17.2.2 运用完全平方公式分解因式 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 17.2.2  运用完全平方公式分解因式 学生版  17.2.2　运用完全平方公式分解因式 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　判据：三项、两平方同号、中间项是二倍积 2 　　题型 2　直接分解与先提公因式 3 　　题型 3　求参数与配单项式：中间项带正负两解 4 　　题型 4　整体换元：把括号当成一个字母 5 　　题型 5　简便计算：把算式凑成一个平方 9 　　题型 6　先分解再求值：整体代入与配方求最值 10 　　题型 7　配方与整体思想：非负数之和为零 11 　　题型 8　分组分解、完全平方式新定义与试根法 14 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 17 　题型 1　　判据：三项、两平方同号、中间项是二倍积 知识梳理 ​——三条判据缺一不可 三条判据　①恰好三项；②两个平方项同号且都是平方；③中间项等于两个底数之积的 倍（符号可正可负）．如 三条全中； 的中间项是 而 开方后应为 二倍积应为 对不上，所以不行。 符号看中间项　中间项是""就是和的平方，是""就是差的平方：．不要因为末项写的是 就以为是和的平方，判别只看中间项。 "看起来像"不等于"是"　 末项不是平方（ 不是平方数）； 首项是三次不是平方； 只有两项．判断分解是否正确，最快的办法是把结果乘开对一遍。 与平方差的区别　两项用平方差，三项才考虑完全平方；三项里若有两项是平方、第三项恰好是它们的二倍积，才是完全平方式．先数项数，再找平方项，最后验中间项——这三步是固定程序。 易错　①中间项只等于两底数之积（少乘 ）；　②中间项符号与括号里符号不符；　③平方项不同号也硬套；　④末项系数不是平方数也当平方；　⑤判"分解正确"的题只凭感觉，不乘开验证。 要点　三项、两平方同号、中间项 两底数之积；符号由中间项决定。 1． 下列四个多项式中为完全平方式的为  （  ） A． B． C． D． 2． 下列因式分解中，正确的是 （  ） A． B． C． D． 3． 下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 4． 下列因式分解正确的是 （  ） A． B． C． D． 　题型 2　　直接分解与先提公因式 知识梳理 一提二套：先看公因式，再看是否三项完全平方式；末项是分数也照套 标准分解　．先把首末两项写成平方，再验中间项够不够 倍。 先提公因式　．只做到 属于"分解不彻底"。 首项为负先提负　．提负号后括号里要变号，否则中间项的正负就反了，配不成完全平方。 分数与整体　．括号整体也当一个字母，套完再去掉中括号合并。 易错　①提完公因式不继续分解；　②提负号后括号里没变号；　③分数作平方项时底数找错（ 的底数是 ）；　④括号整体套完不去中括号；　⑤结果写成 却漏了外面的系数。 要点　一提二套三检查；首末两项写成平方、中间项验 倍，分数与整体照套。 1． 分解因式：．以下正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 分解因式： （1） （2）． 　 　 　 　 　 3． 分解因式： （1） （2） 　 　 　 　 　 4． 把下列各式分解因式： （1）． （2）． 　 　 　 　 　 　题型 3　　求参数与配单项式：中间项带正负两解 知识梳理 完全平方式 中间项 两解都要 已知首末求中间　 是完全平方式，中间项 必须等于 得 所以 ．注意这里只求末项，答案唯一；若求的是"中间项的系数"，就要保留两个符号。 已知首中求末（或参数）　 是完全平方式，则 所以 同理得 或 ．求"系数里的参数"一定有两解，漏一个就错。 带系数的完全平方式　 中末项 中间项应为 故 或 ．先算"中间项应该是多少"，再让"实际等于应该"，一个方程定出参数。 配单项式使其成为完全平方　 加上一个单项式后成为完全平方式，可加的单项式有：（配成 ）、（配成 本身，即 ）、（配成 ）、（配成 ）等．把 与 分别当作"首"和"末"，两条路都要走一遍。 易错　①只取""这一解；　②末项求成 后忘了平方得 　③带系数时把 的 漏掉；　④配单项式只想到 漏掉把某一项整体当作平方的两条路；　⑤把"不能是"看成"可以是"。 要点　中间项 ；求参数留两解，配单项式走两条路。 1． 若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为  （  ） A．1 B．3 C．1或 D．3或 2． 如果是一个完全平方式，那么为 （  ） A．25 B． C．100 D． 3． 若多项式能用完全平方公式分解因式，则m的值为 （  ） A．6或 B． C．6 D．或2 4．  配单项式 多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①②③④中的 （  ） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 5． 若是完全平方式，则实数的值为 （  ） A． B．或 C．5 D．4 6．  配单项式不能是 将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是 （  ） A． B． C． D． 　题型 4　　整体换元：把括号当成一个字母 知识梳理 设 括号里的式子，先化成 再换回来 换元的标准写法　令 则原式 ．换回来之后一定要合并括号里的常数，停在 不算做完。 先换号再换元　 中，原式 ．符号不统一就换元，必错。 系数也要跟着换　把 记作 记作 就是 ．中间项正好是 。 换元法的阅读题　材料给"令 "或"设 "时，要你回答的通常是"用了什么方法"（换元法／整体思想）或"下一步怎么算"．照材料的样子写，把"设…则…所以…"三句写全。 易错　①换回来不合并常数；　②不统一符号就换元；　③系数没跟着平方（ 的底数写成 ）；　④换元后忘了原字母；　⑤阅读题只写答案不写方法名。 要点　先统一符号 设字母 套完全平方 换回并合并。 1．  含 b-a 的符号 ​因式分解的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 分解因式(x1)2(x1)＋1的结果是(　　) A．(x1)(x2) B． C．(x＋1) D．(x2) 3．  阅读换元 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： 　 　 　 　 　 4．  阅读设 M 先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：设则原式． 再将代入，得原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想方法．请你用“整体思想”解决下列问题： （1）分解因式：． （2）若为正整数，试说明的值为某一个整数的平方． 　 　 　 　 　 5． 分解因式： （1） （2）． 　 　 　 　 　 6． 先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项使它与的和成为一个完全平方式，再减去于是有： ​ ​ ​ ​ ​ 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长都是正整数，且满足求的周长，并判断的形状． 　 　 　 　 　 7． 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（4x+1）（4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设4x 原式=（y+1）（y+7）+9（第一步） =+8y+16（第二步） =（y+4）（第三步） =（4x+4）（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（+2x）（+2x+2）+1进行因式分解． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 　 　 　 　 　 　 　 　题型 5　　简便计算：把算式凑成一个平方 知识梳理 ​ 识别""的形状　 中 所以原式 ．看到"两个平方 一个二倍积"，先找 与 。 中间项不一定写成 　 里 所以 原式 ．把 拆成 是关键一步。 分母也能配方　．，分母就是 带小数的凑整　 中 原式 ．先提公共系数 再配方。 易错　①把 当成 　②正负号搞错（是减就配差）；　③分母配方后忘记开方；　④公共系数不先提，硬算平方；　⑤小数点位错。 要点　凑成 再算； 常被拆开写，先还原成 倍积。 1．  小数配方 利用因式分解计算：      ． 　 2．  分母配方 计算：（1）      ． （2）      ． 　 3．  简便计算 用简便方法计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 6　　先分解再求值：整体代入与配方求最值 知识梳理 所求式子先提公因式、再配成平方，然后把"和"与"积"整块代进去 提取后成完全平方　．所以 时值为 周长 面积 时 ．这类题的答案永远是" 乘 "。 差的形式　由 得 原式 ．先提系数 再配成 ，顺序反了会多算一步。 把已知式当作一个整体平方　 即 而 所以原式 ．观察所求式是不是"已知式的平方"，这是最高效的一招。 配方求最值　因为 所以 最小值 ．配方后剩下的一定是非负数加常数，由此既能求最小值，也能说明"不论 取何值都为正"。 易错　①提公因式后括号里配不成平方；　②整体平方时漏了系数 或 　③把 当成 　④求最值不说"因为平方非负"；　⑤代值时把周长当成 要点　先分解成"积 平方"，再整体代入；配方后靠"平方非负"求最值。 1．  先分解再求值 如果那么的值为 （  ） A．0 B．1 C．4 D．9 2．  整体平方 已知则的值为      ． 　 3．  周长与面积 一个长方形的长与宽分别为．若周长为12，面积为5，则的值为      ． 　 4．  对称设元 已知（x2 022）＋（x2 024）=18，则（x2 023）的值是       ． 　 5． 若求多项式的值． 　 　 　 6．  整体平方差 已知求的值． 　 　 　 7．  先分解再求值 已知求的值． 　 　 　 　题型 7　　配方与整体思想：非负数之和为零 知识梳理 拆项 分组 配成若干个平方之和 每一块都为 拆项配方的标准流程　移项并把 拆成 得 即 所以 ．"常数项要拆成两个平方数之和"是这类题的第一步。 为什么能各自为零　平方数不小于 几个非负数之和为 时只能每个都为 ．答题时必须写出这一句，否则过程分不全。 恒成立与恒正　因为两个平方都非负，所以原式 不论 取何值都是正数．配方后剩下的那个正数就是"最小值"。 配对与作差　则 已知 时，由 与 的关系可求 ．两个式子作差后往往正好是一个完全平方，这是"配合作差"的固定套路。 易错　①常数项拆错（拆成两个不是平方的数）；　②配方符号反（ 写成 ）；　③不写"非负数之和为零"的依据；　④求恒正时忘掉最后的常数项；　⑤作差时符号错（ 写成 ）。 要点　拆常数 分组 配方 各自为零；作差后常出现完全平方，善用它。 1．  分数配方 将因式分解，正确的是 （  ） A． B． C． D． 2．  非负数之和为零 已知a，b，c满足则的值为 （  ） A．1 B． C． D． 3．  三数相差 1 已知则代数式的值是 （  ） A．0 B．1 C．4 D．6 4．  恒为正 不论为任何实数，的值都是 （  ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 5．  作差成平方 已知若则下列说法正确的是 （  ） A． B． C． D． 6．  三数平方和 已知则  （  ） A． B． C．7 D．11 7．  由 P=Q 求比值 设若则的值为      ． 　 8．  三数和的平方 请同学们运用公式解决问题：已知满足则的最小值为      ． 　 9．  三数平方和 已知则的值为      ． 　 10．  配方求 a+b 已知求的值． 　 　 　 11．  例题配方 先仔细阅读下列例题，再解答问题． 已知求和的值． 解：把等式左边变形，得 即． 因为 所以即． 仿照以上解法，解答下列问题： （1）无论取何值，多项式的值总是      ； （2）已知的三边长分别为且则为　　　　三角形？ （3）已知求和的值． A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 　 　 　 　 　 　 　 12．  例题配方 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若求和的值． 解： ​ ​ ​ 问题（1）若的三边长都是正整数，且满足请问是什么形状?说明理由． （2）若求的值． （3）已知则 ． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 8　　分组分解、完全平方式新定义与试根法 知识梳理 三项配成平方、四项两两或三一分组；"完全平方式"的定义题就是"能不能写成 " 分组分解的两种分法　（三项一组配平方、再用平方差）； 同理．"三一"分组适用于"三项能配成平方、剩下一项是平方数"。 添项配方　 直接分解无从下手，就"加一项再减一项"：．加上的那一项要让前三项成为完全平方，减去的同一项正好提供平方差。 完全平方式的定义题　"若存在整式 使 则 是完全平方式"——判断时只看能不能写成某个整式的平方，不要求一定三项．如 都是；而 不是（配不成平方）。这类题常要你"再写一个"或"说明理由"，理由就写"因为它是某式的平方"。 试根法（因式定理的雏形）　若把 代入整式得 就说明它有因式 于是可设成 再定系数．如 试 得 故有因式 设 展开对位求解． 易错　①分组后两组提不出公共括号；　②添项时加与减不是同一个式子；　③定义题把"三项"当必要条件；　④试根后不设待定系数、直接猜答案；　⑤正方形周长题忘了"边长要开方、周长还要乘 "。 要点　三项配平方、四项分组；添项要"同加同减"；定义题只看能否写成 1．  正方形周长 已知正方形的面积是则正方形的周长是      cm． 　 2．  正方形分四块 如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别为则原正方形的边长是      ． 　 3．  添项配方 某同学不会做“分解因式：这道题，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上再减去……”老师话没说完，此同学就恍然大悟，他马上就做出了此题．你会吗？请解答此题． 　 　 　 4．  三一分组 用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： （1）． （2）． 　 　 　 　 　 5．  完全平方式定义 所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式使则称是完全平方式.例如：则和都是完全平方式． （1）下列各式中属于完全平方式的序号为      ； ①②③④⑤． （2）若为常数，)是完全平方式，为常数)，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 6．  完全平方式定义 所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式使则称整式是完全平方式．例如：所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： （1）已知则      ； （2）如果是一个完全平方式，求的值； （3）若满足求的值． 　 　 　 　 　 　 　 7．  分组分解 在分解因式中，若多项式项数较多无法直接分解因式时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足求的周长． 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜认完全平方式、直接套公式 1． 下列式子是完全平方式的是 （  ） A． B． C． D． 2． 将代数式进行因式分解，结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 分解因式：      ． 　 4．  简便计算 计算的结果为 （  ） A．1 B． C．2 D． 5． 若则的值为      ． 　 B 组　提升题 必做｜要绕一步：求参数、分组分解 1． 若mx+16是一个完全平方式，则m的值为  （  ） A．8 B．±8 C．±4 D．8 2． （1）若是完全平方式，则      ； （2）若是完全平方式，则      ． 　 3．  三项一组再平方差 分解因式：      ． 　 4． 分解因式： （1） （2）． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜配方求最值、新定义与试根法 1．  配方求最值 在学习乘法公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ​ ​当时，的值最小，最小值是 ​ ​当时，的值最小，最小值是1， ​的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：． （2）若当      时，有最      值（填“大”或“小”），这个值      ； （3）已知是的三边长，满足且的值为代数式的最大值，请判断的形状，并求出该三角形的周长． 　 　 　 　 　 　 　 2．  完全平方式定义 所谓完全平方式，就是对一个整式如果存在另一个整式使则称是完全平方式，如：则称是完全平方式． （1）下列各式中是完全平方式的编号有：      （填编号）． ①②③ ④⑤⑥ （2）已知是的三边长，满足判定的形状． （3）证明：多项式是一个完全平方式． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3．  试根法 阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式其奇次项系数之和为偶次项系数之和为若则若则在中，因为所以把代入整式得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设分别求出值，再代入就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中 ， ； （2）对于一元整式必定有 （  ） （3）请你用“试根法”分解因式：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2.2  运用完全平方公式分解因式 解析版  17.2.2　运用完全平方公式分解因式 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　判据：三项、两平方同号、中间项是二倍积 2 　　题型 2　直接分解与先提公因式 3 　　题型 3　求参数与配单项式：中间项带正负两解 5 　　题型 4　整体换元：把括号当成一个字母 7 　　题型 5　简便计算：把算式凑成一个平方 11 　　题型 6　先分解再求值：整体代入与配方求最值 13 　　题型 7　配方与整体思想：非负数之和为零 15 　　题型 8　分组分解、完全平方式新定义与试根法 21 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 24 　题型 1　　判据：三项、两平方同号、中间项是二倍积 知识梳理 ​——三条判据缺一不可 三条判据　①恰好三项；②两个平方项同号且都是平方；③中间项等于两个底数之积的 倍（符号可正可负）．如 三条全中； 的中间项是 而 开方后应为 二倍积应为 对不上，所以不行。 符号看中间项　中间项是""就是和的平方，是""就是差的平方：．不要因为末项写的是 就以为是和的平方，判别只看中间项。 "看起来像"不等于"是"　 末项不是平方（ 不是平方数）； 首项是三次不是平方； 只有两项．判断分解是否正确，最快的办法是把结果乘开对一遍。 与平方差的区别　两项用平方差，三项才考虑完全平方；三项里若有两项是平方、第三项恰好是它们的二倍积，才是完全平方式．先数项数，再找平方项，最后验中间项——这三步是固定程序。 易错　①中间项只等于两底数之积（少乘 ）；　②中间项符号与括号里符号不符；　③平方项不同号也硬套；　④末项系数不是平方数也当平方；　⑤判"分解正确"的题只凭感觉，不乘开验证。 要点　三项、两平方同号、中间项 两底数之积；符号由中间项决定。 1． 下列四个多项式中为完全平方式的为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据完全平方公式即可求解． 解：选项，中的应改成或故错误，不符合题意； ​选项，中的应改成或故错误，不符合题意； ​选项，中的应改成或故错误，不符合题意； ​选项，是完全平方公式，故正确，符合题意；故选：． 2． 下列因式分解中，正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查因式分解的概念以及提公因式法、公式法因式分解，根据相关规则对各选项逐一判断即可。 解： 对选项A，由平方差公式分解得 A错误； ​ 对选项B，提公因式得 B错误； ​ 对选项C，因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，是和的形式，不符合要求，且 C错误； ​ 对选项D，由完全平方公式得分解正确， D正确。 3． 下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 解：逐项验"三项、两平方同号、中间项为二倍积"：A： 的中间项应为 实际是 不行；B： 首项是三次、且两项同号，不行；C： 只有两项，不行；D：可以．故选 D． 4． 下列因式分解正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：A：右边多写了 错；B： 中 不是平方，不能分解成 错；C：括号里不是完全平方式，错；D：正确．故选 D． 　题型 2　　直接分解与先提公因式 知识梳理 一提二套：先看公因式，再看是否三项完全平方式；末项是分数也照套 标准分解　．先把首末两项写成平方，再验中间项够不够 倍。 先提公因式　．只做到 属于"分解不彻底"。 首项为负先提负　．提负号后括号里要变号，否则中间项的正负就反了，配不成完全平方。 分数与整体　．括号整体也当一个字母，套完再去掉中括号合并。 易错　①提完公因式不继续分解；　②提负号后括号里没变号；　③分数作平方项时底数找错（ 的底数是 ）；　④括号整体套完不去中括号；　⑤结果写成 却漏了外面的系数。 要点　一提二套三检查；首末两项写成平方、中间项验 倍，分数与整体照套。 1． 分解因式：．以下正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：先提公因式 ．B 项只提到括号、没有继续分解，不彻底；C、D 项提公因式就提错了．故选 A． 2． 分解因式： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． （）利用完全平方公式分解即可； （）利用完全平方公式分解即可． （1）解： ​ （2）解： ​ ​． 3． 分解因式： （1） （2） 　思路分析　　本题考查了因式分解的综合运用，完全平方公式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式再根据完全平方公式进行二次分解； （2）先提取公因式再根据完全平方公式进行二次分解． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​． 4． 把下列各式分解因式： （1）． （2）． 　思路分析　　本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键． （1）（2）直接利用完全平方公式分解因式即可． （1）解：原式 ​． （2）解：原式 ​． 　题型 3　　求参数与配单项式：中间项带正负两解 知识梳理 完全平方式 中间项 两解都要 已知首末求中间　 是完全平方式，中间项 必须等于 得 所以 ．注意这里只求末项，答案唯一；若求的是"中间项的系数"，就要保留两个符号。 已知首中求末（或参数）　 是完全平方式，则 所以 同理得 或 ．求"系数里的参数"一定有两解，漏一个就错。 带系数的完全平方式　 中末项 中间项应为 故 或 ．先算"中间项应该是多少"，再让"实际等于应该"，一个方程定出参数。 配单项式使其成为完全平方　 加上一个单项式后成为完全平方式，可加的单项式有：（配成 ）、（配成 本身，即 ）、（配成 ）、（配成 ）等．把 与 分别当作"首"和"末"，两条路都要走一遍。 易错　①只取""这一解；　②末项求成 后忘了平方得 　③带系数时把 的 漏掉；　④配单项式只想到 漏掉把某一项整体当作平方的两条路；　⑤把"不能是"看成"可以是"。 要点　中间项 ；求参数留两解，配单项式走两条路。 1． 若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为  （  ） A．1 B．3 C．1或 D．3或 　思路分析　　根据完全平方公式求解即可． 解： ​ ​ ​或． 2． 如果是一个完全平方式，那么为 （  ） A．25 B． C．100 D． 　思路分析　　本题主要考查完全平方式的定义和结构，像满足这样的形式的代数式叫完全平方式，所以进而求出的值． 解：根据完全平方式的结构，把写出完全平方式结构； 即 ​故选：A． 3． 若多项式能用完全平方公式分解因式，则m的值为 （  ） A．6或 B． C．6 D．或2 解：末项 所以中间项应为 ．由题意 即 解得 或 ．故选 A． 4．  配单项式 多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①②③④中的 （  ） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题． 解：①加上后，多项式为是平方差不是完全平方，不符合题意； ②加上后，多项式为是完全平方，符合题意； ③加上后，多项式为不是完全平方，不符合题意； ④加上后，多项式为是完全平方，符合题意； 综上，加上②或④能成为完全平方．故选：C． 5． 若是完全平方式，则实数的值为 （  ） A． B．或 C．5 D．4 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 解：是完全平方式， ​ ​ ​ 即： 当时， 当时， 综上：或．故选 ：B． 6．  配单项式不能是 将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将分别与各个选项结合看看是否可以分解因式，即可得出答案． 解：A.此选项正确，不符合题意； B.此选项错误，符合题意； C. ，此选项正确，不符合题意； D. ，此选项正确，不符合题意．故选B． 　题型 4　　整体换元：把括号当成一个字母 知识梳理 设 括号里的式子，先化成 再换回来 换元的标准写法　令 则原式 ．换回来之后一定要合并括号里的常数，停在 不算做完。 先换号再换元　 中，原式 ．符号不统一就换元，必错。 系数也要跟着换　把 记作 记作 就是 ．中间项正好是 。 换元法的阅读题　材料给"令 "或"设 "时，要你回答的通常是"用了什么方法"（换元法／整体思想）或"下一步怎么算"．照材料的样子写，把"设…则…所以…"三句写全。 易错　①换回来不合并常数；　②不统一符号就换元；　③系数没跟着平方（ 的底数写成 ）；　④换元后忘了原字母；　⑤阅读题只写答案不写方法名。 要点　先统一符号 设字母 套完全平方 换回并合并。 1．  含 b-a 的符号 ​因式分解的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了分解因式，通过将替换为简化表达式为然后利用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 解： ​ ​ ​故选：． 2． 分解因式(x1)2(x1)＋1的结果是(　　) A．(x1)(x2) B． C．(x＋1) D．(x2) 　思路分析　　首先把x-1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可． 解：(x1)2(x1)＋1=(x11)=(x2)故选：D 3．  阅读换元 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： 　思路分析　　（1）令再根据完全平方公式解答即可； （2）令再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． （1）解：令 ​ 将“A”还原，可以得到： （2）解：令 则 ​ ​ ​ 将“B”还原，可以得到： ​ ​ ​． 4．  阅读设 M 先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：设则原式． 再将代入，得原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想方法．请你用“整体思想”解决下列问题： （1）分解因式：． （2）若为正整数，试说明的值为某一个整数的平方． 　思路分析　　（1）根据完全平方公式通过 “整体思想”，把看成一个整体，对式子进行变形，使其符合完全平方公式的形式，进而得出因式分解的结果． （2）根据乘法交换律、结合律以及完全平方公式先对式子进行重新组合，再通过 “整体思想”，把看成一个整体，将式子变形为符合完全平方公式的形式，得出式子可表示为某个整数的平方这一结论． （1）解：设则原式 再将代入，得原式． （2）证明：原式 令则原式 ​为正整数，为正整数， ​的值为某一个整数的平方． 5． 分解因式： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查的是因式分解，熟记利用完全平方公式分解因式是解本题的关键； （1）直接利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可； （1）解： ​ ​． （2） ​ ​ ​ ​ ​． 6． 先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项使它与的和成为一个完全平方式，再减去于是有： ​ ​ ​ ​ ​ 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长都是正整数，且满足求的周长，并判断的形状． 　思路分析　　（）根据题干中提供的方法进行解答即可； （）根据得出求出根据三角形三边关系得出根据是正整数，求出然后求出结果即可； 本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式． （1）解： ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​是正整数， ​ ​ ​的周长为是等腰三角形． 7． 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（4x+1）（4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设4x 原式=（y+1）（y+7）+9（第一步） =+8y+16（第二步） =（y+4）（第三步） =（4x+4）（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（+2x）（+2x+2）+1进行因式分解． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 　思路分析　　（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． （1）故选C； （2）（4x+1）（4x+7）+9，设4x则： 原式=（y+1）（y+7）+9=+8y+16=（y+4）=（4x+4）=（x2）． 故答案为（x2） （3）设+2x原式（y+2）+1=+2y+1=（y+1）=（+2x+1）=（x+1）． 　题型 5　　简便计算：把算式凑成一个平方 知识梳理 ​ 识别""的形状　 中 所以原式 ．看到"两个平方 一个二倍积"，先找 与 。 中间项不一定写成 　 里 所以 原式 ．把 拆成 是关键一步。 分母也能配方　．，分母就是 带小数的凑整　 中 原式 ．先提公共系数 再配方。 易错　①把 当成 　②正负号搞错（是减就配差）；　③分母配方后忘记开方；　④公共系数不先提，硬算平方；　⑤小数点位错。 要点　凑成 再算； 常被拆开写，先还原成 倍积。 1．  小数配方 利用因式分解计算：      ． 　思路分析　　先根据点 和点 是这个图形上的一对对称点，确定对称关系，再根据该对称关系求点 的对称点的坐标即可． 解： 点 和点 是这个图形上的一对对称点， ​ 点 与点 关于直线 对称， ​ 点 关于直线 的对称点为 故答案为：． 2．  分母配方 计算：（1）      ． （2）      ． 　思路分析　　本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）本题根据完全平方公式对原式中的多项式进行因式分解，进行计算即可． 解：（1） ​ ​ ​ （2）． ​． ​． ​． 故答案为：①． 3．  简便计算 用简便方法计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题主要考查了完全平方公式： （1）运用完全平方公式计算，即可求解； （2）运用完全平方公式计算，即可求解． （1）解： ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ 　题型 6　　先分解再求值：整体代入与配方求最值 知识梳理 所求式子先提公因式、再配成平方，然后把"和"与"积"整块代进去 提取后成完全平方　．所以 时值为 周长 面积 时 ．这类题的答案永远是" 乘 "。 差的形式　由 得 原式 ．先提系数 再配成 ，顺序反了会多算一步。 把已知式当作一个整体平方　 即 而 所以原式 ．观察所求式是不是"已知式的平方"，这是最高效的一招。 配方求最值　因为 所以 最小值 ．配方后剩下的一定是非负数加常数，由此既能求最小值，也能说明"不论 取何值都为正"。 易错　①提公因式后括号里配不成平方；　②整体平方时漏了系数 或 　③把 当成 　④求最值不说"因为平方非负"；　⑤代值时把周长当成 要点　先分解成"积 平方"，再整体代入；配方后靠"平方非负"求最值。 1．  先分解再求值 如果那么的值为 （  ） A．0 B．1 C．4 D．9 解：先提公因式 再配成完全平方：．代入 得 ．故选 D． 2．  整体平方 已知则的值为      ． 解：由 得 ．而 ． 所以原式 ． 3．  周长与面积 一个长方形的长与宽分别为．若周长为12，面积为5，则的值为      ． 解：由周长为 得 又面积 ．把所求式提公因式并配方：． 代入得 ． 4．  对称设元 已知（x2 022）＋（x2 024）=18，则（x2 023）的值是       ． 　思路分析　　先变形为【（x-2023）+1】+【（x-2023）-1】=18，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）的值． 解：（x-2022）+（x-2024）=18， ​【（x-2023）+1】+【（x-2023）-1】=18， ​（x-2023）+2（x-2023）+1+（x-2023）-2（x-2023）+1=18， ​（x-2023）=8．故答案为：8． 5． 若求多项式的值． 　思路分析　　本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，先将因式分解为然后把代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 解： ​ ​ 当时， 原式 ​ ​． 6．  整体平方差 已知求的值． 解：原式． 当时，原式． 7．  先分解再求值 已知求的值． 　思路分析　　对所求的式子提公因式后再利用完全平方公式分解，然后整体代入即可求解． 解： ​ ​ ​ ​原式． 　题型 7　　配方与整体思想：非负数之和为零 知识梳理 拆项 分组 配成若干个平方之和 每一块都为 拆项配方的标准流程　移项并把 拆成 得 即 所以 ．"常数项要拆成两个平方数之和"是这类题的第一步。 为什么能各自为零　平方数不小于 几个非负数之和为 时只能每个都为 ．答题时必须写出这一句，否则过程分不全。 恒成立与恒正　因为两个平方都非负，所以原式 不论 取何值都是正数．配方后剩下的那个正数就是"最小值"。 配对与作差　则 已知 时，由 与 的关系可求 ．两个式子作差后往往正好是一个完全平方，这是"配合作差"的固定套路。 易错　①常数项拆错（拆成两个不是平方的数）；　②配方符号反（ 写成 ）；　③不写"非负数之和为零"的依据；　④求恒正时忘掉最后的常数项；　⑤作差时符号错（ 写成 ）。 要点　拆常数 分组 配方 各自为零；作差后常出现完全平方，善用它。 1．  分数配方 将因式分解，正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 解：原式 ​ ​故选：D． 2．  非负数之和为零 已知a，b，c满足则的值为 （  ） A．1 B． C． D． 解：把 拆成 移项配方：即 ． 两个非负数之和为 只能各自为 所以 于是 ．故选 A． 3．  三数相差 1 已知则代数式的值是 （  ） A．0 B．1 C．4 D．6 　思路分析　　由题意得再把要求的代数式用完全平方公式进行因式分解，整体代入即可得到答案． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：D． 4．  恒为正 不论为任何实数，的值都是 （  ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 　思路分析　　利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 解： ​ ​＋−6a＋10b＋35的值恒为正数．故选：B． 5．  作差成平方 已知若则下列说法正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了整式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用作差法求的值，再根据已知条件和非负数的性质即可得出比较结果． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 6．  三数平方和 已知则  （  ） A． B． C．7 D．11 　思路分析　　本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得再由完全平方公式，可得即可求解． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​．故选B． 7．  由 P=Q 求比值 设若则的值为      ． 　思路分析　　根据P得出x=3y求解即可． 解： ​ 即=0， ​x=3y ​=3．故答案为：3 8．  三数和的平方 请同学们运用公式解决问题：已知满足则的最小值为      ． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用．由完全平方公式可得即可求解． 解： ​ ​ ​ ​ ​当 时， 的最小值为故答案为:． 9．  三数平方和 已知则的值为      ． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，结合已知可得代入计算即可． 解：由题意得， ​ ​ 所以原式 ​ ​ ​． 10．  配方求 a+b 已知求的值． 　思路分析　　本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 等式左边利用完全平方公式变形，将多项式因式分解为从而得到的值． 解： ​ ​ ​ ​． 11．  例题配方 先仔细阅读下列例题，再解答问题． 已知求和的值． 解：把等式左边变形，得 即． 因为 所以即． 仿照以上解法，解答下列问题： （1）无论取何值，多项式的值总是      ； （2）已知的三边长分别为且则为　　　　三角形？ （3）已知求和的值． A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． （1）解： ​ ​ 又 ​ ​值总是正数， 故选：A； （2）解： ​ 即 ​ ​ ​ ​是等腰三角形； 故答案为：等腰； （3）解： ​ 即 ​ 解得：． 12．  例题配方 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若求和的值． 解： ​ ​ ​ 问题（1）若的三边长都是正整数，且满足请问是什么形状?说明理由． （2）若求的值． （3）已知则 ． 　思路分析　　（1）先把-6a-6b+18+\|3-c\|=0，配方得到（a-3）+\|3-c\|=0，根据非负数的性质得到a=3，得出三角形的形状即可； （2）首先把-2xy+12y+12=0，配方得到（x-y）+3(y+2)=0，再根据非负数的性质得到x=-2，代入求得值即可； （3）首先根据a-b=8，ab+-16c+80=0，应用因式分解的方法，判断出（a-4）+（c-8）=0，求出A、B、C的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可． 解：（1）是等边三角形，理由如下： 由题意得 ​ ​是等边三角形． （2）由题意得 ​． ​． （3） 即a+4，（b+4)b+–6c+13=0， ​（+4b+4）+（–6c+9）=0， ​b+2=0，c–3=0， ​b = –2，c =3，a =2， ​a+b+c=3． 　题型 8　　分组分解、完全平方式新定义与试根法 知识梳理 三项配成平方、四项两两或三一分组；"完全平方式"的定义题就是"能不能写成 " 分组分解的两种分法　（三项一组配平方、再用平方差）； 同理．"三一"分组适用于"三项能配成平方、剩下一项是平方数"。 添项配方　 直接分解无从下手，就"加一项再减一项"：．加上的那一项要让前三项成为完全平方，减去的同一项正好提供平方差。 完全平方式的定义题　"若存在整式 使 则 是完全平方式"——判断时只看能不能写成某个整式的平方，不要求一定三项．如 都是；而 不是（配不成平方）。这类题常要你"再写一个"或"说明理由"，理由就写"因为它是某式的平方"。 试根法（因式定理的雏形）　若把 代入整式得 就说明它有因式 于是可设成 再定系数．如 试 得 故有因式 设 展开对位求解． 易错　①分组后两组提不出公共括号；　②添项时加与减不是同一个式子；　③定义题把"三项"当必要条件；　④试根后不设待定系数、直接猜答案；　⑤正方形周长题忘了"边长要开方、周长还要乘 "。 要点　三项配平方、四项分组；添项要"同加同减"；定义题只看能否写成 1．  正方形周长 已知正方形的面积是则正方形的周长是      cm． 解：先把面积配成完全平方：所以正方形的边长是 ．因为 所以边长为 周长为 ． 2．  正方形分四块 如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别为则原正方形的边长是      ． 　思路分析　　四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长． 解：=（a+b） ​边长为a+b．故答案为：a+b． 3．  添项配方 某同学不会做“分解因式：这道题，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上再减去……”老师话没说完，此同学就恍然大悟，他马上就做出了此题．你会吗？请解答此题． 　思路分析　　先利用“配方法”分解因式，然后根据平方差公式因式分解即可解答． 解：按老师的提示"加一项再减一项"，把原式配成平方差： ​． 4．  三一分组 用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： （1）． （2）． 　思路分析　　（1）（2）根据例题的方法进行因式分解即可． （1）解：原式 ​ ​． （2）解：原式 ​ ​． 5．  完全平方式定义 所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式使则称是完全平方式.例如：则和都是完全平方式． （1）下列各式中属于完全平方式的序号为      ； ①②③④⑤． （2）若为常数，)是完全平方式，为常数)，求的值． 　思路分析　　（1）根据题意完全平方式的理解，逐一判定即可； （2）首先根据完全平方式求出的值，然后代入即可． （1） ①属于完全平方式； ②不能写成的形式，不属于完全平方式； ③属于完全平方式； ④ ⑤属于完全平方式； 故属于完全平方式的为：①③④⑤； （2） 是完全平方式，且 ​． ​ ​ ​． 6．  完全平方式定义 所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式使则称整式是完全平方式．例如：所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： （1）已知则      ； （2）如果是一个完全平方式，求的值； （3）若满足求的值． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得即可代值求解； （2）由题意得或即可求解； （3）由据此即可求解． （1）解： ​ ​ ​ （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ​或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解： 而 ​ ​． ​． 7．  分组分解 在分解因式中，若多项式项数较多无法直接分解因式时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足求的周长． 　思路分析　　本题考查了因式分解，三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （2）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （3）根据完全平方公式进行变形，得再求出又因为的三边长a，b，c都是正整数，则运用三边关系求出c，最后根据周长公式进行列式计算，即可作答． （1）解： ​ ​ ​ （2） ​ ​ ​ （3） ​ ​ ​ ​ ​的三边长a，b，c都是正整数， ​即 ​ ​的周长是． A 组　基础题 必做｜认完全平方式、直接套公式 1． 下列式子是完全平方式的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．根据定义逐项分析即可． 解：A． 中间项不是首位积的2倍，故不是完全平方式； B． 是完全平方式； C． 无2个平方项，故不是完全平方式； D． 平方项的符号不一致，故不是完全平方式；故选B． 2． 将代数式进行因式分解，结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 解：． 3． 分解因式：      ． 　思路分析　　先提取公因式，再利用完全平方公式分解剩余多项式． 解：先提取原式中的公因式得 ​符合完全平方公式的形式， ​分解得 ​原式． 4．  简便计算 计算的结果为 （  ） A．1 B． C．2 D． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题关键．根据完全平方公式计算即可． 解： ​ ​ ​故选：A． 5． 若则的值为      ． 解：先提公因式 再配方：．由 得 所以原式 ． B 组　提升题 必做｜要绕一步：求参数、分组分解 1． 若mx+16是一个完全平方式，则m的值为  （  ） A．8 B．±8 C．±4 D．8 　思路分析　　根据两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 解：是一个完全平方式， ​ 解得：故选：B． 2． （1）若是完全平方式，则      ； （2）若是完全平方式，则      ． 　思路分析　　（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 解：（1） 而 ​ （2） 而 ​．故答案为：（1）9；（2）． 3．  三项一组再平方差 分解因式：      ． 解： ​ ​ ​． 4． 分解因式： （1） （2）． （1）解：原式 （2）解：原式． C 组　拓展题 选做｜配方求最值、新定义与试根法 1．  配方求最值 在学习乘法公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ​ ​当时，的值最小，最小值是 ​ ​当时，的值最小，最小值是1， ​的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：． （2）若当      时，有最      值（填“大”或“小”），这个值      ； （3）已知是的三边长，满足且的值为代数式的最大值，请判断的形状，并求出该三角形的周长． 　思路分析　　本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，三角形的分类， （1）利用完全平方公式即可求解； （2）仿照示例配方后即可确定最小值； （3）利用配方法求出的值，即可判断的形状，并求出该三角形的周长； 熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）解： 故答案为： （2） ​ ​当时，的值最小，最小值是 ​ ​当时，的值最小，最小值是 ​的最小值是 答案为：小； （3）为等腰三角形，理由如下： ​ ​ ​ ​ ​ 解得： 又 ​ ​ ​ ​当时，的值最大，最大值是 即当时，有最大值，这个值是 ​ ​ ​为等腰三角形，周长为 ​为等腰三角形，该三角形的周长为． 2．  完全平方式定义 所谓完全平方式，就是对一个整式如果存在另一个整式使则称是完全平方式，如：则称是完全平方式． （1）下列各式中是完全平方式的编号有：      （填编号）． ①②③ ④⑤⑥ （2）已知是的三边长，满足判定的形状． （3）证明：多项式是一个完全平方式． 　思路分析　　（1）根据完全平方式的定义可直接进行判断； （2）由题意易得然后可得进而问题可求解； （3）由题意可直接进行求解． 解：（1）②⑤⑥是完全平方式， ①③④不是完全平方式， 各式中完全平方式的编号有②⑤⑥， 故答案为：②⑤⑥； （2）是等边三角形，理由如下： ​ ​ ​ ​ac=0且bc=0， ​a ​是等边三角形； （3）证明：原式= = = = = ​多项式是一个完全平方式． 3．  试根法 阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式其奇次项系数之和为偶次项系数之和为若则若则在中，因为所以把代入整式得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设分别求出值，再代入就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中 ， ； （2）对于一元整式必定有 （  ） （3）请你用“试根法”分解因式：． 　思路分析　　本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． （1）解： ​ ​ ​ ​ ​ 故答案为： （2）解：多项式中，奇次项系数之和为偶次项系数之和为． ​ ​ 故答案为： （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ​可设 ​ ​ ​ ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $