16.2.3 多项式与多项式相乘 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.2.3  多项式与多项式相乘 解析版  16.2.3　多项式与多项式相乘 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　多项式乘多项式：逐项相乘，再把积相加 2 　　题型 2　由积反推：常数项、因式与系数 3 　　题型 3　不含某项与含参：让系数等于零 4 　　题型 4　比较大小与整体代换 6 　　题型 5　图形与情境：面积、户型、海报 7 　　题型 6　阅读材料与综合实践 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 13 　题型 1　　多项式乘多项式：逐项相乘，再把积相加 知识梳理 ​——四项起步，别漏项 法则的来历　 可以先把 看成一个整体，用分配律得 ．两项乘两项得四项，三项乘两项得六项——数项数是最快的自检办法。 按顺序乘，写在纸上　．先写全四项，再合并；直接在脑子里合并，中间项最容易丢一个。含系数时同理：． 符号一次定清　．每一项都带符号，尤其第二个括号里的负号要跟到每一项上。建议每次写""""，一步步来。 多层括号先算里层　．平方不是把每一项平方——这一条下一节还会专门讲（完全平方公式），现在先按"两个括号相乘"老实做。 易错　①漏项（四项只写三项）；　②符号丢：负项乘完忘记带负号；　③把 写成 　④没合并同类项就交卷。 要点　逐项乘、写全项、再合并；项数对得上就没漏。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据多项式与多项式的乘法法则计算即可． 解： =-3x-2x+6 =-5x+6．故选A． 2． 若则的值分别是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于的方程来确定的值． 解： 又 ​故选：C． 3． 若梯形的上底长为下底长为高为则梯形的面积为      ． 　思路分析　　此题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握是多项式乘以多项式法则解本题的关键． 根据梯形的面积公式列式求解即可． 解：梯形的上底长为下底长为高为 ​ ​ ​ ​ ​． 故答案为：． 4． 计算： （1） （2） （3）． 　思路分析　　本题考查了多项式的乘法，完全平方公式． （1）直接根据多项式的乘法公式计算即可； （2）直接根据完全平方公式计算即可； （3）直接根据多项式的乘法公式计算即可． （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 　题型 2　　由积反推：常数项、因式与系数 知识梳理 展开后与已知式子逐项对位，常数项与一次项各给一条方程 常数项 = 两个常数相乘　 的常数项是 若题给常数项为 则 ．常数项只由两个括号里的常数决定，这条最快。 一次项 = 交叉相乘之和　一次项系数是 常数项是 ．对位时一次项管两个参数的关系、常数项管它们的积，两条方程联立即可解出。 "哪个式子的积是 "类型的题　就看哪一对数的和是 积是 与 所以是 ．和与积同时满足，就是唯一的那一对（下一章会升级成十字相乘）。 含 的恒等式　左边展开 对位得 ．先展开、再对位、最后写答案，不要试图"看出来"。 易错　①常数项忘乘负号（ 写成 ）；　②一次项只取一个交叉项；　③对位时漏掉 项的系数（应为 ）；　④求出 后没回答题目问的量。 要点　常数项管积、一次项管和；恒等式一律"展开 → 对位 → 解方程"。 1． 下列算式计算结果为的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 解：故选：A． 2． 已知,则的值分别是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出a与b的值代入即可求解． 解： ​ ​故选C.． 3． 若与的和是单项式，则的值为      ． 　思路分析　　和仍是单项式说明两项是同类项，先定 再代值． 解：两个单项式的和仍是单项式， 它们是同类项，解得 ． ​． 　题型 3　　不含某项与含参：让系数等于零 知识梳理 "不含 项" ⇔ 该项系数为 两个条件就给两条方程 基本做法　 的一次项是 令 得 ．先把展开式按次数排好，再盯住要消掉的那一项。 两条条件一起给　 不含 与 项： 项系数 项系数 得 ．每一条"不含"都给一条方程，有几条就解几个参数。 已知部分系数反推参数　 的 系数分别是 和 展开后 项是 项是 联立 解出 ．先列系数表，再解方程组，比硬展开整式快得多。 "值与会变量无关" 是同一件事　若含参式子的值与 无关，就是所有含 的项系数都为 ．这是"不含某项"的另一种问法，处理方法完全一样。 易错　①"不含"写成"没有"就不列方程；　②只列一条方程、解一半参数；　③系数算错（ 项系数常含两项之和）；　④求出参数后忘了代回题目要求的式子。 要点　不含某项 → 系数为 值无关 → 含该字母的系数全为 。 1． 若中的常数项为14，则m的值为 （  ）． A．7 B．-7 C．2 D．-2 　思路分析　　根据整式的乘法运算法则即可求解． 解：常数项为14， ​解得．故选D． 2． 若多项式展开后不含和项，则m，n的值分别是 （  ） A．3，5 B．5，3 C．4，2 D．2，4 　思路分析　　本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据多项式乘多项式运算法则，得出列出关于m、n的方程，求出m、n的值即可． 解： ​ ​ 由题意得 解得：．故选：A． 3． 已知多项式与多项式的乘积中x的系数分别是和5，求a，c的值． 　思路分析　　本题主要考查多项式乘以多项式及二元一次方程组的解法，熟练掌握多项式乘以多项式及二元一次方程组的解法是解题的关键． 由题意易得则有然后进行求解即可． 解： ​ ​ 又的系数分别是和5， ​ 解得：． 　题型 4　　比较大小与整体代换 知识梳理 先作差再判断正负；条件里的和与积直接搬进展开式 比较大小 = 作差　所以 ．展开后一次项往往抵消，只剩常数，比较就变成看常数大小。 整体代换　已知 求 展开 ．展开式里只出现"和"与"积"，这正是条件给的两个量，直接代。 符号与绝对值　 时等于 ．先把式子化成只含和与积的形式，再代值，别急着展开成一大堆项。 含参比较　 化简后若含参数，就按参数的取值范围讨论正负；若化简后是常数（如上面的 ），结论与参数无关。先化简再判断，不要代特殊值下结论。 易错　①作差时减号没分配到每一项；　②整体代换把 代成 　③ 符号错；　④用特殊值代替证明。 要点　作差比较、整体代换；展开后尽量化成"和与积"的组合。 1． 若M=（x3）（x4），N=（x1）（x6），则M与N的大小关系为（） A． B．M C． D．由x的取值而定 　思路分析　　根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较． 解： M=（x3）（x4）= N=（x1）（x6）= ​ 即： ​ 2． 已知m＋n=2，mn=2，则(2m)(2n)的值为(　　) A．2 B．2 C．0 D．3 解：m+n=2，mn=-2， ​（2-m）（2-n）=4-2（m+n）+mn=4-4-2=-2；故选B． 3． 若a为有理数，则的值是  （  ） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 　思路分析　　计算后，根据平方的非负性判断结果的符号即可得到结论． 解： ​ ​ ​ ​为有理数， ​ ​ ​ 即的值为负数． 　题型 5　　图形与情境：面积、户型、海报 知识梳理 把每条边写成含字母的式子，面积就是两个多项式相乘 面积公式直接套　一边长 另一边长 面积 ．展开后别忘了带单位（平方米）。 户型、刷漆类　先分别算出各块的面积，再按"每平方米多少钱"乘上去。把"面积"与"单价"分成两段写，中间用"所以至少需要…元"收尾。 加边框类　长方形照片长 宽 四周加宽 的边框，外框长 宽 面积 ．"四周都加"就是每边加两个 ，这是最容易漏的地方。 阴影部分面积 = 大块减小块　把两块面积都用含字母的式子写出来再作差，不要一段一段去拼——拼接容易漏块，作差只要两个式子。 易错　①周长与面积公式混用；　②加边框时只加一个 　③单位写成一次方；　④阴影面积漏减某一块。 要点　先列边长、再列面积、最后展开；加边框每边加两个宽。 1． 甲、乙两个长方形的边长如图（m为正整数），其面积分别为若满足条件的整数n有且只有8个，则m为 （  ） A．4 B．5 C．7 D．8 　思路分析　　本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用．根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 解： ​ ​ ​为正整数， ​ ​ ​ ​ ​整数n有且只有8个， ​ ​ ​为正整数， ​故选：B． 2． 如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买      元的防水材料． 　思路分析　　本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， ​厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， ​每平方米的防水材料a元， ​至少需要购买材料费用为：元． 故答案为：． 3． 为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是      ． 　思路分析　　本题主要考查了列代数式，多项式乘多项式等知识点，根据图形正确列出代数式是解题的关键． 由题意可知，小阳同学这幅作品的长为宽为然后根据“面积长宽”即可得出答案． 解：由题意可知：小阳同学这幅作品的长为宽为 ​小阳同学的这幅作品的面积是： 故答案为：． 4． 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当时，求需要硬化的面积． 　思路分析　　（1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把代入求值即可； （1）解：由图得， 阴影面积=（3a＋b）（2a＋b）（a＋b）＋3ab＋2ab＋2ab＋3ab （2）解：当时， 阴影面积=5＋2=155（平方米）， 答：需要硬化的面积是155平方米． 　题型 6　　阅读材料与综合实践 知识梳理 读材料抓"结论与理由"，综合实践按"两法算同一块面积"列等式 抄错符号型　把 抄成 就按抄错的那条算出一个结果，再与正确结果相减，差里含有 正好用来求 ．标准写法是"由题意得两个展开式，作差得…，所以 …"。 "我能求、你也能求"型　甲把 看成 乙把 看成 就分别把看错后的两个结果展开，与题目给的式子对位，两次看错各给一组方程，联立即可。 综合与实践　"用两种方法算同一块大长方形的面积"——一种按整体算（长 × 宽），一种按分块算（四块面积相加），两种结果相等，于是得到 ．这就是多项式乘法的几何解释，答题时把"两法"都写出来。 整体思想阅读题　材料给"已知 求 "这类例子，做法是把条件变形后整体搬进要求的式子。后面各问照这个流程写：变形条件 → 整体代入 → 出结果。 易错　①抄错题的"看错"当成"题目错"，不敢算；　②两法算面积时只写一种；　③阅读题不按材料流程；　④整体代入时符号反了。 要点　看错就按看错的算、两法算同一块面积、条件变形后整体代入。 1． 聪聪计算一道整式乘法的题：由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出m的值，代入原式求出答案． 解： ​ ​ 解得： 把代入原式得： ​ ​ ​．故选：A． 2．  规律与猜想 计算下列各式，然后回答问题： ​      ； ​      ； ​      ； ​      ． （1）根据以上的计算总结出规律：      ； （2）运用（1）中的规律，直接写出下列各式的结果： ① ② ③ ④． 　思路分析　　本题是一道多项式乘以多项式的整式计算题，考查了多项式乘以多项式的计算法则，学生的观察，分析和总结能力，最后由一个一般的式子得出一个一般性的结论． （1）我们利用多项式乘以多项式的法则计算出一次项系数为1与一个常数项构成的两个一次二项式的积，观察其结果规律，积是一个二次三项式，二次项的系数为1，一次项的系数是常数项的和，常数项是多项式中两个常数项的积．根据规律就可以求出（1）公式． （2）根据（1）中的规律计算结果即可． 解： ​ ​ ​ 故答案为： （1） 故答案为： （2） ① ② ③ ④． 3． 【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，代数式的值与的取值无关，含的项的系数为0．原式则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ 　思路分析　　本题考查了整式运算中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）计算得即可求解； （3）设则．计算即可求解； 解：（1）． ​代数式的值与的取值无关， ​ 解得． （2） ​ ​ ​ ​． ​的值与的取值无关， ​ 解得． （3）设则． ​． ​的值与的取值无关， ​ ​． 4． 综合与实践 【活动主题】 借助图形直观感受数与形之间的关系． （1）【初步应用】 如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：      ； （2）【拓展创新】 仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 　思路分析　　（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案． （1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为： 把大长方形分成四个小长方形计算面积为： 可得对应的等式为： （2） ​ 把大长方形当成一个整体计算面积为： 把大长方形分成六个小长方形计算面积为： 所以． A 组　基础题 必做｜逐项相乘的基础套用与图形面积 1． 计算结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果． 解： ​ ​故选：A． 2． 计算的结果是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用多项式乘多项式的运算法则展开后合并同类项即可得到计算结果． 解： ​ ​． 3． 下列多项式相乘的结果为的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将各项逐一展开合并同类项比较即可得． 解： ​ ​ ​故选D． 4． 如果（x+m）与（x4）的乘积中不含x的一次项，则m的值为  （  ） A．4 B．4 C．0 D．1 　思路分析　　先根据已知式子,可找出所有含x的项,合并系数,令含x项的系数等于0,即可求m的值． 解:(x+m)(x-4)=+(m-4)x-4m,乘积中不含x的一次项, ​m-4=0, ​m=4． 所以A选项是正确的． 5． 若则与的大小关系为 （  ） A． B． C． D．由的取值而定 　思路分析　　本题主要考查多项式乘以多项式及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；由题意可得然后问题可求解． 解： ​ ​ ​ ​M与N的大小关系由x的取值而定；故选D． 6． 若且则代数式的值等于 （  ） A． B．0 C．1 D．2 　思路分析　　先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可． 解：且 ​ ​ ​ ​ ​． 7． 李老师做了个长方形教具，其中一边长为另一边长为则该长方形的面积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查多项式乘多项式的应用．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据长方形的面积得再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 解：根据题意得：．故选：B． 8． 如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先表示出空白部分的面积，可以把四块空白部分矩形拼成一个长为宽为的较大矩形，然后用最大的矩形面积减去空白部分的面积即可． 解：由题意得，最大的矩形面积为空白部分的面积为 ​阴影部分的面积为． 9． 若中不含x的一次项，则m的值为      ． 　思路分析　　本题主要考查多项式乘多项式，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的项，合并系数，令含有x项的系数等于0，即可求出结果． 解∶ ​ ​ ​不含有x的一次项， ​ 解得：．故答案为：． 10． 若的展开式中不含的一次项，则的值为      ． 　思路分析　　先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后根据多项式不含某一项即它的系数为即可求出的值． 解： ​ ​ ​的展开式中不含的一次项， ​ ​． 11． 一个长方形的长为宽比长少则这个长方形的面积为      ． 　思路分析　　本题考查了整式的混合运算的应用，先求出长方形的宽为再根据面积公式进行列式再结合多项式乘多项式法则进行计算，即可作答． 解：一个长方形的长为宽比长少 ​ 则 ​这个长方形的面积为 故答案为： 12． 计算： （1） （2） （3）． 　思路分析　　本题考查整式的乘法，熟练掌握平方差公式和多项式乘以多项式的法则是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． （1）解：原式 （2）原式 （3）原式． 13． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解： ​ ​ ​ 当时，原式． B 组　提升题 必做｜由积反推与看错、污损类逆推 1． 若则与的关系是 （  ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等 　思路分析　　根据多项式乘多项式运算法则，展开左侧多项式后，对比等式两边同类项系数，即可推得与的关系． 解： ​ ​ ​对任意都成立， 则 ​． 2． 在数学探究课上，某数学兴趣小组围绕“四个连续偶数的数值确定”展开探究．设这四个连续偶数依次为2n，（n为整数），若想通过其中相关数值的关系确定这四个偶数的具体数值，下列选项中，能实现这一目的的是 （  ） A．两个中间数的差 B．最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差 C．最大数和最小数的差 D．两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差 解：对于A， 两个中间数的差为结果为定值，与无关，无法确定不能确定这四个偶数； 对于B， 最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差为结果为定值，与无关，无法确定不能确定这四个偶数； 对于C，最大数和最小数的差为结果为定值，与无关，无法确定不能确定这四个偶数； 对于D， 两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差为结果与有关，已知差值即可求出进而确定这四个偶数． 3． 已知则的值为      ． 　思路分析　　本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则展开，然后把整体代入计算即可． 解： ​ ​ ​ ​ ​故答案为：1． 4． 若的展开式中不含和项，求m，n的值． 　思路分析　　本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算．先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可． 解： ​ ​ ​的展开式中不含和项， ​ 解得． 5． 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为米的雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当时的绿化面积． 　思路分析　　此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．阴影部分即绿化面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；然后把的值代入计算即可． 解：绿化面积为 ​ ​ 当时，原式 答：绿化面积是平方米，当时的绿化面积为． 6． 试说明：代数式的值与的取值无关． 　思路分析　　将代数式利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式的法则计算，去括号合并得到结果为一个常数，可得出代数式的值与x的取值无关． 证明：(2x+3)(6x+2)6x(2x+13)+8(7x+2) =12+4x+18x+61278x+56x+16 =22， ​代数式的值与x的取值无关． 7． 小明和小刚共同解一道题由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． （1）求a，b的值； （2）计算出正确的结果． 　思路分析　　本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． （1）解：由题意可得： ​ 解得 （2）解：由（1）可得：． 8． 在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：乙错把a看成了得到结果：． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算的结果． 　思路分析　　（1）根据题意可得出求出a、b的值即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可． （1）解：根据题意得： ​ 所以， 解得： （2）解：把代入，得 ​． 9． “整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知求的值． 解： ​ ​． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知求的值； （2）已知求的值． 　思路分析　　（1）根据得出再整体代入求值即可； （2）根据得出再将进行化简，最后整体代入求值即可． （1）解： ​ ​原式． （2）解： ​ ​原式 ​ ​ ​． 10． 琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． （1）请你帮她完成“计算：”； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案中二次项系数为9．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？并完成正确的解答． 　思路分析　　（1）根据多项式乘多项式法则求解即可； （2）设被污染的一次项系数为根据多项式乘多项式法则可得进而即可求解 （1）解：原式． （2）解：设被污染的一次项系数为则． ​这个题目的正确答案中二次项系数为9， ​ ​ ​被污染的第一个因式的一次项系数为 ​． C 组　拓展题 选做｜连续整数探究与新定义阅读 1．  二阶行列式 四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若则      ． 　思路分析　　本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 解： ​ 即 化简得 解得． 故答案为∶ ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2.3  多项式与多项式相乘 学生版  16.2.3　多项式与多项式相乘 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　多项式乘多项式：逐项相乘，再把积相加 2 　　题型 2　由积反推：常数项、因式与系数 3 　　题型 3　不含某项与含参：让系数等于零 4 　　题型 4　比较大小与整体代换 4 　　题型 5　图形与情境：面积、户型、海报 5 　　题型 6　阅读材料与综合实践 7 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 10 　题型 1　　多项式乘多项式：逐项相乘，再把积相加 知识梳理 ​——四项起步，别漏项 法则的来历　 可以先把 看成一个整体，用分配律得 ．两项乘两项得四项，三项乘两项得六项——数项数是最快的自检办法。 按顺序乘，写在纸上　．先写全四项，再合并；直接在脑子里合并，中间项最容易丢一个。含系数时同理：． 符号一次定清　．每一项都带符号，尤其第二个括号里的负号要跟到每一项上。建议每次写""""，一步步来。 多层括号先算里层　．平方不是把每一项平方——这一条下一节还会专门讲（完全平方公式），现在先按"两个括号相乘"老实做。 易错　①漏项（四项只写三项）；　②符号丢：负项乘完忘记带负号；　③把 写成 　④没合并同类项就交卷。 要点　逐项乘、写全项、再合并；项数对得上就没漏。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 若则的值分别是 （  ） A． B． C． D． 3． 若梯形的上底长为下底长为高为则梯形的面积为      ． 　 4． 计算： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　由积反推：常数项、因式与系数 知识梳理 展开后与已知式子逐项对位，常数项与一次项各给一条方程 常数项 = 两个常数相乘　 的常数项是 若题给常数项为 则 ．常数项只由两个括号里的常数决定，这条最快。 一次项 = 交叉相乘之和　一次项系数是 常数项是 ．对位时一次项管两个参数的关系、常数项管它们的积，两条方程联立即可解出。 "哪个式子的积是 "类型的题　就看哪一对数的和是 积是 与 所以是 ．和与积同时满足，就是唯一的那一对（下一章会升级成十字相乘）。 含 的恒等式　左边展开 对位得 ．先展开、再对位、最后写答案，不要试图"看出来"。 易错　①常数项忘乘负号（ 写成 ）；　②一次项只取一个交叉项；　③对位时漏掉 项的系数（应为 ）；　④求出 后没回答题目问的量。 要点　常数项管积、一次项管和；恒等式一律"展开 → 对位 → 解方程"。 1． 下列算式计算结果为的是  （  ） A． B． C． D． 2． 已知,则的值分别是 （  ） A． B． C． D． 3． 若与的和是单项式，则的值为      ． 　 　题型 3　　不含某项与含参：让系数等于零 知识梳理 "不含 项" ⇔ 该项系数为 两个条件就给两条方程 基本做法　 的一次项是 令 得 ．先把展开式按次数排好，再盯住要消掉的那一项。 两条条件一起给　 不含 与 项： 项系数 项系数 得 ．每一条"不含"都给一条方程，有几条就解几个参数。 已知部分系数反推参数　 的 系数分别是 和 展开后 项是 项是 联立 解出 ．先列系数表，再解方程组，比硬展开整式快得多。 "值与会变量无关" 是同一件事　若含参式子的值与 无关，就是所有含 的项系数都为 ．这是"不含某项"的另一种问法，处理方法完全一样。 易错　①"不含"写成"没有"就不列方程；　②只列一条方程、解一半参数；　③系数算错（ 项系数常含两项之和）；　④求出参数后忘了代回题目要求的式子。 要点　不含某项 → 系数为 值无关 → 含该字母的系数全为 。 1． 若中的常数项为14，则m的值为 （  ）． A．7 B．-7 C．2 D．-2 2． 若多项式展开后不含和项，则m，n的值分别是 （  ） A．3，5 B．5，3 C．4，2 D．2，4 3． 已知多项式与多项式的乘积中x的系数分别是和5，求a，c的值． 　 　 　 　题型 4　　比较大小与整体代换 知识梳理 先作差再判断正负；条件里的和与积直接搬进展开式 比较大小 = 作差　所以 ．展开后一次项往往抵消，只剩常数，比较就变成看常数大小。 整体代换　已知 求 展开 ．展开式里只出现"和"与"积"，这正是条件给的两个量，直接代。 符号与绝对值　 时等于 ．先把式子化成只含和与积的形式，再代值，别急着展开成一大堆项。 含参比较　 化简后若含参数，就按参数的取值范围讨论正负；若化简后是常数（如上面的 ），结论与参数无关。先化简再判断，不要代特殊值下结论。 易错　①作差时减号没分配到每一项；　②整体代换把 代成 　③ 符号错；　④用特殊值代替证明。 要点　作差比较、整体代换；展开后尽量化成"和与积"的组合。 1． 若M=（x3）（x4），N=（x1）（x6），则M与N的大小关系为（） A． B．M C． D．由x的取值而定 2． 已知m＋n=2，mn=2，则(2m)(2n)的值为(　　) A．2 B．2 C．0 D．3 3． 若a为有理数，则的值是  （  ） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 　题型 5　　图形与情境：面积、户型、海报 知识梳理 把每条边写成含字母的式子，面积就是两个多项式相乘 面积公式直接套　一边长 另一边长 面积 ．展开后别忘了带单位（平方米）。 户型、刷漆类　先分别算出各块的面积，再按"每平方米多少钱"乘上去。把"面积"与"单价"分成两段写，中间用"所以至少需要…元"收尾。 加边框类　长方形照片长 宽 四周加宽 的边框，外框长 宽 面积 ．"四周都加"就是每边加两个 ，这是最容易漏的地方。 阴影部分面积 = 大块减小块　把两块面积都用含字母的式子写出来再作差，不要一段一段去拼——拼接容易漏块，作差只要两个式子。 易错　①周长与面积公式混用；　②加边框时只加一个 　③单位写成一次方；　④阴影面积漏减某一块。 要点　先列边长、再列面积、最后展开；加边框每边加两个宽。 1． 甲、乙两个长方形的边长如图（m为正整数），其面积分别为若满足条件的整数n有且只有8个，则m为 （  ） A．4 B．5 C．7 D．8 2． 如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买      元的防水材料． 　 3． 为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是      ． 　 4． 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当时，求需要硬化的面积． 　 　 　 　 　 　题型 6　　阅读材料与综合实践 知识梳理 读材料抓"结论与理由"，综合实践按"两法算同一块面积"列等式 抄错符号型　把 抄成 就按抄错的那条算出一个结果，再与正确结果相减，差里含有 正好用来求 ．标准写法是"由题意得两个展开式，作差得…，所以 …"。 "我能求、你也能求"型　甲把 看成 乙把 看成 就分别把看错后的两个结果展开，与题目给的式子对位，两次看错各给一组方程，联立即可。 综合与实践　"用两种方法算同一块大长方形的面积"——一种按整体算（长 × 宽），一种按分块算（四块面积相加），两种结果相等，于是得到 ．这就是多项式乘法的几何解释，答题时把"两法"都写出来。 整体思想阅读题　材料给"已知 求 "这类例子，做法是把条件变形后整体搬进要求的式子。后面各问照这个流程写：变形条件 → 整体代入 → 出结果。 易错　①抄错题的"看错"当成"题目错"，不敢算；　②两法算面积时只写一种；　③阅读题不按材料流程；　④整体代入时符号反了。 要点　看错就按看错的算、两法算同一块面积、条件变形后整体代入。 1． 聪聪计算一道整式乘法的题：由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 （  ） A． B． C． D． 2．  规律与猜想 计算下列各式，然后回答问题： ​      ； ​      ； ​      ； ​      ． （1）根据以上的计算总结出规律：      ； （2）运用（1）中的规律，直接写出下列各式的结果： ① ② ③ ④． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3． 【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，代数式的值与的取值无关，含的项的系数为0．原式则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ 　 　 　 　 　 　 　 4． 综合与实践 【活动主题】 借助图形直观感受数与形之间的关系． （1）【初步应用】 如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：      ； （2）【拓展创新】 仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜逐项相乘的基础套用与图形面积 1． 计算结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果是  （  ） A． B． C． D． 3． 下列多项式相乘的结果为的是 （  ） A． B． C． D． 4． 如果（x+m）与（x4）的乘积中不含x的一次项，则m的值为  （  ） A．4 B．4 C．0 D．1 5． 若则与的大小关系为 （  ） A． B． C． D．由的取值而定 6． 若且则代数式的值等于 （  ） A． B．0 C．1 D．2 7． 李老师做了个长方形教具，其中一边长为另一边长为则该长方形的面积为 （  ） A． B． C． D． 8． 如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为 （  ） A． B． C． D． 9． 若中不含x的一次项，则m的值为      ． 　 10． 若的展开式中不含的一次项，则的值为      ． 　 11． 一个长方形的长为宽比长少则这个长方形的面积为      ． 　 12． 计算： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 13． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 B 组　提升题 必做｜由积反推与看错、污损类逆推 1． 若则与的关系是 （  ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等 2． 在数学探究课上，某数学兴趣小组围绕“四个连续偶数的数值确定”展开探究．设这四个连续偶数依次为2n，（n为整数），若想通过其中相关数值的关系确定这四个偶数的具体数值，下列选项中，能实现这一目的的是 （  ） A．两个中间数的差 B．最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差 C．最大数和最小数的差 D．两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差 3． 已知则的值为      ． 　 4． 若的展开式中不含和项，求m，n的值． 　 　 　 5． 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为米的雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当时的绿化面积． 　 　 　 6． 试说明：代数式的值与的取值无关． 　 　 　 7． 小明和小刚共同解一道题由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． （1）求a，b的值； （2）计算出正确的结果． 　 　 　 　 　 8． 在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：乙错把a看成了得到结果：． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算的结果． 　 　 　 　 　 　 　 9． “整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知求的值． 解： ​ ​． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知求的值； （2）已知求的值． 　 　 　 　 　 10． 琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． （1）请你帮她完成“计算：”； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案中二次项系数为9．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？并完成正确的解答． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜连续整数探究与新定义阅读 1．  二阶行列式 四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若则      ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $