间的关系即可推出 （2）过点P作交于点F，利用等边对等角结合已知可证即可得出结论； （3）过点P作交于点F，由（2）得可知为等腰三角形，结合可得出即可得出为定值． （1）证明：的移动速度相同， ​ ​ ​ （2）如图，过点P作交于点F， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 由（1）得 ​ 在与中， ​， ​ ​ （3）为定值5， 理由如下： 如图，过点P作交于点F， 由（2）得： ​为等腰三角形， ​ ​ 由（2）得 ​ ​ ​为定值5． 　题型 3　　面积法：垂线段之和等于高 知识梳理 等腰三角形底边上任取一点，到两腰的距离之和恒等于一腰上的高；证法只有一句：把大三角形拆成两块，算两次面积 结论： 为 上任一点，则 ．这不是巧合，是面积恒等式：即 约去 就得到结论．"同底等高、拆面积"是这类题的唯一引擎。 面积法的三个动作：①连一条线（通常连 ），把图形拆成两块；②写两次面积（整体一次、部分和一次）；③约掉公共的高或底．关键在"连 "这一步——不连就没有两块，这也是学生最常卡住的地方：看到"点到两腰的距离"，先连顶点与那个点． 点跑到延长线上，结论要变号（s11 的第（3）问）．当 落在 的延长线上时，同样的推导给出 ，即"离得远的那条 另外两条之和"．记忆口诀：点在边上，两段相加；点在延长线上，长段减短段——每次都用面积等式重推一遍，比背结论安全。 s10 的第（3）问把面积法搬到矩形里：折叠后 配合 得 于是 （又是"平行 等角 等腰"），再用同一套 的面积恒等式收尾．同一个模型换个场地出现，动作一步都不改。 面积法的"适用范围"要记住：只要出现"垂直"与"距离"，就该想面积；反之，如果题里一个垂直都没有，面积法无从下手．本讲三道题（s10、s11 与 s11 的变式）都靠"点到直线的距离"活着，看到 就条件反射地写 底 高。 易错　①不连 两块面积写不出来；　②约分时把 与 当成不相等（等腰这个条件白给）；　③点在延长线上仍写"相加"，符号错；　④s10 里没先证 就用 　⑤把"距离"与"线段长"混写，忘了垂直这个前提。 要点　连顶点 拆两块 算两次面积 约公共量；点在边上相加、点在延长线上相减。 1．  矩形里的距离和 【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，P为边上的任一点，过点P作垂足分别为D、E，过点C作垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证： 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作垂足分别为G、H，若则的值为 ． 　思路分析　　本题主要考查了折叠的性质，等角对等边，三角形面积计算， （1）利用面积转换：即可得证． （2）连接利用面积转换即可得证． （3）过点E作于Q，由平行线的性质证明再证明得到则由（1）可知据此求解即可． （1）连接如图②所示， ​ ​ ​ ​ （2）连接如图③所示， ​ ​ ​ ​ （3）如图④，过点E作于Q， 由长方形的性质可得与平行， ​ ​ ​ ​ 由折叠的性质得 ​ ​ ​ ​． ​的值为4． 2．  点在延长线上 在中，D为直线上任意一点，连结于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为      ；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：       ​      ． ​      ． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 　思路分析　　本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2）根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得因为点D为中点，所以结合化简得即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （1）边上的高如图所示： （2） 证明： ​ ​ ​ （3）与的数量关系为理由： 过点B作交于一点G， ​ ​ ​点D为中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （4）过点B作交于一点 ​ ​ ​ ​ 则 　题型 4　　等腰里的高与倍分 知识梳理 等腰（直角）三角形里的高，常与角平分线、中点配合出 倍关系；见到"一半"" 倍"就往"含 的直角三角形"或"斜边中线"上想 倍分关系的三个来源（初中阶段只有这三个）：① 角所对的直角边 斜边；②直角三角形斜边上的中线 斜边；③等腰三角形"三线合一"后，底边被平分成两段．看到""这种结论，先问自己：这三条路哪条能通向它，而不是先画一堆辅助线。 s13 的经典结构： 平分 （ 在 的延长线上），求证 ．关键动作：把 延长与 的延长线相交于 ，则 既是 的平分线又是 上的高，由"三线合一"得 是等腰；再证 （一对直角、一对余角），得 ．"角平分线 垂线 延长凑等腰"在上一题型已经出现过，这里再用一次，就得到" 倍"。 s07 的算例把 用到底： 中 则 由 与 得 是等边三角形，于是 在 里再用一次 ，得 ．第（2）问的 则通向等腰直角三角形，把 与 拼在一起， 与 的倍分就出来了。 倍分题的书写纪律：①每一步都写出"因为哪个角是 / 哪个是斜边"，不写清楚阅卷会判跳步；②" 倍"的结论最后一定要落到一条具体的等式（如 且 ），不要只说"由图可知"；③作图题（如 s07 第（2）问的辅助线）先在图下方写"如图，延长……"，图与话对不上是最常见的扣分点。 易错　①看到" 倍"就乱作辅助线，不先想三个来源；　②s13 不延长 硬在全等里绕；　③s07 里把 当成 　④用"三线合一"时不先说明" 既是平分线又是高"；　⑤结论只写" 倍"不落具体等式。 要点　倍分只有三个来源： 对边、斜边中线、三线合一平分底边；角平分线 垂线 延长凑等腰 出 倍。 1．  CD 等于 2BE 如图，中，CD平分垂足E在CD的延长线上．求证：BE． 　思路分析　　根据等角的余角相等求出再利用“角边角”证明可得利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等整理即可得证． 证明： ​ ​ ​ 在和中， ​， ​（ASA）； ​ ​CD平分 ​ 在和中， ​， ​（ASA）， ​ ​ ​． 2．  30 度与 45 度 已知在中，为线段上一点且满足连接过点作于点与交于点． （1）如图1，求的长和的面积． （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接．若求证：． 　思路分析　　（1）由得由得 过作于点证明 得即得 ． （2）法一：过作于点可得得由可得得即得． 法二：过点作于交于设交于．证明 得得由即得． （1）解：于点 ​又 ​ ​ ​ 如图1中，过作于点又于点 ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ （2）证明：解法一：如图2中，过作于点又于点 ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​又 ​ ​即 又 ​． 解法二：如图3中，过点作于交于设交于． ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． A 组　基础题 必做｜补一个条件证全等、延长凑等腰求角 1．  补一个条件证全等 如图，已知射线OC上的任意一点到的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得只需要添加以下四个条件中的某一个即可，①②③④．请写出所有可能的条件的序号      ． 如图： ​射线OC上的任意一点到的两边的距离都相等， ​OC平分． ①若①根据ASA定理可求出由三角形全等的性质可知．正确，符合题意； ②若根据AAS定理可得由三角形全等的性质可知．正确，符合题意； ③若条件不能得出．错误，不符合题意； ④若根据ASA定理可求出由三角形全等的性质可知．正确，符合题意． 故答案是：①②④ 2．  延长凑等腰求角 如图，已知平分则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了等边对等角，以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的定义及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长到点使连接再得出证明即可作答． 解：延长到点使连接 ​ 则 ​ ​ ​ ​ ​ ​平分 ​ ​ ​ ​故答案为：D． B 组　提升题 必做｜角平分线配平行出等腰、等腰与倍角 1．  角平分与平行 如图，在四边形中，平分交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接与相交于点求证：垂直平分． 　思路分析　　（1）由题意易得则有然后问题可求证； （2）由角平分线的性质定理可得易证然后问题可求证 （1）证明：平分 ​ ​ ​ ​是等腰三角形； （2）证明：平分 ​ 在和中， ​， ​ ​ ​点点在线段的垂直平分线上， ​垂直平分． C 组　拓展题 选做｜截长补短阅读材料：三种辅助线一次走完 1．  等腰与倍角 如图，在中，点是边上一点，且过点作于点与交于点过点作垂足为点． （1）求证： （2）判断的形状，并说明理由． 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． （1）过点C作于点G，根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解； （2）由得出即得根据三角形外角定理得出由（1）知可得由“等角对等边”即可得解． （1）证明：如图， ​ ​为等腰三角形， ​ ​ ​ ​于点 ​ ​ ​ （2）解：是等腰三角形， 理由： ​ ​ 由（1）知 ​ ​ ​是等腰三角形． 2．  B 等于 2C 截长 阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分交于点且求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取使得连接解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形中，已知是的高，求的长． 　思路分析　　（1）在上截取使得连接根据角平分线的定义得出利用证明从而可得再利用三角形外角的性质可得从而可得推出进而得出即可得证； （2）在上截取连接由三角形内角和定理可得证明得出再证明得出求出即可得解． （1）证明：在上截取使得连接 ​平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是的一个外角， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）解：在上截取连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的长为14． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $