15.4.3 轴对称将军饮马讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册

 15.4.3  轴对称：将军饮马（章末专题特训 3） 解析版  15.4.3　轴对称：将军饮马 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　一条直线一个动点：和最小与差最大 2 　　题型 2　两条边两个动点：周长最小 5 　　题型 3　一角内来回走：三次折线 10 　　题型 4　垂直平分线：把折线换成直线 14 　　题型 5　角平分线配垂线：从点到线 17 　　题型 6　平行线与桥：平移法 21 　　题型 7　综合实践与史料 25 　　题型 8　证明与探究 30 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 36 　题型 1　　一条直线一个动点：和最小与差最大 知识梳理 两点在直线同侧求 最小：作一点的对称点，拉成一条直线；求 最大：两点在同侧时直接连，两条路正好相反，别记混 同侧 对称 连线（最基本的一条路）． 在直线 的同侧，作 关于 的对称点 连 交 于 则 最小，最小值为 ．理由两句话：对称给出 于是 （两点之间线段最短），取等条件是 三点共线．证明最短路径，永远要写"取等条件"这一句，否则无从说明 就是那个点。 异侧就直接连．若 分居 两侧， 与 的交点就是 不需要作对称．判断顺序：先看两侧还是同侧，再决定作不作对称——很多同学见到"最短"就作对称，异侧题白作一次，把答案算成 "差最大"是反向操作．求 的最大值时，两点在 同侧就把 延长交 于 此时 达到最大（三角形两边之差小于第三边）；两点在异侧才作对称．记法：和最小要"拆开"，差最大要"挤在一条线上"——一个是把折线拉直，一个是让 共线。 s25 / s27 是"先作图再找点"的两问结构：第（1）问画关于坐标轴的对称图形并写坐标（横坐标变号、纵坐标不变），第（2）问在 轴上找 使 最小．做法固定：作 关于 轴的对称点 （纵坐标变号），求直线 与 轴的交点即得 ．不需要写出 的坐标时也要保留作图痕迹（题目要求"保留痕迹"就是给分点）。 s30 多绕一步：先把 换成 ． 是 的垂直平分线， 在 上，故 于是 在 同侧，这时才作对称（或直接用"两点之间线段最短"判断 应在 与 的交点），最小值就是 的长．垂直平分线、角平分线的作用都是"换线段"：先把式子里的线段换成等长的另一条，最短路径的模型才露出来。 易错　①异侧也作对称，最小值多算一段；　②作对称后连错点（连成 而不是 ）；　③只写"最小值为 "，不证取等条件；　④差最大时也作对称；　⑤s30 不知道先用垂直平分线把 换成 要点　和最小：同侧作对称拉直；异侧直接连．差最大：同侧直接连，异侧作对称． 1．  坐标系对称作图 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于y轴对称的并写出和的坐标． （2）在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 　思路分析　　（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． （1）解：关于y轴的对称点分别是画图如下： 则即为所求，． （2）解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 2．  x 轴上找 P 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴的对称图形并写出的坐标； （2）请在轴上确定点的位置，使的值最小（标出点即可）． 　思路分析　　（1）在平面直角坐标系中分别找出点点点关于轴的对称点依次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）连接与轴的交点即为点． （1）如图所示： ​ （2）解：点和点关于轴对称， ​ ​ ​当点三点共线时，的值最小． 3．  中垂线求最小 如图，在中，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 　思路分析　　本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接可得从而可得答案． 解：如图，连接． ​是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ​ ​ ​的最小值即为的长， ​ ​的最小值为10． 　题型 2　　两条边两个动点：周长最小 知识梳理 一个定点、两个动点分居两条直线上，求 周长最小：作两次对称得 ，周长最小值 角度题再用外角把 拆成两倍 双对称的标准动作：作 关于第一条直线的对称点 再作 关于第二条直线的对称点 连 与两条直线交于 此时 周长 最小．两次对称、一条连线，四个点（）共线就是答案。 角度怎么算（本类题的真正难点）：由对称得 而 是 的外角，故 ；同理 ．两式相加得 ．于是问题变成"求 "——它是两条对称点连线在原定点处张开的角，由图形算： 落在已知角的哪一侧，就决定它是" 已知角"还是"已知角本身"．c10（）得 c11（）得 f17（）得 ． f24 换了一种张角： 在 上， 在 在 上，求四边形 周长最小时 ．这次对称的是两个定点 （关于 ），对称点连线仍与两轴相交，但张开角变成 ——同一套推导，换了"谁是定点"，所以答案不是套 的公式，而是老老实实按图算 ． c01 是"可行性判断"而不是求最小：牧马人从 到 再到 回到 最短总路程不小于 （ 到两线的距离），用双对称把三段折线拉成一条，再和选项比大小．这类题的策略：先估下界（对称后两点间距离），再看选项哪个"可能"，不必算出精确值——只要选项里小于下界的全部排除。 作图题的画面要求（双对称最容易画糊）：①两个对称点分居两轴外侧，虚线连到轴上；②对称点用 标清（一撇与两撇别混）；③连线 与两轴的交点依次标 ④最后补一句"此时周长最小"，题目问的是"当……最小时"，不补这句不算答完。 易错　①只作一次对称（周长最小值算成一段折线）；　② 与 的倍数关系搞反（应为 倍）；　③f24 硬套" 已知角"的公式；　④c01 真的去算精确值，时间全耗光；　⑤作图不标对称点、不写"此时最小"。 要点　双对称 一条连线；（外角），角度题最后都归到 1．  五边形 142 度 如图，在五边形中，．在上分别找一点使得的周长最小时，则的度数为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了最短路线问题．延长至使延长至使则垂直平分垂直平分所以的周长为要使其周长最小，即使最小，设则设则在中，利用三角形内角和定理，可以求出进一步可以求出的值． 解：如图，延长至使 延长至使 则垂直平分垂直平分 ​ 根据两点之间，线段最短， 当四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ​ ​可设 在中， ​ ​故选：A． 2．  四边形 120 度 如图，四边形中，在上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点连接交于交于则即为周长的最小值．作延长线如图所示，结合图形及已知条件，不难得出再结合三角形外角的性质不难得到由此分析即可得出答案． 解：作关于和的对称点连接交于交于则即为周长的最小值．作延长线如图所示． ​ ​ ​． ​且 ​．故选：B． 3．  四边形 105 度 如图，在四边形中，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则       　思路分析　　要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点即可得出进而得出即可得出答案． 解：作关于和的对称点连接交于交于则即为的周长最小值． ​ ​ ​且 ​故答案为：150． 4．  两个定点两个动点 如图，在中，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是      ． 　思路分析　　本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．根据题意，分别作点的对称点根据两点之间线段最短可确定点的位置为点此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得根据三角形的外角的性质可得根据直角三角形中两锐角互余可得出运用等量待会即可求解． 解：如图所示，作点关于的对称点作点关于的对称点连接交于点 ​根据两点之间线段最短可得，的值最小， ​四边形的周长最小值为： ​在中，即是等腰直角三角形， ​ 在中， ​ ​ 根据对顶角的性质可得， 根据对称的性质可得， ​ 在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​当四边形的周长最小时，的大小是故答案为：． 5．  牧马人三段路程 如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为则牧马人所走最短的放牧总路程可能是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　分别作点关于草地所在直线的对称点关于河流所在直线的对称点因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 如图所示，作点关于草地所在直线的对称点关于河流所在直线的对称点 ​ ​根据三角形三边关系可得 ​． ​只有符合题意 　题型 3　　一角内来回走：三次折线 知识梳理 定点在角内，先到一边、再到另一边、回到定点：作两次对称，把三段折线拉成一条；若题里还有"到直线距离最短"，就再加一个垂线段 f14 是全模型的原型： 在 内部，先到 上一点 再到 上一点 最后回 求 最小．作 关于 的对称点 关于 的对称点 ，则 四点在一条直线上时取最小．这一次对称的是同一个点 两条对称轴是角的两边，和上一题型的"一个定点两个动点"是同一张图。 角的大小直接决定答案：由对称得 于是 是等腰三角形，底角 ．再由对称把 都换成这个底角，．f14 的 得 ．这个式子要会现场推，不要背——换了图（如 不在角平分线上）结论就变。 c07 把"角"改成了"两个角的差"： 是两边上的定点， 是两边上的动点，求 最小时 的值．这时的对称对象是定点 （分别关于 ），拉直后 都变成等腰三角形的底角或外角，作差时把两个角都写成 的表达式， 这个数就出来了．"求角的差"类题的通用打法：把所有角用同一个已知角表示，再相减。 c06 多一个"垂线段最短"： 平分 在 在 在 上，求 最小时的 ．先把 分别关于 对称，三段折线拉成 注意这里光"拉直"还不够—— 都在动，所以还要让 垂直于 （垂线段最短），这一步是本册唯一"两条定理连用"的地方：先对称拉直，再用垂线段取极值．剩下的全是角度加减：逐步算出 ． 这类题的作答结构（照抄即可）：①作对称点、写"由对称得 "；②写" 共线时取最小"；③算 ④在等腰 中求底角；⑤用对称把底角搬回原图，得所求角．五步一步都不能少，中间任何一步省略都会被判"推理不完整"。 易错　①把对称轴选错（该关于 的对称成 ）；　② 写成 （漏了 倍）；　③c06 只用对称不用垂线段，最小值取不到；　④c07 把 写成 　⑤不写"共线时取最小"，结论悬空。 要点　定点在角内 两次对称拉直；角度靠" 等腰底角"；若两端点都在动，再加垂线段最短。 1．  24 度与三动点 如图，已知平分在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　作点关于的对称点作点关于的对称点连接则由轴对称知识可知所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出． 解：平分 ​ 作点关于的对称点作点关于的对称点连接 则 ​ 当在一条直线上，且时，取最小值， ​ ​ ​ ​故选：D． 2．  25 度与角之差 如图，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记==当MP＋PQ＋QN最小时，则的值为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ​ ​（-）=（-）， ​+（-）， ​故选A． 3．  55 度来回走 如图，已知点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则      ． 　思路分析　　作点关于的对称点作点关于的对称点连接分别交于点连接此时路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和求和即可得到． 解：作点关于的对称点作点关于的对称点连接分别交于点连接如下图： 此时路程最短， 由对称性质可知． ​ ​ ​ ​ ​ 由对称性质可知 ​ ​． 　题型 4　　垂直平分线：把折线换成直线 知识梳理 垂直平分线上的点到两端距离相等，先用它把 换成 （或 ），再用"两点之间线段最短"或"垂线段最短"取极值 第一个动作永远是"换线段"： 是 的垂直平分线、 在 上，则 所以 ．换完之后， 就不必再管了——式子变成"两个定点 与动点 "，而 被约束在直线 上，这正是上一讲的"一条直线一个动点"模型．判据：题里出现"垂直平分线"四个字，先想"能换成哪条线段"。 f18 / f19 的"周长最小"： 周长 其中 是定值，所以只要求 最小，也就是 最小； 是定点， 的最小值就是线段 （当 落在 与 的交点时取到）．围长型题目的通用拆法：先把定长边摘出去，剩下的两段用"换 连"解决。 f20 / f21 多一个"点 也在动"： 最小， 在 上、 在 上，先用垂直平分线把 换成 ，于是要 最小；此时 都在 这一条线上？不是—— 是定点、 在 上动，所以 而当 在 上时取等，于是问题化成" 到 上一点的最小距离"，答案往往是某条垂线段（也就是高）：f20 的 立刻给出高 ．"面积给了、底给了"就是让你求高的信号。 f22 反着用：已知 的最小值为 求 ．把"最小值"当条件用： 且 是 的垂直平分线（因 型对称），对称后最小值对应某条垂线段，反解出 ．这类"给最小值求长度"的题，一定要先把最小值写成一条具体线段的长度，否则方程列不出来。 注意 的括号"不在 的延长线上"：这是取值范围限制，说明 取最优位置时恰好落在延长线的禁区里，要退到边界点取最值．题里的括号补充说明几乎都是"边界条件"，看到就当提醒：最优解可能落在端点。 易错　①不知道用垂直平分线换线段，直接作对称（多绕一圈还容易错）；　②周长最小把定长边也算进最小值；　③f20 换完不判断" 在 上"的取等条件；　④f22 把最小值当成某个已知线段，不建方程；　⑤忽略"不在延长线上"这类边界限制。 要点　垂直平分线 换线段 退回"两点一线"模型；周长最小先摘定长边；给最小值反求长度时先把最小值写成一条线段。 1．  中垂线与周长 如图，在中，垂直平分交于点G，交于点D，P为直线上一动点（不在的延长线上），连接则周长的最小值是      ． 　思路分析　　利用线段的垂直平分线的性质得到再利用两点之间线段最短即可求解． 解：垂直平分 ​ ​的周长= 故答案为14． 2．  两动点求最小 如图，中，垂直平分分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是       　思路分析　　本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，求三角形的面积，先根据垂线段最短确定最小值，再根据三角形面积公式求出答案． 解：连接 ​是线段的垂直平分线， ​ ​． 过点A作交于点G， 根据垂线段最短，可知 ​的最小值为． ​ 解得 ​的最小值为5．故答案为：5． 3．  PB 加 PD 最小 如图，在中，于点垂直平分交于点在上确定一点使最小，则这个最小值为      ． 　思路分析　　根据三角形的面积公式即可得到由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论． 解：于点 ​ ​垂直平分 ​点到两点的距离相等 ​的长度的最小值 即的最小值为故答案为： 4．  给最小值求 AB 如图，在中，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为      ． 　思路分析　　本题考查垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，先根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质推导再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，从而运用等面积法求出的长．推导“的最小值即为中边上的高”是解题的关键． 解：连接 ​ ​点D是的中点， ​垂直平分 ​ 由垂线段最短可知，当点C、P、F三点共线，且所在直线垂直时，取最小值6， 此时且垂直即是中边上的高， ​此时， 即 解得：． 　题型 5　　角平分线配垂线：从点到线 知识梳理 角平分线也是"对称轴"：把一点关于角平分线作对称，折线立刻变成"点到直线"的距离问题，此时用垂线段最短取极值 为什么可以关于角平分线作对称：角平分线上的点到两边距离相等，所以角平分线就是那个角的对称轴．把 关于 的平分线 作对称，得到落在 上的 则 于是 ．这一步把"两段折线"变成"一个点到一条直线"。 接着用垂线段最短： 是定点， 在 上动，所以 的最小值就是 到 的距离，即过 作 的垂线段．c12 的算例： 平分 在 在 把 关于 作对称得落在 （或其延长线）上的 则 最小值就是 到 的垂线段；再用 与 求这条垂线段．别背数字，背动作：对称 定下定点 作垂线 算这条垂线段。 f15 的算例（ 平分 在 在 ）：把 关于 作对称，对称点 落在 上（因为 是 的平分线），于是 而 在 上动，最小值就是 到 的距离，由 面积 得这条高 ． 这两个数就是为"求高"准备的，看到"一个边长 一个面积"，就去写 边 高。 c03 的图形更复杂，但动作一样： 平分 在 上、 在 上，求 最小． 是角平分线，故 关于 的对称点 在 上；由 知 与 垂直，对称之后 转化成 ， 在 上，最终落到"定点到定直线的垂线段"上．复杂图形不要慌，先问三句：对称轴是哪条？谁变到哪去？最后是"点到点"还是"点到线"。 这一类与上一类的分界：垂直平分线换完仍是"点到点"（用两点之间线段最短）；角平分线换完往往是"点到线"（用垂线段最短）．判据就一句：换完之后另一个动点是不是在一条直线上自由跑——在直线上就跑"点到线"，在另一条固定折线上就跑"点到点"。 易错　①把角平分线当普通线段，不作对称；　②对称点落在哪条边上判断错（ 平分 的对称点在 上）；　③换完仍按"两点之间"处理，忘了垂线段；　④f15、c12 不去用面积求高；　⑤最终答案写成"垂足位置"，题目要的是长度。 要点　角平分线是对称轴 作对称 变成"点到直线" 垂线段最短；面积 边长 求高的现成条件。 1．  角平分线与两动点 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为 （  ） A．5 B．10 C．15 D．20 　思路分析　　过点D作于H，并延长先判断出再判断出在上取一点使连接进而判断出得出即可判断出时，最小，即可求出答案． 解：如图，过点D作于H，并延长 ​ ​是的平分线， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在上取一点使连接 ​ ​ ​ ​当点B、P、共线时取等号， ​点Q是动点， ​当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 2．  角平分线与面积 如图，在锐角三角形中，的面积为18，平分若E，F分别是上的动点，则的最小值为 （  ） A．5 B．6 C．7 D．8 　思路分析　　本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ​平分 ​ ​此时取最小值． ​的面积为18， ​ ​． 即的最小值为6，故选：B． 3．  角平分线配动点 如图，在中，的面积为12，平分交于分别是和上的动点，连接则的最小值为      ． 　思路分析　　利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 解：作点关于的对称点作边上的高连接如图： ​平分 ​点必在上， ​点关于的对称点为 ​ ​ ​当三点共线时，有最小值，最小值为 ​ ​当时，有最小值，最小值为 ​的面积是12，边上的高为 ​ 解得 ​的最小值为4． 　题型 6　　平行线与桥：平移法 知识梳理 过河要建垂直于河岸的桥：桥长 河宽是定值，把上游的点沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，桥就"消失"了，剩下两点之间线段最短 核心一句话：定长段先平移掉．求 最小且 河宽（定值），把 沿垂直于河岸的方向平移河宽到 ，则 且 四边形 是平行四边形，于是 ．定值那段最后加上去，动的位置由 与河岸的交点决定。 c02 / c05 考的是"哪种作图正确"：错误选项通常犯三种错——①平移方向错（没沿垂直于河岸的方向移）；②平移距离错（没移一个河宽，或移了两个河宽）；③只对一个点作对称/平移，另一个点原地不动．判断口诀：两个点都要动，动的是"离桥远"的那个，动的方向与桥平行。c02 里 在北渠外侧、 在南渠外侧，把 沿渡槽方向平移一个渠宽即可，受两条渠影响的题只平移一次（因为只有一段 ）。 s33 是"只画图不写理由"的题：一座桥、两条平行河岸．作图步骤：①把 沿垂直河岸方向平移河宽到 ②连 交近岸于 ③过 作河岸的垂线交远岸于 就是桥；④连 路径 即为所求．保留痕迹、不必写理由，但桥必须与河岸垂直，画斜了整题作废。 s34 是两座桥：两条河、两个河宽（题说"宽度相同且保持不变"）．两次平移： 平移 得 再把 平移 得 （同方向连续平移），连 回推两次得两个桥的位置．河宽相同就可以合并成"一次平移 "，速度更快；河宽不同就必须分两步。两桥题的易错点：两座桥的平移方向必须一致，一上一下就连不成直线。 c04 是"方案比较"型，考的是判断而不是作图：路要绕开长方形保护区，四种铺法里只有一种同时满足"总长最短"与"不能穿过保护区"．做法：把每种方案的两段折线各自拉直（作对称或直接连），比较长度，再验是否穿区．"最短"与"可行"必须都满足——很多选项输在"路穿过了保护区"，长度再短也不算．这类题的答题句式：先排除穿区的，再在剩下的里面比长度。 易错　①平移方向不垂直于河岸；　②平移距离用成一个河宽的一半或两倍；　③只平移一个点却把桥长算两遍；　④s33 画的桥与河岸不垂直；　⑤s34 两座桥平移方向相反；　⑥c04 只看长度不看是否穿区。 要点　定长段（桥长）先平移掉 两点连线 回推桥位；两座桥就平移两次（河宽相同可合并）。 1．  渡槽与两渠 如图所示，农田间有两条平行灌溉渠渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　由题意渠宽固定，即的长度是定值，要使得总长度最短，则的长度最短即可． 解：将点P向下平移的长度得到连接 则． ​． 即当三点共线时总长度最短． 2．  燃气管道四方案 如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点连接交l于点G，连接则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点连接交l于点H，连接则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是 （  ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 　思路分析　　本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 解：作点关于的对称点连接交于点连接 ​, ​, ​长度不变， ​此时管道路径最短， ​最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 3．  河上建桥选图 直线表示一条河的两岸，且若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了平移最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 解： ​先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可，故选：A． 4．  一桥作图 如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 　思路分析　　本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 解：过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 　题型 7　　综合实践与史料 知识梳理 阅读材料题的答案全在材料里：先把"古人的问题"翻译成"两点一线"的模型，再照材料给的思路补完剩下的推理 s26 从诗句出发："白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河"，问题就是"从 到河边饮马再回 怎么走最短"．第一步翻译：河边是一条直线 是河同侧的两个点，求 上一点 使 最小——这就是最基础的将军饮马，一句诗换了个包装而已．阅读题的分数多半丢在"没有把文字翻译成模型"，翻译完写一句"即求直线 上一点 使 最小"，后面的解答才有得分点。 s36 是"补完小华思路"的题：材料已经给了"作 关于 的对称点 连 交 于 "，你要做的是把"为什么最短"写完整：①对 上任一点 都有 （对称）；②故 （两点之间线段最短）；③当 与 重合（三点共线）时取等号．"任取一点 再证不等式"是证明最短路径的唯一合法格式——只对 本身算一遍长度是无效证明。 材料题的三步读法：①圈出结论要什么（是求长度、求角度，还是判断"哪个方案对"）；②圈出材料给的方法（作对称？平移？还是作垂线？）；③把材料的方法套到本题的图上，只补材料没写完的那几步，不要另起炉灶．很多同学把材料题当新题做，从头推一遍，时间不够还容易错。 [[TBL]] 方框材料的读法（s26 就是这种排版）：方框里的内容是题目的组成部分，按行读、按行抄，遇到"图（1）""图（2）"的标注要立刻在图里找到对应位置；分栏排的方框容易漏行，读完回头数一遍共有几行小字，数量对上才说明没漏。 易错　①读了材料不翻译成数学模型，直接列式；　②s36 只验证 一个点，不"任取 "；　③材料给的方法不用，自己另想一套；　④方框材料漏行、图注对不上；　⑤答"最短"却不写取等条件。 要点　史料只是包装：翻译成"两点一线"再照材料补完推理；证明最短必须任取一点 再比较。 1．  古从军行 综合与实践 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点连接． ​点B、关于直线l对称，点C、在直线l上， ​       ，       ， ​       ． ​在中， ​       即最小． 【解决问题】 任务一　请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二　如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三　如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥则这座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 　思路分析　　任务一：根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； 任务二：分别作A、B两点关于靠近A、B两点的草地边和河边所在直线的对称点，连接两对称点，分别交草地边和河边于点C、D，连接将折线路径转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，依据轴对称性质保证路径长度相等； 任务三：过点P作靠近点P的河边所在直线的垂线，在垂线上截取等于河的宽，连接交靠近点Q的河边所在直线于点N，再过点N作河边的垂线，垂足为M，连接则路线即为所求． 任务一： 任务二：如图，即为最短路径． 任务三：如图，即为最短路径． 2．  小华的思路 【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点连接与直线l交于点P．由对称可得所以当P、B三点共线的时候，此时最小． 如图②，在直线l上找一点P，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点连接并延长交直线l交于点P．由对称可得所以当P、B三点共线的时候，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动． ①求a，b的值； ②当最小时，求点P的坐标； ③令当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足当t的值最大时，若点M、N分别是线段上的动点，且连接当最小时，求点M的坐标． 　思路分析　　（1）①把代入求出再把代入解析式，求出的值；②作点B关于x轴对称点连接则：与轴的交点即为点求出的解析式，令求出点的坐标即可；③得到当最大，最小时，t有最大值，由（2）可得的最小值，作点B关于y轴的对称点连接则与轴的交点即为点此时最大为的长，求出点坐标，进行求解即可； （2）过点P，作连证明得到进而得到得到当在线段上时，的值最小，求出的解析式，进而求出点的坐标即可． 解：（1）①将点代入得 ​ 将点代入得 故 ②作点B关于x轴对称点连接则：与轴的交点即为点 此时的值最小为的长， ​ ​设直线的解析式为 则： ​，解得：​ ​ 令则：解得 ​ ③ 当最大，最小时，t有最大值， 作点B关于y轴的对称点连接则与轴的交点即为点此时最大为的长， ​ 同法可得： 令则 ​ ​ ​ ​ （2）过点P，作连则： ​ ​ ​ ​ ​ 同法可得： 令则 ​ ​． 　题型 8　　证明与探究 知识梳理 最短路径与等腰、角平分线、倍分混在一起时，先把"最短"那一问单独摘出来做完，再回到证明；两问之间往往靠"对称 等腰"这条线连着 s29 的结构：第（1）问用角平分线与外角求 第（2）问证 与某线段的关系． 就是在告诉你" 且 "，看到"两个角相等"先翻译成"两条边相等"，再看有没有直角——本讲所有综合题的入口都在这里。 s32 是"倍分 动点"的复合题： 交 于 （1）找出所有等腰三角形，（2）证 （3） 是动点求最短．第（2）问的"一半"照旧只有三个来源（ 对边、斜边中线、三线合一），本题走" 对边"：先算出 在 中得 再证 即可．第（3）问才轮到将军饮马： 分别在两条线上动，双对称拉直．同一道题里"倍分"与"最短"各管一问，不要混着用。 s35 是"探究结论"型： 平分 探究 与 的数量关系．探究题的作答格式：①先猜（写出""这类关系）；②再证（用平行线把角搬到一个三角形里，靠外角或内角和完成）；③最后写"结论成立"．只给结论不证，或只证不写结论，都会被扣分。第（2）问一旦出现" 是动点，求最短"，就立刻切回"双对称"的老路。 综合题的答卷顺序建议：（1）先做"找等腰 / 求角度"这类只依赖图形的小问；（2）再做"证倍分"这类需要辅助线的小问；（3）最后做"求最短"——它往往要重新作对称，前面画的辅助线用不上，别舍不得．本讲最后一道压轴（f13 型" 最小"）还多一层： 使得两块三角形可以旋转重合，先把 转到与 同一条折线上，再用两点之间线段最短，此时答案常是一个比值（如 ）。 易错　①把综合题当纯最短路径题，硬套对称；　②s32 求"一半"不去找三个来源，凭感觉写；　③s35 只写结论不证，或证了不写结论；　④同一题里把"倍分"的辅助线与"最短"的对称点混用；　⑤f13 型不先旋转转移线段。 要点　先摘出"最短"那一问单独做；等角先翻译成等边，"一半"只走三个来源；探究题"猜 证 结论"。 1．  45 度与角平分 如图在中，点在边上，连接满足且点在边上，连接交于点． （1）若平分求的度数； （2）如图若连接证明： （3）在（2）的条件下，如图点在边上，且连接已知直接写出的最小值． 　思路分析　　（1）先由三角形的内角和定理求得再根据三角形的内角和定理求得然后根据角平分线的定义求得进而可求解； （2）作交于点分别证明得到进而由可证得结论； （3）由（2）知，作连接证明得到再证明得到利用两点之间线段最短得到当D、M、共线时取等号，进而得出答案． （1）解： ​ ​ ​ ​解得 ​ ​平分 ​ ​ （2）证明：作交于点 ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ （3）解： ​由（2）知， 作连接 则 又 ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​当D、M、共线时取等号， ​的最小值是7． 2．  BD 等于一半 PC 已知：如图，ABC中，E是AC上的一点，过点C作于D，交BE于点P． （1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； （2）求证：BD=PC； （3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求的度数． 　思路分析　　（1）都是等腰三角形，分别证明ACB=67.5CEP=67.5可得结论； （2）在线段DA上取一点H，使得连接CH，利用全等三角形的性质证明可得结论； （3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时的值最小，证明可得结论． （1）都是等腰三角形， 理由如下： ​ ​ ​ ​ABE=22.5 ​ ​BEC=180ACB=67.5 ​ ​即为等腰三角形， ​ ​ ​ ​ ​DA= DC， ​是等腰三角形， ​ABE=67.5ACB=67.5 ​CEB=67.5 ​ ​是等腰三角形， 综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有 （2）证明：如图，在线段AD上取点H，使连接CH， ​ ​ ​ABC=67.5 ​ACB=67.5 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ； （3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时的周长最小， ​ABC=67.5 ​ABC=22.5 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​GDH=180． 3．  角平分线探究 已知：M、N分别是的边OA、OB上的定点， （1）如图1，若过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，的平分线NE交射线OA于E点．试探究与的数量关系； （2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．当MP+PQ+QN取得最小值时，求的值． 　思路分析　　（1）根据角平分线的性质以及平行线的性质得到利用三角形的外角性质得到2①和②，计算可得 （2）过作点M关于OB的对称点作点N关于OA的对称点连接交OA于点Q，交OB于点P，根据轴对称的性质得到PM+PQ+NQ的最小值为利用轴对称的性质和三角形的外角性质即可计算得到． （1）理由如下： 如图， ​NE是的平分线，MDOB， ​ 在中， ​即2①， 又即②， 由①②得： （2）如图，过作点M关于OB的对称点作点N关于OA的对称点连接交OA于点Q，交OB于点P， ​PM+PQ+ 由两点之间，线段最短，可得PM+PQ+NQ的最小值为 由对称的性质，知：PO，QA， 设 由对顶角的性质得 在中，即 在中，即 ​NQA=180 ​． A 组　基础题 必做｜网格找点、差的最大值、到两点距离相等 1．  网格找点 如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点使最短，则点应选在 （  ） A．点 B．点 C．点 D．点 　思路分析　　本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点连接与的交点即可所求． 解：点关于的对称点连接如图， 由图可知点应选在点；故选：D． 2．  差的最大值 如图，A，B两点都在直线的上方，点A到直线的距离点B到直线的距离点P在直线上运动，则的最大值等于      ． 　思路分析　　本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点由题意可知即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 解：如图，延长交于点 ​ ​当点P运动到点时，最大，即为的长． ​ ​的最大值等于5．故答案为：5． 3．  到两小区距离相等 某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可得． 解：要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该是街道与的线段垂直平分线的交点， 观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B． B 组　提升题 必做｜中垂线求周长、等边三角形配中点、坐标平移与对称 1．  平移与对称作图 在正方形网格中建立如图的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，点的坐标是请解答下列问题： （1）将向下平移单位长度，画出平移后的并写出点的对应点的坐标； （2）画出关于轴对称的并写出的坐标； （3）在轴上求作一点使最小(不写作法，保留作图痕迹)． 　思路分析　　（1）按“向下平移，横坐标不变，纵坐标减”的规律平移顶点，作图并求坐标； （2）按“关于轴对称，纵坐标不变，横坐标相反”的规律作对称点，作图并求坐标； （3）作关于轴的对称点连接与与轴的交点即为使最小的点． （1）解：如图为． 点的坐标为 则将向下平移单位长度后，点的坐标为． （2）解：如图为． 由（1）可知点的坐标为 则将关于轴对称后，点的坐标为． （3）解：如图，点即为所求． 2．  中垂线与两空 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且则       ，的周长的最小值为      ． 　思路分析　　本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握线段垂直平分线的性质，两点间线段最短是解题的关键．连接依据线段垂直平分线的性质可得进而得到依据可知当在同一直线上时，的最小值等于的长，而长不变，故的周长最小值等于的值． 解：如图，连接 ​是的垂直平分线， ​ ​ ​ ​当在同一直线上时，的最小值等于的长，而长不变， ​的周长最小值等于故答案为：． 3．  等边与中点 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接当的值最小时，则的度数为      ． 　思路分析　　作点关于的对称点然后连接交于点连接由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 解：作点关于的对称点然后连接交于点连接 ​是等边三角形， ​ ​ ​平分 ​点是的中点，垂直平分 ​点是的中点， ​平分 ​ ​当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ​ ​垂直平分 ​ ​ 即． C 组　拓展题 选做｜两座桥平移作图、最短路径探究课、旋转转移线段 1．  AM 加 BN 最小 如图所示，中，M、N分别为上动点，且连接当最小时，      ． 　思路分析　　过点B在下方作且连接证明则得到当三点共线时，的值最小，证明则得到即可得到答案． 解：过点B在下方作且连接 ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ 当三点共线时，的值最小， 此时，在和中， ​ ​ ​ ​ ​． 2．  两座桥 【应用意识】如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法） 　思路分析　　根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可． 解：（1）过点作垂足为过点作垂足为 （2）分别在和上截取河的宽度； （3）连接分别交和于点和 （4）过点和分别作和的垂线段，垂足分别为和 （5）连接和．则桥建在和处才能使两村之间的路程最短． 3．  最短路径探究课 数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点连接与直线交于点则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房修建引水渠使得到村庄的距离最短．可过点作于点将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （1）示例1中所包含的数学原理是 （  ）；示例2中所包含的数学原理是 （  ）． A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． （2）直接写出与的数量关系      ． （3）若为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 （4）如图（5），在中，点在斜边上，且是的角平分线，分别为上一点，请直接写出的最小值． 　思路分析　　（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可； （2）根据三线合一得到即可得到 （3）连接交于点F，连接得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； （4）在上取点使，连接证明出得到然后得到当时，最小，求出进而求解即可． （1）解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短． （2）解：在等边三角形中，是的中线 ​ ​ （3）解：如图所示，连接交于点F，连接 ​点为上一点 ​ ​当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ​在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ​ （4）解：如图所示，在上取点使，连接 ​是的角平分线 ​ ​ ​ ​ ​ ​当点G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ​当时，最小 ​ ​ ​ ​ ​ ​的最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4.3  轴对称：将军饮马（章末专题特训 3） 学生版  15.4.3　轴对称：将军饮马 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　一条直线一个动点：和最小与差最大 2 　　题型 2　两条边两个动点：周长最小 4 　　题型 3　一角内来回走：三次折线 6 　　题型 4　垂直平分线：把折线换成直线 8 　　题型 5　角平分线配垂线：从点到线 10 　　题型 6　平行线与桥：平移法 12 　　题型 7　综合实践与史料 14 　　题型 8　证明与探究 17 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 20 　题型 1　　一条直线一个动点：和最小与差最大 知识梳理 两点在直线同侧求 最小：作一点的对称点，拉成一条直线；求 最大：两点在同侧时直接连，两条路正好相反，别记混 同侧 对称 连线（最基本的一条路）． 在直线 的同侧，作 关于 的对称点 连 交 于 则 最小，最小值为 ．理由两句话：对称给出 于是 （两点之间线段最短），取等条件是 三点共线．证明最短路径，永远要写"取等条件"这一句，否则无从说明 就是那个点。 异侧就直接连．若 分居 两侧， 与 的交点就是 不需要作对称．判断顺序：先看两侧还是同侧，再决定作不作对称——很多同学见到"最短"就作对称，异侧题白作一次，把答案算成 "差最大"是反向操作．求 的最大值时，两点在 同侧就把 延长交 于 此时 达到最大（三角形两边之差小于第三边）；两点在异侧才作对称．记法：和最小要"拆开"，差最大要"挤在一条线上"——一个是把折线拉直，一个是让 共线。 s25 / s27 是"先作图再找点"的两问结构：第（1）问画关于坐标轴的对称图形并写坐标（横坐标变号、纵坐标不变），第（2）问在 轴上找 使 最小．做法固定：作 关于 轴的对称点 （纵坐标变号），求直线 与 轴的交点即得 ．不需要写出 的坐标时也要保留作图痕迹（题目要求"保留痕迹"就是给分点）。 s30 多绕一步：先把 换成 ． 是 的垂直平分线， 在 上，故 于是 在 同侧，这时才作对称（或直接用"两点之间线段最短"判断 应在 与 的交点），最小值就是 的长．垂直平分线、角平分线的作用都是"换线段"：先把式子里的线段换成等长的另一条，最短路径的模型才露出来。 易错　①异侧也作对称，最小值多算一段；　②作对称后连错点（连成 而不是 ）；　③只写"最小值为 "，不证取等条件；　④差最大时也作对称；　⑤s30 不知道先用垂直平分线把 换成 要点　和最小：同侧作对称拉直；异侧直接连．差最大：同侧直接连，异侧作对称． 1．  坐标系对称作图 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于y轴对称的并写出和的坐标． （2）在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 　 　 　 　 　 2．  x 轴上找 P 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴的对称图形并写出的坐标； （2）请在轴上确定点的位置，使的值最小（标出点即可）． 　 　 　 　 　 3．  中垂线求最小 如图，在中，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 　 　 　 　题型 2　　两条边两个动点：周长最小 知识梳理 一个定点、两个动点分居两条直线上，求 周长最小：作两次对称得 ，周长最小值 角度题再用外角把 拆成两倍 双对称的标准动作：作 关于第一条直线的对称点 再作 关于第二条直线的对称点 连 与两条直线交于 此时 周长 最小．两次对称、一条连线，四个点（）共线就是答案。 角度怎么算（本类题的真正难点）：由对称得 而 是 的外角，故 ；同理 ．两式相加得 ．于是问题变成"求 "——它是两条对称点连线在原定点处张开的角，由图形算： 落在已知角的哪一侧，就决定它是" 已知角"还是"已知角本身"．c10（）得 c11（）得 f17（）得 ． f24 换了一种张角： 在 上， 在 在 上，求四边形 周长最小时 ．这次对称的是两个定点 （关于 ），对称点连线仍与两轴相交，但张开角变成 ——同一套推导，换了"谁是定点"，所以答案不是套 的公式，而是老老实实按图算 ． c01 是"可行性判断"而不是求最小：牧马人从 到 再到 回到 最短总路程不小于 （ 到两线的距离），用双对称把三段折线拉成一条，再和选项比大小．这类题的策略：先估下界（对称后两点间距离），再看选项哪个"可能"，不必算出精确值——只要选项里小于下界的全部排除。 作图题的画面要求（双对称最容易画糊）：①两个对称点分居两轴外侧，虚线连到轴上；②对称点用 标清（一撇与两撇别混）；③连线 与两轴的交点依次标 ④最后补一句"此时周长最小"，题目问的是"当……最小时"，不补这句不算答完。 易错　①只作一次对称（周长最小值算成一段折线）；　② 与 的倍数关系搞反（应为 倍）；　③f24 硬套" 已知角"的公式；　④c01 真的去算精确值，时间全耗光；　⑤作图不标对称点、不写"此时最小"。 要点　双对称 一条连线；（外角），角度题最后都归到 1．  五边形 142 度 如图，在五边形中，．在上分别找一点使得的周长最小时，则的度数为  （  ） A． B． C． D． 2．  四边形 120 度 如图，四边形中，在上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3．  四边形 105 度 如图，在四边形中，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则       　 4．  两个定点两个动点 如图，在中，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是      ． 　 5．  牧马人三段路程 如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为则牧马人所走最短的放牧总路程可能是 （  ） A． B． C． D． 　题型 3　　一角内来回走：三次折线 知识梳理 定点在角内，先到一边、再到另一边、回到定点：作两次对称，把三段折线拉成一条；若题里还有"到直线距离最短"，就再加一个垂线段 f14 是全模型的原型： 在 内部，先到 上一点 再到 上一点 最后回 求 最小．作 关于 的对称点 关于 的对称点 ，则 四点在一条直线上时取最小．这一次对称的是同一个点 两条对称轴是角的两边，和上一题型的"一个定点两个动点"是同一张图。 角的大小直接决定答案：由对称得 于是 是等腰三角形，底角 ．再由对称把 都换成这个底角，．f14 的 得 ．这个式子要会现场推，不要背——换了图（如 不在角平分线上）结论就变。 c07 把"角"改成了"两个角的差"： 是两边上的定点， 是两边上的动点，求 最小时 的值．这时的对称对象是定点 （分别关于 ），拉直后 都变成等腰三角形的底角或外角，作差时把两个角都写成 的表达式， 这个数就出来了．"求角的差"类题的通用打法：把所有角用同一个已知角表示，再相减。 c06 多一个"垂线段最短"： 平分 在 在 在 上，求 最小时的 ．先把 分别关于 对称，三段折线拉成 注意这里光"拉直"还不够—— 都在动，所以还要让 垂直于 （垂线段最短），这一步是本册唯一"两条定理连用"的地方：先对称拉直，再用垂线段取极值．剩下的全是角度加减：逐步算出 ． 这类题的作答结构（照抄即可）：①作对称点、写"由对称得 "；②写" 共线时取最小"；③算 ④在等腰 中求底角；⑤用对称把底角搬回原图，得所求角．五步一步都不能少，中间任何一步省略都会被判"推理不完整"。 易错　①把对称轴选错（该关于 的对称成 ）；　② 写成 （漏了 倍）；　③c06 只用对称不用垂线段，最小值取不到；　④c07 把 写成 　⑤不写"共线时取最小"，结论悬空。 要点　定点在角内 两次对称拉直；角度靠" 等腰底角"；若两端点都在动，再加垂线段最短。 1．  24 度与三动点 如图，已知平分在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为 （  ） A． B． C． D． 2．  25 度与角之差 如图，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记==当MP＋PQ＋QN最小时，则的值为  （  ） A． B． C． D． 3．  55 度来回走 如图，已知点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则      ． 　 　题型 4　　垂直平分线：把折线换成直线 知识梳理 垂直平分线上的点到两端距离相等，先用它把 换成 （或 ），再用"两点之间线段最短"或"垂线段最短"取极值 第一个动作永远是"换线段"： 是 的垂直平分线、 在 上，则 所以 ．换完之后， 就不必再管了——式子变成"两个定点 与动点 "，而 被约束在直线 上，这正是上一讲的"一条直线一个动点"模型．判据：题里出现"垂直平分线"四个字，先想"能换成哪条线段"。 f18 / f19 的"周长最小"： 周长 其中 是定值，所以只要求 最小，也就是 最小； 是定点， 的最小值就是线段 （当 落在 与 的交点时取到）．围长型题目的通用拆法：先把定长边摘出去，剩下的两段用"换 连"解决。 f20 / f21 多一个"点 也在动"： 最小， 在 上、 在 上，先用垂直平分线把 换成 ，于是要 最小；此时 都在 这一条线上？不是—— 是定点、 在 上动，所以 而当 在 上时取等，于是问题化成" 到 上一点的最小距离"，答案往往是某条垂线段（也就是高）：f20 的 立刻给出高 ．"面积给了、底给了"就是让你求高的信号。 f22 反着用：已知 的最小值为 求 ．把"最小值"当条件用： 且 是 的垂直平分线（因 型对称），对称后最小值对应某条垂线段，反解出 ．这类"给最小值求长度"的题，一定要先把最小值写成一条具体线段的长度，否则方程列不出来。 注意 的括号"不在 的延长线上"：这是取值范围限制，说明 取最优位置时恰好落在延长线的禁区里，要退到边界点取最值．题里的括号补充说明几乎都是"边界条件"，看到就当提醒：最优解可能落在端点。 易错　①不知道用垂直平分线换线段，直接作对称（多绕一圈还容易错）；　②周长最小把定长边也算进最小值；　③f20 换完不判断" 在 上"的取等条件；　④f22 把最小值当成某个已知线段，不建方程；　⑤忽略"不在延长线上"这类边界限制。 要点　垂直平分线 换线段 退回"两点一线"模型；周长最小先摘定长边；给最小值反求长度时先把最小值写成一条线段。 1．  中垂线与周长 如图，在中，垂直平分交于点G，交于点D，P为直线上一动点（不在的延长线上），连接则周长的最小值是      ． 　 2．  两动点求最小 如图，中，垂直平分分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是       　 3．  PB 加 PD 最小 如图，在中，于点垂直平分交于点在上确定一点使最小，则这个最小值为      ． 　 4．  给最小值求 AB 如图，在中，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为      ． 　 　题型 5　　角平分线配垂线：从点到线 知识梳理 角平分线也是"对称轴"：把一点关于角平分线作对称，折线立刻变成"点到直线"的距离问题，此时用垂线段最短取极值 为什么可以关于角平分线作对称：角平分线上的点到两边距离相等，所以角平分线就是那个角的对称轴．把 关于 的平分线 作对称，得到落在 上的 则 于是 ．这一步把"两段折线"变成"一个点到一条直线"。 接着用垂线段最短： 是定点， 在 上动，所以 的最小值就是 到 的距离，即过 作 的垂线段．c12 的算例： 平分 在 在 把 关于 作对称得落在 （或其延长线）上的 则 最小值就是 到 的垂线段；再用 与 求这条垂线段．别背数字，背动作：对称 定下定点 作垂线 算这条垂线段。 f15 的算例（ 平分 在 在 ）：把 关于 作对称，对称点 落在 上（因为 是 的平分线），于是 而 在 上动，最小值就是 到 的距离，由 面积 得这条高 ． 这两个数就是为"求高"准备的，看到"一个边长 一个面积"，就去写 边 高。 c03 的图形更复杂，但动作一样： 平分 在 上、 在 上，求 最小． 是角平分线，故 关于 的对称点 在 上；由 知 与 垂直，对称之后 转化成 ， 在 上，最终落到"定点到定直线的垂线段"上．复杂图形不要慌，先问三句：对称轴是哪条？谁变到哪去？最后是"点到点"还是"点到线"。 这一类与上一类的分界：垂直平分线换完仍是"点到点"（用两点之间线段最短）；角平分线换完往往是"点到线"（用垂线段最短）．判据就一句：换完之后另一个动点是不是在一条直线上自由跑——在直线上就跑"点到线"，在另一条固定折线上就跑"点到点"。 易错　①把角平分线当普通线段，不作对称；　②对称点落在哪条边上判断错（ 平分 的对称点在 上）；　③换完仍按"两点之间"处理，忘了垂线段；　④f15、c12 不去用面积求高；　⑤最终答案写成"垂足位置"，题目要的是长度。 要点　角平分线是对称轴 作对称 变成"点到直线" 垂线段最短；面积 边长 求高的现成条件。 1．  角平分线与两动点 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为 （  ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．  角平分线与面积 如图，在锐角三角形中，的面积为18，平分若E，F分别是上的动点，则的最小值为 （  ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．  角平分线配动点 如图，在中，的面积为12，平分交于分别是和上的动点，连接则的最小值为      ． 　 　题型 6　　平行线与桥：平移法 知识梳理 过河要建垂直于河岸的桥：桥长 河宽是定值，把上游的点沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，桥就"消失"了，剩下两点之间线段最短 核心一句话：定长段先平移掉．求 最小且 河宽（定值），把 沿垂直于河岸的方向平移河宽到 ，则 且 四边形 是平行四边形，于是 ．定值那段最后加上去，动的位置由 与河岸的交点决定。 c02 / c05 考的是"哪种作图正确"：错误选项通常犯三种错——①平移方向错（没沿垂直于河岸的方向移）；②平移距离错（没移一个河宽，或移了两个河宽）；③只对一个点作对称/平移，另一个点原地不动．判断口诀：两个点都要动，动的是"离桥远"的那个，动的方向与桥平行。c02 里 在北渠外侧、 在南渠外侧，把 沿渡槽方向平移一个渠宽即可，受两条渠影响的题只平移一次（因为只有一段 ）。 s33 是"只画图不写理由"的题：一座桥、两条平行河岸．作图步骤：①把 沿垂直河岸方向平移河宽到 ②连 交近岸于 ③过 作河岸的垂线交远岸于 就是桥；④连 路径 即为所求．保留痕迹、不必写理由，但桥必须与河岸垂直，画斜了整题作废。 s34 是两座桥：两条河、两个河宽（题说"宽度相同且保持不变"）．两次平移： 平移 得 再把 平移 得 （同方向连续平移），连 回推两次得两个桥的位置．河宽相同就可以合并成"一次平移 "，速度更快；河宽不同就必须分两步。两桥题的易错点：两座桥的平移方向必须一致，一上一下就连不成直线。 c04 是"方案比较"型，考的是判断而不是作图：路要绕开长方形保护区，四种铺法里只有一种同时满足"总长最短"与"不能穿过保护区"．做法：把每种方案的两段折线各自拉直（作对称或直接连），比较长度，再验是否穿区．"最短"与"可行"必须都满足——很多选项输在"路穿过了保护区"，长度再短也不算．这类题的答题句式：先排除穿区的，再在剩下的里面比长度。 易错　①平移方向不垂直于河岸；　②平移距离用成一个河宽的一半或两倍；　③只平移一个点却把桥长算两遍；　④s33 画的桥与河岸不垂直；　⑤s34 两座桥平移方向相反；　⑥c04 只看长度不看是否穿区。 要点　定长段（桥长）先平移掉 两点连线 回推桥位；两座桥就平移两次（河宽相同可合并）。 1．  渡槽与两渠 如图所示，农田间有两条平行灌溉渠渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是 （  ） A． B． C． D． 2．  燃气管道四方案 如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点连接交l于点G，连接则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点连接交l于点H，连接则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是 （  ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 3．  河上建桥选图 直线表示一条河的两岸，且若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是 （  ） A． B． C． D． 4．  一桥作图 如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 　 　 　 　题型 7　　综合实践与史料 知识梳理 阅读材料题的答案全在材料里：先把"古人的问题"翻译成"两点一线"的模型，再照材料给的思路补完剩下的推理 s26 从诗句出发："白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河"，问题就是"从 到河边饮马再回 怎么走最短"．第一步翻译：河边是一条直线 是河同侧的两个点，求 上一点 使 最小——这就是最基础的将军饮马，一句诗换了个包装而已．阅读题的分数多半丢在"没有把文字翻译成模型"，翻译完写一句"即求直线 上一点 使 最小"，后面的解答才有得分点。 s36 是"补完小华思路"的题：材料已经给了"作 关于 的对称点 连 交 于 "，你要做的是把"为什么最短"写完整：①对 上任一点 都有 （对称）；②故 （两点之间线段最短）；③当 与 重合（三点共线）时取等号．"任取一点 再证不等式"是证明最短路径的唯一合法格式——只对 本身算一遍长度是无效证明。 材料题的三步读法：①圈出结论要什么（是求长度、求角度，还是判断"哪个方案对"）；②圈出材料给的方法（作对称？平移？还是作垂线？）；③把材料的方法套到本题的图上，只补材料没写完的那几步，不要另起炉灶．很多同学把材料题当新题做，从头推一遍，时间不够还容易错。 [[TBL]] 方框材料的读法（s26 就是这种排版）：方框里的内容是题目的组成部分，按行读、按行抄，遇到"图（1）""图（2）"的标注要立刻在图里找到对应位置；分栏排的方框容易漏行，读完回头数一遍共有几行小字，数量对上才说明没漏。 易错　①读了材料不翻译成数学模型，直接列式；　②s36 只验证 一个点，不"任取 "；　③材料给的方法不用，自己另想一套；　④方框材料漏行、图注对不上；　⑤答"最短"却不写取等条件。 要点　史料只是包装：翻译成"两点一线"再照材料补完推理；证明最短必须任取一点 再比较。 1．  古从军行 综合与实践 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点连接． ​点B、关于直线l对称，点C、在直线l上， ​       ，       ， ​       ． ​在中， ​       即最小． 【解决问题】 任务一　请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二　如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三　如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥则这座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2．  小华的思路 【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点连接与直线l交于点P．由对称可得所以当P、B三点共线的时候，此时最小． 如图②，在直线l上找一点P，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点连接并延长交直线l交于点P．由对称可得所以当P、B三点共线的时候，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动． ①求a，b的值； ②当最小时，求点P的坐标； ③令当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足当t的值最大时，若点M、N分别是线段上的动点，且连接当最小时，求点M的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 8　　证明与探究 知识梳理 最短路径与等腰、角平分线、倍分混在一起时，先把"最短"那一问单独摘出来做完，再回到证明；两问之间往往靠"对称 等腰"这条线连着 s29 的结构：第（1）问用角平分线与外角求 第（2）问证 与某线段的关系． 就是在告诉你" 且 "，看到"两个角相等"先翻译成"两条边相等"，再看有没有直角——本讲所有综合题的入口都在这里。 s32 是"倍分 动点"的复合题： 交 于 （1）找出所有等腰三角形，（2）证 （3） 是动点求最短．第（2）问的"一半"照旧只有三个来源（ 对边、斜边中线、三线合一），本题走" 对边"：先算出 在 中得 再证 即可．第（3）问才轮到将军饮马： 分别在两条线上动，双对称拉直．同一道题里"倍分"与"最短"各管一问，不要混着用。 s35 是"探究结论"型： 平分 探究 与 的数量关系．探究题的作答格式：①先猜（写出""这类关系）；②再证（用平行线把角搬到一个三角形里，靠外角或内角和完成）；③最后写"结论成立"．只给结论不证，或只证不写结论，都会被扣分。第（2）问一旦出现" 是动点，求最短"，就立刻切回"双对称"的老路。 综合题的答卷顺序建议：（1）先做"找等腰 / 求角度"这类只依赖图形的小问；（2）再做"证倍分"这类需要辅助线的小问；（3）最后做"求最短"——它往往要重新作对称，前面画的辅助线用不上，别舍不得．本讲最后一道压轴（f13 型" 最小"）还多一层： 使得两块三角形可以旋转重合，先把 转到与 同一条折线上，再用两点之间线段最短，此时答案常是一个比值（如 ）。 易错　①把综合题当纯最短路径题，硬套对称；　②s32 求"一半"不去找三个来源，凭感觉写；　③s35 只写结论不证，或证了不写结论；　④同一题里把"倍分"的辅助线与"最短"的对称点混用；　⑤f13 型不先旋转转移线段。 要点　先摘出"最短"那一问单独做；等角先翻译成等边，"一半"只走三个来源；探究题"猜 证 结论"。 1．  45 度与角平分 如图在中，点在边上，连接满足且点在边上，连接交于点． （1）若平分求的度数； （2）如图若连接证明： （3）在（2）的条件下，如图点在边上，且连接已知直接写出的最小值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2．  BD 等于一半 PC 已知：如图，ABC中，E是AC上的一点，过点C作于D，交BE于点P． （1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； （2）求证：BD=PC； （3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 3．  角平分线探究 已知：M、N分别是的边OA、OB上的定点， （1）如图1，若过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，的平分线NE交射线OA于E点．试探究与的数量关系； （2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．当MP+PQ+QN取得最小值时，求的值． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜网格找点、差的最大值、到两点距离相等 1．  网格找点 如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点使最短，则点应选在 （  ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．  差的最大值 如图，A，B两点都在直线的上方，点A到直线的距离点B到直线的距离点P在直线上运动，则的最大值等于      ． 　 3．  到两小区距离相等 某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在 （  ） A． B． C． D． B 组　提升题 必做｜中垂线求周长、等边三角形配中点、坐标平移与对称 1．  平移与对称作图 在正方形网格中建立如图的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，点的坐标是请解答下列问题： （1）将向下平移单位长度，画出平移后的并写出点的对应点的坐标； （2）画出关于轴对称的并写出的坐标； （3）在轴上求作一点使最小(不写作法，保留作图痕迹)． 　 　 　 　 　 　 　 2．  中垂线与两空 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且则       ，的周长的最小值为      ． 　 3．  等边与中点 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接当的值最小时，则的度数为      ． 　 C 组　拓展题 选做｜两座桥平移作图、最短路径探究课、旋转转移线段 1．  AM 加 BN 最小 如图所示，中，M、N分别为上动点，且连接当最小时，      ． 　 2．  两座桥 【应用意识】如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法） 　 　 　 3．  最短路径探究课 数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点连接与直线交于点则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房修建引水渠使得到村庄的距离最短．可过点作于点将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （1）示例1中所包含的数学原理是 （  ）；示例2中所包含的数学原理是 （  ）． A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． （2）直接写出与的数量关系      ． （3）若为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 （4）如图（5），在中，点在斜边上，且是的角平分线，分别为上一点，请直接写出的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $