专题 16.1 幂的运算【知识梳理+题型精析+拓广探究】 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题 16.1 幂的运算【知识梳理+题型精析+拓展探究】 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】同底数幂的乘法 2 【知识点二】幂的乘方 2 【知识点三】积的乘方 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】同底数幂乘法计算 2 【题型 2】幂的乘方、积的乘方基础运算 4 【题型 3】同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方基础逆运算 5 四.题型精析（综合提升） 7 【题型 4】幂的四则混合运算 7 【题型 5】幂运算法则逆用——整体代入求值 9 【题型 6】利用幂运算求参数 11 五.拓广探究 13 【题型 7】幂运算拓展探究 13 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 结合乘方的意义，经历幂的运算性质的推导过程，理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法的运算法则，掌握人教版教材规定的核心运算规律。 2. 精准区分幂的各类运算法则，辨析幂运算与整式加减运算的区别，规避高频易错运算误区，夯实整式运算基础。 3. 熟练正向运用幂的公式解题，掌握公式逆向运用技巧，能够解决代数式求值、参数求解、简便运算等同步、月考高频题型。 【重难点】 重点：掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法四大核心运算法则，熟练进行正向运算化简。 难点：幂运算公式的逆向运用；底数为负数、多项式时的符号化简；幂的混合运算；整体代入求值；利用同底数幂性质求解参数。 二.知识梳理与解读 教材通用约定：无特殊说明时，所有字母指数均为正整数。 【知识点一】同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：（为正整数） 推广公式：； 逆用公式： 教材核心解读：底数必须完全相同才可直接运算；单独字母默认指数为1，不可遗漏；底数可以是数字、单项式、多项式整体；负底数幂需根据指数奇偶性判断符号。 【知识点二】幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：（为正整数） 推广公式：； 逆用公式： 教材核心解读：区别于同底数幂乘法（指数相加），幂的乘方为指数相乘，是本章最核心的辨析考点，多重乘方可连续套用公式。 【知识点三】积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：（为正整数）推广公式：； 逆用公式： 教材核心解读：积中所有因式（系数、字母、常数）必须全部乘方，不可遗漏；常用于大数、分数的简便运算，负因式乘方由指数奇偶性决定符号。 三.题型精析（夯实基础） 模块说明：对标教材课后基础习题，单一公式运用，侧重基础巩固、符号辨析，适配课堂同步训练。 【题型 1】同底数幂乘法计算 考查核心：基础公式正向运用、负底数幂化简、多项式底数幂运算 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；；（2）（3） （1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式1】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和合并同类项法则，进行解答，即可． 解：A选项： ， 选项计算正确； B选项：，选项计算错误； C选项： ，选项计算错误； D选项：，选项计算错误． 【变式2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）若，则________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则化简等式左侧，将右侧常数转化为以为底的幂，再根据同底数幂相等则指数相等求解． 解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 又∵， ∴原等式可化为， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型 2】幂的乘方、积的乘方基础运算 考查核心：乘方公式正向计算、系数与负号处理、运算正误辨析 【例题2】（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列计算是否正确，并说明理由： （1）； （2）． 【答案】（1）解：计算错误，理由：积的乘方等于各因式乘方的积，； （2）解：计算错误，理由：积的乘方等于各因式乘方的积，． 【分析】积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方，底数不变，指数相乘，由此解答即可． 解：（1）略； （2）略． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A：，本选项计算错误； 选项B：，本选项计算错误； 选项C：，本选项计算错误； 选项D：，本选项计算正确． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）_________． 【答案】 解：． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【题型 3】同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方基础逆运算 考查核心：幂的乘方逆向计算、系数与负号处理、运算正误辨析 【例题3】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知，求下面的值． （1） （2） 【答案】（1）17；（2）108 【分析】（1）逆用幂的乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：， ∴． 【变式1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】观察到两幂指数相同，逆用积的乘方简化计算． 解：． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）若，，则__________． 【答案】8 【分析】根据同底数幂乘法的逆用将原式整理为，然后进一步计算即可． 解：∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）63；（2）196 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． （1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算． （1）解： 已知，代入得： ； （2）解： 已知，代入得： ． 四.题型精析（综合提升） 模块说明：对标月考、单元测中档题型，融合多法则混合运算、公式逆用、参数求解，难度中等。 【题型 4】幂的四则混合运算 考查核心：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”运算顺序，综合化简、合并同类项 【例题4】（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）本题考查积的乘方、幂的乘方运算，根据幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，利用负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算后合并同类项即可． （2）本题考查幂运算的简便运算（逆用积的乘方公式），利用互为倒数的两个数乘积为，的任意整数次幂都等于，简化计算从而得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一计算各选项，即可判断出正确结果． 解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，∴，A错误； 选项B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B错误； 选项C：∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∴，C错误； 选项D：∵逆用积的乘方法则可得 ，∴，D正确． 【变式2】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）计算：__． 【答案】 解：原式. 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型 5】幂运算法则逆用——整体代入求值 考查核心：公式逆用、整体代换思想、幂的简便运算、代数式求值 【例题5】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）求值： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）75；（2）8 解：（1） （2）由已知，， 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算；将1.5化为分数，并利用积的乘方逆用法则化简即可. 解：原式 . 故选：B. 【变式2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知，，则______． 【答案】/0.75 【分析】先计算，再代入，计算解题即可． 解：，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的运算，涉及幂的乘方、幂的除法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式3】（25-26七年级下·广西贺州·阶段检测）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式． 【题型 6】利用幂运算求参数 考查核心：统一底数、同底数幂相等则指数相等、构建方程求参数取值分析 【例题6】（25-26七年级下·河北承德·期末）规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． （1）根据上述规定，填空：__________，__________； （2）若，则__________； （3）已知，，且，求的值． 【答案】（1）2，3；（2）或；（3） 【分析】（1）根据定义，计算求解即可； （2）根据题意，得，求平方根解答即可； （3）根据题意，得，，利用逆用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，求解即可． （1）解：∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵， ∴， 解得或； （3）解：， ，， ， ， 【变式1】（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）已知：，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】统一所求幂的底数为，然后将代入计算． 解：∵， ∴， ， 将代入， 得． 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 解：． ∵， ∴， ∴原式． 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： （1）若，则 ； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． （1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 五.拓广探究 模块说明：培优压轴题型，适配单元测试、月考拔高训练，侧重规律探究、综合求值、新定义运算。 【题型 7】幂运算拓展探究 考查核心：幂的大小比较、个位数字循环规律、多步公式逆用、新定义幂运算 【例题7】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… （1）发现规律：______，______． （2）应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． （3）若，请求出n的值． 【答案】（1），；（2）①，  ②；（3） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． （1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小，可得（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是转化为同底数幂． 根据幂的乘方，转化为同底数幂即可比较大小． 解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______． 【答案】2 【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少． 解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…， 可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环， ∵2017÷4=504余1， ∴的末位数字与相同，即为3， ∵，2024÷4=506， ∴的末位数字与相同，即为1， ∴因为的值为负数，故末位数为11-3=8， 故答案为：8. 【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值； （2），，，求的值．（结果用含n的式子表示） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）仿照新运算的规则计算即可； （2）仿照新运算的规则计算，可得：原式，再逆用幂的乘方的法则和同底数幂的乘法法则进行计算． （1）解： ； （2）解：当，，时， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 16.1 幂的运算【知识梳理+题型精析+拓展探究】 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】同底数幂的乘法 2 【知识点二】幂的乘方 2 【知识点三】积的乘方 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】同底数幂乘法计算 2 【题型 2】幂的乘方、积的乘方基础运算 3 【题型 3】同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方基础逆运算 3 四.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】幂的四则混合运算 4 【题型 5】幂运算法则逆用——整体代入求值 4 【题型 6】利用幂运算求参数 5 五.拓广探究 5 【题型 7】幂运算拓展探究 5 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 结合乘方的意义，经历幂的运算性质的推导过程，理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法的运算法则，掌握人教版教材规定的核心运算规律。 2. 精准区分幂的各类运算法则，辨析幂运算与整式加减运算的区别，规避高频易错运算误区，夯实整式运算基础。 3. 熟练正向运用幂的公式解题，掌握公式逆向运用技巧，能够解决代数式求值、参数求解、简便运算等同步、月考高频题型。 【重难点】 重点：掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法四大核心运算法则，熟练进行正向运算化简。 难点：幂运算公式的逆向运用；底数为负数、多项式时的符号化简；幂的混合运算；整体代入求值；利用同底数幂性质求解参数。 二.知识梳理与解读 教材通用约定：无特殊说明时，所有字母指数均为正整数。 【知识点一】同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：（为正整数） 推广公式：； 逆用公式： 教材核心解读：底数必须完全相同才可直接运算；单独字母默认指数为1，不可遗漏；底数可以是数字、单项式、多项式整体；负底数幂需根据指数奇偶性判断符号。 【知识点二】幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：（为正整数） 推广公式：； 逆用公式： 教材核心解读：区别于同底数幂乘法（指数相加），幂的乘方为指数相乘，是本章最核心的辨析考点，多重乘方可连续套用公式。 【知识点三】积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：（为正整数）推广公式：； 逆用公式： 教材核心解读：积中所有因式（系数、字母、常数）必须全部乘方，不可遗漏；常用于大数、分数的简便运算，负因式乘方由指数奇偶性决定符号。 三.题型精析（夯实基础） 模块说明：对标教材课后基础习题，单一公式运用，侧重基础巩固、符号辨析，适配课堂同步训练。 【题型 1】同底数幂乘法计算 考查核心：基础公式正向运用、负底数幂化简、多项式底数幂运算 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）若，则________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 2】幂的乘方、积的乘方基础运算 考查核心：乘方公式正向计算、系数与负号处理、运算正误辨析 【例题2】（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列计算是否正确，并说明理由： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）_________． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型 3】同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方基础逆运算 考查核心：幂的乘方逆向计算、系数与负号处理、运算正误辨析 【例题3】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知，求下面的值． （1） （2） 【变式1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B．3 C．1 D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）若，，则__________． 【变式3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，求下列各式的值． （1） （2） 四.题型精析（综合提升） 模块说明：对标月考、单元测中档题型，融合多法则混合运算、公式逆用、参数求解，难度中等。 【题型 4】幂的四则混合运算 考查核心：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”运算顺序，综合化简、合并同类项 【例题4】（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）计算：__． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 5】幂运算法则逆用——整体代入求值 考查核心：公式逆用、整体代换思想、幂的简便运算、代数式求值 【例题5】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）求值： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知，，则______． 【变式3】（25-26七年级下·广西贺州·阶段检测）化简求值：，其中，． 【题型 6】利用幂运算求参数 考查核心：统一底数、同底数幂相等则指数相等、构建方程求参数取值分析 【例题6】（25-26七年级下·河北承德·期末）规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． （1）根据上述规定，填空：__________，__________； （2）若，则__________； （3）已知，，且，求的值． 【变式1】（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）已知：，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知，则的值为________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： （1）若，则 ； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 五.拓广探究 模块说明：培优压轴题型，适配单元测试、月考拔高训练，侧重规律探究、综合求值、新定义运算。 【题型 7】幂运算拓展探究 考查核心：幂的大小比较、个位数字循环规律、多步公式逆用、新定义幂运算 【例题7】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… （1）发现规律：______，______． （2）应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． （3）若，请求出n的值． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小，可得（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值； （2），，，求的值．（结果用含n的式子表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $