15.3.2 等边三角形的性质与判定 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 15.3.2  等边三角形的性质与判定（第 1 课时） 学生版  15.3.2　等边三角形的性质与判定 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　等边三角形的性质与求角 2 　　题型 2　等边三角形的判定 4 　　题型 3　平移与周长 6 　　题型 4　手拉手：两个等边三角形共顶点 8 　　题型 5　旋转 60 度与翻折 13 　　题型 6　到三边距离之和 15 　　题型 7　折叠里的角度和 17 　　题型 8　线段计算 18 　　题型 9　证明与探究 21 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 26 　题型 1　　等边三角形的性质与求角 知识梳理 三边相等、三个角都是 ；每条边上的中线、高、对角的平分线三线合一 等边三角形的四个性质：①三边相等；②三个角都是 ③每条边上的中线、高与所对角的平分线互相重合（三线合一）；④它是轴对称图形，有 条对称轴．看到"等边"就把三个 标在图上，后面所有的角都由它加减出来。 平行线 等边（c01、c23）：直线 先用等边的 把平角拆开，再用"两直线平行，内错角（同旁内角）相等（互补）"搬角．标准写法是""再取内错角。 求"某个角"的固定顺序：①先标出能直接得到的 ②再看有没有直角（高、垂线）；③最后用三角形内角和、外角定理收口．c08、c09、c22 都是这个顺序，别一上来就设未知数。 中线与角平分线交点（c15）：两条中线交于重心，用"三线合一"可以把交点处的角换算成 的倍数；等边三角形里所有特殊点都落在三条对称轴上，这是它的独有便利。 ""这类对称角（c12）：两个等边三角形错开摆放时，先找公共顶点与公共边，再用平行线把外侧的已知角搬到三角形里．搬角的方向从"平行线"入手，别从等边入手。 易错　①只标一个 忘了另外两个；　②把"三线合一"用在非底边的线上（等边三角形里三条线都合一，等腰只有一条）；　③平行线搬角方向搞反；　④不写内角和就猜角；　⑤对称轴数成 条。 要点　三个 先标上；求角顺序"等边 直角 内角和／外角"。 1．  平行线与 42 度 如图，直线分别经过等边三角形的顶点且则的度数为 （  ） A． B． C． D． 2．  等边里求角 如图，是等边三角形，点在边上，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3．  高与角 1 如图，已知等边三角形且则的度数为 （  ） A． B． C． D． 4．  高平分顶角 如图， 在等边三角形ABC中， 于点D， 则的度数为 （  ） A． B． C． D． 5．  两个等边与平行 将等边三角形按如图所示的方式放置，已知则 （  ） A． B． C． D． 6．  平行线与 21 度 如图，直线等边三角形的两个顶点分别落在直线上，若则的度数是 （  ） A． B． C． D． 　题型 2　　等边三角形的判定 知识梳理 三条判定：三边相等、三角相等、有一个 角的等腰三角形；第三条最常用 三个判定定理：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（即都是 ）的三角形是等边三角形；③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．第 ③ 条是解题主力：题里给"等腰 "，比证三边相等省事得多。 "两个角的平分线都垂直于对边"（c03）：角平分线与对边垂直 这条线是对边的垂直平分线 两边相等；两个角都这样，就得到三边相等．"平分 垂直 等腰"这一步要写出来。 c10、f24 是"等腰 一个 "：f24 给 直接判等边，于是 ；c10 里 是等边三角形，．见到"两边相等 "就写"等边"。 f31 的动点判等边： 在射线 上，要 等边，只需 ；若 在射线反向延长线上则永远不成等边，所以 秒（速度 单位/秒）．动点题的判据仍是"等腰 "。 c14 是"添加哪个条件还不行"：折痕 垂直平分 已经有一个等腰；要判 等边，再加""或""都可以，加""也行；加" 平分 "这类与边角无关的条件就不行．逐条代进三个判定里试。 易错　①拿"三个角相等"当唯一判据、不会用 等腰；　②c03 漏写"平分 垂直 等腰"；　③f31 忘了检查 是否在射线上；　④c14 不看已有条件就乱加；　⑤判定与性质混用。 要点　三边 / 三角 / 等腰 ；第三条最常用。 1．  两个角平分线垂直对边 在三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是 （  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．  衣架收拢 数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，则此时两点之间的距离为 （  ） A． B． C． D． 3．  还缺哪个条件 如图，在中，对折直角边使点与点重合，得到折痕点分别在上，连接添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是 （  ） A． B． C． D． 4．  等腰加 60 度 已知中，若则      ． 　 5．  哪几个是等边 根据条件判断下列三角形是等边三角形为      ． 　 6．  动点几秒成等边 如图，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为则当      时，是等边三角形． 　 　题型 3　　平移与周长 知识梳理 等边三角形平移后，重叠部分是等边三角形；周长要把"平移距离"与"原边长"分开算 平移的基本事实：图形平移后形状、大小都不变，对应点连线平行且相等（都等于平移距离）．所以"四边形 "这类图形的周长 原边长 平移距离 剩余部分，先画图、把每段长度标清楚。 c05 的算法：边长 的等边三角形右移 而 逐段相加即得周长．" 是重叠后剩下的那一段"是最容易算错的地方。 f26 的阴影周长：平移后阴影部分是重叠区域，它仍是等边三角形（ 三边分别平行于原三边）；周长 阴影边长，阴影边长 原边长 平移距离．"重叠部分仍是等边"这句话要写出来。 含 的三角尺题（f35）：直尺上的刻度差就是一段线段的长，先读刻度算出 的长，再用 等边得周长 ．刻度题的关键是"读数相减"，不是看图猜。 c21 的梯子题：两次靠墙，梯子长度不变，用" 与墙垂直"把角算出来，关键在于斜边相等 两个直角三角形全等或等腰；先证等边或等腰，再算 。 易错　①平移距离与边长混在一起加；　②f26 忘记"阴影仍是等边"；　③f35 刻度不相减；　④c21 看不出两个直角三角形的关系；　⑤不画图、凭空加。 要点　平移不变形；重叠部分仍是等边；周长逐段标清再相加。 1．  平移后的周长 如图，将边长为的等边沿边BC向右平移得到则四边形的周长为 （  ） A． B． C． D． 2．  平移一个单位 如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到则四边形的周长是 （  ） A． B． C． D． 3．  平移后的阴影周长 如图，边长为的正三角形向右平移得到正三角形此时阴影部分的周长为      ． 　 4．  三角尺与直尺 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若点对应的刻度分别为则的周长为      ． 　 5．  梯子靠两墙 如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为那么的长是 （  ）米． A． B． C． D． 　题型 4　　手拉手：两个等边三角形共顶点 知识梳理 两个等边三角形共顶点 全等；由此得对应线段相等、夹角 或 也是等边 模型识别：两个等边三角形 共顶点 则 且 （都是"公共角 "），故 （）．"共顶点 两个 "就是手拉手的标志。 三条常用结论：①② 与 的夹角等于 （即 或 看取哪个角）；③连 （或 ）后 也是等边三角形 —— 因为它由"对应线段上的对应点"截得，用 再证一次全等即可。s45、s61 的第（2）问考的就是第 ③ 条。 s52 的"外部等边"： 在 的外部时，对应关系会变（ 与 仍全等，但交点的位置变了），画图时要按题目给的位置摆，位置不同、结论相同 —— 这类题就考"图形变、方法不变"。 "以 为边作等边"（s56、s65）：统一做法是"绕公共顶点旋转 "：把 绕 转 得 于是 与 的夹角是 ．"旋转 "与"手拉手全等"是同一件事的两种说法。 写证明的规范：①先写" 两个三角形都是等边三角形"，列出两组等边与一组等角；②写""；③再写" 对应边相等"；④结论里"夹角 "要用"三角形内角和"或"外角"补一句，只写全等不给分。 易错　①全等的对应顶点顺序写错；　②"公共角 "这一步不写；　③ 是等边三角形不证就下结论；　④图形位置变了却照抄结论的证法；　⑤只写全等不写"夹角 "。 要点　共顶点等边 全等 等线段 夹角；再截等长得第三个等边。 1．  两个等边求角 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边与相交于点与相交于点连接则度数为 （  ） A． B． C． D． 2．  三个结论辨真假 如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点连接．下列结论：①②③④．其中正确的为 （  ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．  两个等边证等边 已知：如图，都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求的度数： （2）求证：是等边三角形． 　 　 　 　 　 4．  外部等边 若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． （1）①证明 ②图中还有哪些三角形全等？ （2）若连接试判断的形状． （3）与在位置上有什么关系？ 　 　 　 　 　 　 　 5．  动点与等边 已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点点重合）．以为边作等边三角形连接． （1）如图当点在边上时． ​求证： ​直接写出线段与三者之间的数量关系：      （不需证明）； （2）如图当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 　 　 　 　 　 6．  两个等边的中点点 【问题背景】 如图，都是等边三角形，相交于点点分别是线段的中点，连接． （1）【初步探究】求证： （2）【深入探究】求的度数； （3）【拓展延伸】判断是什么三角形，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 7．  以 AD 为边作等边 如图，已知是等边三角形，点D是边上一点． （1）以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接猜想与的位置关系，并证明你的结论； （2）若过点C作在上取一点F，连接使得试猜想的形状，直接写出你的结论． 　 　 　 　 　 　题型 5　　旋转 60 度与翻折 知识梳理 绕等边的顶点转 图形与原图形拼出新的等边三角形；翻折仍是轴对称，折痕是对称轴 c17 的旋转：把 绕 逆时针转 得 则 自动成为等边三角形；"转 出现新的等边"是本课时最漂亮的一招。 f40 的"旋转后重合"： 绕 顺时针旋转与 重合，旋转角就是 ，故 等边，再用外角把 与 连起来．"旋转前后全等"是唯一依据。 c18 的"翻折出等长"：把线段 沿 翻折得 则 配合 得 ，于是 等腰，②③两个说法都由"翻折 轴对称"直接推出．翻折给等长与等角，别去想别的。 f37、s49 是"翻折 等边"：把 沿 翻折，折痕 是对称轴，等边三角形给的 与翻折给的一半角配合，就能算出 一类角．先标"被平分的那两个角"，再算。 写"旋转"类证明的三句话：①"由旋转可知 "；②" 对应边相等、对应角相等"；③"又 是等边三角形"．第三句是这类题的得分点，只写全等不给满分。 易错　①旋转角说成任意角；　②翻折后忘记"被平分"的那两个角相等；　③c18 漏掉""这个已知；　④f40 不用外角、硬算；　⑤只写全等、不写"等边"的结论。 要点　转 出等边、翻折出等长；证明三段："全等 等边角 等边"。 1．  旋转 60 度 如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到若则下列结论一定正确的是 （  ） A． B． C． D． 2．  翻折与三条等长 如图，在等边三角形中，将线段沿翻折，得到线段连接交于点N，连接以下说法：①②③④中，正确的说法个数是 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．  翻折后交于点 如图，已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点若则的度数为        ． 　 4．  旋转后重合 如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接则      度；设则的度数为      度（用含有m的代数式表示）． 　 5．  两条垂线与 60 度 如图，在中，垂足为且连接．分别是边上的点，连接且．求证： （1）是等边三角形； （2）． 　 　 　 　 　 　题型 6　　到三边距离之和 知识梳理 等边三角形内（或边上）任一点到三边距离之和 这条高（等面积法）；面积题优先想"割成三个三角形" 核心结论：等边三角形内任一点 到三边的距离 恒等于它的高．证法：连 把三角形分成三块，两边约去 即得．"等面积法"是本板块唯一的方法。 c16 的用法： 的高是 则 不必分别求三段．题目给"高"就是给"距离之和"，给"距离之和"就是给"高"，两者可以互换使用。 f33 的"取中点"：等边三角形三边中点连成的三角形也是等边三角形，面积是原三角形的 ；再按题目要求取阴影部分，先用" 关系"算出小三角形面积，再数阴影占几块．"中点三角形面积 "是等边（乃至任意三角形）的通用结论。 f39 的动点最值： 在 上动，以 为边作等边 这是"绕 转 "的旋转模型，于是 与 相等（或与某个定长相关），最小值出现在 取端点或 某线时；先把 转化成一条"到定点的距离"，再求最值。 书写要求：用等面积法时要写""，这条面积分割式是给分点；算完注明""。 易错　①分别去求三段距离；　②面积分割时漏掉一块；　③f33 忘记"中点三角形是 "；　④f39 不做旋转转化、硬求最值；　⑤不写面积分割式。 要点　距离之和 高（等面积法）；中点三角形面积 1．  到三边距离之和 如图，为等边内任一点，于点于点于点．已知的高为5，则 （  ） A．10 B． C． D．5 2．  取三边中点 如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是      ． 　 3．  等边的最小值 如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接以为边在其上方作等边连接若则线段的最小值为      ． 　 　题型 7　　折叠里的角度和 知识梳理 剪角、折叠、拼接题都靠两个工具：四边形内角和 折叠给"角被平分" f28 的"剪去一个角"：等边三角形剪掉一个角后变成一个四边形，四边形的内角和是 ，其中两个角仍是 故 ．"剪角 变四边形 用 "三步。 f29 的折叠：把 沿 折叠， 与 相等、 与 相等；再用 （五边形）或"平角"关系收口，最后得 ．折叠题先把"被平分的角"标成两个相同字母。 f32 的三个等边：三个等边三角形绕着同一点摆放，它们的"尖角"都是 ，若直线上的三个角加上 构成平角，则 一类的等式成立；先看清哪几个角拼成一个平角，再列式．"平角 "是拼接题的核心。 f36 的"两条垂直平分线"：底角 ； 垂直平分 于是 故 ，再由 求 ．"垂直平分线造等腰 得底角 做差"三步。 易错　①剪角后仍按三角形内角和算；　②折叠后不标"两角相等"；　③f32 分不清哪几个角拼成平角；　④f36 忘记垂直平分线给的等角；　⑤用错多边形内角和公式。 要点　剪角变四边形（）；折叠标等角；拼接找平角。 1．  剪去一个角 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，      ． 　 2．  折叠求两角之和 如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则      ． 　 3．  两条垂直平分线 如图，在中，分别是的垂直平分线，则      ． 　 　题型 8　　线段计算 知识梳理 等边里的线段题几乎都用" 所对直角边是斜边一半"；没有直角就作高 最常用的两条：①等边的高 边长；②在含 角的直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半．题里一出现"垂线"或"高"，就往这两条上靠。 c06 的做法：过 作 是含 的直角三角形，故 又 用"平行 相等"构造全等或中位线，最后得 等于定值．""这一步是全题的关键。 c11 的""： 在 的延长线上， 也是等边三角形（），故 于是 一类的和差就能算．"平行于等边的边 又出一个小等边" 是常用结论。 f41 的"两线之和"：两个小三角形都是等边，于是 可以化成关于 的一次式，在 取某值时取最值．"平行 等边 线段用 表示"三步。 f43 的"落地灯"：先设 把每个角写成 的一次式，再由等腰与内角和定出 最后 就等于 （等边）或由等腰直接给出．情境题一律先翻译成"等腰/等边 角度关系"。 s57、s60 是"带参数的探究"：s57 给 结论往往与 无关（定值），证法是"两次全等"；s60 的 先由 定出 的位置，再讨论"变化范围"．带参数的题要敢于"设而不求"。 易错　①含 的直角三角形找错斜边；　②c06 不用 　③c11 忘记"平行出小等边"；　④f41 不把线段用 表示；　⑤s57 结论里硬塞 要点　含 直角边 半斜边；平行于等边的边必出小等边。 1．  垂线与相等线段 如图，是边长为4的等边三角形，点在上，过点作垂足为延长到点使连接交于点则的长为 （  ） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 2．  平行出小等边 如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作交的延长线于点．若则的长为 （  ） A．2 B．5 C．8 D．11 3．  两线之和 如图，是等边三角形，点P是上一动点，交于点D，连接．过点P作交于E，连接交于F．当的值最小时，m的值为      ． 　 4．  落地灯 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且若的长度为则此时两点之间的距离为      ． 　 5．  带参数的探究 在中，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足连接． （1）如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图2，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 　 　 　 　 　 　 　 6．  三条线段相等 如图，在边长为2的等边三角形中，点在边上运动（不与重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，． （1）若则      ． （2）求证：． （3）试说明点在边上从点至点的运动过程中，的周长是否发生变化？若不变，请求出的值，若变，请求出的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 9　　证明与探究 知识梳理 证"等边"优先用"等腰 "；探究题按"特殊 一般 结论"三段走 s58 的判定示范： 平分 且 由三线合一得 ；又 推出 ；于是"等腰 "， 是等边三角形．两段：先证等腰、再证 。 s48 的"角平分线 平行"： 平分 则 故 等腰；再由 得等边．"平行 平分 等腰"这个模型在等边题里同样通用。 s51、s53 的"平移 + 中点"： 是 中点、 由 平移得到，故 四边形 是平行四边形；"平移 平行且相等 平行四边形" 是固定链条，再用平行四边形的性质求线段。 s62 是"阅读型探究"：先看特殊情况（ 为中点时）的结论，再照它的方法处理一般情形；关键是"作平行线造等边"这条辅助线，题目既然给了提示，就按提示作、不要另起一套．阅读题的做法名与依据都要写。 s46、s55、s63 各有各的入口：s46 用""造全等，证明 ；s55 用"绕 转 "证 s63 由 与"等边的高"求 再证 等腰．三道题的方法不同，但都落在"全等或等腰"上 —— 先想"能不能造全等"，再造不出来才硬算。 易错　①s58 只证等腰不证 　②s48 漏掉"平行 平分"这一步；　③s51 不写"平移 平行且相等"；　④s62 不按提示作辅助线；　⑤探究题只算特殊情形就下结论。 要点　等腰 判等边；平移 平行四边形；探究题按提示走。 1．  截等长与延长 如图1，是等边三角形，D，E为上两点，且延长BC至点F，使连结BD，EF． （1）如图2，当D，E两点重合时，求证： （2）如图3，延长FE交线段BD于点G． ①求证： ②求的度数． 　 　 　 　 　 2．  角平分线与平行 如图， 在四边形中的角平分线与的延长线交于点求证：为等边三角形． 　 　 　 3．  中点与平移 如图，是等边三角形，是的中点，连接过点作过点作交于点连接交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 　 　 　 　 　 4．  平移得平行四边形 如图，是等边三角形，是的中点，垂足为是由沿方向平移得到的，连接已知过点交于点． （1）求的度数； （2）若求的长度； （3）求证：是等边三角形． 　 　 　 　 　 　 　 5．  旋转 60 度证等长 如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到连接的延长线与交于点与交于点． （1）求证： （2）      度； （3）如图2，连接平分吗？请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 6．  平分加垂直判等边 如图，在中，平分交于点延长至点使得．连接． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作于点求证：是线段的垂直平分线． 　 　 　 　 　 7．  阅读型探究 数学课上，林老师给出了下列方框中的一道题： 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且 / 试确定线段与的大小关系，并说明理由． / 小聪和同桌小明讨论后，得出如下解答： （）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：      （填“”或“”）． （）特例启发，解答问题 解：题目中，与的大小关系是      （填“”或“”），理由如下：如图过点作交于点（请你继续完成接下来的解题过程）． （）拓展讨论，设计新题 ①互换林老师所给题的条件和结论，即：如图在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且试确定线段与的大小关系，并说明理由． ②在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为求的长为      （请你直接写出结果）． 　 　 　 　 　 8．  高与相等线段 如图，是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使． （1）求的度数； （2）求证：为等腰三角形． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜等边套用求角、两线相等与课本证明阅读 1．  两条中线交点 如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点则的度数为 （  ） A． B． C． D． 2．  中线与 AE=AD 如图，是等边的一条中线，若在边上取一点使得则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3．  高与相等线段 如图， 在等边三角形中，则的度数是      ． 　 4．  课本证明与仿做 （1）如图1，是等边三角形，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： / 证明：是等边三角形， / ． / / / / 是等边三角形． / “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： / 证明：是等边三角形， / ． / /       ， / / （④      ） / 是等腰三角形． / 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得求证：是等边三角形． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜要绕一步：等腰内的 60 度、方向角与等边链 1．  等腰内的两个 60 度 如图，在中，是内两点，平分若则的长度是 （  ） A．12 B．11 C．10 D．13 2．  南偏西与北偏西 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距 （  ） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 3．  三个等边求角 三个等边三角形的位置如图所示，若则      ． 　 4．  30 度与等边链 如图，点…在射线上，点…在射线上，…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为第个等边三角形的边长记为以此类推，若则      ． 　 5．  内部一点的角 如图，点为内部一点，使得则的度数为      ． 　 6．  两个等边在直角边上 如图，在中，分别以为边作两个等边和连接并延长交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 　 　 　 　 　 7．  两个等腰共顶点 在中，已知点在上，且点在的延长线上，且． （1）如图若求的度数； （2）试探求与的数量关系； （3）如图若平分于点求证：． 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜截等长判形状、内部一点的角与两组全等 1．  截等长后的形状 如图，是等边三角形，分别是边上一点，且．则的形状是      ． 　 2．  两组等长与比值 如图，在等边中，点分别在边上，连接点分别在线段上，满足若则的度数为      ． 　 3．  30 度与等边链 如图，已知：点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若则的边长为      ． 　 4．  内一点求角 如图，O是等边内一点，求的度数． 　 　 　 5．  四边形里的等边 如图，在四边形中，点为上一点，连接交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若则的长为 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2  等边三角形的性质与判定（第 1 课时） 解析版  15.3.2　等边三角形的性质与判定 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　等边三角形的性质与求角 2 　　题型 2　等边三角形的判定 5 　　题型 3　平移与周长 9 　　题型 4　手拉手：两个等边三角形共顶点 12 　　题型 5　旋转 60 度与翻折 22 　　题型 6　到三边距离之和 26 　　题型 7　折叠里的角度和 29 　　题型 8　线段计算 31 　　题型 9　证明与探究 38 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 48 　题型 1　　等边三角形的性质与求角 知识梳理 三边相等、三个角都是 ；每条边上的中线、高、对角的平分线三线合一 等边三角形的四个性质：①三边相等；②三个角都是 ③每条边上的中线、高与所对角的平分线互相重合（三线合一）；④它是轴对称图形，有 条对称轴．看到"等边"就把三个 标在图上，后面所有的角都由它加减出来。 平行线 等边（c01、c23）：直线 先用等边的 把平角拆开，再用"两直线平行，内错角（同旁内角）相等（互补）"搬角．标准写法是""再取内错角。 求"某个角"的固定顺序：①先标出能直接得到的 ②再看有没有直角（高、垂线）；③最后用三角形内角和、外角定理收口．c08、c09、c22 都是这个顺序，别一上来就设未知数。 中线与角平分线交点（c15）：两条中线交于重心，用"三线合一"可以把交点处的角换算成 的倍数；等边三角形里所有特殊点都落在三条对称轴上，这是它的独有便利。 ""这类对称角（c12）：两个等边三角形错开摆放时，先找公共顶点与公共边，再用平行线把外侧的已知角搬到三角形里．搬角的方向从"平行线"入手，别从等边入手。 易错　①只标一个 忘了另外两个；　②把"三线合一"用在非底边的线上（等边三角形里三条线都合一，等腰只有一条）；　③平行线搬角方向搞反；　④不写内角和就猜角；　⑤对称轴数成 条。 要点　三个 先标上；求角顺序"等边 直角 内角和／外角"。 1．  平行线与 42 度 如图，直线分别经过等边三角形的顶点且则的度数为 （  ） A． B． C． D． 解：等边三角形 ​ ​ ​ ​ ​． 2．  等边里求角 如图，是等边三角形，点在边上，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 解：是等边三角形， ​ ​ ​． 3．  高与角 1 如图，已知等边三角形且则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查的是等边三角形的性质，平行线的性质，先证明再利用平行线的性质可得答案． 解：等边三角形 ​ ​ ​故选C 4．  高平分顶角 如图， 在等边三角形ABC中， 于点D， 则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据等边三角形的 “三线合一”，即可求解． 解：三角形ABC为等边三角形， ​ ​于点D， ​ ．故选：D 5．  两个等边与平行 将等边三角形按如图所示的方式放置，已知则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到再计算即可． 解：如图，设等边三角形为过点作 ​ ​ ​ 在等边三角形中， ​ ​． 6．  平行线与 21 度 如图，直线等边三角形的两个顶点分别落在直线上，若则的度数是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得从而可得再根据等边三角形的性质可得即可求解． 解： ​ 即 ​是等边三角形， ​ 又 ​ ​故选：B． 　题型 2　　等边三角形的判定 知识梳理 三条判定：三边相等、三角相等、有一个 角的等腰三角形；第三条最常用 三个判定定理：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（即都是 ）的三角形是等边三角形；③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．第 ③ 条是解题主力：题里给"等腰 "，比证三边相等省事得多。 "两个角的平分线都垂直于对边"（c03）：角平分线与对边垂直 这条线是对边的垂直平分线 两边相等；两个角都这样，就得到三边相等．"平分 垂直 等腰"这一步要写出来。 c10、f24 是"等腰 一个 "：f24 给 直接判等边，于是 ；c10 里 是等边三角形，．见到"两边相等 "就写"等边"。 f31 的动点判等边： 在射线 上，要 等边，只需 ；若 在射线反向延长线上则永远不成等边，所以 秒（速度 单位/秒）．动点题的判据仍是"等腰 "。 c14 是"添加哪个条件还不行"：折痕 垂直平分 已经有一个等腰；要判 等边，再加""或""都可以，加""也行；加" 平分 "这类与边角无关的条件就不行．逐条代进三个判定里试。 易错　①拿"三个角相等"当唯一判据、不会用 等腰；　②c03 漏写"平分 垂直 等腰"；　③f31 忘了检查 是否在射线上；　④c14 不看已有条件就乱加；　⑤判定与性质混用。 要点　三边 / 三角 / 等腰 ；第三条最常用。 1．  两个角平分线垂直对边 在三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是 （  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 　思路分析　　如图：设在中，的平分线的平分线证明可得同理则即可判断的形状． 解：如图：设在中，的平分线的平分线 ​平分 ​． ​ ​ 在和中， ​ ​ ​． 同理 ​即为等边三角形． 2．  衣架收拢 数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，则此时两点之间的距离为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查等边三角形的判定与性质，根据题意，利用等边三角形判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，利用等边三角形性质即可得到两点之间的距离，熟记等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 解：连接如图， ​ ​是等腰三角形， ​ ​是等边三角形， ​故选：B． 3．  还缺哪个条件 如图，在中，对折直角边使点与点重合，得到折痕点分别在上，连接添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：折叠， ​ ​当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意；故选D． 4．  等腰加 60 度 已知中，若则      ． 　思路分析　　由题意知是等边三角形，三边相等即可求AC的长． 解： ​是等边三角形 ​故答案为：5． 5．  哪几个是等边 根据条件判断下列三角形是等边三角形为      ． 解：判定等边三角形有三条路——三条边都相等、三个角都是有一个角是的等腰三角形，逐个小图对照其中一条即可． 按此判断，第（2）（3）（5）（6）个三角形是等边三角形．故答案为：（2）（3）（5）（6）． 6．  动点几秒成等边 如图，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为则当      时，是等边三角形． 解：如图：当时， ​为等边三角形， ​． 　题型 3　　平移与周长 知识梳理 等边三角形平移后，重叠部分是等边三角形；周长要把"平移距离"与"原边长"分开算 平移的基本事实：图形平移后形状、大小都不变，对应点连线平行且相等（都等于平移距离）．所以"四边形 "这类图形的周长 原边长 平移距离 剩余部分，先画图、把每段长度标清楚。 c05 的算法：边长 的等边三角形右移 而 逐段相加即得周长．" 是重叠后剩下的那一段"是最容易算错的地方。 f26 的阴影周长：平移后阴影部分是重叠区域，它仍是等边三角形（ 三边分别平行于原三边）；周长 阴影边长，阴影边长 原边长 平移距离．"重叠部分仍是等边"这句话要写出来。 含 的三角尺题（f35）：直尺上的刻度差就是一段线段的长，先读刻度算出 的长，再用 等边得周长 ．刻度题的关键是"读数相减"，不是看图猜。 c21 的梯子题：两次靠墙，梯子长度不变，用" 与墙垂直"把角算出来，关键在于斜边相等 两个直角三角形全等或等腰；先证等边或等腰，再算 。 易错　①平移距离与边长混在一起加；　②f26 忘记"阴影仍是等边"；　③f35 刻度不相减；　④c21 看不出两个直角三角形的关系；　⑤不画图、凭空加。 要点　平移不变形；重叠部分仍是等边；周长逐段标清再相加。 1．  平移后的周长 如图，将边长为的等边沿边BC向右平移得到则四边形的周长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先求得的长度，进而得出的长度，AB、的长度都是已知的，的长度为平移距离，从而求解出周长． 解：是沿向右平移得到, ​ ​是等边三角形，且边长为 ​ ​ ​四边形的周长为：12+7+5+7=故选：B． 2．  平移一个单位 如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到则四边形的周长是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　由平移的性质得出由等边三角形的性质得出进而求出四边形的周长即可． 解：将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到 ​ ​的周长是． 3．  平移后的阴影周长 如图，边长为的正三角形向右平移得到正三角形此时阴影部分的周长为      ． 　思路分析　　此题考查了等边三角形的性质和判定，平移的性质，利用等边三角形的性质得到再根据平移的性质得到于是可判断阴影部分为等边三角形，从而得到阴影部分的周长． 解：为等边三角形， ​ ​等边向右平移得到 ​ ​ ​阴影部分为等边三角形， ​阴影部分的周长为故答案为： 4．  三角尺与直尺 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若点对应的刻度分别为则的周长为      ． 　思路分析　　根据题意得得出进一步得出结合得出得到是等边三角形，得到故可求出的周长． 解：根据题意得 ​ 又 ​ ​ ​ ​且 ​ ​是等边三角形， ​ ​点对应的刻度分别为 ​ ​ ​的周长． 5．  梯子靠两墙 如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为那么的长是 （  ）米． A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 解：依题意得 ​米． ​ ​． ​ ​为等边三角形． ​米．故选：A． 　题型 4　　手拉手：两个等边三角形共顶点 知识梳理 两个等边三角形共顶点 全等；由此得对应线段相等、夹角 或 也是等边 模型识别：两个等边三角形 共顶点 则 且 （都是"公共角 "），故 （）．"共顶点 两个 "就是手拉手的标志。 三条常用结论：①② 与 的夹角等于 （即 或 看取哪个角）；③连 （或 ）后 也是等边三角形 —— 因为它由"对应线段上的对应点"截得，用 再证一次全等即可。s45、s61 的第（2）问考的就是第 ③ 条。 s52 的"外部等边"： 在 的外部时，对应关系会变（ 与 仍全等，但交点的位置变了），画图时要按题目给的位置摆，位置不同、结论相同 —— 这类题就考"图形变、方法不变"。 "以 为边作等边"（s56、s65）：统一做法是"绕公共顶点旋转 "：把 绕 转 得 于是 与 的夹角是 ．"旋转 "与"手拉手全等"是同一件事的两种说法。 写证明的规范：①先写" 两个三角形都是等边三角形"，列出两组等边与一组等角；②写""；③再写" 对应边相等"；④结论里"夹角 "要用"三角形内角和"或"外角"补一句，只写全等不给分。 易错　①全等的对应顶点顺序写错；　②"公共角 "这一步不写；　③ 是等边三角形不证就下结论；　④图形位置变了却照抄结论的证法；　⑤只写全等不写"夹角 "。 要点　共顶点等边 全等 等线段 夹角；再截等长得第三个等边。 1．  两个等边求角 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边与相交于点与相交于点连接则度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先证明得出再证明得出证明为等边三角形即可得出结论． 解：和是等边三角形， ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ ​为等边三角形， ​度数为． 2．  三个结论辨真假 如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点连接．下列结论：①②③④．其中正确的为 （  ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 　思路分析　　本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先利用证明得到证明得到进而证明是等边三角形即可． 解：与都是等边三角形，点在同一条直线上， ​ ​ ​故①正确； ​ ​ ​ ​ ​ ​故③正确； ​故④正确； ​ ​是等边三角形，故②正确；故选D． 3．  两个等边证等边 已知：如图，都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求的度数： （2）求证：是等边三角形． 　思路分析　　（1）先证明得到再由是等边三角形，得到则即可得到 （2）由得到再由点M、N分别是线段AD、BE的中点，得到则即可证明得到再证明即可证明是等边三角形． （1）都是等边三角形， ​ ​ ​ 在和中 ​ ​（SAS）， ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）证明： ​ 又点M、N分别是线段AD、BE的中点， ​ ​ 在和中 ​ ​（SAS）， ​ 又 ​ ​ ​ ​是等边三角形． 4．  外部等边 若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． （1）①证明 ②图中还有哪些三角形全等？ （2）若连接试判断的形状． （3）与在位置上有什么关系？ 　思路分析　　（1）①由等边三角形的性质得到则可利用证明可证明则可证明同理可证明 （2）由（1）得则据此可证明为等边三角形； （3）可证明得到． （1）①证明：和都为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ②解： ​ ​和都为等边三角形， ​ ​ ​ ​ 同理可证明 （2）解：如图所示， 由（1）得 ​ ​为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ​ ​ ​． 5．  动点与等边 已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点点重合）．以为边作等边三角形连接． （1）如图当点在边上时． ​求证： ​直接写出线段与三者之间的数量关系：      （不需证明）； （2）如图当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 　思路分析　　（1）①根据等边三角形的边相等、内角为的性质，因为和都是等边三角形，所以可得到且通过等式变形得到夹角用判定定理证明三角形全等．②利用①中全等三角形对应边相等的结论，结合的线段和关系，推导三条线段的数量关系． （2）先按要求画出点D在延长线上的图形，同理先证明再根据此时的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系． （1）①和都是等边三角形， ​ ​ 即 在和中： ​​， ​． ②数量关系：．理由： ​ ​ ​ ​ （2）数量关系：证明如下： 在延长线上取点作等边连接． ​为等边三角形， ​ ​ 即 在和中： ​ ​ ​ 又 ​． 6．  两个等边的中点点 【问题背景】 如图，都是等边三角形，相交于点点分别是线段的中点，连接． （1）【初步探究】求证： （2）【深入探究】求的度数； （3）【拓展延伸】判断是什么三角形，并说明理由． 　思路分析　　本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明即可证明结论； （2）根据全等三角形和等边三角形的性质，推出再结合三角形内角和定理，即可求出的度数； （3）根据全等三角形的性质和线段的中点，易证得再推出即可判断的形状． （1）证明：都是等边三角形， ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​． （2）解： ​ ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． （3）是等边三角形，理由如下： ​ ​ 又点分别是线段的中点， ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​是等边三角形． 7．  以 AD 为边作等边 如图，已知是等边三角形，点D是边上一点． （1）以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接猜想与的位置关系，并证明你的结论； （2）若过点C作在上取一点F，连接使得试猜想的形状，直接写出你的结论． 　思路分析　　（1）以点A和点D为圆心，长为半径画弧，在右边相交于点E，连接即为所求；根据等边三角形的性质可得则进而得出则即可得出 （2）根据题意画出图形，在上截取使连接通过证明为等边三角形，进而得出则即可得出结论． （1）解：如图：即为所求，理由如下： ​是等边三角形， ​ ​即 在和中， ​ ​ ​ ​ ​． （2）为等边三角形，理由如下： 如图：在上截取使连接 ​为等边三角形， ​ ​ ​即 ​为等边三角形， ​ ​ ​则 ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ 又 ​为等边三角形． 　题型 5　　旋转 60 度与翻折 知识梳理 绕等边的顶点转 图形与原图形拼出新的等边三角形；翻折仍是轴对称，折痕是对称轴 c17 的旋转：把 绕 逆时针转 得 则 自动成为等边三角形；"转 出现新的等边"是本课时最漂亮的一招。 f40 的"旋转后重合"： 绕 顺时针旋转与 重合，旋转角就是 ，故 等边，再用外角把 与 连起来．"旋转前后全等"是唯一依据。 c18 的"翻折出等长"：把线段 沿 翻折得 则 配合 得 ，于是 等腰，②③两个说法都由"翻折 轴对称"直接推出．翻折给等长与等角，别去想别的。 f37、s49 是"翻折 等边"：把 沿 翻折，折痕 是对称轴，等边三角形给的 与翻折给的一半角配合，就能算出 一类角．先标"被平分的那两个角"，再算。 写"旋转"类证明的三句话：①"由旋转可知 "；②" 对应边相等、对应角相等"；③"又 是等边三角形"．第三句是这类题的得分点，只写全等不给满分。 易错　①旋转角说成任意角；　②翻折后忘记"被平分"的那两个角相等；　③c18 漏掉""这个已知；　④f40 不用外角、硬算；　⑤只写全等、不写"等边"的结论。 要点　转 出等边、翻折出等长；证明三段："全等 等边角 等边"。 1．  旋转 60 度 如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到若则下列结论一定正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据旋转的性质可知进而根据全等三角形的性质可证是等边三角形，进而根据三角形的外角定理可知进而可知即可求解． 解：将绕点逆时针旋转得到 ​ ​ ​, ​是等边三角形， ​, ​ ​ ​, ​, ​ ​． 2．  翻折与三条等长 如图，在等边三角形中，将线段沿翻折，得到线段连接交于点N，连接以下说法：①②③④中，正确的说法个数是 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　只要证明是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 解：是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​线段沿翻折，得到线段 ​故②正确， ​故①，③正确， ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 3．  翻折后交于点 如图，已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点若则的度数为        ． 　思路分析　　先利用等边三角形每个内角为结合在中求出再由对顶角、翻折性质得推出最后在中用内角和算出． 解：是等边三角形， ​ ​ ​ ​ 由翻折可得 ​ ​ ​． 4．  旋转后重合 如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接则      度；设则的度数为      度（用含有m的代数式表示）． 　思路分析　　根据等边三角形的性质及旋转的性质可得判定是等边三角形，即可求出的度数；在中利用三角形内角和定理表示出结合即可求解． 解：是等边三角形， ​ ​绕点A顺时针旋转后与重合， ​ ​ ​是等边三角形， ​ 在中， ​ ​ ​． 5．  两条垂线与 60 度 如图，在中，垂足为且连接．分别是边上的点，连接且．求证： （1）是等边三角形； （2）． 　思路分析　　本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得然后根据等边三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得则有然后可得进而问题可求证． （1）证明： ​ ​ ​是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ​ ​ ​ ​ 即 在与中， ​ ​ ​． 　题型 6　　到三边距离之和 知识梳理 等边三角形内（或边上）任一点到三边距离之和 这条高（等面积法）；面积题优先想"割成三个三角形" 核心结论：等边三角形内任一点 到三边的距离 恒等于它的高．证法：连 把三角形分成三块，两边约去 即得．"等面积法"是本板块唯一的方法。 c16 的用法： 的高是 则 不必分别求三段．题目给"高"就是给"距离之和"，给"距离之和"就是给"高"，两者可以互换使用。 f33 的"取中点"：等边三角形三边中点连成的三角形也是等边三角形，面积是原三角形的 ；再按题目要求取阴影部分，先用" 关系"算出小三角形面积，再数阴影占几块．"中点三角形面积 "是等边（乃至任意三角形）的通用结论。 f39 的动点最值： 在 上动，以 为边作等边 这是"绕 转 "的旋转模型，于是 与 相等（或与某个定长相关），最小值出现在 取端点或 某线时；先把 转化成一条"到定点的距离"，再求最值。 书写要求：用等面积法时要写""，这条面积分割式是给分点；算完注明""。 易错　①分别去求三段距离；　②面积分割时漏掉一块；　③f33 忘记"中点三角形是 "；　④f39 不做旋转转化、硬求最值；　⑤不写面积分割式。 要点　距离之和 高（等面积法）；中点三角形面积 1．  到三边距离之和 如图，为等边内任一点，于点于点于点．已知的高为5，则 （  ） A．10 B． C． D．5 　思路分析　　连接利用等面积法求解即可． 解：如图所示，连接 ​三角形是等边三角形， ​ ​ ​ 又的高为5， ​ ​ 解得． 2．  取三边中点 如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是      ． 　思路分析　　本题考查了等边三角形的中位线分割与面积计算，解题的关键是理解连接三边中点后原三角形被等分为4个全等小等边三角形，再结合阴影部分的组成计算总面积． 先利用中位线性质，将原等边三角形分成4个面积相等的小等边三角形，每个面积为原三角形的再根据阴影部分的构成，计算两部分阴影的面积和． 解：连接等边三角形三边中点，原三角形被分成4个全等的小等边三角形，每个小等边三角形的面积 其中1个完整小等边三角形为阴影，面积为4； 该小等边三角形被高分成2个全等的直角三角形，每个面积为其中1个直角三角形为阴影，面积为2；阴影部分总面积故答案为：． 3．  等边的最小值 如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接以为边在其上方作等边连接若则线段的最小值为      ． 　思路分析　　连接利用等边三角形的性质得到进而证明得到再求出线段的最小值，即可得出答案． 解：如图，连接 由题意可得： ​即 在和中， ​ ​ ​线段的最小值，即为线段的最小值， 又F为线段上一动点， ​点F与点D重合时，最小， ​在等边中， ​ ​ ​ ​线段的最小值为即线段的最小值为． 　题型 7　　折叠里的角度和 知识梳理 剪角、折叠、拼接题都靠两个工具：四边形内角和 折叠给"角被平分" f28 的"剪去一个角"：等边三角形剪掉一个角后变成一个四边形，四边形的内角和是 ，其中两个角仍是 故 ．"剪角 变四边形 用 "三步。 f29 的折叠：把 沿 折叠， 与 相等、 与 相等；再用 （五边形）或"平角"关系收口，最后得 ．折叠题先把"被平分的角"标成两个相同字母。 f32 的三个等边：三个等边三角形绕着同一点摆放，它们的"尖角"都是 ，若直线上的三个角加上 构成平角，则 一类的等式成立；先看清哪几个角拼成一个平角，再列式．"平角 "是拼接题的核心。 f36 的"两条垂直平分线"：底角 ； 垂直平分 于是 故 ，再由 求 ．"垂直平分线造等腰 得底角 做差"三步。 易错　①剪角后仍按三角形内角和算；　②折叠后不标"两角相等"；　③f32 分不清哪几个角拼成平角；　④f36 忘记垂直平分线给的等角；　⑤用错多边形内角和公式。 要点　剪角变四边形（）；折叠标等角；拼接找平角。 1．  剪去一个角 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，      ． 　思路分析　　剪去一个角后剩下四边形，用内角和减去两个 ． 解：剪去一个角后剩下的图形是四边形，四个内角的和是 其中剪口处的角与原三角形两个顶点处的角都是 （等边三角形每个角 ）， ​． 2．  折叠求两角之和 如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则      ． 　思路分析　　本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得由三角形内角和定理得结合可得结论． 解：是等边三角形， ​ 由折叠得 ​ ​ 又即 ​ ​故答案为：． 3．  两条垂直平分线 如图，在中，分别是的垂直平分线，则      ． 　思路分析　　连接证明从而证得为等边三角形，即可得到进而得到答案． 解：连接 ​ ​ ​分别是的垂直平分线， ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​． 　题型 8　　线段计算 知识梳理 等边里的线段题几乎都用" 所对直角边是斜边一半"；没有直角就作高 最常用的两条：①等边的高 边长；②在含 角的直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半．题里一出现"垂线"或"高"，就往这两条上靠。 c06 的做法：过 作 是含 的直角三角形，故 又 用"平行 相等"构造全等或中位线，最后得 等于定值．""这一步是全题的关键。 c11 的""： 在 的延长线上， 也是等边三角形（），故 于是 一类的和差就能算．"平行于等边的边 又出一个小等边" 是常用结论。 f41 的"两线之和"：两个小三角形都是等边，于是 可以化成关于 的一次式，在 取某值时取最值．"平行 等边 线段用 表示"三步。 f43 的"落地灯"：先设 把每个角写成 的一次式，再由等腰与内角和定出 最后 就等于 （等边）或由等腰直接给出．情境题一律先翻译成"等腰/等边 角度关系"。 s57、s60 是"带参数的探究"：s57 给 结论往往与 无关（定值），证法是"两次全等"；s60 的 先由 定出 的位置，再讨论"变化范围"．带参数的题要敢于"设而不求"。 易错　①含 的直角三角形找错斜边；　②c06 不用 　③c11 忘记"平行出小等边"；　④f41 不把线段用 表示；　⑤s57 结论里硬塞 要点　含 直角边 半斜边；平行于等边的边必出小等边。 1．  垂线与相等线段 如图，是边长为4的等边三角形，点在上，过点作垂足为延长到点使连接交于点则的长为 （  ） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 　思路分析　　过作的平行线交于通过证明得再由是等边三角形，即可得出． 解：过作的平行线交于 ​ ​是等边三角形， ​ ​是等边三角形， ​ 在中和中， ​ ​ ​ ​于是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 2．  平行出小等边 如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作交的延长线于点．若则的长为 （  ） A．2 B．5 C．8 D．11 　思路分析　　先根据等边三角形性质得再根据得由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 解：为等边三角形，且 ​ ​ ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​ ​．故选：C． 3．  两线之和 如图，是等边三角形，点P是上一动点，交于点D，连接．过点P作交于E，连接交于F．当的值最小时，m的值为      ． 　思路分析　　先证明从而得到再根据垂线段最短得到点E为中点，求出的长，再根据等边三角形求出的长，从而求得m． 解：为等边三角形， ​ ​ ​ ​和为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​当时，最短， 此时点E是中点， ​ ​ ​． 4．  落地灯 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且若的长度为则此时两点之间的距离为      ． 　思路分析　　本题考查了等边三角形的判定和性质，连接证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论． 解：如图，连接 ​且 ​ ​ ​是等边三角形， ​ 此时B，D两点之间的距离为故答案为：30． 5．  带参数的探究 在中，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足连接． （1）如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图2，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 　思路分析　　本题解题关键在于作出正确的辅助线，构造全等三角形： （1）①根据题意补全图形即可；②延长至点使得连接通过等边三角形的性质及全等三角形的判定证明出从而得到 （2）辅助线作法与（1）相同，①点在直线左下方，根据和的数量关系仍成立，可证明故再根据等腰三角形的性质和周角是求出 ②点在直线右下方，仍可证明故故． （1）①如图所示； （2）解：①点在直线左下方， 如图所示，延长至点使得连接 与（1）相同，可证明 ​ ​ ​ ​ ​和的数量关系仍成立， ​ 在和中， 由 ​ ​ ​ ​． ②点在直线右下方， 如图所示，延长至点使得连接 与①相同，可证明 ​ 且 ​ ​ 综上所述，或． 6．  三条线段相等 如图，在边长为2的等边三角形中，点在边上运动（不与重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，． （1）若则      ． （2）求证：． （3）试说明点在边上从点至点的运动过程中，的周长是否发生变化？若不变，请求出的值，若变，请求出的取值范围． 　思路分析　　（1）由等边三角形的性质可得由等腰三角形的性质可求DAE=由三角形内角和定理可求解； （2）根据等腰三角形的性质，可证得和由此可利用“ASA”证明全等； （3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD，根据AD的取值范围即可得出l的取值范围． 解：（1）是等边三角形， ​ ​ ​ ​ADB=180 故答案为： （2）=DF， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在和中 ​ ​（ASA） （3） ​ ​l=BD+BE++CD+++AD， 当D点在C或B点时， ​=, 此时B、D、E三点在同一条直线上不构成三角形，2+ 当D点在BC的中点时， ​ ​ 此时 综上可知． 　题型 9　　证明与探究 知识梳理 证"等边"优先用"等腰 "；探究题按"特殊 一般 结论"三段走 s58 的判定示范： 平分 且 由三线合一得 ；又 推出 ；于是"等腰 "， 是等边三角形．两段：先证等腰、再证 。 s48 的"角平分线 平行"： 平分 则 故 等腰；再由 得等边．"平行 平分 等腰"这个模型在等边题里同样通用。 s51、s53 的"平移 + 中点"： 是 中点、 由 平移得到，故 四边形 是平行四边形；"平移 平行且相等 平行四边形" 是固定链条，再用平行四边形的性质求线段。 s62 是"阅读型探究"：先看特殊情况（ 为中点时）的结论，再照它的方法处理一般情形；关键是"作平行线造等边"这条辅助线，题目既然给了提示，就按提示作、不要另起一套．阅读题的做法名与依据都要写。 s46、s55、s63 各有各的入口：s46 用""造全等，证明 ；s55 用"绕 转 "证 s63 由 与"等边的高"求 再证 等腰．三道题的方法不同，但都落在"全等或等腰"上 —— 先想"能不能造全等"，再造不出来才硬算。 易错　①s58 只证等腰不证 　②s48 漏掉"平行 平分"这一步；　③s51 不写"平移 平行且相等"；　④s62 不按提示作辅助线；　⑤探究题只算特殊情形就下结论。 要点　等腰 判等边；平移 平行四边形；探究题按提示走。 1．  截等长与延长 如图1，是等边三角形，D，E为上两点，且延长BC至点F，使连结BD，EF． （1）如图2，当D，E两点重合时，求证： （2）如图3，延长FE交线段BD于点G． ①求证： ②求的度数． 　思路分析　　（1）由等边三角形的性质得出证明即可解决问题． （2）①作交AB于H，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出证明由全等三角形的性质得出②由全等三角形的性质得出根据三角形外角的性质可得出答案． （1）证明：如图1中， ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． （2）②解： ​ ​ 即． 2．  角平分线与平行 如图， 在四边形中的角平分线与的延长线交于点求证：为等边三角形． 　思路分析　　此题主要考查了平行线性质以及等边三角形的判定，掌握平行线的性质是解题关键．根据平行线的性质得到进而利用等边三角形的判定即可解答． 证明： ​ ​ ​的角平分线与的延长线交于点 ​ ​ ​ ​为等边三角形． 3．  中点与平移 如图，是等边三角形，是的中点，连接过点作过点作交于点连接交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 　思路分析　　（1）利用等边三角形三线合一求出结合得到通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到证明得到算出利用三角形内角与邻补角求出结合判定最终证明为等边三角形． （1）解：是等边三角形，为中点， ​ ​ ​ ​ ​ （2）证明：是等边三角形，为中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​中， ​ ​ ​是等边三角形． 4．  平移得平行四边形 如图，是等边三角形，是的中点，垂足为是由沿方向平移得到的，连接已知过点交于点． （1）求的度数； （2）若求的长度； （3）求证：是等边三角形． 　思路分析　　（1）由等边三角形的性质得由三线合一得到由得则． （2）先求得由平移得则即可等量代换则． （3）由求得可根据“”证明得而所以即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． （1）解：是等边三角形， ​ ​是的中点， ​ ​垂足为 ​ ​ ​的度数是． （2）解： ​ ​是由沿方向平移得到的， ​ ​ ​ ​ ​ ​的长是． （3）证明： ​ ​ ， 在和中， ​ ​ ， ​ ， 由（1）得即 ， ​ ， ​ ， ​ ， ， ​是等边三角形． 5．  旋转 60 度证等长 如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到连接的延长线与交于点与交于点． （1）求证： （2）      度； （3）如图2，连接平分吗？请说明理由． 　思路分析　　（1）根据旋转性质可得结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作垂足分别为利用（1）中证得的全等得到 （3）利用面积相等求得可证得从而得到则平分． （1）证明：线段绕点逆时针旋转得到 ​ ​为等边三角形， ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ 故答案为： （3）平分．理由如下， 如图，过点作垂足分别为 ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​平分． 6．  平分加垂直判等边 如图，在中，平分交于点延长至点使得．连接． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作于点求证：是线段的垂直平分线． 　思路分析　　（1）由等边对等角可得利用三角形外角的性质可得再根据直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义可得即最后根据有两个内角为的三角形是等边三角形即可证明结论； （2）先证明可得再结合即可证明结论． （1）证明： ​ ​ ​ ​ ​平分交于点 ​ ​ ​是等边三角形． （2）证明：由（1）可知 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是线段的垂直平分线． 7．  阅读型探究 数学课上，林老师给出了下列方框中的一道题： 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且 / 试确定线段与的大小关系，并说明理由． / 小聪和同桌小明讨论后，得出如下解答： （）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：      （填“”或“”）． （）特例启发，解答问题 解：题目中，与的大小关系是      （填“”或“”），理由如下：如图过点作交于点（请你继续完成接下来的解题过程）． （）拓展讨论，设计新题 ①互换林老师所给题的条件和结论，即：如图在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且试确定线段与的大小关系，并说明理由． ②在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为求的长为      （请你直接写出结果）． （1）根据是等边三角形，点E为AB的中点，即可得出进而得出即可得出线段ED与EC的大小关系； （2）首先得出进而利用即可得出答案； （3）①作交于点可知为等边三角形，进而证明即可得出 ②分点D在CB的延长线上、在BC的延长线上两种情况进行讨论即可得． 试题解析：（）． ​为等边三角形，是中点，． ​ ​ ​． （） 在等边中， ​为等边三角形， ​ 又 ​ 又 ​ 同理 又在中， 在中， ​ 在和中， ​ ​ ​． （）①作交于点 则可知为等边三角形， ​． 又 ​ 又 ​ 又在中， 在中， ​ ​和中， ​ ​ ​ ​． ② ​或． 8．  高与相等线段 如图，是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使． （1）求的度数； （2）求证：为等腰三角形． 　思路分析　　（1）根据等边对等角得到根据等边三角形的性质得到求得根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到根据等角对等边即可得到结论． （1）． ​是等边三角形，． ​是等边三角形，BD是高，BDE=180 （2）证明： ​ ​ ​ ​是等腰三角形． A 组　基础题 必做｜等边套用求角、两线相等与课本证明阅读 1．  两条中线交点 如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，由等边三角形的性质可得再由可得答案． 解：在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点 ​ ​ ​故选：B． 2．  中线与 AE=AD 如图，是等边的一条中线，若在边上取一点使得则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边对等角是解题的关键． 根据为等边三角形，可得根据是等边的一条中线，可得进而求出的度数，进而求解； 解：为等边三角形， ​ ​是等边的一条中线， ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：B 3．  高与相等线段 如图， 在等边三角形中，则的度数是      ． 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得再由等腰三角形的性质解答即可． 解：为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​．故答案为： 4．  课本证明与仿做 （1）如图1，是等边三角形，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： / 证明：是等边三角形， / ． / / / / 是等边三角形． / “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： / 证明：是等边三角形， / ． / /       ， / / （④      ） / 是等腰三角形． / 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得求证：是等边三角形． 　思路分析　　本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：推出即可求证； （1）证明：是等边三角形， ​． ​ ​ ​ ​（等角对等边） ​是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得： ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形． B 组　提升题 必做｜要绕一步：等腰内的 60 度、方向角与等边链 1．  等腰内的两个 60 度 如图，在中，是内两点，平分若则的长度是 （  ） A．12 B．11 C．10 D．13 　思路分析　　过点E作由题意易得是等边三角形，然后可得则有进而问题可求解． 解：过点E作如图所示： ​平分 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 2．  南偏西与北偏西 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距 （  ） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 解：连接AC，根据题意可得为等边三角形，则海里． 3．  三个等边求角 三个等边三角形的位置如图所示，若则      ． 　思路分析　　利用等边三角形的性质及三角形外角的性质即可求解． 解：如图所示： ​且三个三角形都是等边三角形， ​ 又 ​即故答案为：100． 4．  30 度与等边链 如图，点…在射线上，点…在射线上，…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为第个等边三角形的边长记为以此类推，若则      ． 　思路分析　　根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出以及得出…进而得出答案． 解：如图， ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 以此类推：故答案为：． 5．  内部一点的角 如图，点为内部一点，使得则的度数为      ． 　思路分析　　延长到使连接交于点先求出进而可依据“”判定得到进而得可得是等边三角形，从而得再根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，得到进而得即得据此可得的度数． 解：延长到使连接交于点如图所示， ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​是的平分线， ​ ​是线段的垂直平分线， ​ ​ ​ ​故答案为：． 6．  两个等边在直角边上 如图，在中，分别以为边作两个等边和连接并延长交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明 得出即可； （2）先分别求出得出根据等角对等边求出结果即可． （1）解：和是等边三角形， ​ ​ ​ ​． （2）证明： ​ ​ ​ ​． 7．  两个等腰共顶点 在中，已知点在上，且点在的延长线上，且． （1）如图若求的度数； （2）试探求与的数量关系； （3）如图若平分于点求证：． 　思路分析　　本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可； （）在中，设则结合则又则最后由三角形外角性质和角度和差即可求解； （）由则设则又平分所以然后求出则最后由含度角的直角三角形的性质即可求解． （1）解：在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2） 理由如下：在中，设 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （3）证明： ​ ​ ​ 设则 ​平分 ​ ​ 即： ​ ​ ​ ​ ​ ​即． C 组　拓展题 选做｜截等长判形状、内部一点的角与两组全等 1．  截等长后的形状 如图，是等边三角形，分别是边上一点，且．则的形状是      ． 　思路分析　　根据等边中=CF，证得即可得出：是等边三角形． 解：为等边三角形，且 ​ ​在与中， ​ ， ​（SAS）， 同理证得（SAS）， ​（SAS）， ​=EF， ​是一个等边三角形．故答案是：等边三角形． 2．  两组等长与比值 如图，在等边中，点分别在边上，连接点分别在线段上，满足若则的度数为      ． 　思路分析　　本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解决本题的关键是根据三角形的外角的性质得． 根据设则根据和三角形内角和定理列式计算可得然后证明可得再根据三角形的外角定义可得进而可得的度数． 解： ​设则 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 解得 ​ ​是等边三角形， ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 解得．故答案为：． 3．  30 度与等边链 如图，已知：点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若则的边长为      ． 　思路分析　　根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出以及得出…进而得出答案． 解：如图所示： ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 以此类推：． 4．  内一点求角 如图，O是等边内一点，求的度数． 　思路分析　　根据等边三角形的性质可得到又由于则再根据三角形内角和定理可得的度数． 解：是等边三角形， ​ ​ ​ ​在中， ​． 5．  四边形里的等边 如图，在四边形中，点为上一点，连接交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若则的长为 ． 　思路分析　　本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）先证明为等边三角形，进而得到结合平行线的性质，推出是等边三角形即可； （2）连接交于点易得垂直平分三线合一，结合平行线的性质，推出进而求出的长，根据等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． （1）是等边三角形，理由如下： ​ ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​是等边三角形； （2）连接交于点 ​ ​垂直平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​故答案为：5． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $