15.3.2 等边三角形 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级上册数学

15.3.2 等边三角形 学习目标和重难点 1、理解等边三角形的概念，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。 2、掌握等边三角形的性质：三个角都相等，且每个角都等于60°。 3、掌握等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 4、能运用等边三角形的性质和判定进行简单的计算和推理。 重点：等边三角形的性质与判定方法；理解等边三角形与等腰三角形的关系。 难点：灵活运用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”进行判定；在综合问题中识别等边三角形并运用其性质解题。 知识梳理 针对训练 题型1 根据等边三角形的性质求长度 题型2 根据等边三角形的性质求角度 题型3 根据等边三角形的性质证明 题型4 证明是等边三角形 题型5 与等边三角形有关的折叠问题 题型6 等边三角形中的动点问题 题型7 等边三角形中的多结论问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【针对训练】 【典例精讲】如图，已知是等边三角形，分别为上的点，且相交于点于点Q (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键。 （1）由等边三角形的性质可得，，证明，由此可得，再证明，则可得． （2）由得到，则，由此即可得到，据此求出的长，再由全等三角形的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【规范解答】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，平分， ∴M在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当时，最小，且为， ∵， ∴，即点M为中点， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， 故选：C． 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理：①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【针对训练】 【典例精讲】如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式训练1】如图，在中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动． (1)经过多少秒，为等边三角形； (2)经过多少秒，为直角三角形． 【答案】(1)经过秒为等边三角形 (2)经过4秒或秒，是直角三角形 【思路引导】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）设时间为，表示出、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【规范解答】（1）解：设经过秒，为等边三角形， 则， ， ∵是等边三角形， ∴， 当为等边三角形时，， 根据题意得：， 解得：， 答：经过秒为等边三角形； （2）解：设经过秒，是直角三角形， ①当时， ， ， ∴，即， 解得：； ②当时， ， ， ，即， 解得：， 答：经过4秒或秒，是直角三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【针对训练】 【典例精讲】如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点，交于点，交于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①由得出对应角相等，利用角的和差即可得出结论； ②由得出对应角和对应边相等，进而可得； ③利用的直角三角形，求出另一个锐角，利用角的和差表示出，进而可求出答案； ④由和得出对应边相等，利用线段的和差即可得出结论． 【规范解答】解：①根据题意可知， ， ， 即，故①正确； ②根据题意可知， ， 又， ∴， 故②正确； ③在中， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∴， 故③正确； ④由和得， ， ∴， 即， 故④正确； 故选：D． 【变式训练1】如图，D是等边内一点，且，点P是等边外一点，，． (1)求的度数； (2)设交于点E，连接，的边长为10，，求的面积． 【答案】(1) (2)25 【思路引导】（1）连接，由等边三角形的性质推出，判定，得到，求出，判定，推出； （2）过作于，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质判定，得到是等腰直角三角形，因此，得到，求出，得到，由含 30 度角的直角三角形的性质得到，即可求出的面积． 【规范解答】（1）解：连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如（1）图，过作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是判定，由含 30 度角的直角三角形的性质推出 ． 知识点04 最短路径的基本原理 3. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短 ②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。 2 利用轴对称解决最短路径问题 （常见类型） 问题 在直线上求点，使值最小． 在直线上求一点，使值最小． 在直线、上分别求点、，使的周长最小． 在直线、上分别求点，使四边形的周长最小． 作法 连接，与交点即为． 作关于的对称点，连接，与交点即为． 分别作点关于两直线的对称点和，连接，与两直线交点即为． 分别作点关于直线、的对称点和，连接，与两直线交点即为、． 图示 【针对训练】 【典例精讲】如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【规范解答】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 【变式训练1】如图，方格纸中每个小方格的边长都是1，点、、． (1)作关于y轴对称的； (2)请直接写出、、的坐标： ___________；___________； ___________； (3)在x轴上找出点P，使最小，在图中描出满足条件的点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)图见解析， 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，的即可； （2）根据坐标系写出、、的坐标即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由坐标系得：、、的坐标分别为，，， 故答案为：，，； （3）解：如图点P即为所求，． 题型1 根据等边三角形的性质求长度 【例1】如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-1】如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键． 由折叠的性质可得，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边的三边之和，即可解答． 【详解】解：∵由折叠的性质可得：， ∴三个阴影三角形的周长和为：， ∵，， ∴三个阴影三角形的周长和， 故选：B． 题型2 根据等边三角形的性质求角度 【例2】如图，设和都是正三角形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后设，从而可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵和都是正三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 题型3 根据等边三角形的性质证明 【例3】如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． （2）由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 【变式3-1】如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出是等边三角形．根据折叠的性质可得，，根据点D是的中点，得出是等边三角形，据此即可解得的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点E处， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型4 证明是等边三角形 【例4】在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2）如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 【变式4-1】如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等三角形，则，故，再结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 题型5 与等边三角形有关的折叠问题 【例5】如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ． 【答案】5 【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5． 【详解】解：如图，连接BD，OB， ∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处， ∴EF是BD的对称轴， ∴OB=OD， ∵AD=1，AC=3， ∴CD=2， ∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC， ∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 【变式5-1】如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又 ， ∴， ∴， 故答案为： 题型6 等边三角形中的动点问题 【例6】如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【答案】1或3/3或1 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点， ∴， ∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵动点的速度为/秒， ∴当从时，，当从时，． 故答案为：1或3． 【变式6-1】如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，，则 ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴当运动时间为2秒时，是等边三角形． 故答案为：2． 题型7 等边三角形中的多结论问题 【例7】如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等． 根据等边三角形的性质可以得出，得，可用得，得出，根据边之间的关系即可得，综上，即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 不一定等于，当时，，故③错误； ∵， ∴． ∵， ∴．故④正确． 正确的有①②④， 故选：D． 【变式7-1】已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，正确； ∵，， ∴，正确； 只有当时，，②不一定正确； 故选：C． 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列说法中，正确的是（     ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、三线合一、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断、求对称轴条数 【详解】选项A，全等三角形仅表示两个三角形形状、大小完全相同，与位置无关，轴对称要求两个图形沿某条直线折叠后完全重合，对位置有要求，因此两个全等三角形不一定关于某条直线成轴对称，选项错误，不符合题意； 选项B分析：线段的对称轴有2条，分别是线段本身所在的直线、线段的垂直平分线，并非只有1条，选项错误，不符合题意； 选项C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的中线是线段，不符合对称轴的定义，应为等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，选项错误，不符合题意； 选项D，等边三角形的三条高（或三条角平分线、三条中线）所在的直线都是它的对称轴，共3条，选项正确，符合题意． 2．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等边三角形的判定、等腰三角形的定义 【详解】解：初中数学中，三角形按边的相等关系分类，可分为两类：三边都不相等的三角形，和至少有两边相等的等腰三角形；而等边三角形是特殊的等腰三角形，满足三边都相等，属于等腰三角形的子集，对应图里嵌套在等腰三角形内部的Q，因此Q表示等边三角形． 3.已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 5．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 6．中，，，则的周长为______． 【答案】9 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】根据三角形内角和求出的度数，判定为等边三角形，利用边长计算周长． 【详解】解：∵三角形内角和为，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 7．我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【答案】200 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形与平行四边形的面积公式．运用直角三角形的角性质，获取平行四边形的高，是解本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 8．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为． 9．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 【答案】(1)解：如图，过点D，作，交于E； (2)证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）过点D，作交于； （2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 提升拔高突破练（测试时间：20分钟） 10．已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的性质 【分析】利用非负数和为0的性质列方程求出三边长，再判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 将代入，得， ∴，， ∴ ， 故为等边三角形． 11．如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏东的方向行驶到达地，再由地向北偏东的方向行驶到地，则，两地相距（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与方向角有关的计算题、等边三角形的判定和性质 【分析】根据方位角求出，结合判定三角形为等边三角形，进而由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得， ∵南北方向线平行， ， ，， 是等边三角形， ， 即，两地相距． 12．如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 13．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 14．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 【答案】6 【知识点】两点之间线段最短、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由等边三角形得到点D关于的对称点E在上，连接，，则，那么当三点共线时，有最小值，再由等边三角形的两条边上的高相等得到． 【详解】解：∵是等边三角形，D、M分别是、中点， ∴是的对称轴，， ∴如图，点D关于的对称点E在上，连接， ∵关于对称， ∴， ∴点E是的中点， 如图，连接、，则， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∵等边，点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 15．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为，则当________时，是等边三角形． 【答案】3 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、等边三角形的判定和性质 【详解】解：如图：当，时， ∴为等边三角形， ∴． 16．如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角、折叠问题 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 17．已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：在中，， ， 在中，， ， ． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用、大（小）边对大（小）角定理 【分析】（1）根据三角形三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可； （2）根据在同一个三角形中，大角对大边证明即可． 【详解】（1）解：∵、、为的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）略 思维创新拓展练（测试时间：25分钟） 18．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一、等边三角形的性质 【分析】连接，，由等边三角形的性质可得，，，则，故当三点共线时，的最小值为的长，然后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点，是边的中点， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的最小值为的长，如图， ∵， ∴，即的最小值为． 19．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 20．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题 【分析】由题意渠宽固定，即的长度是定值，要使得总长度最短，则的长度最短即可． 【详解】解：将点P向下平移的长度得到，连接，， 则，． ． 即当三点共线时总长度最短． 21．如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】设的中点为点F，连接，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：如图，设的中点为点F，连接，则， ∵， ∴， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，取最小值，为， ∴长的最小值为． 22．如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】由等边三角形的性质可得，，证明，得出，，，从而可得，，作，交的延长线于点，则，，从而可得为等边三角形，即，利用角平分线的性质定理和三角形面积公式计算可得，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，作，交的延长线于点，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即平分， 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， 设点到边的距离为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：． 24．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)A；B (2) (3)如图①，点即为所求． 的最小值为4 (4)的最小值为 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可； （2）根据三线合一得到，，即可得到； （3）连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； （4）在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短． （2）解：∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于点F，连接， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴ （4）解：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2 等边三角形 学习目标和重难点 1、理解等边三角形的概念，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。 2、掌握等边三角形的性质：三个角都相等，且每个角都等于60°。 3、掌握等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 4、能运用等边三角形的性质和判定进行简单的计算和推理。 重点：等边三角形的性质与判定方法；理解等边三角形与等腰三角形的关系。 难点：灵活运用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”进行判定；在综合问题中识别等边三角形并运用其性质解题。 知识梳理 针对训练 题型1 根据等边三角形的性质求长度 题型2 根据等边三角形的性质求角度 题型3 根据等边三角形的性质证明 题型4 证明是等边三角形 题型5 与等边三角形有关的折叠问题 题型6 等边三角形中的动点问题 题型7 等边三角形中的多结论问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【针对训练】 【典例精讲】如图，已知是等边三角形，分别为上的点，且相交于点于点Q (1)求的度数． (2)若，求的长． 【变式训练1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理：①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【针对训练】 【典例精讲】如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【变式训练1】如图，在中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动． (1)经过多少秒，为等边三角形； (2)经过多少秒，为直角三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【针对训练】 【典例精讲】如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点，交于点，交于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】如图，D是等边内一点，且，点P是等边外一点，，． (1)求的度数； (2)设交于点E，连接，的边长为10，，求的面积． 知识点04 最短路径的基本原理 1. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短 ②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。 2 利用轴对称解决最短路径问题 （常见类型） 问题 在直线上求点，使值最小． 在直线上求一点，使值最小． 在直线、上分别求点、，使的周长最小． 在直线、上分别求点，使四边形的周长最小． 作法 连接，与交点即为． 作关于的对称点，连接，与交点即为． 分别作点关于两直线的对称点和，连接，与两直线交点即为． 分别作点关于直线、的对称点和，连接，与两直线交点即为、． 图示 【针对训练】 【典例精讲】如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练1】如图，方格纸中每个小方格的边长都是1，点、、． (1)作关于y轴对称的； (2)请直接写出、、的坐标： ___________；___________； ___________； (3) 在x轴上找出点P，使最小，在图中描出满足条件的点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 题型1 根据等边三角形的性质求长度 【例1】如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型2 根据等边三角形的性质求角度 【例2】如图，设和都是正三角形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型3 根据等边三角形的性质证明 【例3】如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-1】如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长． 题型4 证明是等边三角形 【例4】在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【变式4-1】如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 题型5 与等边三角形有关的折叠问题 【例5】如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ． 【变式5-1】如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 题型6 等边三角形中的动点问题 【例6】如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【变式6-1】如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 题型7 等边三角形中的多结论问题 【例7】如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【变式7-1】（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列说法中，正确的是（     ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 2．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 6．中，，，则的周长为______． 7．我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 8．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 9．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 提升拔高突破练（测试时间：20分钟） 10．已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 11．如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏东的方向行驶到达地，再由地向北偏东的方向行驶到地，则，两地相距（     ） A． B． C． D． 12．如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 13．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 14．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 15．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为，则当________时，是等边三角形． 16．如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 17．已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 思维创新拓展练（测试时间：25分钟） 18．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 19．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 20．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 22．如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 23．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 24．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $