16.2.2 单项式与多项式相乘讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册（解析版+学生版）

 16.2.2  单项式与多项式相乘 解析版  16.2.2　单项式与多项式相乘 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　单项式乘多项式：乘遍每一项 2 　　题型 2　先化简再求值：能整体代的别硬算 4 　　题型 3　图形与情境：面积、规律、行程 6 　　题型 4　阅读材料与"补全被污损的项" 7 　　题型 5　含参问题：不含某项、恒等式 9 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 10 　题型 1　　单项式乘多项式：乘遍每一项 知识梳理 ​——括号里几项，就出几个积 法则的来历　 表示" 个 "，也可以看成" 个 个 个 "合起来，所以 ．括号里有几项，乘开就应当有几项——这一条可以用来检查有没有漏乘。 符号跟着那一项走　负乘负得正、负乘正得负，两项都把符号带上。再如 最后那个 乘出来是 最容易漏。 单项式在前面还是在后面都一样　．但别把单项式只乘第一项：若只写 就是漏乘。 结果的项数　乘开之后先别急着合并，把每一项都写出来，再看有没有同类项。例：．先展开、后合并，顺序反了会漏项。 易错　①只乘第一项，后面的项照抄（最常见的错）；　②符号：负号只乘到第一项；　③常数项漏乘（括号里的 也要乘）；　④展开后没合并同类项就交卷。 要点　单项式乘括号里的每一项，符号跟着项走，项数对得上才没漏。 1． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将单项式分别乘以多项式的每一项，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 解： ​ ​ 2． 计算的结果是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 解：故选：B． 3． 计算： （1）      ； （2）      ． 　思路分析　　本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式的法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）同样依据单项式乘多项式的法则进行计算． 解：（1）． 故答案为：． （2）．故答案为：． 4． 计算： （1） （2） （3） （4） （5）． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​ （3）解： ​ ​ （4）解： ​ （5）解： ​ ​． 5． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可． （1）解： ​ ​ （2） ​ ​ （3） ​ ​ （4） ​ ​ ​． 　题型 2　　先化简再求值：能整体代的别硬算 知识梳理 展开 → 合并 → 代值；已知条件能整体代的，先看能不能消掉 标准流程　去括号（分配律）→ 合并同类项 → 代入数值。化到最简之后往往只剩一两项，这时代值几乎不用算。例：代入 得 ． 已知条件先变形　已知 求 展开得 由条件得 所以答案是 ．不必解出 ——这类题的条件总是刚好凑成展开式的一部分。 整体代入　已知 求 展开得 由条件 所以原式 ．交叉项 恰好抵消，这是设计好的，别被它吓住。 "先看再算"的习惯　拿到化简求值题，先扫一眼：有没有能抵消的项？已知条件能不能直接搬？能整体代就绝不硬算，这是整章提速的关键。 易错　①没化简就代值，数字越算越大；　②去括号时第二项符号错；　③已知条件代错方向（ 写成 ）；　④整体代入时漏掉常数项。 要点　展开 → 合并 → 找整体 → 代值；条件与展开式的高度重合不是巧合。 1． 已知则的值为 （  ） A．1 B． C．0 D．2 解： ​移项得 ​． 2． 已知则的值为 （  ） A． B．0 C．2 D．4 　答案　　B 3． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项得到化简结果，最后把代入计算即可． 解： ​ ​ 当时， 原式 ​ ​． 4． 先化简，再求值： （1）其中． （2）其中． 　思路分析　　本题主要考查了整式的加减法化简求值，利用非负数的性质求出的值是解决本题的关键． （1）先对原式进行展开并合并同类项化简，然后代入的值计算即可； （2）先化简整式，再根据非负数的性质确定最后代入求值． 解：（1）原式． 当时，原式． （2）由题意，得 解方程组得 原式 ​ ​． 当时， 原式． 　题型 3　　图形与情境：面积、规律、行程 知识梳理 先把图形的边长写成含字母的式子，再用分配律乘开 面积 = 长 × 宽　长 宽 的长方形，面积 ．单位是平方单位，题干给 cm 就写 ． 规律探究　木料按图形规律摆放，第 个图形的个数要写成含 的式子。做法是先数前三个，找出"每次加几个"，再写成 的形式，最后用 验证一遍。 行程与工程量　每天清运 千克、一天两次， 天就是 ．先把"每天的量和天数"写成乘积，再用分配律展开，不要一开始就展开成一堆项。 图形题的通用顺序　①设未知量（边长、宽、时间）；②按公式列式（面积、体积、路程）；③用分配律展开；④合并并带单位。四步都写出来，跳步最容易丢分。 易错　①面积公式用错（三角形忘了除以 2）；　②单位写成一次方；　③规律题只写前几项、没给出含 的通式；　④情境题把"每天的量"与"总量"混。 要点　先列式、再展开、最后带单位；规律题务必用第 4 项验证。 1． 一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据长方形面积等于长乘宽列式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可求解． 解：长方形面积长宽， ​面积． 2．  规律探究 某木材场将木料按如图所示的规律摆放．若按此规律继续排列下去，则第n个图形中木料的个数是      ． 　思路分析　　本题考查了规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键． 观察图形可得：第个图形最底层有根木料，据此可得答案． 解：由图可知：第一个图形有木料根， 第二个图形有木料（根）， 第三个图形有木料（根）， 第四个图形有木料（根）， ....． 第个图有木料（根）， 故答案为：． 3． 若一个长方形的长为宽为则其面积为      ． 　答案　　​ 4． 已知有理数a，b，c满足求的值． 　思路分析　　根据非负性求出a,b,c，再把原式化简即可求解． 解：由得 解得． ​ ​原式． 　题型 4　　阅读材料与"补全被污损的项" 知识梳理 对照分配律的每一项，缺哪项补哪项；材料题照它的流程走 补全式　按分配律第三项是 所以 ．做法就是把括号里的每一项都乘一遍，看哪一项的结果还没出现。 "看错运算"型　把 看成 结果得 那就先由 反解出 （ 或直接移项），再算真正的 ．先还原被看错的式子，再做正确的运算，两步都要写。 阅读材料的流程　材料先给一个例子（如"已知 求多项式的值"），用的是"先把式子化简、再把整体代进去"。后面的问题就照这个流程：化简 → 找整体 → 代值，格式按材料给的写（先"解：原式="，再逐步化到结果）。 验算技巧　把 代进原式与结果，两边应当相等。补全题与恒等式题都适合这样验，比反复检查符号快得多。 易错　①补全题直接猜，不按分配律逐项对；　②看错运算的题忘了"先还原"；　③阅读题不按材料流程、自己另起思路；　④验算时两边都用化简后的式子（等于没验）。 要点　逐项对照、先还原再运算、照材料流程写；验算代 最快。 1．  补全被污损的项 若则■内应填写 （  ） A． B． C． D．1 　思路分析　　本题考查了整式的运算，掌握单项式乘多项式的法则，就是用单项式去乘多项式里面的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解． 解： ​ ​ ​故选：A ． 2．  补全过程 计算：． 解：原式． 请指出以上求解过程有几处错误，并写出正确的求解过程． 　思路分析　　单项式乘多项式，用单项式去乘多项式里的每一项，再把所得的积相加． 　答案　　有两处错误：①在单项式与多项式的二次项相乘时，符号出现错误，②单项式乘多项式时，漏乘了多项式中的常数项“”． 正确求解过程：原式 ​ 3．  阅读理解 阅读理解：已知求的值． 解：原式 ​ ​ ​． 这样的方法我们称为“整体代入法”．请仿照上面的方法，解答下面的问题： 已知求的值． 解：原式 ​． ​ ​原式 ​． 　题型 5　　含参问题：不含某项、恒等式 知识梳理 "不含 项" ⇔ 该项系数为 "对任意 成立" ⇔ 同类项系数相等 "不含某项"　 展开后含 的项是 令系数为 得 ．先把展开式按次数排好，再单独盯住那一项。 "对任意 都成立"　 左边 与右边逐项比较：得 所以 ．恒等式 = 同次项系数相等，这是通法。 同类项条件的转化　 与 的积是 先算积 再对位 解出 于是 ．先算积、再对位、最后代回所求。 别漏系数方程　很多同学只写指数方程就交卷，而系数那一条（如 ）同样能定一个参数。系数与指数是两套方程，缺一不可。 易错　①"不含"写成"没有"就不管，没列系数为 　②恒等式只比较部分项；　③只解一个参数就代回；　④代回时符号错（ 里 在指数上）。 要点　不含某项 → 系数为 0；恒等式 → 同次项系数相等；参数全解出来再代回。 1． 要使的展开式中不含项，则的值为 （  ） A．6 B． C． D．0 　思路分析　　本题考查了单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先展开，再根据题意得出项的系数为即可． 解： ​的展开式中不含项， ​ 解得：故选：D． 2． 要使的展开式中不含项，则m的值为 （  ） A．0 B．2 C． D． 　答案　　B 3． 若与的积是则      ． 　答案　　8 A 组　基础题 必做｜直接套本节课的法则，一步到底 1． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则逐项计算判断即可． 解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误； B、原计算正确； C、原计算错误； D、原计算错误． 2．  图形记号代换 如果规定表示单项式表示多项式则计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得： 矩形表示多项式 因此对矩形计算得： 将两个结果相乘并展开得 综上，计算结果为．故选：C． 3． 已知则的值为 （  ） A． B．0 C．1 D．无法确定 　答案　　C 4．  看错运算 已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了结果得则的结果为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 解：由题意可得： ​ ​故选：C． 5． ​的值是 （  ） A． B． C． D． 　答案　　D 6． 计算： （  ） A． B． C． D． 　答案　　B B 组　提升题 必做｜要绕一步：含参、符号较多、需要先化简 1． 计算： （  ） A．a B． C． D． 　答案　　D 2． 如果那么代数式的值为 （  ） A．14 B．9 C． D． 　思路分析　　本题考查了整式的化简求值，将代数式化简后再整体代入即可得到答案，解题的关键是熟练掌握运算法则． 解： ​ ​ ​ ​原式 ​ ​故选： A． 3． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据单项式乘以多项式可进行求解． 解：A、原计算错误，故不符合题意； B、原计算错误，故不符合题意； C、原计算错误，故不符合题意； D、原计算正确，故符合题意；故选D． 4．  补全被污损的项 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 解：左边 ​． 右边□， ​□内上应填写．故选：A． 5． 若三角形的底边为2n，高为2n1，则此三角形的面积为 （  ） A．4＋2n B．41 C．2n D．22n 　思路分析　　根据三角形面积公式列式，然后利用单项式乘多项式的运算法则进行计算． 解：三角形面积为2n(2n−1)=2-n，故选：C． 6． 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是      ． 　思路分析　　本题考查了单项式与单项式相乘，先根据同类项的定义求出再计算两项乘积，解题的关键是掌握同类项的概念． 解：与是同类项， ​ ​这两个单项式为 ​故答案为： ． C 组　拓展题 选做｜多问综合、情境应用与阅读材料 1．  恒等式 若对任意x都成立，则      ． 　答案　　1 2． 某环卫处有甲、乙两辆垃圾清运车，每辆垃圾清运车每天需清运2次垃圾．已知甲车每次可以清运乙车每次可以清运则甲、乙两辆垃圾清运车一天一共可以清运      kg垃圾． 　思路分析　　先算出甲、乙每次可以清运的总和，再乘以2 即可， 解：已知甲车每次可以清运乙车每次可以清运 甲、乙两辆垃圾清运车一次可以清运 每辆垃圾清运车每天需清运2次垃圾， ​故答案为：． 3． 若为任意整数，则能被整除吗？请说明理由． 　思路分析　　本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式与合并同类项，根据化简的结果判断是否能被整除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 　答案　　能，理由如下： 原式 ​ ​． ​为任意整数， ​原式能被整除． 4．  整体代入 阅读下列文字，并解决问题． 已知求的值． 分析：考虑到满足的的值有无数组，不能逐一代入求解，故考虑整体代入思想，将整体代入． 解： ​． 请你用上述方法解决问题：已知求的值． 解： ​ ​ ​ ​ ​． 5． 计算： （1）． （2）． 　思路分析　　此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式与单项式相乘的法则进行计算； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则进行计算． （1）解： （2）． 6． 先化简，再求值：其中 ． 　思路分析　　此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 解： ​ ​ 当时，原式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2.2  单项式与多项式相乘 学生版  16.2.2　单项式与多项式相乘 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　单项式乘多项式：乘遍每一项 2 　　题型 2　先化简再求值：能整体代的别硬算 4 　　题型 3　图形与情境：面积、规律、行程 5 　　题型 4　阅读材料与"补全被污损的项" 6 　　题型 5　含参问题：不含某项、恒等式 7 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 8 　题型 1　　单项式乘多项式：乘遍每一项 知识梳理 ​——括号里几项，就出几个积 法则的来历　 表示" 个 "，也可以看成" 个 个 个 "合起来，所以 ．括号里有几项，乘开就应当有几项——这一条可以用来检查有没有漏乘。 符号跟着那一项走　负乘负得正、负乘正得负，两项都把符号带上。再如 最后那个 乘出来是 最容易漏。 单项式在前面还是在后面都一样　．但别把单项式只乘第一项：若只写 就是漏乘。 结果的项数　乘开之后先别急着合并，把每一项都写出来，再看有没有同类项。例：．先展开、后合并，顺序反了会漏项。 易错　①只乘第一项，后面的项照抄（最常见的错）；　②符号：负号只乘到第一项；　③常数项漏乘（括号里的 也要乘）；　④展开后没合并同类项就交卷。 要点　单项式乘括号里的每一项，符号跟着项走，项数对得上才没漏。 1． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果是  （  ） A． B． C． D． 3． 计算： （1）      ； （2）      ． 　 4． 计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 5． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　先化简再求值：能整体代的别硬算 知识梳理 展开 → 合并 → 代值；已知条件能整体代的，先看能不能消掉 标准流程　去括号（分配律）→ 合并同类项 → 代入数值。化到最简之后往往只剩一两项，这时代值几乎不用算。例：代入 得 ． 已知条件先变形　已知 求 展开得 由条件得 所以答案是 ．不必解出 ——这类题的条件总是刚好凑成展开式的一部分。 整体代入　已知 求 展开得 由条件 所以原式 ．交叉项 恰好抵消，这是设计好的，别被它吓住。 "先看再算"的习惯　拿到化简求值题，先扫一眼：有没有能抵消的项？已知条件能不能直接搬？能整体代就绝不硬算，这是整章提速的关键。 易错　①没化简就代值，数字越算越大；　②去括号时第二项符号错；　③已知条件代错方向（ 写成 ）；　④整体代入时漏掉常数项。 要点　展开 → 合并 → 找整体 → 代值；条件与展开式的高度重合不是巧合。 1． 已知则的值为 （  ） A．1 B． C．0 D．2 2． 已知则的值为 （  ） A． B．0 C．2 D．4 3． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 4． 先化简，再求值： （1）其中． （2）其中． 　 　 　 　 　 　题型 3　　图形与情境：面积、规律、行程 知识梳理 先把图形的边长写成含字母的式子，再用分配律乘开 面积 = 长 × 宽　长 宽 的长方形，面积 ．单位是平方单位，题干给 cm 就写 ． 规律探究　木料按图形规律摆放，第 个图形的个数要写成含 的式子。做法是先数前三个，找出"每次加几个"，再写成 的形式，最后用 验证一遍。 行程与工程量　每天清运 千克、一天两次， 天就是 ．先把"每天的量和天数"写成乘积，再用分配律展开，不要一开始就展开成一堆项。 图形题的通用顺序　①设未知量（边长、宽、时间）；②按公式列式（面积、体积、路程）；③用分配律展开；④合并并带单位。四步都写出来，跳步最容易丢分。 易错　①面积公式用错（三角形忘了除以 2）；　②单位写成一次方；　③规律题只写前几项、没给出含 的通式；　④情境题把"每天的量"与"总量"混。 要点　先列式、再展开、最后带单位；规律题务必用第 4 项验证。 1． 一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 （  ） A． B． C． D． 2．  规律探究 某木材场将木料按如图所示的规律摆放．若按此规律继续排列下去，则第n个图形中木料的个数是      ． 　 3． 若一个长方形的长为宽为则其面积为      ． 　 4． 已知有理数a，b，c满足求的值． 　 　 　 　题型 4　　阅读材料与"补全被污损的项" 知识梳理 对照分配律的每一项，缺哪项补哪项；材料题照它的流程走 补全式　按分配律第三项是 所以 ．做法就是把括号里的每一项都乘一遍，看哪一项的结果还没出现。 "看错运算"型　把 看成 结果得 那就先由 反解出 （ 或直接移项），再算真正的 ．先还原被看错的式子，再做正确的运算，两步都要写。 阅读材料的流程　材料先给一个例子（如"已知 求多项式的值"），用的是"先把式子化简、再把整体代进去"。后面的问题就照这个流程：化简 → 找整体 → 代值，格式按材料给的写（先"解：原式="，再逐步化到结果）。 验算技巧　把 代进原式与结果，两边应当相等。补全题与恒等式题都适合这样验，比反复检查符号快得多。 易错　①补全题直接猜，不按分配律逐项对；　②看错运算的题忘了"先还原"；　③阅读题不按材料流程、自己另起思路；　④验算时两边都用化简后的式子（等于没验）。 要点　逐项对照、先还原再运算、照材料流程写；验算代 最快。 1．  补全被污损的项 若则■内应填写 （  ） A． B． C． D．1 2．  补全过程 计算：． 解：原式． 请指出以上求解过程有几处错误，并写出正确的求解过程． 　 　 　 3．  阅读理解 阅读理解：已知求的值． 解：原式 ​ ​ ​． 这样的方法我们称为“整体代入法”．请仿照上面的方法，解答下面的问题： 已知求的值． 　 　 　 　题型 5　　含参问题：不含某项、恒等式 知识梳理 "不含 项" ⇔ 该项系数为 "对任意 成立" ⇔ 同类项系数相等 "不含某项"　 展开后含 的项是 令系数为 得 ．先把展开式按次数排好，再单独盯住那一项。 "对任意 都成立"　 左边 与右边逐项比较：得 所以 ．恒等式 = 同次项系数相等，这是通法。 同类项条件的转化　 与 的积是 先算积 再对位 解出 于是 ．先算积、再对位、最后代回所求。 别漏系数方程　很多同学只写指数方程就交卷，而系数那一条（如 ）同样能定一个参数。系数与指数是两套方程，缺一不可。 易错　①"不含"写成"没有"就不管，没列系数为 　②恒等式只比较部分项；　③只解一个参数就代回；　④代回时符号错（ 里 在指数上）。 要点　不含某项 → 系数为 0；恒等式 → 同次项系数相等；参数全解出来再代回。 1． 要使的展开式中不含项，则的值为 （  ） A．6 B． C． D．0 2． 要使的展开式中不含项，则m的值为 （  ） A．0 B．2 C． D． 3． 若与的积是则      ． 　 A 组　基础题 必做｜直接套本节课的法则，一步到底 1． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 2．  图形记号代换 如果规定表示单项式表示多项式则计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 已知则的值为 （  ） A． B．0 C．1 D．无法确定 4．  看错运算 已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了结果得则的结果为 （  ） A． B． C． D． 5． ​的值是 （  ） A． B． C． D． 6． 计算： （  ） A． B． C． D． B 组　提升题 必做｜要绕一步：含参、符号较多、需要先化简 1． 计算： （  ） A．a B． C． D． 2． 如果那么代数式的值为 （  ） A．14 B．9 C． D． 3． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 4．  补全被污损的项 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写 （  ） A． B． C． D． 5． 若三角形的底边为2n，高为2n1，则此三角形的面积为 （  ） A．4＋2n B．41 C．2n D．22n 6． 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是      ． 　 C 组　拓展题 选做｜多问综合、情境应用与阅读材料 1．  恒等式 若对任意x都成立，则      ． 　 2． 某环卫处有甲、乙两辆垃圾清运车，每辆垃圾清运车每天需清运2次垃圾．已知甲车每次可以清运乙车每次可以清运则甲、乙两辆垃圾清运车一天一共可以清运      kg垃圾． 　 3． 若为任意整数，则能被整除吗？请说明理由． 　 　 　 4．  整体代入 阅读下列文字，并解决问题． 已知求的值． 分析：考虑到满足的的值有无数组，不能逐一代入求解，故考虑整体代入思想，将整体代入． 解： ​． 请你用上述方法解决问题：已知求的值． 　 　 　 5． 计算： （1）． （2）． 　 　 　 　 　 6． 先化简，再求值：其中 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $