第15章 轴对称（将军饮马问题） 2026-2027学年人教版数学八年级上学期

本初中数学讲义聚焦“将军饮马”问题，系统梳理两定一动、一定两动、两动两定及平移线段型等四类最短路径模型，通过条件与结论对应表构建从基础到复杂的知识支架，衔接轴对称性质与勾股定理应用。 资料以分类梳理培养数学抽象与几何直观，题型演练从例题到变式拓展提升推理能力，易错点提示强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺，提升解决路径问题的综合能力。

目录 第5讲：将军饮马 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 4 【题型一：两定一动】 4 【题型二：一定两动】 6 【题型三：两动两定】 12 【题型四：平移线段型】 13 1 学科网（北京）股份有限公司 第5讲：将军饮马 【知识梳理】 类型 两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 类型 一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型 两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型 平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 【拓展知识点】 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 【题型演练】 【题型一：两定一动】 【例题1】如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为______． 【练习1-1】如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．10 【练习1-2】如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，则的周长的最小值是______．    【练习1-3】如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，若使最小，则这个最小值为（  ） A． B．3 C． D． 【例题2-1】转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【例题2-2】如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为______． 【练习2-1】如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为______________． 【练习2-2】如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【题型二：一定两动】 【例题3-1】如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为______． 【例题3-2】 如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．10 B． C．12 D． 【练习3-1】如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D． 【练习3-2】 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【练习3-3】 如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 【变式拓展1】如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值______．    【变式拓展2】如图，在中，，，，， （1）点到直线的距离：____． （2）动点在内，且使得的面积为12，点为上的动点，则的最小值为____． 【变式拓展3】如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接． (1)当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，求当取最小时的长． 【例题4-1】唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【例题4-2】如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为______． 【练习4-1】如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为_________． 【练习4-2】如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为______． 【练习4-3】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____． 【练习4-4】如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是______． 【练习4-5】如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是________． 【练习4-6】如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为__________． 【练习4-7】如图1，且，轴于点B，轴于点D．    (1)若A点的坐标是，则C点的坐标是______； (2)如图2，连接交于点P，求证：P为中点； (3)在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 【题型三：两动两定】 【例题5】如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是_________． 【练习5-1】如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________． 【练习5-2】如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（    ）    A．5 B．7 C．8 D．10 【练习5-3】如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 ___． 【变式拓展1】 如图，，点M、N分别是边上的定点，点P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则=_____． 【题型四：平移线段型】 【例题6-1】如图，一条河的两岸有，两个村庄，河宽为2千米，，两村庄的直线距离为13千米，，两村庄到河岸的距离分别为1千米、2千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近村庄的河岸上一点，则的最小值为（     ） A．12千米 B．千米 C．千米 D．千米 【例题6-2】如图，在腰长为4的等腰中，E为边的中点，H为边的中点，F，G为斜边上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为______． 【例题6-3】 如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【练习6-1】如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为_______． $ 目录 第5讲：将军饮马 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 4 【题型一：两定一动】 4 【题型二：一定两动】 14 【题型三：两动两定】 35 【题型四：平移线段型】 40 1 学科网（北京）股份有限公司 第5讲：将军饮马 【知识梳理】 类型 两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 类型 一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型 两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型 平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 【拓展知识点】 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 【题型演练】 【题型一：两定一动】 【例题1】如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，轴对称——最短路线问题等知识，由是等边三角形，是边上的高，则，平分，，所以， 作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为，故，即有最小值，为，再证明是等边三角形，所以，从而可得的最小值为，正确地画出图形找到的最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，平分，， ∴， 如图，作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为， ∴， ∴，即有最小值，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【练习1-1】如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．10 【答案】A 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的判定和性质 【分析】在上截取，连接，交于点，得到是等边三角形，利用等边三角形三线合一，得到，进而得到，找到当三点共线时，最小，连接并延长交于，利用等边三角形的三条高线相等，以及，求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵是等边三角形，E是的中点， ∴， 连接并延长交于， ∵等边三角形三条高交于一点，且三条高相等， ∴，， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，以及轴对称的性质．熟练掌握等边三角形的性质，利用轴对称解决线段的和最小问题，是解题的关键． 【练习1-2】如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，则的周长的最小值是______．    【答案】 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，作轴于，再利用勾股定理分别求出和的长，进而解决问题． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小， 作轴于，   ， ， ，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【练习1-3】如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，若使最小，则这个最小值为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短 【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 设与交于点，连接、，由于点与关于对称，，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为，可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：设与交于点，连接、． ∵点与关于对称， ∴，， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点在点时，最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵正方形的面积为， ∴， 又∵是等边三角形， ∴． 故选：D． 【例题2-1】转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【答案】 （1）如下图点即为所求作； （2）如下图点即为所求作； （3）4（4）3 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的应用，根据轴对称的性质解决问题是解题关键， （1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求作； （2）作点A关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，则，则点P即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则，则点P即为所求，求出最大值即可； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则点P即为所求； 在中，，， 由对称性可知，， 则， 是等边三角形， ； 则的最大值为4； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求， 连接， 在中，，，， 是等边三角形，， ， ， 点为中点， ， ， 则的最小值为3． 【例题2-2】如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为______． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键在于找出的最大值情况． 将线段沿射线翻折，得到线段，连接，，由轴对称性质可知，，进而得到，结合，三角形三边关系，推出当三点共线时，的最大值为，最后结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将线段沿射线翻折，得到线段，连接，， ，，，， 由轴对称性质可知，， ， ， ， 当三点共线时，的最大值为， ， 的最大值为； 故答案为：． 【练习2-1】如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为______________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点，连接，进而得到，进而得到当三点共线时，的最大值为的长，证明为等边三角形，进而得到的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊三角形． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 【练习2-2】如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 【题型二：一定两动】 【例题3-1】如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，垂线段的性质．作E关于的对称点M，连接，，过B作于N，由轴对称得，由三角形三边关系可得，由垂线段最短可得，进而可得的最小值为的长度，因此利用等面积法求出即可． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接，，过B作于N， 由轴对称得， ， 由垂线段最短可得， 的最小值为的长度． ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【例题3-2】 如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，勾股定理，根据垂线段最短，确定是的最小值解决问题的关键． 作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【练习3-1】如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点关于的对称点，连接，，过点作于点．根据两点之间线段最短，且垂线段最短得出当点在点处时，最小，且最小值为，理由等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点C、P、在同一直线上，且时，最小，即最小， ∴当点在点处时，最小，且最小值为， ，，， ∴， ， ， 的最小值为． 故选：D． 【练习3-2】 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【练习3-3】 如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了轴对称求最短路径的问题，准确做出辅助线求解是解题的关键． 将沿翻折得，得到，证明是等边三角形，判断的最小值的情况，即可得解． 【详解】解：将沿翻折得，过点作于点， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 要使最小，则， ， 即的最小值与长度相等． 故选． 【变式拓展1】如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值______．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、线段问题(轴对称综合题)、垂线段最短 【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则， ∴， ∵点E别是上的动点， ∴时，有最小值 ∵， ∴ 故答案为： 【变式拓展2】如图，在中，，，，， （1）点到直线的距离：____． （2）动点在内，且使得的面积为12，点为上的动点，则的最小值为____． 【答案】 / / 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）利用等积法即可求解； （2）过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，，过点E作于点H，由的面积为12即可求出，由对称得，，则，当点三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，再对运用等面积法即可求出． 【详解】解：（1）设点到直线的距离为， ∵，∴， 故答案为：； （2）过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，过点E作于点H， ，， ，则， ∴， 由对称性得，， ， 当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，如下图． ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式拓展3】如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接． (1)当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，求当取最小时的长． 【答案】(1)5 (2)或或 (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直角三角形的性质可求出，根据轴对称的性质解答即可； （2）分和两种情况，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （3）如图：在上截取，连接、，然后利用三角形的三边关系说明当，且点Q在上时，的值最小；如图：过P作，易得，然后根据轴对称的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是四边形的对称轴时， ． （2）解：当时，， ，平分， ， ， 当时，， ； 当时，． 综上，或或． （3）解：如图：在上截取，连接、， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ∴，且的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∴当，且点Q在上时，的值最小 如图：过P作， ∵点是的中点，， ∴，， ， ∴， ． 【例题4-1】唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【例题4-2】如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、三线合一 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长，再根据垂线段最短，得到时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴是等边三角形， 如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ， ， ， ∴， ∴ ， ， 最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴， ∴ 的最小值为， 的周长的最小值为， 故答案为：． 【练习4-1】如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为_________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N，的周长最小值为，然后得到等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图所示：分别作点关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N． 则，，， 根据轴对称的性质，可得，， 则的周长最小为点C、M、N和D四点共线，最小值为， ∴， 在等腰中，， 则， 故答案为：． 【练习4-2】如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为______． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M、N的位置是解题关键． 根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ， ∴，， 在中，， ∴周长的最小值． 故答案为：． 【练习4-3】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 【练习4-4】如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是______． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径问题、三角形的内角和定理，构造辅助线求解的周长最小值是解题的关键． 首先根据轴对称构造辅助线，得到当点，P，三点共线时，的周长取得最小值为，在此情况下求解结合三角形的内角和定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q， ∵点D关于的对称点，关于的对称点， ∴， ∴， ∴当点，P，三点共线时，的周长取得最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由轴对称可得：，， ∴，， ∴， ∴． 【练习4-5】如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是________． 【答案】30 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 根据对称的性质可知，，再根据即可求出周长． 【详解】∵点P关于，的对称点分别为点，， ∴， ∵， ∴的周长． 故答案为：30． 【练习4-6】如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为__________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形面积公式．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据题意可得，，可得到，，再由三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴的面积为． 故答案为：． 【练习4-7】如图1，且，轴于点B，轴于点D．    (1)若A点的坐标是，则C点的坐标是______； (2)如图2，连接交于点P，求证：P为中点； (3)在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：如图2中，作交于H．    ∵轴，轴，，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点P为中点； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求点到坐标轴的距离、全等三角形综合问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）作交于H．证明，可得，即可求解； （3）作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，根据题意可得E、O、F共线，从而得到，进而得到当E、M、N、F共线时，有最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点的坐标是， ∴， ∴C点的坐标是； 故答案为： （2）略 （3）解：作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，    ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、O、F共线， ∴， ∵ ∴当E、M、N、F共线时，有最小值为， ∵，P为中点， ∴，，， ∴， ∴最小值． 【题型三：两动两定】 【例题5】如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是_________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短 【分析】本题考查了两个动点的三线段和的最小值，勾股定理，对称的性质；分别作出两个定点关于定直线的对称点，根据三点共线时，和最小计算即可． 【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示： 连接，其长度即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习5-1】如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________． 【答案】 4 /20度 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果，先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 【详解】作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接， 则， ∴ ∴为的最小值． ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 即的值最小为4 当取得最小值时， 由作图知 故答案为： 4，． 【练习5-2】如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（    ）    A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接，可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度，利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接．    根据轴对称图形的性质可知，， ∴． 根据题意可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度． 根据轴对称图形的性质可知，， ∴． ∴． 根据轴对称图形的性质可知，， ∴． ∴的最小值等于． 故选：． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质和勾股定理，根据题目要求构建轴对称图形是解题的关键． 【练习5-3】如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 ___． 【答案】 【知识点】最短路径问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，，当在同一条直线上时取最小值，连接，过点作交的反向延长线于点，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而在和中，勾股定理求得，进而求得． 【详解】如图，作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则， ， 当在同一条直线上时取最小值，连接，过点作交的反向延长线于点， ， 则， ， , 在中， 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，构造特殊三角形是解题的关键． 【变式拓展1】 如图，，点M、N分别是边上的定点，点P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则=_____． 【答案】36°/36度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段问题(轴对称综合题)、三角形内角和定理的应用 【分析】如图，作关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，则最小时，易知，，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于， 当最小时， ，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短问题，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型四：平移线段型】 【例题6-1】如图，一条河的两岸有，两个村庄，河宽为2千米，，两村庄的直线距离为13千米，，两村庄到河岸的距离分别为1千米、2千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近村庄的河岸上一点，则的最小值为（     ） A．12千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题解题关键在于作出正确的示意图，取关于下方河岸的对称点，任意在两边河岸取点满足垂直于两岸，连接，证明出四边形是平行四边形后得到，则的最小值转化为三点共线时线段和最短的问题，再构造直角三角形即可通过勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取关于下方河岸的对称点，过点作垂直河岸于点，取点使垂直于两岸，连接，过点作的延长线于点 千米，千米，千米，千米 千米， 都垂直于河岸， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 显然当三点共线时，最小且等于， 由勾股定理得千米， 千米， 最小值为千米． 【例题6-2】如图，在腰长为4的等腰中，E为边的中点，H为边的中点，F，G为斜边上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】如图，连接，在上取点使，连接，作点E关于的对称点，连接，证明四边形是平行四边形，得到，当点，F，D三点共线时，取得最小值，即的长度，如图，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，连接，求出和，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上取点使，连接，作点E关于的对称点，连接， ∵E为边的中点，H为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴当点，F，D三点共线时，取得最小值，即的长度， 如图，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，连接， ∵腰长为4的等腰 ∴，，， ∵E为边的中点，H为边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴点D为的中点， ∴点D的坐标为，即， 由折叠得，，， ∴，即轴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【例题6-3】 如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【答案】/ 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ， ． ，， ∴四边形为平行四边形， ． ，，三点共线， 此时的周长最小． ， ，即， ， 周长的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【练习6-1】如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】过C作的对称点，连接，交于N；过作，且，过作于F，交于E，的长度即为所求最小值，根据含度的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过C作的对称点，连接，交于N；过作，且，过作于F，交于E，的长度即为所求最小值， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过作，则， ∴，   ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 即：的最小值为． 【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题．同时考查了平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握轴对称的性质，确定线段和的最小值，是解题的关键． $