16.2 课时3 多项式与多项式相乘教案 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该教案聚焦初中数学“多项式与多项式相乘”核心知识点，通过绿地面积问题的三种表示方法导入，衔接单项式乘单项式、单项式乘多项式的已有知识，以整体思想和转化思想构建学习支架，引导学生推导法则。 此资料亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，如用绿地面积几何直观验证等式，拼图题体现数形结合，含参数题培养逆向思维。助力学生提升运算能力与思维严谨性，为教师提供系统知识体系和多样化练习，提升教学效率。

教案：16.2课时3 多项式与多项式相乘 课题 16.2课时3 多项式与多项式相乘 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十六章 整式的乘法 教学方法 启发式教学、探究式学习、讲练结合、合作交流、数形结合 教学用具 多媒体课件、练习卷 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十六章"整式的乘法"第二节"整式的乘法"的第三课时，在学习了单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘之后，学习多项式与多项式相乘。多项式与多项式相乘的法则，本质上是利用乘法分配律和整体思想，将其先转化为单项式与多项式相乘，再进一步转化为单项式与单项式相乘，充分体现了化归的数学思想。教材通过绿地面积问题，引导学生用三种不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到等式()()=，进而归纳出多项式与多项式相乘的法则。本节课是整式乘法运算体系的收官环节，完成了从单项式乘法到多项式乘法的完整建构，也为后续学习乘法公式、因式分解和分式运算奠定了重要基础。 学情分析 学生已经学习了单项式与单项式相乘和单项式与多项式相乘的法则，掌握了利用乘法分配律进行展开运算的基本方法，对"不漏乘、符号正确、先乘方再乘法"等运算注意事项有了明确的认识。同时，学生在前两课时中经历了从具体问题中归纳法则的探究过程，具备了从具体例子中概括一般规律的能力。学生在学习过程中可能遇到的困难包括：两项乘两项时容易漏乘或重复，符号处理特别是负号较多的情形容易出错，合并同类项前积的项数与两个多项式项数之积的关系理解不够深入，含参数问题的逆向思维尚未建立。教学中需要通过绿地面积问题三种方法的对比，引导学生体会整体思想和转化思想，通过典型例题帮助学生掌握运算步骤，培养有序运算的习惯。 教学重点 多项式与多项式相乘的法则的推导、理解和应用，能够正确运用法则进行计算，掌握整体思想与转化思想，注意不漏乘、符号正确、结果化到最简。 一、教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十六章"整式的乘法"第二节，是整式乘法运算的第三课时。在学习了单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘之后，本节课将乘法运算推广到多项式与多项式相乘，完成了整式乘法运算体系的完整建构。从知识体系来看，多项式与多项式相乘是整式乘法中最一般的情形，它将前面学习的单项式乘法和单项式乘多项式统一起来，同时为后续学习乘法公式（平方差公式、完全平方公式）和因式分解奠定基础。 教材在编排上延续了前两课时的探究思路，通过绿地面积问题引入。该问题要求学生用三种不同的方法表示扩大后的绿地面积：方法一，将绿地看成由四个小长方形组成，得到；方法二，将绿地分割成两个长方形，得到()+b()；方法三，将绿地看成一个大的长方形，先求边长再求面积，得到S=()()。由于三个式子都表示同一个量，因此()()=a()+b()=。 本节课的核心价值在于，它体现了"整体"和"转化"两种重要的数学思想。整体思想体现在将()看作一个整体，利用乘法分配律将多项式乘多项式问题转化为单项式乘多项式问题；转化思想体现在将多项式乘多项式问题逐步转化为单项式乘单项式问题，最终转化为已学过的知识来解决。这种化归思想在数学学习中具有普遍意义和深远影响。 此外，教材还在知识框架中构建了完整的整式乘法体系：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三者之间层层递进，体现了从特殊到一般的认知规律。这一体系不仅帮助学生理解各种乘法运算之间的内在联系，也有助于学生建立系统的知识结构。 二、学情分析 知识基础：学生已经掌握了单项式与单项式相乘的运算法则，能够正确进行单项式乘法运算，掌握了系数相乘、同底数幂相乘（指数相加）、单独字母保留三个核心步骤。同时，学生已经学习了单项式与多项式相乘的法则，理解了利用乘法分配律将单项式乘多项式问题转化为单项式乘单项式问题的化归思想，能够正确进行单项式与多项式相乘的计算，并具备了一定的检查漏乘和符号处理的能力。 能力基础：学生经历了单项式乘法法则和单项式乘多项式法则的探究过程，具备了从具体问题中归纳出一般性法则的能力。在多项式与多项式相乘中，学生需要综合运用已学的乘法运算知识，将新问题转化为已解决的问题，这对学生的化归能力和综合运用能力提出了更高的要求。同时，学生需要理解整体思想和转化思想，将()()中的()看作一个整体，利用乘法分配律进行展开，这对学生的数学思维能力是一个挑战。 易错分析：学生在本节课的学习中容易出现四类典型错误：第一，漏乘问题——当两个多项式都是两项时，共有四次乘法运算，学生容易漏掉其中某一次，特别是容易漏乘系数为1的项；第二，符号错误——当多项式各项的符号较为复杂时，乘积的符号容易出错，特别是负号乘负号得到正号的情况；第三，合并同类项不彻底——展开后容易忘记合并同类项，导致结果不是最简形式；第四，法则理解不深——不理解"合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积"这一结论，无法用此性质检查是否有漏乘。 学习心理：学生已经适应了代数运算的学习节奏，对法则的归纳和运用有了一定的信心。在多项式与多项式相乘中，学生需要在已有知识的基础上进行知识的迁移和拓展，从"单项式乘多项式"扩展到"多项式乘多项式"，这对学生的认知迁移能力提出了要求。教学中应注重绿地面积问题三种方法的对比分析，通过几何直观帮助学生理解法则的合理性，同时通过充分的例题和练习帮助学生建立运算的自动化，降低认知负荷。 三、核心素养目标 1. 数学抽象 （1）能从绿地面积问题的三种不同表示方法中，抽象出()()=的等式关系，体会从具体情境中抽象出代数关系的过程。 （2）能从具体等式中归纳出多项式与多项式相乘的一般法则："先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加"，理解法则的抽象表述与具体运算之间的对应关系。 （3）能理解多项式乘多项式化归为单项式乘单项式的数学思想，体会"整体→转化→已知"的抽象思维过程，建立整式乘法运算的统一框架。 2. 逻辑推理 （1）能借助乘法分配律和整体思想，从()()出发，先将()看作一个整体，得到()()=a()+b()，再分别展开，最终得到，体会演绎推理的严密性。 （2）能按照"按一定顺序，做到不重不漏"的运算原则，有序地进行多项式乘多项式的计算，每一步都有明确的逻辑依据，培养有序运算的思维习惯。 （3）能对错误解法进行分析，准确找出漏乘项或符号错误，并给出正确改正，发展批判性思维和逻辑辨析能力。 3. 直观想象 （1）能通过绿地面积问题的几何图形，直观理解三种不同面积表示方法的等价性，体会代数等式的几何意义，建立代数运算与几何直观之间的联系。 （2）能通过拼图问题（A类、B类、C类纸片拼矩形），将多项式乘多项式的结果与几何图形的面积建立对应关系，体会数形结合思想。 （3）能从几何图形中"看出"多项式乘多项式的展开结果，将抽象的代数运算转化为直观的几何面积求和，提升数形结合能力。 4. 数学运算 （1）能正确运用多项式与多项式相乘的法则进行计算，准确执行"用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加"的运算步骤，做到不重不漏。 （2）能正确处理符号运算，特别是负号较多的情形，准确确定每一次乘积的符号，负负得正，正负得负，避免符号错误。 （3）能在展开后正确合并同类项，将结果化为最简形式，并能利用"合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积"的性质进行自我检查。 四、教学重难点 教学重点 1. 多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 法则的推导过程：借助乘法分配律和整体思想，将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式。 3. 法则的应用：能够正确运用法则进行多项式与多项式相乘的计算，做到不重不漏，符号正确，结果最简。 教学难点 1. 整体思想的运用：将()看作一个整体，利用乘法分配律将()()转化为a()+b()，这是推导法则的关键一步，学生需要突破"多项式就是多项式，怎么可以看作整体"的认知障碍。 2. 不漏乘不重复：两个多项式相乘时，乘法的次数等于两个多项式项数的乘积，学生需要养成有序相乘的习惯，确保每一项都乘到且不重复。 3. 符号的综合处理：当多项式各项符号复杂时，特别是多个负号同时出现时，乘积的符号容易出错，需要反复训练。 五、教学过程 环节一：复习回顾（5分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了单项式与多项式相乘的法则，谁能回忆一下，单项式与多项式相乘的运算步骤是什么？在进行运算时，有哪些注意事项？ 【学生活动】回忆并回答：单项式与多项式相乘，运算分为两步：第一步，将单项式分别乘以多项式的每一项；第二步，再把所得的积相加。 【学生活动】补充回答注意事项：第一，不能漏乘，即单项式要乘遍多项式的每一项，特别是常数项1也不能漏掉；第二，去括号时要注意符号的变化，当单项式的系数为负数时，乘多项式的每一项都要注意改变符号。 【教师活动】总结学生的回答，并进一步追问：单项式与多项式相乘的法则依据是什么？它体现了什么数学思想？ 【学生活动】回答：单项式与多项式相乘的法则依据是乘法分配律。它体现了化归的数学思想——将单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题，用已经学过的知识来解决新问题。 【知识点】复习回顾要点：单项式乘多项式运算两步——①将单项式分别乘以多项式的每一项；②再把所得的积相加。注意事项：①不能漏乘；②注意符号变化。依据：乘法分配律，体现化归思想。 【设计意图】通过复习单项式与多项式相乘的法则和注意事项，激活学生已有的知识经验，为新课中"将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式"的推导做好知识铺垫。同时，再次强调化归思想和乘法分配律，为新课中运用整体思想提供认知基础。 【过渡语】同学们对单项式与多项式相乘的法则掌握得很好。那么，如果是两个多项式相乘，比如()乘以()，又该如何计算呢？今天我们就来学习多项式与多项式相乘的法则。 环节二：情境导入探究法则（12分钟） 问题探究：绿地面积问题 【教师活动】展示问题：如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m。你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？请同学们独立思考，尝试用不同的方法表示这个面积。 【学生活动】方法一：扩大后的绿地可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积为： 【学生活动】方法二：扩大后的绿地可以分割成如图所示的上下两个长方形，所以这块绿地的面积为： 【学生活动】方法三：扩大后的绿地还可以看成一个大长方形，先求边长，再求面积，所以这块绿地的面积为： 【教师活动】非常好！同学们找到了三种不同的方法来表示同一个面积。由于上面列出的式子都表示同一个数量，所以这三个式子之间有什么关系？ 【学生活动】因为三个式子都表示同一个面积，所以它们相等： 【教师活动】请同学们仔细观察这个等式的推导过程。第一步，()()是怎样变成a()+b()的？这里面用到了什么数学思想？ 【学生活动】思考后回答：这里把()看作一个整体，利用乘法分配律，将()这个整体分别乘以p、q，也就是()() = ()·p + ()·() + b()。这里用到了"整体"的思想——把()看作一个整体，把多项式乘多项式的问题转化为单项式乘多项式的问题。 【教师活动】总结推导过程并板书： 将()看作一个整体（整体思想），利用乘法分配律： 这一步将多项式乘多项式（多乘多）转化为单项式乘多项式（单乘多）。 这一步将单项式乘多项式（单乘多）转化为单项式乘单项式（单乘单）。 【教师活动】从上面的推导过程可以看出，多项式乘多项式的问题，可以通过"整体"思想和乘法分配律，先转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，最终得到结果。这就是"转化"的数学思想。 【知识点】多项式乘多项式的推导过程：多乘多→（整体思想+乘法分配律）→单乘多→（乘法分配律）→单乘单。整体思想：将()看作一个整体；转化思想：将未知问题转化为已知问题。 理解要点：多项式乘多项式的推导核心是两步转化：第一步，将()看作一个整体（整体思想），利用乘法分配律，转化为a()+b()，即单项式乘多项式；第二步，再分别利用乘法分配律，将a()和b()展开为，即单项式乘单项式。整个过程中，乘法分配律起到了关键作用，体现了"化未知为已知"的转化思想。 【设计意图】通过绿地面积问题的三种方法引入，让学生从几何直观上理解三个等式的等价性。然后引导学生从代数推导的角度，利用整体思想和乘法分配律，将()()逐步展开为。三种面积表示方法提供了几何验证，增强了学生对代数推导结果的可信度。整体思想和转化思想的渗透，不仅帮助学生理解本节课的内容，也为学生今后的数学学习提供了重要的思想方法。 【过渡语】通过绿地面积问题，我们不仅从几何直观上看到了三种方法的等价性，更重要的是从代数推导上理解了多项式乘多项式的展开过程。接下来，让我们把这个过程总结为一般性的法则。 环节三：法则归纳（5分钟） 【教师活动】请同学们根据刚才的推导过程，尝试归纳出多项式与多项式相乘的一般法则。小组讨论后，用你自己的语言来表述。 【学生活动】小组讨论后归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【教师活动】板书法则并总结：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为： 【教师活动】强调法则中的两条重要注意事项： 注意1：按一定的顺序进行乘法运算，做到不重不漏。例如，在计算()()时，可以先用第一个多项式的第一项a依次乘第二个多项式的每一项p和q，得到和；再用第一个多项式的第二项b依次乘第二个多项式的每一项p和q，得到和。这样按照顺序，就不会漏乘也不会重复。 注意2：在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的乘积。例如，两个二项式相乘，展开后在没有合并同类项之前应有项；一个二项式乘一个三项式，展开后应有项。这个性质可以用来检查是否漏乘。 重点强调：多项式乘多项式法则的两条注意事项：①按一定顺序，做到不重不漏——先用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，这样能保证不遗漏也不重复；②合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积——这是检查是否漏乘的重要依据，如果展开后的项数不对，说明有漏乘或重复乘的情况。 【知识点】多项式乘多项式法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。()()=。注意：①按顺序，不重不漏；②合并同类项前，积的项数=两个多项式项数之积。 【设计意图】法则归纳环节让学生从具体推导过程上升到一般性法则，培养学生的归纳概括能力。两条注意事项的强调，帮助学生建立有序运算的习惯和检查漏乘的方法，为后续的准确计算提供保障。 【过渡语】我们已经归纳出了多项式与多项式相乘的法则。接下来，让我们通过典型例题来学习如何运用这个法则进行具体的计算。 环节四：例题精讲（10分钟） 例3：运用法则进行计算 【教师活动】出示例3的四道计算题，请同学们独立完成，注意按照"先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加"的步骤进行。请四位同学上台板演。 例3. 计算： (1) ()(a−2) (2) (3)() (3) (x−8y)(x−y) (4) ()(−) 【学生活动】完成第(1)题：先用第一个多项式的第一项a依次乘第二个多项式的每一项a和−2，得到和a·(−2)=−2a；再用第一个多项式的第二项3依次乘第二个多项式的每一项a和−2，得到a和3×(−2)=−6。然后把所得的积相加：−2a−6，合并同类项得：−6。 【学生活动】完成第(2)题：先用3x依次乘x和2，得到3和3x；再用1依次乘x和2，得到和。然后把所得的积相加：3，合并同类项得：3。 【学生活动】完成第(3)题：先用x依次乘x和−y，得到和x·(−y)=−；再用−8y依次乘x和−y，得到(−8y)·x=−8和(−8y)·(−y)=+8。然后把所得的积相加：−−8，合并同类项得：−9。 【学生活动】完成第(4)题：先用a依次乘、−、，得到、a·(−)=−b、；再用b依次乘、−、，得到b、b·(−)=−、。然后把所得的积相加：−b−，合并同类项：−，−，最终得：。 【教师活动】点评四道例题，强调几个要点：第(1)题中，注意−2a合并为a，结果是−6，不是a−6；第(2)题中，注意6合并为7x，不要漏掉1与x的乘积；第(3)题中，注意(−8y)·(−y)=+8，负负得正，容易出错；第(4)题中，中间两项−b和−恰好抵消，说明在特定情况下展开后某些项可以互相抵消，最终结果可以非常简洁。 解题思路：多项式乘多项式的一般步骤：①确定顺序——用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项；②逐项相乘——确保每一项都乘到，做到不重不漏；③写出展开式——将各项乘积按顺序写出，注意符号；④合并同类项——将结果化为最简形式。检查方法：在合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式项数之积。 易错提示：例3(3)中最容易出错的地方是符号：(−8y)·(−y)=+8，两个负号相乘得正号，千万不要写成−8。另外，合并同类项时注意−−8=−9，这是符号运算的易错点。例3(4)中，b和−b抵消，和−抵消，最后只剩下，这个结果是立方和的形式，非常简洁，说明多项式乘多项式的结果有时具有特殊的形式，为后续学习乘法公式埋下伏笔。 【知识点】例3解析：(1)()(a−2)=−6；(2)(3)()=3；(3)(x−8y)(x−y)=−9；(4)()(−)=。注意：按顺序逐项乘，不重不漏，合并同类项，注意符号特别是负负得正。 【设计意图】通过四道典型例题，让学生掌握多项式与多项式相乘法则的具体应用。例3的四道题涵盖了不同的情况：(1)基本应用，两项乘两项且合并同类项；(2)含系数3x；(3)负号较多的情形，特别注意符号处理；(4)三项式乘三项式，中间项抵消，结果简洁。通过学生板演和教师点评，及时发现并纠正学生的错误，强化正确的运算步骤。 【过渡语】通过例题的学习，我们已经掌握了多项式与多项式相乘的基本运算方法。接下来，让我们一起来总结运算中的注意事项和常见错误。 环节五：方法总结（3分钟） 【教师活动】请同学们回顾刚才的计算过程，总结多项式与多项式相乘的运算方法。你认为了在运算中最需要注意哪些问题？ 【学生活动】思考后总结：第一，把多项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题，这是核心的转化思想。第二，计算时一定要按顺序，不要漏乘任何一项。第三，多项式每一项的系数都包含前面的符号，计算乘积时要注意符号处理。第四，最后结果应化成最简形式，即合并同类项。 【教师活动】总结板书四条方法注意事项： (1) 把多项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题。 (2) 计算时不要漏乘——按顺序，先用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项。 (3) 多项式每一项的系数都包含前面的符号——负负得正，正负得负。 (4) 最后结果应化成最简形式——展开后一定要检查是否有同类项需要合并。 判断技巧：检查多项式乘多项式计算是否正确，可以从三个方面入手：①检查项数——在合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式项数之积，如果项数不对，说明有漏乘；②检查符号——逐项验证每一次乘法的符号；③检查结果——结果是否已化成最简形式，是否还有同类项未合并。 【知识点】方法总结四条：①转化思想——多项式乘多项式转化为单项式乘单项式；②不要漏乘——按顺序逐项乘；③注意符号——系数包含前面的符号；④结果最简——合并同类项。 【设计意图】方法总结环节帮助学生从具体计算上升到方法层面，总结四条注意事项，涵盖转化思想、不漏乘、符号处理和结果最简四个方面，形成完整的运算方法体系。这四条注意事项是学生进行多项式乘多项式运算时必须遵守的基本规范。 【过渡语】我们已经学习了法则、总结了方法。接下来，让我们通过课堂练习来巩固今天所学的内容。 环节六：课堂练习（10分钟） 练习1：计算题 【教师活动】展示练习1两道计算题，请同学们独立完成，注意按顺序逐项相乘，结果化到最简。 1. 计算： (1) (2) (b)(a−3b) 【学生活动】完成第(1)题： = (a−1)(a−1)。先用a依次乘a和−1，得到和−a；再用−1依次乘a和−1，得到−a和+1。相加得：−a−−2。 【学生活动】完成第(2)题：(b)(a−3b)。先用a依次乘a和−3b，得到和−3；再用3b依次乘a和−3b，得到3和−9。相加得：−3−9，中间两项−3抵消，最终得：−9。 重点强调：练习1中两道题的结果非常特殊：−2是(a−1)的完全平方，−9是(b)与(a−3b)的平方差。这两个结果的形式非常简洁，实际上就是完全平方公式和平方差公式的雏形。在后续课程中，我们将专门学习这些乘法公式，它们可以大大简化特殊形式的多项式乘法运算。 练习2：含参数题 【教师活动】展示含参数题目：若()(−3)的展开式中不含和项，求m和n的值。请同学们思考：什么叫"不含和项"？如何解决这类问题？ 2. 若()(−3)的展开式中不含和项，求m，n的值。 【学生活动】分析思路："不含和项"意味着展开式中项的系数和项的系数都等于0。解题步骤：先展开多项式乘多项式，找到含的项和含的项，分别令它们的系数等于0，然后解方程组求出m和n。 【学生活动】计算过程：展开()(−3)，含的项是： + (−3n)· = (−3n)；含的项是：(−3)· = (n−3)。由题意，得−3，n−，解得，。 【知识点】含参数问题解法：先展开，确定指定项，令该项系数等于0，解方程求参数。本题中不含和项，得−3且n−，解得，。 练习3：选择题 【教师活动】展示选择题，请同学们快速作答。 3.计算(x−1)(−x+2) 的结果是( ) A. −x2+x−2 B. −x2+3x−2 C. −x2−x−2 D. −x2−3x−2 （答案：B） 【学生活动】认真审题，根据多项式乘多项式的法则，逐项分析，排除错误选项，最终选出正确答案B。 练习4：计算题 【教师活动】展示两道计算题，请同学们独立完成，注意规范书写。 4. 计算： (1) (2−1)(x−4) (2) ()(2x−5) 【学生活动】完成第(1)题：(2−1)(x−4)。先用2依次乘x和−4，得到2和−8；再用−1依次乘x和−4，得到−x和+4。相加得：2−8−。 【学生活动】完成第(2)题：()(2x−5)。先用依次乘2x和−5，得到2和−5；再用2x依次乘2x和−5，得到4和−10x；再用3依次乘2x和−5，得到6x和−15。相加得：2−5−10x−−−4x−15。 练习5：拼图题 【教师活动】展示拼图题：设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张。如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片。若要拼一个长为3、宽为2b的矩形，则需要C类纸片的张数为多少？ 5. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张。如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片。若要拼一个长为3、宽为2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【学生活动】分析拼图题：长为3、宽为2b的矩形，其面积为(3)(2b)。展开得：3。其中A类纸片（）需要6张，B类纸片（）需要2张，C类纸片（）需要8张。因此需要C类纸片的张数为8张，选C。 【学生活动】核对答案：展开后项的系数为8，即需要8张C类纸片。答案选C。 知识拓展：拼图问题将多项式乘多项式与几何图形的面积建立了紧密的联系。在(3)(2b)的展开结果6中，项的系数对应A类正方形纸片的张数，项的系数对应B类正方形纸片的张数，项的系数对应C类矩形纸片的张数。这种数形结合的方法，不仅可以帮助我们直观理解多项式乘法的几何意义，也为后续学习因式分解的几何解释提供了思路。 练习6：含参数题 【教师活动】展示含参数题：在()(2−3x−1)的积中，项的系数是−5，项的系数是−6，求a、b的值。请同学们按照之前总结的含参数问题的解法，独立完成。 6. 在()(2−3x−1)的积中，项的系数是−5，项的系数是−6，求a、b的值。 【学生活动】展开()(2−3x−1)，写出各项乘积后合并同类项： x⁴，·(−3x) = −3，·(−1) = − ，·(−3x) = −3，·(−1) = − ，b·(−3x) = −3，b·(−1) = −b 【学生活动】合并同类项：项的系数为−a，项的系数为−1−3b。由题意，得−a = −5，−1−3b = −6。解得a = −1，b = −4。 【知识点】含参数问题解法（综合）：先展开多项式乘多项式，分别找出含指定次数的项，合并同类项后提取系数，令系数等于给定值，解方程组求参数。本题中系数−a=−5得a=−1，系数−1−3b=−6得b=−4。 【设计意图】课堂练习设计了六种题型：计算题（含平方和平方差）、含参数题、选择题、多步计算题、拼图题、综合含参数题，全面覆盖了多项式乘多项式的各种应用。计算题训练基本运算技能，含参数题培养逆向思维，拼图题体现数形结合思想，综合含参数题提升分析能力，满足不同层次学生的学习需求。通过题型多样的练习，帮助学生巩固本节课的核心知识和方法。 【过渡语】同学们，我们已经完成了法则的学习、例题的讲解和课堂练习。现在让我们一起来回顾本节课的知识框架，进行课堂小结。 课堂知识框架 【教师活动】展示知识框架填空，请同学们独立完成填空，回顾本节课的核心知识，并梳理整式乘法体系。 一、填写知识框架： 法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用________________乘________________，再把________________相加。 联系：单项式与单项式相乘 → 单项式与多项式相乘 → 多项式与多项式相乘 【学生活动】完成填空：①一个多项式的每一项；②另一个多项式的每一项；③所得的积。 【学生活动】完整复述：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘可以通过整体思想和乘法分配律，转化为单项式与多项式相乘，再转化为单项式与单项式相乘。 整式乘法体系 【教师活动】引导同学们回顾整个整式乘法体系，梳理知识结构： 整式乘法包括三个层次： 第一层：单项式乘单项式——是整式乘法的基础，法则为系数相乘、同底数幂相乘（指数相加）、单独字母保留。 第二层：单项式乘多项式——利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式，法则为用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 第三层：多项式乘多项式——利用整体思想和乘法分配律，先转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，法则为先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【教师活动】总结：从单项式乘单项式到单项式乘多项式再到多项式乘多项式，整式乘法体系层层递进，每一个层次都建立在前面层次的基础之上，体现了"化未知为已知"的转化思想。无论多么复杂的整式乘法，最终都可以归结为单项式乘单项式来求解。 【知识点】整式乘法体系：单×单（基础）→ 单×多（分配律）→ 多×多（整体+分配律）。核心思想：化归——将复杂问题不断转化为简单问题。 【设计意图】通过知识框架填空和整式乘法体系梳理，帮助学生建立清晰完整的知识结构，理解各种乘法运算之间的内在联系和递进关系。填空形式突出法则中的关键信息，体系梳理帮助学生从整体上把握知识脉络，为后续学习乘法公式和因式分解奠定基础。 六、板书设计 课时3 多项式与多项式相乘一、情境导入绿地面积问题三种方法：()+b()S = ()()二、法则推导()()= a()+b() （整体思想）= （分配律）多×多 → 单×多 → 单×单三、法则归纳多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：①按顺序，不重不漏②积的项数 = 两多项式项数之积 四、例题精讲例3 计算：(1) ()(a−2)=−6(2) (3)()=3(3) (x−8y)(x−y)=−9(4) ()(−)=五、方法总结①转化：多×多→单×单②不要漏乘③注意符号④结果最简六、课堂练习(1) −2(2) (b)(a−3b)=−9(2−1)(x−4)=2−8−含参数题：, ; a=−1, b=−4七、整式乘法体系单×单 → 单×多 → 多×多 七、教学反思 1. 本节课通过绿地面积问题引入，让学生用三种不同的方法表示同一个面积，从几何直观上建立了三种等式的等价性。学生能够从三种方法中自然地发现()()=，进而利用整体思想和乘法分配律推导出这个等式。三种方法的对比分析，不仅帮助学生理解法则的合理性，也培养了学生从不同角度思考问题的能力。绿地面积问题结合几何图形，将代数运算与几何直观有机结合，体现了数形结合的思想。 2. 法则推导环节，整体思想的渗透是关键。学生需要理解将()看作一个整体这一步，这是从"多项式乘多项式"跨越到"单项式乘多项式"的关键。部分学生一开始难以理解"多项式怎么可以看作整体"，教学中通过"把()看作一个整体，就像我们之前把单项式m看作一个整体去乘多项式一样"的类比，帮助学生突破了这一认知障碍。推导过程清晰展示了"多×多→单×多→单×单"的转化链条，学生能够理解每一步的依据。 3. 法则归纳环节，学生通过小组讨论能够准确归纳出"先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加"的法则。两条注意事项（按顺序不重不漏、积的项数等于两个多项式项数之积）的强调，帮助学生建立了有序运算的习惯和检查漏乘的方法。在后续练习中，很多学生能够主动用项数来检查自己的计算结果，说明这一指导是有效的。 4. 例题精讲环节，例3的四道题涵盖了不同的题型：基本应用、含系数、负号较多、展开后中间项抵消。学生在第(3)题中容易在符号处理上出错，特别是(−8y)·(−y)=+8，通过板演和点评，学生认识到了负负得正的重要性。第(4)题的结果非常简洁，与立方和公式一致，为后续学习乘法公式埋下了伏笔。 5. 课堂练习环节，设计了六种题型，从计算题到含参数题，从选择题到拼图题，全面覆盖了多项式乘多项式的各种应用。拼图题（练习5）将多项式乘多项式与几何图形面积建立联系，学生通过展开(3)(2b)得到6，然后对应到纸片的张数，体现了数形结合的思想。含参数题（练习2和练习6）培养了学生的逆向思维和综合运用能力，学生能够理解"不含某项就是系数为0"这一关键思路。 6. 整体来看，本节课教学目标基本达成，学生能够理解多项式与多项式相乘的法则，能够运用法则进行正确计算。在符号处理和漏乘检查方面，学生通过练习有了明显的进步。但仍有部分学生在含参数问题上需要更多练习，建议在后续练习课中增加含参数问题的针对性训练。同时，本节课中渗透的整体思想和转化思想，不仅适用于多项式乘法，也适用于更广泛的数学学习，建议在后续教学中继续强化这些思想方法。另外，本节课中练习1的两道题和(b)(a−3b)的结果已经体现了完全平方公式和平方差公式的特殊形式，学生对这两个结果的简洁性感到惊喜，这为后续学习乘法公式提供了良好的认知基础。 学科网（北京）股份有限公司 $