16.2.5 整式的除法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.2.5  整式的除法 解析版  16.2.5　整式的除法 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　单项式除以单项式：系数相除，指数相减 2 　　题型 2　多项式除以单项式：每一项都要除 4 　　题型 3　由商反推：被除式、除式与字母指数 6 　　题型 4　化简求值：先算乘除，再合并，最后代值 9 　　题型 5　竖式长除法与商余式 12 　　题型 6　几何与生活情境：除一项式就是"求另一个因数" 17 　　题型 7　规律探究与阅读材料 20 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 22 　题型 1　　单项式除以单项式：系数相除，指数相减 知识梳理 把系数、同底数幂分别相除；只在被除式里出现的字母，连同指数一起落下来 法则　单项式相除，把系数与系数相除、同底数幂相除，所得结果作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如 ． 指数要对号入座　写成 就是把"相除"当成了"除以 "。口诀只有一句：相乘加、相除减，与上一节 正好互为逆运算。 系数是分数时取倒数　．除以一个分数等于乘它的倒数，这一步错在"直接除分子分母"上的最多。 带乘方先算乘方　再拿它当除式．除式是乘方时，一定先把乘方展开，否则指数相减无从谈起。 易错　①指数相减写成相除；　②系数相除时符号丢（负 ÷ 负得正）；　③只在被除式里有的字母被漏掉；　④除以分数没取倒数；　⑤除式带乘方却没先展开。 要点　系数相除、同底数幂相减、独有字母连指数落下；除式有乘方先展开。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查单项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握单项式除以单项式的法则． 运用同底数幂的除法法则进行计算． 解：单项式除以单项式，系数相除，同底数幂相除时底数不变、指数相减， ​ ​ ​ ​故选：C． 2．  四式判断 下列运算不正确的是 （  ） A．x B．(2y)÷(3x C．6bc÷(6c)=b D．=y 解：A． x，正确； B． (2y)÷(3x，正确； C． 6bc÷(6c)=b，正确； D． =故D错误．故选D． 3．  四式判断 下列运算中正确的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据单项式除法法则，系数相除，同底数幂相减；对于积的乘方，先计算乘方再除法，逐项计算判断． 本题考查了单项式除法的运算，积的乘方，熟练运用除法法则以及积的乘方是解题的关键． 解：A、 故选项不符合题意； B、故选项符合题意； C、故选项不符合题意； D、故选项不符合题意．故选：B． 4． 已知则m和n的值分别为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得进而得到求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ​ ​ 解得：故选：D． 5． 计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查了整式的除法以及科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据单项式除单项式法则计算即可； （2）利用科学记数法计算即可． （1）解： （2）解： ​ ​． 　题型 2　　多项式除以单项式：每一项都要除 知识梳理 ​——几项就出几个商 法则　多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．．原来三项，商就必须三项，这是自查漏项最快的办法。 除式是乘方时先算出来　先算 再逐项除得 ．直接把 拿去约是本题最常见的错。 符号跟着项走　除以负数时，每一项都要变号：．首项除完得 不是 也不能省。 判断类题的查法　遇到"下列运算正确的是"，不要从头算，先挑最像错的那一项验：漏项（ 只写 丢了 ）、指数减错、符号错，三类占了绝大多数。 易错　①只除第一项就写答案；　②常数项漏除（或商里的 被省略）；　③除以负数没变号；　④除式是 却没先算成 　⑤被除式缺项时误以为不用写。 要点　逐项除、项数不变、符号跟项、除式先算幂。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式后化简． 解： ​ ​故选C． 2．  四式判断 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：与不是同类项，无法合并，故A选项计算错误； ​故B选项计算错误； ​故C选项计算正确； ​故D选项计算错误． 3． 计算：      ． 解： ​ ​ ​． 4． 计算： （1）      ； （2）      ． 　思路分析　　本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可． 解：（1） ​ ​ 故答案为： （2） ​ ​．故答案为： 5． 计算： （1） （2）． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​． 6． 计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查了多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​． 　题型 3　　由商反推：被除式、除式与字母指数 知识梳理 被除式 商 除式；除式 被除式 商；指数靠"相减"对位 两个逆运算　由 得 ．所以"已知一个单项式与 的积是 求这个单项式"，就是 即 ．求被除式用乘、求除式用除，别弄反。 指数对位　对应位置列方程： 得 得 ．只在被除式里有的字母（这里是 ）不参与列式。 先算乘方再对位　左边除式 于是 得 即 ．系数单独列一个方程，三项一起对位最稳。 污损与方框题　笔记被钢笔水盖住、题目里出现 一类符号时，不要猜，直接用"商 除数 被除项"把缺的填回去，有几个方框就补几次。 易错　①求除式时误用乘法；　②指数方程列成"相加"；　③只在被除式里的字母也去列式；　④除式带乘方没先展开；　⑤方框题只补一处就交卷。 要点　求被除式用乘、求除式用除、指数对位相减、方框倒推补齐。 1． 如果一个单项式与的积为则这个单项式为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除单项式的计算法则进行求解是解决本题的关键．应用单项式除单项式计算法则进行计算即可得出答案． 解：根据题意可得， ​．故选：． 2．  两人写整式 科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是若小红写的整式是则小明应写的整式是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查多项式除以单项式的整式运算，根据除法各部分关系“除式=被除式÷商”，利用多项式除以单项式的法则计算即可 解：小明应写的整式为 ​ ​ ​答案选：B 3． 若单项式和的积为则的值为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先根据单项式的定义求出a、b的值，再根据同底数幂的除法化简所求式子，然后代入求解即可． 解：由题意得： 即 则 解得 则 将代入得：原式故选：D． 4． 若则括号内“”所表示的代数式为      ． 　思路分析　　根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 解∶ ​ ​． 5． 如果那么      ． 　思路分析　　先根据点 和点 是这个图形上的一对对称点，确定对称关系，再根据该对称关系求点 的对称点的坐标即可． 解： 点 和点 是这个图形上的一对对称点， ​ 点 与点 关于直线 对称， ​ 点 关于直线 的对称点为 故答案为：． 6．  先算乘方 如果则      ． 　思路分析　　本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 解： 化简得： 简化得： 两边除以2： ​ 解得：解得 ​故答案为：5． 7．  补括号 已知中的括号内应填入 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据单项式乘单项式法则先求出然后根据乘除法互为逆运算和单项式除以单项式法则计算即可． 解： ​ 则括号内应填入：．故选：． 8．  笔记被污损 某天数学课上，老师讲了整式的加减．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题： （）（）=其中两处横线地方的数字被钢笔水弄污了，那么这两处地方的数字之积应是      ． 　思路分析　　根据整式的运算法则即可求出答案． 解：设两处被钢笔水弄污的数字分别为a、b， ​（）（）= ​ ​+（3a）xy+2= ​3a=1，2 ​a=4，b=2， ​这两处地方的数字之积应是8，故答案为8． 　题型 4　　化简求值：先算乘除，再合并，最后代值 知识梳理 去括号算乘法 做除法 合并同类项 代值；值能约掉就别急着代 固定顺序　中括号里的先乘开、合并，再整体除以那个单项式，除完再代值．如 代入 得 ．先化简后代值，直接代会把数字算成一团。 条件是非负数之和为零　只能"各自为零"，于是 ．平方、绝对值都不小于 和为 就必各自为 ，这一步不写清楚要扣过程分。 除以分数取倒数　．符号与倒数一起处理，这类题最后往往能约成 这样的整式。 程序框图题　把流程图翻译成一串运算，一路化到最简再看结果：若化简后 的系数恰好抵光，就说"不变，总是某数"；先化简、后看结论，别一上来代特殊值。 易错　①不化简直接代值；　②非负数之和为零不会用；　③除以分数没取倒数（把 当 ）；　④去括号漏变号；　⑤程序题不化到最后就选答案。 要点　乘开 除净 合并 代值；非负数之和为零则各自为零。 1． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项，再除以单项式进行化简，最后把代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解： ​ ​ ​ ​ ​ 当时， 原式 ​ ​． 2． 化简，再求值：其中满足． 　思路分析　　先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，根据绝对值和平方的非负性求出代入计算即可． 解： ​ ​ ​ ​ ​ 原式． 3．  非负数之和为零 已知求的值． 　思路分析　　本题主要考查了非负数与代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握非负数的性质，多项式除以单项式法则，多项式相乘的法则． 根据条件结合非负数的性质求出a、b的值，而后化简原式，代入求值即可． 解： ​ 解得 ​ ​ ​ ​ ​当时， 原式． 4． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式去小括号，再合并同类项，再计算除法，最后代入计算求值即可． 解： ​ ​ ​ 当时，原式． 5．  手掌捂住 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，​ （1）求所捂的多项式； （2）若求所捂多项式的值． 　思路分析　　本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式： （1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把代入（1）所求结果中计算求解即可． （1）解： ​ ​所捂的多项式为 （2）解：当时， ​． 6．  先解方程再代值 已知且则式子的值为 （  ） A． B． C． D．2 　思路分析　　本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出再代入计算求值即可． 解： ​ ​ ​ ​故选：A． 7．  看错符号 小亮在计算（6）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是  （  ） A．2xy B．2+xy C．4 D．无法计算 　思路分析　　根据整式的除法法则分别计算正确结果和错误结果，再根据整式的乘法计算结果可得． 解：正确结果为： 原式=6y÷3xy3÷3xy =2xy， 错误结果为： 原式=6y÷3xy+3÷3xy =2+xy， ​（2xy）（2+xy）=4故选C． 8．  程序框图 已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果 （  ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 　思路分析　　按照程序逐步对式子进行运算，再判断结果是否随变化． 解：根据程序，先计算再除以最后减． 首先计算根据整式混合运算法则， 先算括号里的，所以括号里为：． 然后除以即：． 再减得到． 所以无论（为非零实数）取何值，结果都是不随的变化而变化．故选：B． 　题型 5　　竖式长除法与商余式 知识梳理 被除式 除式 商 余式；余式为 或次数低于除式 三步走　①被除式、除式都按同一字母降幂排列，缺项补 ②照整数竖式除法的样子一位一位地除；③余式次数低于除式次数时停．如 正对应 的竖式。 商余互逆是验算器　把"被除式 除式 商 余式"写出来展开，对照系数就能查出商或余式有没有错．这与 完全同构，有余数时千万不能把余式丢掉。 试根法的雏形　若把 代入整式 得 则 必有因式 也就意味着 能被 整除．于是可设 展开对位求 ——这就是后面因式分解一章的伏笔。 整除与因式的三条等价　多项式值为 多项式有因式 多项式能被 整除，这三件事说的是同一件事．材料题问"有什么联系"，答的就是这三句的互相推出。 易错　①没降幂排列就开竖式；　②缺项不补 位对错；　③余式忘了写；　④余式次数还高于除式就停手；　⑤把"能被整除"与"值为 "当成两件事。 要点　降幂补零 竖式 余式次数低于除式；被除式 除式 商 余式。 1．  竖式长除法 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数． 例：计算可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）计算： ． （2）计算商式是 ，余式是 ． （3）已知是一个整式，是常数，则的值是 ． 　思路分析　　本题主要考查了多项式除以多项式的计算方法、多项式的乘法运算以及多项式的系数比较． （1）多项式除法需按降幂排列被除式与除式， 缺项补零，用被除式最高次项除以除式最高次项得商的第一项乘以除式后从被除式中减去，得到第一次余式用第一次余式最高次项除以除式最高次项得商的第二项乘以除式后减去，余式为商式为两次项之和 （2）同样按照多项式除以多项式的计算方法，用被除式的最高次项除以除式的最高次项得到商的第一项用乘以除式得到将结果从被除式中减去，得到第一次余式接着用第一次余式的最高次项除以除式的最高次项得到商的第二项再用乘以除式从第一次余式中减去，得到第二次余式此时余式的次数低于除式的次数，所以商式是余式是 （3）且是一个整式，设为常数，把代入可得根据多项式相等的条件（对应项的系数相等）可得即可求得的值． （1）解：用竖式进行计算： 故答案为： （2）用竖式进行计算： 故商式是余式是 （3）且是一个整式， ​设为常数， 把代入 根据多项式乘法法则， ​ ​ ​ ​ 故的值是． 2．  长除法 + 试根法 材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算：因此，商式是余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若则当时，M的值为0；若则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式由得所以把代入整式得其值为0． 由此可以确定整式有因式于是可设．分别确定p、q的值，再代入就可以因式分解整式这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式除以整式商式是      ，余式是      ． （2）材料二中，      ，      ． （3）对于一元整式必定有当      ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解      ． 　思路分析　　本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式除以整式的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式有因式再利用长除法确定整式除以整式的商式，得到再利用十字相乘法因式分解即可得出答案． （1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是余式是0． 故答案为：0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是余式是0． 则 所以． 故答案为： （3）解：对于一元整式 由得 所以把代入整式得其值为0． 故答案为： （4）解：由（3）得，整式有因式 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是余式是0． 则 又因为 所以 故答案为：． 3．  整除与因式 阅读下列材料： ​（x+3）（x2）=+x6，（+x6）÷（x2）+3；这说明+x6能被x2整除，同时也说明多项式+x6有一个因式为x2；另外，当x=2时，多项式+x6的值为零． 回答下列问题： （1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式（x2）、多项式能被（x2）整除，这之间存在着一种什么样的联系？ （2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x时，M的值为0，那么M与代数式（xk）之间有何种关系？ （3）应用：利用上面的结果求解，已知x2能整除+kx14，求k． 　思路分析　　（1）根据题意和多项式有因式x-2，说明多项式能被x-2整除，当x=2时,多项式的值为0； （2）根据（1）得出的关系，能直接写出当 x = k 时，M 的值为0， M 与代数式 x-k 之间的关系； （3）根据上面得出的结论,当x=2时，+kx14=0，再求出 k 的值即可． 解：（1）多项式有因式x2，说明此多项式能被x2整除，另外，当x=2时，此多项式的值为零； （2）根据（1）得出的关系，得出M能被（xk）整除； （3）x2能整除+kx14， ​当x2=0时，+kx14=0， 当x=2时，+kx14=4+2k14=0， 解得：k=5． 　题型 6　　几何与生活情境：除一项式就是"求另一个因数" 知识梳理 面积 长 宽、总量 单价 数量——都是"积 一个因式" 面积型　长方形面积 长 宽就是 ．公式先写出来，再代式子，最后做除法，顺序别乱。 梯形的面积　把 代进去，先加后乘再乘 ，第二步"长比下底短多少"才是减法。 通道与环形　先由"长 两侧通道、宽 两侧通道"求出内部小长方形，再算面积；铺砖块数 通道面积 每块面积，除完记得看是不是整式（能整除才说明数据自洽）。 作业纠错型　给出五条运算让你数对的个数，逐条按法则验一遍并在草稿上标 或 ，别只看最后答案；这类题的正确率取决于"漏项"和"符号"两处。 易错　①面积公式记错、把""漏掉；　②单位带错（米、平方米）；　③通道宽度只减一侧；　④纠错题只算不标；　⑤答句不写单位或答非所问。 要点　先立公式、再代代数式、最后做除法；几何量的单位与答句一并写全。 1． 某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题根据“份数总花费单价”，用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 解：总花费为元，每份奖品的价格是元， ​购买的奖品的份数为： ​ ​ ​．故选：D． 2．  芯片布线 某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为．现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以则新的电路布线规律可以表示为      ． 　思路分析　　本题考查了整式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 将多项式除以单项式，逐项相除即可得到结果． 解： ​ ​．故答案为：． 3． 一个长方形的面积是长是则它的宽是      ． 　思路分析　　本题考查了多项式除以单项式的运算，掌握多项式除以单项式，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键． 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将多项式除以单项式求解． 解：宽 = = = ． 故答案为： ． 4．  窗框改造 如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为      ． 　思路分析　　先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案． 设新长方形的高度为x． 原面积为： 根据题意“新的长方形的面积保持不变”，得 ​． 故答案为：． 5．  梯形空地 某市有一块如图所示的梯形空地ABCD，梯形空地的上底BC长为米，下底AD长为米，高BE为米． （1）求这块空地的面积； （2）现计划对这块空地进行改造，修建一个长方形广场．若长方形广场的面积为平方米，它的宽为3x米，则长方形的长比梯形的下底短多少米？ 　思路分析　　（1）根据梯形的面积公式即可求解； （2）先求出长方形的长，与梯形的下底相减即可求解． 解：（1） ​平方米． 答：这块空地的面积是平方米． （2）长方形广场的面积为平方米，宽为3x米， ​长方形的长为米， ​米． 答：长方形的长比梯形的下底短米． 6．  喷泉池与地砖 如图，某新建高铁站广场前有一块长宽的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为的人行通道． （1）求喷泉池的占地面积（用含的代数式表示）． （2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？ 　思路分析　　本题考查了列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，理解题意，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据题意目中的数据和图形，结合长方形的面积公式列代数式，再根据多项式乘多项式法则展开即可； （2）根据（1）中的结果和题意，结合长方形的面积公式，即可求解． （1）解：喷泉的占地面积 ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​（块） 答：需要块这样的地砖． 7．  作业纠错 下面是某同学的作业题：①②③④⑤．其中正确的个数是 （  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 　思路分析　　本题考查整式的混合运算，根据合并同类项运算法则判断①，根据单项式乘单项式的运算法则判断②，根据单项式除以单项式的运算法则判断③，根据幂的乘方运算法则判断④，根据同底数幂的除法运算法则判断⑤． 解：①与不是同类项，不能合并计算，故①不符合题意； ②原计算正确，故②符合题意； ③原计算正确，故③符合题意； ④故④不符合题意； ⑤故⑤不符合题意； 正确的是②③，共2个．故选：A． 　题型 7　　规律探究与阅读材料 知识梳理 把规律先写成"乘除互逆"的乘法式，再推广成含 的式子 幂差除以幂差的规律　由 得再往下写就得到 ．商的项数比 少一，指数从 一路降到 。 用规律求等比和　要算 就把它看成 ．把一串和认成"某个幂差除以幂差"的商，是这类题的唯一入口。 密码表题　表里每个方括号都是一道除法，先把方括号里的式子化到最简单项式（如 ），再按"字母对应位、指数连写"读出数字．题目给的三个例子就是编码规则，照它对号即可。 对数材料　材料先给定义（）再示范一条性质的证明：设 化成指数式相乘，再取对数．要你证 就把"相乘"换成"相除"，结构一字不改地照抄。 易错　①商的项数写成 项；　②等比和没凑成 的形式；　③密码表不化简就直接读数；　④对数证明不设字母、直接"显然"；　⑤只写结论不写"因为…所以…"。 要点　先化成乘法（乘除互逆）再推广；材料题照结构仿写，过程分比答案重。 1．  密码表 人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是      ． | 数学问题与密码 / 密码M 　思路分析　　本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 解： ​．故答案为：2026 2．  幂差规律 观察下列各式： ​ ​ ​ ​ … ​． （1）根据上面各式的规律填空： ①      ； ②（n为正整数）=      ． （2）利用（1）的结论求的值． （3）若求的值． 　思路分析　　本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并能应用规律． （1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案； ②根据上面各式的规律，可直接得到答案； （2）根据（1）总结出的规律，可得： 据此即可求出算式的值； （3）根据（1）总结出的规律，可得：即可求解． （1）解：①根据上面各式的规律，可得： ​ ②根据上面各式的规律，可得： ​ 故答案为： （2）解： ​ ​ ​ 故答案为： （3）解： ​ ​ ​． A 组　基础题 必做｜直接套除法法则，一步到底 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题． 解：故选：D． 2． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据题意直接利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可得到结果． 解： ​ ​故选：D． 3． 计算：      ． 　思路分析　　根据单项式除以单项式运算法则，将系数与同底数幂分别相除即可求解． 解： ​ ​ ​． 4． 若一个长方形的面积为它的长为则它的宽为      ． 　思路分析　　本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除法是解题关键．用长方形的面积除以长计算即可． 解：若一个长方形的面积为它的长为 则它的宽为故答案为：． B 组　提升题 必做｜要绕一步：判断运算、反推字母指数 1．  四条判断 下列运算正确的是 （  ） ① ② ③ ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 　思路分析　　本题主要考查多项式除以单项式，本题要依照多项式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可． 解：①故①计算错误，不符合题意； ②故②计算错误，不符合题意； ③故③计算正确，符合题意； ④故④计算正确，符合题意． 所以，运算正确的是③④，故选：B 2． 已知则      ，      ． 　思路分析　　本题考查的是单项式的除法，根据单项式除以单项式进行计算，再建立方程求解即可． 解： ​ ​．故答案为： 3． 计算： （1） （2） （3）． 　思路分析　　本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘除法、多项式的乘法和多项式除以单项式等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）先计算单项式的乘法和积的乘方，再计算单项式的除法即可； （2）先计算积的乘方，然后按照从左到右的顺序进行乘除运算； （3）先计算多项式的乘法和多项式除以单项式，再计算整式的加减即可． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ （3）解： ​ ​ ​． 4． 一个矩形的面积是宽为a，则矩形的长为      ． 　思路分析　　本题考查了多项式除以单项式的应用，根据矩形的长=矩形的面积÷宽，进行列式计算，即可作答． 解：一个矩形的面积是宽为a， ​矩形的长故答案为：． C 组　拓展题 选做｜多问综合、竖式长除法与阅读材料 1． 计算： （1） （2） 　思路分析　　本题考查的是积的乘方运算，多项式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可； （1）解： ​ ​ （2） ​ ​． 2．  除数是分数 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　先去括号，然后合并同类项，最后将x，y值代入求解． 解： ​ ​ ​ 当时， 原式． 3．  竖式与整除 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算可用如图的竖式进行计算．因此商式是余式是1． ​ （1）计算商式是      ，余式是      ； （2）计算结果为      ； （3）已知M是一个整式，m是常数，求m的值． 　思路分析　　本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有据此可得答案． （1）解： ​商式是余式是 故答案为： （2）解： ​ （3）解：M是一个整式，m是常数， ​的余数为0， ​ ​ ​． 4．  纳皮尔对数 阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，15501617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（a0且），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=loN，比如指数式=16可以转化为对数式4=lo16，对数式2=lo9可以转化为指数式=9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： lo（M•N）=loN（），理由如下： 设loMloN则M=N= ​由对数的定义得m+n=lo（M•N）． 又m+n=loN， ​（M•N）=loN． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①lo32=　 　，②lo1=　 　； （2）求证：loN（）； （3）拓展运用：计算lo125+lo30． 　思路分析　　（1）直接根据定义计算即可； （2）设loMloN根据对数的定义可表示为M=N=计算参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式lo（M•N）=loN（）及（2）的结论进行计算即可． （1）① 故答案为：5； ② 故答案为：0； （2）设loMloN则M=N= ​由对数的定义得mn=lo 又mn=loN， ​N（）； （3）原式=lo（12÷30） =lo25 =2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2.5  整式的除法 学生版  16.2.5　整式的除法 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　单项式除以单项式：系数相除，指数相减 2 　　题型 2　多项式除以单项式：每一项都要除 3 　　题型 3　由商反推：被除式、除式与字母指数 4 　　题型 4　化简求值：先算乘除，再合并，最后代值 6 　　题型 5　竖式长除法与商余式 7 　　题型 6　几何与生活情境：除一项式就是"求另一个因数" 10 　　题型 7　规律探究与阅读材料 12 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 13 　题型 1　　单项式除以单项式：系数相除，指数相减 知识梳理 把系数、同底数幂分别相除；只在被除式里出现的字母，连同指数一起落下来 法则　单项式相除，把系数与系数相除、同底数幂相除，所得结果作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如 ． 指数要对号入座　写成 就是把"相除"当成了"除以 "。口诀只有一句：相乘加、相除减，与上一节 正好互为逆运算。 系数是分数时取倒数　．除以一个分数等于乘它的倒数，这一步错在"直接除分子分母"上的最多。 带乘方先算乘方　再拿它当除式．除式是乘方时，一定先把乘方展开，否则指数相减无从谈起。 易错　①指数相减写成相除；　②系数相除时符号丢（负 ÷ 负得正）；　③只在被除式里有的字母被漏掉；　④除以分数没取倒数；　⑤除式带乘方却没先展开。 要点　系数相除、同底数幂相减、独有字母连指数落下；除式有乘方先展开。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2．  四式判断 下列运算不正确的是 （  ） A．x B．(2y)÷(3x C．6bc÷(6c)=b D．=y 3．  四式判断 下列运算中正确的是  （  ） A． B． C． D． 4． 已知则m和n的值分别为 （  ） A． B． C． D． 5． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 2　　多项式除以单项式：每一项都要除 知识梳理 ​——几项就出几个商 法则　多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．．原来三项，商就必须三项，这是自查漏项最快的办法。 除式是乘方时先算出来　先算 再逐项除得 ．直接把 拿去约是本题最常见的错。 符号跟着项走　除以负数时，每一项都要变号：．首项除完得 不是 也不能省。 判断类题的查法　遇到"下列运算正确的是"，不要从头算，先挑最像错的那一项验：漏项（ 只写 丢了 ）、指数减错、符号错，三类占了绝大多数。 易错　①只除第一项就写答案；　②常数项漏除（或商里的 被省略）；　③除以负数没变号；　④除式是 却没先算成 　⑤被除式缺项时误以为不用写。 要点　逐项除、项数不变、符号跟项、除式先算幂。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2．  四式判断 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 3． 计算：      ． 　 4． 计算： （1）      ； （2）      ． 　 5． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 6． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 3　　由商反推：被除式、除式与字母指数 知识梳理 被除式 商 除式；除式 被除式 商；指数靠"相减"对位 两个逆运算　由 得 ．所以"已知一个单项式与 的积是 求这个单项式"，就是 即 ．求被除式用乘、求除式用除，别弄反。 指数对位　对应位置列方程： 得 得 ．只在被除式里有的字母（这里是 ）不参与列式。 先算乘方再对位　左边除式 于是 得 即 ．系数单独列一个方程，三项一起对位最稳。 污损与方框题　笔记被钢笔水盖住、题目里出现 一类符号时，不要猜，直接用"商 除数 被除项"把缺的填回去，有几个方框就补几次。 易错　①求除式时误用乘法；　②指数方程列成"相加"；　③只在被除式里的字母也去列式；　④除式带乘方没先展开；　⑤方框题只补一处就交卷。 要点　求被除式用乘、求除式用除、指数对位相减、方框倒推补齐。 1． 如果一个单项式与的积为则这个单项式为 （  ） A． B． C． D． 2．  两人写整式 科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是若小红写的整式是则小明应写的整式是 （  ） A． B． C． D． 3． 若单项式和的积为则的值为 （  ） A． B． C． D． 4． 若则括号内“”所表示的代数式为      ． 　 5． 如果那么      ． 　 6．  先算乘方 如果则      ． 　 7．  补括号 已知中的括号内应填入 （  ） A． B． C． D． 8．  笔记被污损 某天数学课上，老师讲了整式的加减．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题： （）（）=其中两处横线地方的数字被钢笔水弄污了，那么这两处地方的数字之积应是      ． 　 　题型 4　　化简求值：先算乘除，再合并，最后代值 知识梳理 去括号算乘法 做除法 合并同类项 代值；值能约掉就别急着代 固定顺序　中括号里的先乘开、合并，再整体除以那个单项式，除完再代值．如 代入 得 ．先化简后代值，直接代会把数字算成一团。 条件是非负数之和为零　只能"各自为零"，于是 ．平方、绝对值都不小于 和为 就必各自为 ，这一步不写清楚要扣过程分。 除以分数取倒数　．符号与倒数一起处理，这类题最后往往能约成 这样的整式。 程序框图题　把流程图翻译成一串运算，一路化到最简再看结果：若化简后 的系数恰好抵光，就说"不变，总是某数"；先化简、后看结论，别一上来代特殊值。 易错　①不化简直接代值；　②非负数之和为零不会用；　③除以分数没取倒数（把 当 ）；　④去括号漏变号；　⑤程序题不化到最后就选答案。 要点　乘开 除净 合并 代值；非负数之和为零则各自为零。 1． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 2． 化简，再求值：其中满足． 　 　 　 3．  非负数之和为零 已知求的值． 　 　 　 4． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 5．  手掌捂住 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，​ （1）求所捂的多项式； （2）若求所捂多项式的值． 　 　 　 　 　 6．  先解方程再代值 已知且则式子的值为 （  ） A． B． C． D．2 7．  看错符号 小亮在计算（6）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是  （  ） A．2xy B．2+xy C．4 D．无法计算 8．  程序框图 已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果 （  ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 　题型 5　　竖式长除法与商余式 知识梳理 被除式 除式 商 余式；余式为 或次数低于除式 三步走　①被除式、除式都按同一字母降幂排列，缺项补 ②照整数竖式除法的样子一位一位地除；③余式次数低于除式次数时停．如 正对应 的竖式。 商余互逆是验算器　把"被除式 除式 商 余式"写出来展开，对照系数就能查出商或余式有没有错．这与 完全同构，有余数时千万不能把余式丢掉。 试根法的雏形　若把 代入整式 得 则 必有因式 也就意味着 能被 整除．于是可设 展开对位求 ——这就是后面因式分解一章的伏笔。 整除与因式的三条等价　多项式值为 多项式有因式 多项式能被 整除，这三件事说的是同一件事．材料题问"有什么联系"，答的就是这三句的互相推出。 易错　①没降幂排列就开竖式；　②缺项不补 位对错；　③余式忘了写；　④余式次数还高于除式就停手；　⑤把"能被整除"与"值为 "当成两件事。 要点　降幂补零 竖式 余式次数低于除式；被除式 除式 商 余式。 1．  竖式长除法 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数． 例：计算可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）计算： ． （2）计算商式是 ，余式是 ． （3）已知是一个整式，是常数，则的值是 ． 　 　 　 　 　 　 　 2．  长除法 + 试根法 材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算：因此，商式是余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若则当时，M的值为0；若则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式由得所以把代入整式得其值为0． 由此可以确定整式有因式于是可设．分别确定p、q的值，再代入就可以因式分解整式这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式除以整式商式是      ，余式是      ． （2）材料二中，      ，      ． （3）对于一元整式必定有当      ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解      ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3．  整除与因式 阅读下列材料： ​（x+3）（x2）=+x6，（+x6）÷（x2）+3；这说明+x6能被x2整除，同时也说明多项式+x6有一个因式为x2；另外，当x=2时，多项式+x6的值为零． 回答下列问题： （1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式（x2）、多项式能被（x2）整除，这之间存在着一种什么样的联系？ （2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x时，M的值为0，那么M与代数式（xk）之间有何种关系？ （3）应用：利用上面的结果求解，已知x2能整除+kx14，求k． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 6　　几何与生活情境：除一项式就是"求另一个因数" 知识梳理 面积 长 宽、总量 单价 数量——都是"积 一个因式" 面积型　长方形面积 长 宽就是 ．公式先写出来，再代式子，最后做除法，顺序别乱。 梯形的面积　把 代进去，先加后乘再乘 ，第二步"长比下底短多少"才是减法。 通道与环形　先由"长 两侧通道、宽 两侧通道"求出内部小长方形，再算面积；铺砖块数 通道面积 每块面积，除完记得看是不是整式（能整除才说明数据自洽）。 作业纠错型　给出五条运算让你数对的个数，逐条按法则验一遍并在草稿上标 或 ，别只看最后答案；这类题的正确率取决于"漏项"和"符号"两处。 易错　①面积公式记错、把""漏掉；　②单位带错（米、平方米）；　③通道宽度只减一侧；　④纠错题只算不标；　⑤答句不写单位或答非所问。 要点　先立公式、再代代数式、最后做除法；几何量的单位与答句一并写全。 1． 某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是 （  ） A． B． C． D． 2．  芯片布线 某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为．现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以则新的电路布线规律可以表示为      ． 　 3． 一个长方形的面积是长是则它的宽是      ． 　 4．  窗框改造 如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为      ． 　 5．  梯形空地 某市有一块如图所示的梯形空地ABCD，梯形空地的上底BC长为米，下底AD长为米，高BE为米． （1）求这块空地的面积； （2）现计划对这块空地进行改造，修建一个长方形广场．若长方形广场的面积为平方米，它的宽为3x米，则长方形的长比梯形的下底短多少米？ 　 　 　 　 　 6．  喷泉池与地砖 如图，某新建高铁站广场前有一块长宽的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为的人行通道． （1）求喷泉池的占地面积（用含的代数式表示）． （2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？ 　 　 　 　 　 7．  作业纠错 下面是某同学的作业题：①②③④⑤．其中正确的个数是 （  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 　题型 7　　规律探究与阅读材料 知识梳理 把规律先写成"乘除互逆"的乘法式，再推广成含 的式子 幂差除以幂差的规律　由 得再往下写就得到 ．商的项数比 少一，指数从 一路降到 。 用规律求等比和　要算 就把它看成 ．把一串和认成"某个幂差除以幂差"的商，是这类题的唯一入口。 密码表题　表里每个方括号都是一道除法，先把方括号里的式子化到最简单项式（如 ），再按"字母对应位、指数连写"读出数字．题目给的三个例子就是编码规则，照它对号即可。 对数材料　材料先给定义（）再示范一条性质的证明：设 化成指数式相乘，再取对数．要你证 就把"相乘"换成"相除"，结构一字不改地照抄。 易错　①商的项数写成 项；　②等比和没凑成 的形式；　③密码表不化简就直接读数；　④对数证明不设字母、直接"显然"；　⑤只写结论不写"因为…所以…"。 要点　先化成乘法（乘除互逆）再推广；材料题照结构仿写，过程分比答案重。 1．  密码表 人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是      ． | 数学问题与密码 / 密码M 　 2．  幂差规律 观察下列各式： ​ ​ ​ ​ … ​． （1）根据上面各式的规律填空： ①      ； ②（n为正整数）=      ． （2）利用（1）的结论求的值． （3）若求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜直接套除法法则，一步到底 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 计算：      ． 　 4． 若一个长方形的面积为它的长为则它的宽为      ． 　 B 组　提升题 必做｜要绕一步：判断运算、反推字母指数 1．  四条判断 下列运算正确的是 （  ） ① ② ③ ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 2． 已知则      ，      ． 　 3． 计算： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 4． 一个矩形的面积是宽为a，则矩形的长为      ． 　 C 组　拓展题 选做｜多问综合、竖式长除法与阅读材料 1． 计算： （1） （2） 　 　 　 　 　 2．  除数是分数 先化简，再求值：其中． 　 　 　 3．  竖式与整除 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算可用如图的竖式进行计算．因此商式是余式是1． ​ （1）计算商式是      ，余式是      ； （2）计算结果为      ； （3）已知M是一个整式，m是常数，求m的值． 　 　 　 　 　 　 　 4．  纳皮尔对数 阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，15501617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（a0且），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=loN，比如指数式=16可以转化为对数式4=lo16，对数式2=lo9可以转化为指数式=9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： lo（M•N）=loN（），理由如下： 设loMloN则M=N= ​由对数的定义得m+n=lo（M•N）． 又m+n=loN， ​（M•N）=loN． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①lo32=　 　，②lo1=　 　； （2）求证：loN（）； （3）拓展运用：计算lo125+lo30． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $