16.2.1 单项式乘单项式 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.2.1  单项式乘单项式 解析版  16.2.1　单项式乘单项式 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘 2 　　题型 2　含乘方的混合：先算乘方，再算乘法 3 　　题型 3　由积定指数：含参数的对位 4 　　题型 4　单项式乘多项式：分配律，一项都不落 6 　　题型 5　几何与情境：面积、体积、行程 8 　　题型 6　先化简再求值：把式子化到最简 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 11 　题型 1　　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘 知识梳理 把式子拆成"数"与"字母"两笔账，各算各的，最后拼起来 法则　单项式乘单项式，把系数相乘的积作系数，同底数幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式：． 两笔账分开算　系数是数字，用乘法；字母部分按同底数幂的法则加指数。最容易错的是"系数乘了、指数也乘了"：不是 ．系数 指数 两种运算同时出现在一行里，必须分清。 出现三个以上因式照样做　．先定符号（数负因式的个数），再把系数乘起来，最后处理字母，三步不乱。 积里只有一个字母时的指数　只出现一次的字母，指数就是 别漏写也别写成 ．—— 的指数仍是 不能丢。 易错　①系数漏乘：不是 或 　②指数相乘：（不是 ）；　③漏字母： 不能丢；　④符号：偶数个负号为正。 要点　系数相乘、同底数幂相加、其余字母照抄；先定符号，再算数，最后理字母。 1． 计算： （  ） A． B． C． D． 解： ． 2． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 解：原式． 3． 化简：      ． 　思路分析　　先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 解： ​ ​ ​． 4． 计算的结果是      ． 解：． 5． 计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 　思路分析　　此题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是关键． 根据单项式的运算法则逐题计算即可． （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 　题型 2　　含乘方的混合：先算乘方，再算乘法 知识梳理 先乘方、再相乘——括号里带指数的，指数属于整个括号 运算顺序　有乘方先算乘方，再算乘法。．先把 算成 （系数平方、指数乘 ），再与前面的 相乘，顺序一颠倒就错。 负数的偶次方要变正　．先定符号、再算绝对值，别一边算一边忘了负号。 两级乘方叠在一起　．字母指数也是指数，照样要乘 再相加，含参题的最后一步往往是"指数对位"（见题型 3）。 同类项合并别忘　．两项都是 才能合并——先化简成最简形式，再判断是否同类项。 易错　①先乘后乘方（顺序反了）；　② 写成 （偶次方为正）；　③只给字母乘方、漏了系数：　④合并时系数算错： 要点　乘方 → 乘法 → 合并同类项；括号外的指数管括号里的每一个因式。 1． 计算结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式和合并同类项法则计算得出答案． 解： ​ ​ ​．故选：C． 2． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，先计算积的乘方和幂的乘方，再运用同底数幂的乘法计算即可． 解：原式 ​故选：C． 3． 计算：      ． 　思路分析　　本题主要考查了幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据幂的乘方与积的乘方运算法则化简各项，再根据同底数幂的乘法法则进行计算． 解： ​ ​ ​ ​故答案为：． 4． 计算： 　思路分析　　本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 解： ​ ​ ​． 　题型 3　　由积定指数：含参数的对位 知识梳理 两边化成同底幂后，逐个字母比指数，列方程 思路　已知积的结果，求里面的参数，就把左边乘开、写成最简形式，再与右边逐项对位：字母相同才能比指数，常数项单独比。 例　若 左边 于是 得 所以 ．先把要求的式子算出来再收尾，别求出 就停笔。 系数也参与对位　左边系数 所以 指数 （对得上）、于是 ．系数与指数是两套方程，缺一不可。 "不含某一项"的处理　 展开后含 的项是 令其系数为 得 ．"不含" = 该项系数为 ，这是整章反复出现的条件。 易错　①只对一个字母列方程，漏掉另一个；　②系数方程忘了（ 直接跳过）；　③"不含某项"写成"该项不存在"就不管了，没列系数为 　④求出参数后忘了代回要求的式子。 要点　乘开 → 最简 → 系数与指数分别对位 → 解方程 → 代回所求。 1． 若则 （  ） A．8 B．9 C．10 D．12 　思路分析　　先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 解：【解析】 ​故选D． 2． 计算的结果为则的值是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先化简结合题意可得然后求出的值即可． 解： ​ ​ ​ ​的结果为 ​ ​ ​ ​的值是． 3． 若则      ． 　思路分析　　本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得由可求出的值，再代入计算即可． 解： ​ ​ ​ 解得 ​故答案为：． 4． 若 则求的值． 　思路分析　　本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到据此可得解之即可得到答案． 解： ​ ​ ​ ​． 　题型 4　　单项式乘多项式：分配律，一项都不落 知识梳理 用单项式去乘括号里的每一项，再把积相加 法则　．"每一项"包括常数项与带负号的项：． 符号跟着项走　．最后那个 乘出来是 ，负负得正，最容易漏。做完可以回代一个简单的数检验（如 ）。 "补全式"题　就对照分配律的第三项：所以 ．这类题考的是"有没有乘全"。 化简求值先化简　再把 代入得 ．不化简直接代，数字会越算越大。 整体思想　已知 求 展开得 ．先展开、再找整体，很多题的答案就在"把已知整体代进去"这一步。 易错　①漏乘常数项（括号里最后那个 ）；　②符号错：不是 　③只乘第一项就停笔；　④化简求值时先代后算，计算量爆炸且易错。 要点　括号里每一项都要乘，符号跟项走；求值题一律"先化简、再代入"。 1． 化简的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 解：故选：B． 2．  补全被污损的项 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写 （  ） A． B． C． D．1 　思路分析　　先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 解：左边 右边 ​内应填故选：A． 3． 当时，      ． 　思路分析　　本题考查了单项式乘多项式，代数式求值．先将代数式展开并合并同类项，得到简化形式后，再代入数值进行计算． 解：原式 ​ ​ ​ 当时， 原式．故答案为：． 4． 计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查整式的乘法运算，难度不大，关键是在熟悉运算法则的基础上仔细运算． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，即单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则分别展开两个单项式与多项式相乘的部分，再去括号、合并同类项； （1）解：原式 （2）原式 ​． 　题型 5　　几何与情境：面积、体积、行程 知识梳理 把长宽高写成单项式，面积体积就是单项式相乘 长方体体积 = 长 × 宽 × 高，三个单项式相乘：长、宽、高分别是 时，体积 ．别忘了单位，题干给的是 cm 就写 ． 剪角折盒　边长 的正方形四角各剪去边长 的小正方形，折成无盖盒子：底面边长 高 容积 ．先算底面边长，再算容积，别把 直接平方。 光年类　距离 速度 时间（米）．系数相乘、 的指数相加，最后化成科学记数法的标准形式。 阴影面积 = 大减小　把大长方形与空白部分都用含字母的式子表示，再作差；面积的单位是平方单位，写答案时把"平方米"或 带上。 易错　①体积公式漏乘一个因式；　②剪角后底面边长算成 （四角各剪一个，每边要减两个）；　③科学记数法指数算错（）；　④面积单位写成一次方。 要点　先按公式列式，再按法则乘开；单位与系数一起核对。 1． 一个长方体的长、宽、高分别是则它的体积是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式的乘法，解题的关键是熟练掌握单项式的乘法法则．根据长方体的体积公式，即可解答． 解：长方体的体积为．故选：D． 2．  剪角折盒 在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查单项式的乘法和积的乘方，根据容积的公式为底面积乘以高即可计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：纸盒的底面积为, 高为 故容积为故选A 3． 现欲将一个长为3ab dm，宽为高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为      dm． 　思路分析　　本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 解：长方体的体积为 ​ ​则该正方体水池的棱长为．故答案为：． 4．  阴影周长 观察图，回答下列问题： （1）用含的代数式表示边的长度 ； （2）用含的代数式，表示阴影部分的周长是 ； （3）用含的代数式，表示阴影部分的面积是 ； （4）当时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 　思路分析　　（1）结合图形知，阴影部分是长为宽为的大长方形截去一个长为宽为的小长方形后的剩余部分，根据线段的和差可得 （2）将阴影部分的逐个边相加即可得出阴影部分的周长； （3）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出阴影部分的面积； （4）将代入第（2）、（3）题的表达式进行计算即可． （1）解：结合图形知，阴影部分是长为宽为的大长方形截去一个长为宽为的小长方形后的剩余部分， ​ 即边的长度为 故答案为： （2）解：上下各两条边（包括阴影部分里面的两条边）： 左右两侧边： ​阴影部分的周长是： 故答案为： （3）解：大长方形的面积是： 小长方形的面积是： ​阴影部分的面积是： 故答案为： （4）解：当时， 阴影部分的周长是： 阴影部分的面积是：故答案为：． 　题型 6　　先化简再求值：把式子化到最简 知识梳理 去括号 → 合并同类项 → 代值，三步走完再动笔算数 标准流程　先去括号（分配律），再合并同类项，得到最简形式后再代入数值。最简形式的项数通常只剩一两项，这时代值几乎不用算。 例　代入 得 ．三次项恰好抵消——这类设计就是为了让你先化简。 整体代入　已知 求 先把每个幂都凑到 上：所以原式 ．凑到已知、再相乘，不要试图求出 ． "同类项"条件的用法　 与 的积与 是同类项，就把积算出来 与 比指数：解出 ．"同类项"等价于"字母与指数完全相同"。 易错　①去括号时符号错（减号后面整体变号）；　②没化简就代值，算错率高；　③整体代入时把 算成 之外的值；　④同类项只看字母不看指数。 要点　去括号 → 合并 → 代值；已知幂的值时一律"拆到已知、整体代入"。 1． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 解： ​ ​ 当时，原式． 2． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　本题考查了整式的化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 解：原式 ​ 当时， 原式． 3．  两问逆用 已知． （1）求的值． （2）若求的值． （1）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）解： ​． ​ ​． 4．  整体思想 “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知则的值为      ． 　思路分析　　原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值． 解：m+n=-2，mn=-4， ​原式=2mn-6m-6n+3mn =5mn-6（m+n） =-20+12 =-8．故答案为：-8． A 组　基础题 必做｜按法则直接相乘，系数与指数各算各的，一步到底 1． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查整式的幂运算与乘法计算，先利用积的乘方法则化简第一项，再按照单项式乘单项式法则计算即可得到结果． 解： ​ ​ 2． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 解：． 3． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式乘以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以单项式运算法则即可求解． 解：故选：B． 4． ​      ． 解：． 5． 计算的结果为      ． 解： ​ ​ ​． 6． ​      ． 解：． 7． 计算：      ． 　思路分析　　根据积的乘方的运算法则解题． 解：原式． 8． 计算2·(-2xy)的结果是      ． 解：分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；单项式的乘法法则，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 详解：2•（-2xy）（-xy） =2•（-2xy）（-） =2（-2）（-） =． 点睛：本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法、积的乘方、单项式的乘法等．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 9． 计算： （1） （2） （3） 　思路分析　　本题考查了单项式乘以单项式运算，幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则． （1）利用积的乘方运算法则计算； （2）利用幂的、积的乘方运算法则计算； （3）利用幂的、积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算． （1）解： （2）解： （3）解：． 10． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　本题主要考查了单项式乘单项式运算法则，积的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方运算法则，进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ​ ​． 11． 计算： （1） （2） （3）； （4）． 　思路分析　　本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． （1）解： ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ （3）解： ​ ​ （4）解： ​ ​． B 组　提升题 必做｜含参数的指数对位、乘方与乘法混合、"不含某项"、化简求值 1． 设则的值为 （  ） A． B． C．1 D． 　思路分析　　本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 解： ​解得： ​．故选：A． 2． 下面运算中正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　分别利用同底数幂乘法、合并同类项、单项式乘法、积的乘方法则计算各选项，即可判断出正确结果． 解：A、故选项不符合题意； B、故选项不符合题意； C、计算正确，故选项符合题意； D、故选项不符合题意． 3． 若则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 解： ​ 解得 ​故选：． 4． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：选项A，故A错误； 选项B，与不是同类项，无法合并，故B错误； 选项C，运算正确； 选项D，故D错误． 5． 如果与相乘的结果是那么m和n的值分别是 （  ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 　思路分析　　本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出的值． 解：由题意可知： ​ ​ ​故选：C 6． 下列运算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查整式的计算，其中包括去括号、合并同类项、幂的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则逐项判断即可． 解：A、故此选项不符合题意； B、故此选项不符合题意； C、故此选项不符合题意； D、故此选项符合题意；故选：D． 7． 一个长方体的长、宽、高分别是和则它的体积等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 解：依题意，长方体的体积为 ​ ​． 故项：D． 8． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 解： ​ ​故选：C． 9． 计算的结果中，含的项的系数为 （  ） A． B．1 C．5 D． 　思路分析　　本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算即可得． 解： ​ ​ 则计算的结果中，含的项的系数为故选：A． 10． 若则      ． 　思路分析　　此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 解：原式= 当 和 时， 原式．故答案为：． 11． 计算：       解：原式． 12． 已知那么的值是      ． 　思路分析　　本题考查单项式乘以多项式，代数式求值，将化简，再将整体代入计算即可． 解： ​ ​ ​ ​ 则原式．故答案为：． 13． 若一个三角形的底边为底边上的高为则面积为      ． 　思路分析　　本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 解：一个三角形的底边为底边上的高为 ​该三角形的面积为 ​ ​ ​ ​． 故答案为：． 14． 计算 （1） （2）已知求的值． 　思路分析　　本题主要考查了整式混合运算，整式化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法，积的乘方运算法则，进行计算即可； （2）先根据幂的乘方和单项式乘单项式运算法则进行化简，然后逆用幂的乘方和积的乘方运算法则，进行变形，最后代入数据求值即可． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 15．  同类项条件 已知与的积与是同类项． （1）求的值， （2）先化简，再求值：． 　思路分析　　本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出再由同类项的定义得到解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． （1）解： ​与的积与是同类项， ​与是同类项， ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ 当时，原式． 16． 计算：． 　思路分析　　此题考查了单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 解： ​ ​ 17． 计算： （1） （2） （3）． 　思路分析　　本题考查幂的运算，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （3）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项． （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式． 18． 已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 　思路分析　　本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到求解即可． 解：． ​计算结果不含x的三次项， ​ 解得． 19． 计算：． 　思路分析　　本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 解：原式 ​． 20． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　根据多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则，进行化简，再代入求值，即可． 解：原式 ​ 当时， 原式 ​． C 组　拓展题 选做｜行列式、阴影面积、科学记数法、规律探究与情境建模 1． 计算的结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：． 2． 如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为下面是长方形，宽为长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为      ．（结果保留） 　思路分析　　先根据点 和点 是这个图形上的一对对称点，确定对称关系，再根据该对称关系求点 的对称点的坐标即可． 解： 点 和点 是这个图形上的一对对称点， ​ 点 与点 关于直线 对称， ​ 点 关于直线 的对称点为 故答案为：． 3．  二阶行列式 形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算      ． 　思路分析　　本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可； 解：根据题意可得： ​故答案为：． 4． 如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为      ． 　思路分析　　本题考查列代数式及整式加减运算的应用，用代数式表示出大长方形和两个小长方形的面积，则阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积． 解：观察图形可知：大长方形的长宽 上面小长方形的长宽 下面小长方形的长宽 因此大长方形的面积为： 上面小长方形的面积为 下面小长方形的面积为 故阴影部分的面积为．故答案为：． 5． 光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为      米． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法其中的形式表示即可． 解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 6．  扩大 3 倍 （）一条线段的长为若将它的长扩大到原来的倍，则线段的长变为多少？ （）一个正方形的边长为若将它的边长扩大到原来的倍，则正方形的面积变为多少？ （）一个正方体的棱长为若将它的棱长扩大到原来的倍，则正方体的体积变为多少？ 　思路分析　　本题考查了列代数式，单项式乘单项式等知识点，理解题意是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意表示出正方形的边长，进而即可求解； （）根据题意表示出正方体的棱长，进而即可求解； 解：（）由题意可得，线段的长变为 （）由题意可得，正方形的边长变为 ​正方形的面积变为 （）由题意得，正方体的棱长变为 ​正方体的体积变为． 7． 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形土地，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积． 　思路分析　　本题考查了多项式乘法与图形面积，代数式求值，数形结合是解题的关键． 根据大长方形的面积减去中间正方形的面积表示出绿化面积，再将代入化简结果进行计算即可求解． 解：绿化面积为：． 当时，绿化面积为：（平方米）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2.1  单项式乘单项式 学生版  16.2.1　单项式乘单项式 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘 2 　　题型 2　含乘方的混合：先算乘方，再算乘法 3 　　题型 3　由积定指数：含参数的对位 4 　　题型 4　单项式乘多项式：分配律，一项都不落 5 　　题型 5　几何与情境：面积、体积、行程 6 　　题型 6　先化简再求值：把式子化到最简 7 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 8 　题型 1　　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘 知识梳理 把式子拆成"数"与"字母"两笔账，各算各的，最后拼起来 法则　单项式乘单项式，把系数相乘的积作系数，同底数幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式：． 两笔账分开算　系数是数字，用乘法；字母部分按同底数幂的法则加指数。最容易错的是"系数乘了、指数也乘了"：不是 ．系数 指数 两种运算同时出现在一行里，必须分清。 出现三个以上因式照样做　．先定符号（数负因式的个数），再把系数乘起来，最后处理字母，三步不乱。 积里只有一个字母时的指数　只出现一次的字母，指数就是 别漏写也别写成 ．—— 的指数仍是 不能丢。 易错　①系数漏乘：不是 或 　②指数相乘：（不是 ）；　③漏字母： 不能丢；　④符号：偶数个负号为正。 要点　系数相乘、同底数幂相加、其余字母照抄；先定符号，再算数，最后理字母。 1． 计算： （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 化简：      ． 　 4． 计算的结果是      ． 　 5． 计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　含乘方的混合：先算乘方，再算乘法 知识梳理 先乘方、再相乘——括号里带指数的，指数属于整个括号 运算顺序　有乘方先算乘方，再算乘法。．先把 算成 （系数平方、指数乘 ），再与前面的 相乘，顺序一颠倒就错。 负数的偶次方要变正　．先定符号、再算绝对值，别一边算一边忘了负号。 两级乘方叠在一起　．字母指数也是指数，照样要乘 再相加，含参题的最后一步往往是"指数对位"（见题型 3）。 同类项合并别忘　．两项都是 才能合并——先化简成最简形式，再判断是否同类项。 易错　①先乘后乘方（顺序反了）；　② 写成 （偶次方为正）；　③只给字母乘方、漏了系数：　④合并时系数算错： 要点　乘方 → 乘法 → 合并同类项；括号外的指数管括号里的每一个因式。 1． 计算结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 计算：      ． 　 4． 计算： 　 　 　 　题型 3　　由积定指数：含参数的对位 知识梳理 两边化成同底幂后，逐个字母比指数，列方程 思路　已知积的结果，求里面的参数，就把左边乘开、写成最简形式，再与右边逐项对位：字母相同才能比指数，常数项单独比。 例　若 左边 于是 得 所以 ．先把要求的式子算出来再收尾，别求出 就停笔。 系数也参与对位　左边系数 所以 指数 （对得上）、于是 ．系数与指数是两套方程，缺一不可。 "不含某一项"的处理　 展开后含 的项是 令其系数为 得 ．"不含" = 该项系数为 ，这是整章反复出现的条件。 易错　①只对一个字母列方程，漏掉另一个；　②系数方程忘了（ 直接跳过）；　③"不含某项"写成"该项不存在"就不管了，没列系数为 　④求出参数后忘了代回要求的式子。 要点　乘开 → 最简 → 系数与指数分别对位 → 解方程 → 代回所求。 1． 若则 （  ） A．8 B．9 C．10 D．12 2． 计算的结果为则的值是 （  ） A． B． C． D． 3． 若则      ． 　 4． 若 则求的值． 　 　 　 　题型 4　　单项式乘多项式：分配律，一项都不落 知识梳理 用单项式去乘括号里的每一项，再把积相加 法则　．"每一项"包括常数项与带负号的项：． 符号跟着项走　．最后那个 乘出来是 ，负负得正，最容易漏。做完可以回代一个简单的数检验（如 ）。 "补全式"题　就对照分配律的第三项：所以 ．这类题考的是"有没有乘全"。 化简求值先化简　再把 代入得 ．不化简直接代，数字会越算越大。 整体思想　已知 求 展开得 ．先展开、再找整体，很多题的答案就在"把已知整体代进去"这一步。 易错　①漏乘常数项（括号里最后那个 ）；　②符号错：不是 　③只乘第一项就停笔；　④化简求值时先代后算，计算量爆炸且易错。 要点　括号里每一项都要乘，符号跟项走；求值题一律"先化简、再代入"。 1． 化简的结果是 （  ） A． B． C． D． 2．  补全被污损的项 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写 （  ） A． B． C． D．1 3． 当时，      ． 　 4． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 5　　几何与情境：面积、体积、行程 知识梳理 把长宽高写成单项式，面积体积就是单项式相乘 长方体体积 = 长 × 宽 × 高，三个单项式相乘：长、宽、高分别是 时，体积 ．别忘了单位，题干给的是 cm 就写 ． 剪角折盒　边长 的正方形四角各剪去边长 的小正方形，折成无盖盒子：底面边长 高 容积 ．先算底面边长，再算容积，别把 直接平方。 光年类　距离 速度 时间（米）．系数相乘、 的指数相加，最后化成科学记数法的标准形式。 阴影面积 = 大减小　把大长方形与空白部分都用含字母的式子表示，再作差；面积的单位是平方单位，写答案时把"平方米"或 带上。 易错　①体积公式漏乘一个因式；　②剪角后底面边长算成 （四角各剪一个，每边要减两个）；　③科学记数法指数算错（）；　④面积单位写成一次方。 要点　先按公式列式，再按法则乘开；单位与系数一起核对。 1． 一个长方体的长、宽、高分别是则它的体积是 （  ） A． B． C． D． 2．  剪角折盒 在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为 （  ） A． B． C． D． 3． 现欲将一个长为3ab dm，宽为高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为      dm． 　 4．  阴影周长 观察图，回答下列问题： （1）用含的代数式表示边的长度 ； （2）用含的代数式，表示阴影部分的周长是 ； （3）用含的代数式，表示阴影部分的面积是 ； （4）当时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 6　　先化简再求值：把式子化到最简 知识梳理 去括号 → 合并同类项 → 代值，三步走完再动笔算数 标准流程　先去括号（分配律），再合并同类项，得到最简形式后再代入数值。最简形式的项数通常只剩一两项，这时代值几乎不用算。 例　代入 得 ．三次项恰好抵消——这类设计就是为了让你先化简。 整体代入　已知 求 先把每个幂都凑到 上：所以原式 ．凑到已知、再相乘，不要试图求出 ． "同类项"条件的用法　 与 的积与 是同类项，就把积算出来 与 比指数：解出 ．"同类项"等价于"字母与指数完全相同"。 易错　①去括号时符号错（减号后面整体变号）；　②没化简就代值，算错率高；　③整体代入时把 算成 之外的值；　④同类项只看字母不看指数。 要点　去括号 → 合并 → 代值；已知幂的值时一律"拆到已知、整体代入"。 1． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 2． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 3．  两问逆用 已知． （1）求的值． （2）若求的值． 　 　 　 　 　 4．  整体思想 “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知则的值为      ． 　 A 组　基础题 必做｜按法则直接相乘，系数与指数各算各的，一步到底 1． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 3． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 4． ​      ． 　 5． 计算的结果为      ． 　 6． ​      ． 　 7． 计算：      ． 　 8． 计算2·(-2xy)的结果是      ． 　 9． 计算： （1） （2） （3） 　 　 　 　 　 　 　 10． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 11． 计算： （1） （2） （3）； （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜含参数的指数对位、乘方与乘法混合、"不含某项"、化简求值 1． 设则的值为 （  ） A． B． C．1 D． 2． 下面运算中正确的是 （  ） A． B． C． D． 3． 若则 （  ） A． B． C． D． 4． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 5． 如果与相乘的结果是那么m和n的值分别是 （  ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 6． 下列运算正确的是 （  ） A． B． C． D． 7． 一个长方体的长、宽、高分别是和则它的体积等于 （  ） A． B． C． D． 8． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 9． 计算的结果中，含的项的系数为 （  ） A． B．1 C．5 D． 10． 若则      ． 　 11． 计算：       　 12． 已知那么的值是      ． 　 13． 若一个三角形的底边为底边上的高为则面积为      ． 　 14． 计算 （1） （2）已知求的值． 　 　 　 　 　 15．  同类项条件 已知与的积与是同类项． （1）求的值， （2）先化简，再求值：． 　 　 　 　 　 16． 计算：． 　 　 　 17． 计算： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 18． 已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 　 　 　 19． 计算：． 　 　 　 20． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜行列式、阴影面积、科学记数法、规律探究与情境建模 1． 计算的结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为下面是长方形，宽为长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为      ．（结果保留） 　 3．  二阶行列式 形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算      ． 　 4． 如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为      ． 　 5． 光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为      米． 　 6．  扩大 3 倍 （）一条线段的长为若将它的长扩大到原来的倍，则线段的长变为多少？ （）一个正方形的边长为若将它的边长扩大到原来的倍，则正方形的面积变为多少？ （）一个正方体的棱长为若将它的棱长扩大到原来的倍，则正方体的体积变为多少？ 　 　 　 7． 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形土地，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $