16.3.2 完全平方公式讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.3.2  完全平方公式 解析版  16.3.2　完全平方公式 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　公式本体：首平方、尾平方、二倍积在中央 2 　　题型 2　中间项、符号与添括号 3 　　题型 3　三项式的平方与分组用公式 4 　　题型 4　简便运算：凑成整百整十的平方 6 　　题型 5　三兄弟变形：和、差、平方和与积知二求一 7 　　题型 6　配方与整体思想：配成平方和为零 9 　　题型 7　化简求值：先化简，再整体代值 11 　　题型 8　图形面积与代数恒等式 12 　　题型 9　阅读探究：拼图、杨辉三角与新定义 14 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 16 　题型 1　　公式本体：首平方、尾平方、二倍积在中央 知识梳理 ​——中间项 一个都不能少 公式　．口诀：首平方、尾平方、首尾二倍积放中央。如 系数也要平方　不是 中间项的 是公式里的 的中间项是 既乘 又乘两个系数，这里错得最多。 负号的处理　（负号平方后消失），．先把每一项连同符号看成一个整体，再套公式。 什么时候能用　只有"一个二项式的平方"才能用； 是两项平方的和、没有中间项， 里没有相同项也没有相反项，这两类都不能用完全平方公式。 易错　①漏掉中间项（写成 ）；　②中间项忘乘 　③系数没平方；　④ 的中间项符号没变；　⑤把平方差与完全平方混用。 要点　首平方、尾平方、二倍积在中央；系数与符号都要跟着平方。 1． 下列不能用完全平方公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 解：完全平方公式的形状是"一个二项式的平方"，即 展开后必有三项（首平方、二倍积、尾平方）．A、B、D 都是二项式的平方，可以直接用；C 是 两项平方的和，中间没有 这一项，它本身已是展开后的结果，不能再套完全平方公式．故选 C． 2． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：A：错；B：错（系数相乘，不是相加）；C：正确；D：错．故选 C． 3． 下列运算结果为的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解决本题的关键是把完全平方公式上对应位置的数找出来，对号入座，即可得出正确的式子． 根据完全平方公式：找出两数写出即可． 解：．故选：A． 4． 计算： （1）． （2）． 　思路分析　　本题考查完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用完全平方公式计算即可． 解：（1）原式． （2）原式． 　题型 2　　中间项、符号与添括号 知识梳理 中间项 两个平方项的算术平方根之积；添括号前面是负号，括到括号里各项都变号 求中间项（或求缺的那一块）　把右边两个平方看成整体用平方差：．两个完全平方相减就是平方差，这是最快的一条路。 完全平方式求参数　 是完全平方式，则中间项必须等于 所以 或 ．""两解都要写，只写一个必扣分。 添括号的两条规矩　添括号前是""，括到括号里各项不变号；前面是""，括到括号里各项都变号．如 这就凑成了平方差。添括号的目的就是把式子凑成公式的样子。 检查添括号对不对　把括号去掉还原一遍，与原式逐项比对；选择题里出现"添括号错误的是"，优先怀疑前面是负号的那一项。 易错　①完全平方式只取 一解；　②添括号后负号只改了第一项；　③把 展开的中间项符号写反；　④括号嵌套时内外层符号打架；　⑤求 时把两个平方相加。 要点　中间项 两解都要；添括号前是负号，括进括号全变号。 1． 设则A等于 （  ） A． B． C． D． 解：把 与 看成两个整体，它们的差正好是平方差： ​．故选 B． 2． 下列添括号正确的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了添括号的知识，熟练掌握添括号法则是解题关键．添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐项分析判断即可． 解∶ ​选项A、B、D运算错误，不符合题意， 选项C运算正确，符合题意．故选：C． 3．  完全平方式求参数 已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为      ． 解：完全平方式的标准形是 ．这里首项 尾项 所以中间项必须等于 ． 于是 或 解得 或 ．两种符号都要保留． 　题型 3　　三项式的平方与分组用公式 知识梳理 把三项式拆成"两项一组"， 三项式平方的展开式　平方项三项、交叉项三项，一共六项。如 写的时候按"先平方、后交叉"排，不容易漏。 分组成平方差　 里， 与 两个括号都有（相同）， 与 相反，于是原式 ．分组的原则：把相同的放一组、相反的放一组。 整体看成一个字母　 里，把 记作 就是 ．长式子先用一个字母代替其中一块，式子立刻变短。 展开还是分组，看结构　两个括号相乘、有一组相同一组相反 分组后用平方差；一个括号自乘 直接用完全平方（三项就用六项式）。先判断结构再动笔，能省一半计算量。 易错　①六项式交叉项漏两项；　②交叉项符号搞错（同号得正、异号得负）；　③分组时分错（把不同的两项放一组）；　④整体代换后忘了换回来；　⑤分组后平方差用错方向。 要点　逐项平方 两两交叉；两个括号相乘时"相同一组、相反一组"再套平方差。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 解：两个括号里 与 相同、 与 相反，把相同的两项合为一组，用平方差： 原式 ．故选 A． 2． 下列各式的计算结果与相等的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解此题的关键． 根据完全平方公式进行求解即可． 解： ​ ​故选：D． 3． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　本题主要考查了乘法公式，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （3）利用平方差公式、完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式、完全平方公式计算即可． （1）解： ​ ​ ​． （2）解： ​ ​ ​． （3）解： ​ ​ ​ ​． （4）解： ​ ​ ​． 　题型 4　　简便运算：凑成整百整十的平方 知识梳理 ​——凑整后套公式 凑整的方向　 离 只差 所以 ．看到 这类数，一律写成"整数 小数"，再套完全平方。 分清平方还是平方差　 是"一个数的平方"，要用 才是平方差 ．一个因数变形成两个因数的积，才是平方差。 两个数平方和　 的两个底数关于 对称，设 则 ．对称的两个平方相加，交叉项正好抵消，只剩 小数与分数的处理　平方时中间项是 小数位数要数清；分数型（如 ）变成 再算。 易错　①把 写成平方差；　②中间项丢了 （ 写成 ）；　③末尾的 漏写；　④小数点位错；　⑤ 直接算成 要点　凑成"整数 小数"再套完全平方；指数是 用完全平方，两个因数相乘才用平方差。 1． 若用简便方法计算应当用式子 （  ） A． B． C． D． 解： 与整百整千的 只差 把 写成 后是"一个数的平方"，应当用完全平方公式：．B 项是平方差， 算的是 C、D 把 写成 附近却写成 变形后不再等于 ．故选 A． 2． 利用完全平方公式计算得 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式解答即可． 解： ​ ​．故选：D． 3． 运用公式简便计算： （1）． （2）． 　思路分析　　本题考查完全平方公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． （1）将原式变形为：然后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形为：然后利用完全平方公式计算即可． 解：（1）原式． （2）原式 ​ ​． 　题型 5　　三兄弟变形：和、差、平方和与积知二求一 知识梳理 ​ 三个核心关系　两式相加得 两式相减得 ．和、差、平方和、积四个量，知道任意两个就能求另外两个。 代入示范　则 ．不用解出 ，这正是"整体思想"的用处。 带系数的版本　求 把它看成 ．先认准"哪两个整体互为和与差"，再套。 对称型两数的技巧　 求 令 则两数为 和为 得 ．看到"关于某数对称的两个数"，一律设中间那个为 ，这是本节最漂亮的一招。 易错　①两式相加相减记反（求 用了加）；　②带系数时把 写成 　③对称型硬解 　④ 开方时漏 　⑤整体代换后没换回原字母。 要点　和差两式加得平方和、减得积的两倍；带系数先认整体，对称型设中间数为 1． 已知则ab等于 （  ） A．24 B．48 C．12 D． 解：由 得 所以 ．故选 C． 2．  对称设元 已知(x2015)＋(x2017)=34，则(x2016)的值是 （  ） A．4 B．8 C．12 D．16 解：(x2 015)＋(x2 017) =(x2 016+1)＋(x2 016-1) = ==34 ​ 故选D． 点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x2 015)＋(x2 017)化为 (x2 016+1)＋(x2 016-1)利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x2 016)的值，注意要把x-2016当作一个整体． 3． 已知则      ． 解：把两式相加：所以 ． 4． 已知则的值为      ． 解：把待求式展开：． 由 得 代入得 ． 5． （1）设求和的值． （2）已知求下列各式的值； ① ② 　思路分析　　（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式是解此题的关键，注意： ． 解：（1）① ​② 将分别代入①②两式， ​ ​． （2）① 即③ 又④ ④-③，得 ② ​ 　题型 6　　配方与整体思想：配成平方和为零 知识梳理 把含两个字母的二次式配成"平方 平方 "，则每一块都为零 配方的套路　把 拆成 原式 于是 得 ．先找哪两项能凑成完全平方，剩下的自然成另一块。 为什么能"各自为零"　平方数不小于 几个非负数之和为 只能每个都为 ．答题时必须写出这句话，这是配方法得分的依据。 三角形三边的判定　 移项后配方：得 故为等边三角形．三边关系题先配方、再判断形状。 连等式型　已知 要求 注意 把 分别记作 则 即 所以 从而 ．换元后式子只剩一个恒等式，这是这类题的通法。 易错　①拆项时把 拆错（要拆成 ）；　②配完不算出字母就停；　③不写"非负数之和为零"的依据；　④连等式直接展开成一大堆；　⑤配方后符号反（ 写成 ）。 要点　拆项 分组 配成平方和 各自为零；换元能让长式子瞬间变短。 1． 若求的值． 解： ​ ​ ​． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）①若求的值； ②若求的值． （2）试说明：不论x，y取何值，多项式的值总是正数． （3）已知a，b，c是不等边三角形的三边长，满足且c是的最长边长，求c的取值范围． 　思路分析　　本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）①按照题目提供的方法将配方后求得的值即可求解；②按照题目提供的方法将原式配方后得到据此得到的值即可求解； （2）将多项式配方得到结合平方的非负性即可完成解答； （3）按照题目提供的方法将原式配方后得到继而可得到的值，然后利用三角形三边关系即可解答． （1）解：① ​ ​ ​． ② ​ ​ ​． （2）解： ​ ​． ​ ​的最小值为1， ​不论x，y取何值，多项式的值总是正数． （3） ​ ​ ​ ​． 由三角形三边关系得 即 ​是不等边三角形， ​． 又 是最长边， ​ 综上所述，的取值范围是． 2． 已知求的值． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式以及变形式． 将转化为将转化为整体代入进行计算即可． 解：且已知 ​ ​ ​原式 ​ ​ ​． ​． 3．  判断三角形形状 （1）已知是的三边，且满足判定的形状． （2）求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 解：（1） 即解得． 故是等边三角形． （2）证明：原式． 设 ​原式 ​ ​ ​． ​为正整数，也为正整数， ​式子的值一定是某一个整数的平方． 　题型 7　　化简求值：先化简，再整体代值 知识梳理 先把括号全部展开合并，用到"已知式"时整体搬，不要硬解方程 固定流程　展开 合并同类项 代值． 中，注意 于是原式 ．先提公因式再展开，往往能一步见底。 整体代值　已知 即 要求 先化成 ．把化简结果凑成"已知式"的样子，不要解一元二次方程（本章还没学）。 对称式代值　当 时 即 而 ．看到 与 就把 当一个字母。 取倒数型的值　 时 化简结果若含 就直接为 ．这类"互为倒数"的赋值，是化简题故意的设计，先看化简结果里有没有 这个整体。 易错　①不化简直接代入分数；　② 提负号时漏变号；　③已知 却去解方程；　④整体代换后符号反；　⑤化简结果没化到最简（还留着可约的因式）。 要点　先化简到最简整式，再整体代值；遇到"已知某式 "就把它当整体。 1． 先化简，再求值： （1）其中． （2）其中． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这些公式是解题的关键． （1）先利用完全平方公式，多项式乘法法则，合并同类项进行化简，再代入求值即可； （2）先利用完全平方公式，单项式乘法法则，平方差公式，合并同类项进行化简，再代入求值即可． 解：（1）原式． 当时， 原式． （2）原式． ​ ​原式． 2． 若则的值为 （  ） A． B．6 C．18 D．30 解：先化简：． 由 得 于是原式 ．故选 B． 　题型 8　　图形面积与代数恒等式 知识梳理 同一块面积两种算法 恒等式；反过来，见到"面积"就把边长写成代数式 看图写恒等式　边长为 的正方形里挖去边长为 的小正方形与两条 宽的带，剩下的是边长为 的正方形，于是 ．写答案时先说"两种算法算同一块面积"，再列等式。 给条件求面积　 求阴影面积：先由 得 再把阴影面积写成 代入得 ．条件给的是差与积，就一定先求 。 面积变更型　边长增加 面积增加 左边展开得 解得 ．"增加了多少"就是"新面积 旧面积"，写成等式一步到位。 割补与半圆　拱门、环形这类带 的图形，先算整块再减去空白，半圆面积是 直径换成半径别忘了除以 ；最后结果保留 易错　①恒等式写反（ 与 混）；　②面积表达式漏减空白；　③"增加 "写成等于 的新面积；　④半圆半径用成直径；　⑤答句不带单位。 要点　两种算法算同一面积 列恒等式；给"差与积"先求 再代面积式。 1． 用如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是 （  ） A． B． C． D． 解：图中大正方形的边长为 其中挖去了两个长为 宽为 的长方形，还补回一个边长为 的小正方形（重叠部分），剩下的正是边长为 的正方形． 用两种方法表示这块面积： 与 两者相等，因此该图直接验证的是 ．故选 C． 2． 如图，两个正方形的边长分别为a和b．如果那么阴影部分的面积是 （  ） A．30 B．34 C．40 D．44 解：由 两边平方得 把 代入得 ． 图中阴影部分由两个正方形面积之和减去两个空白三角形得到，其面积可表示为 代入得 ．故选 A． 3． 如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和设两个正方形的面积之和则的面积为      ． 　思路分析　　本题考查完全平方公式的几何应用，找到边与边关系是解答的关键．设根据题意得到利用完全平方公式求得进而利用三角形的面积公式可求解． 解：设 ​两个正方形的面积之和 ​ ​ ​解得 ​故答案为：7． 4． 如图，两个正方形的边长分别为m，n． （1）求阴影部分的面积（用含m，n的式子表示） （2）当时，求此时阴影部分的面积的大小． （1）如图， ​． （2） ​ ​ ​ ​ ​． 　题型 9　　阅读探究：拼图、杨辉三角与新定义 知识梳理 拼图得恒等式、数表得系数规律；新定义题先照定义算，再回到公式 拼图探究的四步　①分别写出各块的面积；②用两种方法表示同一块总面积；③令两式相等得恒等式；④把恒等式用于求值．"两种算法"是这类题唯一的方法论，答题时要把它写出来。 杨辉三角　 展开式的系数就是杨辉三角第 行，各行系数和依次为 即 的各项系数之和为 ．所以 的系数和为 ．求系数和最快的办法是令 。 三个数的平方和　已知 与 求 用 ．这是完全平方公式的三字母版本，与 的六项式是同一个式子。 新定义运算　规定 这类题，照着定义把数代进去算，遇到 就化成 移项得 新定义题的最后一步永远回到完全平方公式。 易错　①拼图题只写一个面积表达式；　②杨辉三角行号错位（第 行对应 次方）；　③三字母平方和漏乘 　④新定义里把 代成 之外的式子；　⑤求出 后不回答题目所问。 要点　两种算法得恒等式；系数和令 新定义最后都归到完全平方。 1．  杨辉三角 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为      ． 　思路分析　　求各项系数之和，令 即可；也可用杨辉三角每行之和为 ． 解：令 则 展开式的各项系数之和为 ． （由杨辉三角的规律，第 行系数之和为 第 行为 ．） 2． 图形1可以得到：图2可以得到：现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含的代数式表示出来）；图3表示：      ； （2）【解决问题】当时，求的值； （3）【拓展提升】如图4，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形和延长和交于点那么四边形为长方形，设图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和． 　思路分析　　本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （）根据图是一个边长为的大正方形，是由个长为宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出与之间的关系； （）先设则然后根据（）的结论得据此可得的值； （）设则再由完全平方公式得据此可得 的值． （1）解：如图所示：大正方形的边长为小正方形的边长为 ​大正方形的面积为小正方形的面积为 另一方面：大正方形是由个长为宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ​ 故答案为： （2）解：设 ​ ​ ​ ​ ​ （3）解：设 ​ ​ ​图中阴影部分面积为42， ​ ​． A 组　基础题 必做｜公式辨别、添括号与基础套用 1． 下列能用完全平方公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 解：A：是平方差；B：是平方差；C：括号里是二项式的平方，可以用完全平方公式计算；D： 两项都不同，两种公式都不能用．故选 C． 2． 下列式子中，不能运用乘法公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方公式的特点进行选择即可． 解：A、符合平方差公式，故本选项不符合题意； B、符合完全平方公式，故本选项不符合题意； C、符合平方差公式，故本选项不符合题意； D、不能运用乘法公式计算，故本选项符合题意．故选：D． 3． 若则N为 （  ） A． B．3xy C． D．xy 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，整式的加减，利用完全平方公式，结合整式的加减化简即可求解，解题的关键是掌握运算法则． 解： ​ ​ ​故选： A． 4． 若则括号内的整式是 （  ） A． B． C． D． 解：括号内的整式 把两个平方看成整体用平方差： 原式 ．故选 D． 5． 将多项式添括号后正确的是（） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”添括号后，括号里的各项都改变符号； 本题添了1或2个括号，且所添的括号前为负号，括号内各项改变符号； 解：A、根据添括号的法则可知，故本选项错误； B、根据添括号的法则可知，故本选项正确； C、根据添括号的法则可知，故本选项错误； D、根据添括号的法则可知，故本选项错误；故选：B． 6． 下列添括号错误的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 解∶A．故选项A正确，不符合题意； B． ，故选项B正确，不符合题意； C．故选项C正确，不符合题意； D．故选项D错误，符合题意；故选：D． 7． 已知实数a，b满足则等于 （  ） A．1 B．0 C． D． 　思路分析　　利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 解：同时平方， ​ ​ ​ ​ ​故选：B ． 8． 在下列括号里填上适当的项： （1）【a-(      )】【a-(      )】． （2）【b-(      )】【b+(      )】． 　思路分析　　（1）（2）添括号时，如果括号前面是正号，括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号． （1）解：将看作一个整体，那么． 所以． 故答案为：①②． （2）解：将式子变形为 把看作一个整体，那么． 所以故答案为：①② 9． 已知则代数式的值为      ． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用及常见变形是解题的关键． 根据完全平方公式进行分析计算即可． 解： ​ ​． 当时， 原式=．故答案为：． 10． 计算：      ． 　思路分析　　本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，正确的计算是解题的关键． 先算单项式乘多项式，完全平方公式，然后合并同类项即可． 解： ​ ​ ​故答案为：． 11．  面积增加求边长 一个正方形的边长增加了面积相应增加了则原来这个正方形的边长为      cm． 设原正方形边长为 边长增加 后面积增加 即 ． 左边展开得 所以 ．即原来这个正方形的边长为 ． 12． 如图，正方形的边长为阴影部分图形的面积为      ． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的应用，根据阴影部分面积正方形面积四个三角形面积即可作答． 解：根据条件，正方形的面积为： 白色三角形的面积为： 故阴影面积为：故答案为：． 13． 运用乘法公式计算：． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式，正确计算是解题的关键． 直接利用完全平方公式进行计算即可． 解：原式 ​ ​ 14． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　本题主要考查整式的混合运算，先根据整式的混合运算顺序和法则化简原式，再把x和y的值代入求值可得，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 解：原式 ​． ​ ​ ​当时，原式． B 组　提升题 必做｜知值求式、含参整体代值与图形面积 1． 若则的值是 （  ） A．3 B．2 C．1 D．0 解：把 与 看成和差两式：其中 所以原式 ．故选 C． 2． 已知则的值是 （  ） A．5 B．9 C．13 D．17 　思路分析　　本题主要考查完全平方公式，把所给的条件进行整理，从而可求解． 解： ​ ​ 整理得， ​．故选：B． 3． 设．若则的值是 （  ） A．5 B．6 C．7 D．8 　思路分析　　本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键．根据完全平方公式得出进而根据已知条件得出进而即可求解． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：． 4． 当时，的值为则的值为 （  ） A． B． C．8 D．16 解：当 时，即 ． 把 看成整体：．故选 A． 5． 已知则的值为      ． 解：两个平方的底数一个是 一个是 用平方差： ​又 故原式 ． 6． 已知则的值是      ，的值是      ． 　思路分析　　将已知的两个完全平方展开，通过对展开式进行适当的运算，求出和的值． 解： ​③， ​④． 将③和④相加，可得： ​ ​ 解得：． 将③减去④，可得： ​ ​ ​．故答案为：． 7． 在下列  （  ）里填上适当的项，使其符合的形式． （1） （2）． 　思路分析　　本题考查了平方差公式、添括号法则，解题的关键是： （1）根据平方差公式的特点，添括号法则求解即可； （2）先变形，然后根据平方差公式的特点，添括号法则求解即可 （1）解： 故答案为： （2）解： 故答案为：． 8． 先化简，再求值：其中． 解：原式 ​ ​ ​． 当时，原式． 9．  阅读材料配方 先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若求和的值． 解： ​ ​ ​ ​． （1）若求的值． （2）已知等腰三角形的三边长分别为其中满足求的周长． 解：（1）由得 即 ​ ​． （2）由得$\left(a^{2}-12a+36\right)+\left(b^{2}-6b\right +9)=0$，即 ​解得． （1）若则的周长为 （2）若不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，的周长是15． 10．  彩虹桥拱门 如图，景区设计了一款彩虹桥拱门，吸引了很多游客打卡．拱门两个半圆共圆心，分别为两个半圆的直径，则阴影部分的面积为      （用含的代数式表示）． 　思路分析　　本题主要考查了列代数式，完全平方公式，解题的关键是掌握圆的面积公式． 图中阴影部分的面积=大半圆的面积-小半圆的面积． 解：由题意知，阴影部分的面积为： 故答案为：． 11．  长方形绿化 如下图，有一块长为宽为的长方形土地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间（空白部分）将修建一座边长为的正方形水池． （1）试用含a，b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）． （2）当时，求绿化部分的面积． 解：（1） ​ ​． 故绿化部分的面积为． （2）当时， ​ ​． 故绿化部分的面积为． 12． 如图，正方形的边长为长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．求图中阴影部分的面积． 　思路分析　　正方形的边长为设可得到表示阴影部分的面积，变形后即可求答案． 解：由题意，得长方形的面积为． 设 则． ​四边形和都是正方形， ​ ​阴影部分的面积为． 13． （1） 已知 可得： ， （2） 已知求 的值． 　思路分析　　本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． （1）利用完全平方公式进行变形得到进行求解，即可解题； （2）利用完全平方公式进行变形得到结合进行求解，即可解题． 解：（1） ​ ​ 故答案为：． （2） ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． C 组　拓展题 选做｜恒等探究、新定义与高次求值 1． 综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若求的值． 【类比应用】（2）若则      ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点在同一直线上，点也在同一直线上，连接．若求一块直角三角板的面积． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）利用完全平方公式解决问题即可； （）设则由即可得 （）由得又点在同一直线上，点也在同一直线上，所以设利用面积关系，构建方程组求解． 解：（） ​ ​ （）则 ​即 ​ 故答案为： （） ​ ​点在同一直线上，点也在同一直线上， ​ 设 ​ 又 ​ ​ ​即 ​ ​ 答：一块直角三角板的面积为． 2． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出之间的等量关系是      ； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若且求的值； （3）若求的值； （4）如图3，在中，点在边上，在边上取一点使分别以为边在外部作正方形和正方形连接若的面积等于设求正方形和正方形的面积和． 　思路分析　　本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设则利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． （1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ​ （2）由（1）可得 ​ ​ ​ ​ （3） ​ ​ ​ ​ ​ （4）设则 ​ ​ ​ ​ 令 ​ ​正方形和正方形的面积和： ​． 3． 已知求的值． 　思路分析　　本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出再根据完全平方公式拓展公式进行作答，即可求解 解： ​ ​ ​ ​ 即 4． 对于任意实数我们规定：例如：． （1）填空： ①      ； ②若则      ； ③若则      0；（填“”或“”） （2）若且求与的值． 　思路分析　　本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）①由题意知，计算求解即可；②由题意知，-6，计算求解即可；③由题意知，则然后作答即可； （2）由题意知，$(2x+3y)^{2}+(2x-3y)^{2}-7(\left x^{2}+2y^{2}\right)=13$，整理得，根据计算求解即可． （1）（1）①由题意知，10， 故答案为：10； ②由题意知， 解得， 故答案为：3； ③由题意知， ​ 故答案为： （2）解：$\because F(2x+3y,2x-3y)+H\left(7,x^{2}+2\right \left y^{2}\right)=13$， ​整理得， ​ ​ ​ ​的值为的值为1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2  完全平方公式 学生版  16.3.2　完全平方公式 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　公式本体：首平方、尾平方、二倍积在中央 2 　　题型 2　中间项、符号与添括号 3 　　题型 3　三项式的平方与分组用公式 3 　　题型 4　简便运算：凑成整百整十的平方 5 　　题型 5　三兄弟变形：和、差、平方和与积知二求一 6 　　题型 6　配方与整体思想：配成平方和为零 7 　　题型 7　化简求值：先化简，再整体代值 9 　　题型 8　图形面积与代数恒等式 9 　　题型 9　阅读探究：拼图、杨辉三角与新定义 11 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 13 　题型 1　　公式本体：首平方、尾平方、二倍积在中央 知识梳理 ​——中间项 一个都不能少 公式　．口诀：首平方、尾平方、首尾二倍积放中央。如 系数也要平方　不是 中间项的 是公式里的 的中间项是 既乘 又乘两个系数，这里错得最多。 负号的处理　（负号平方后消失），．先把每一项连同符号看成一个整体，再套公式。 什么时候能用　只有"一个二项式的平方"才能用； 是两项平方的和、没有中间项， 里没有相同项也没有相反项，这两类都不能用完全平方公式。 易错　①漏掉中间项（写成 ）；　②中间项忘乘 　③系数没平方；　④ 的中间项符号没变；　⑤把平方差与完全平方混用。 要点　首平方、尾平方、二倍积在中央；系数与符号都要跟着平方。 1． 下列不能用完全平方公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 2． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 3． 下列运算结果为的是 （  ） A． B． C． D． 4． 计算： （1）． （2）． 　 　 　 　 　 　题型 2　　中间项、符号与添括号 知识梳理 中间项 两个平方项的算术平方根之积；添括号前面是负号，括到括号里各项都变号 求中间项（或求缺的那一块）　把右边两个平方看成整体用平方差：．两个完全平方相减就是平方差，这是最快的一条路。 完全平方式求参数　 是完全平方式，则中间项必须等于 所以 或 ．""两解都要写，只写一个必扣分。 添括号的两条规矩　添括号前是""，括到括号里各项不变号；前面是""，括到括号里各项都变号．如 这就凑成了平方差。添括号的目的就是把式子凑成公式的样子。 检查添括号对不对　把括号去掉还原一遍，与原式逐项比对；选择题里出现"添括号错误的是"，优先怀疑前面是负号的那一项。 易错　①完全平方式只取 一解；　②添括号后负号只改了第一项；　③把 展开的中间项符号写反；　④括号嵌套时内外层符号打架；　⑤求 时把两个平方相加。 要点　中间项 两解都要；添括号前是负号，括进括号全变号。 1． 设则A等于 （  ） A． B． C． D． 2． 下列添括号正确的是  （  ） A． B． C． D． 3．  完全平方式求参数 已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为      ． 　 　题型 3　　三项式的平方与分组用公式 知识梳理 把三项式拆成"两项一组"， 三项式平方的展开式　平方项三项、交叉项三项，一共六项。如 写的时候按"先平方、后交叉"排，不容易漏。 分组成平方差　 里， 与 两个括号都有（相同）， 与 相反，于是原式 ．分组的原则：把相同的放一组、相反的放一组。 整体看成一个字母　 里，把 记作 就是 ．长式子先用一个字母代替其中一块，式子立刻变短。 展开还是分组，看结构　两个括号相乘、有一组相同一组相反 分组后用平方差；一个括号自乘 直接用完全平方（三项就用六项式）。先判断结构再动笔，能省一半计算量。 易错　①六项式交叉项漏两项；　②交叉项符号搞错（同号得正、异号得负）；　③分组时分错（把不同的两项放一组）；　④整体代换后忘了换回来；　⑤分组后平方差用错方向。 要点　逐项平方 两两交叉；两个括号相乘时"相同一组、相反一组"再套平方差。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 下列各式的计算结果与相等的是 （  ） A． B． C． D． 3． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　简便运算：凑成整百整十的平方 知识梳理 ​——凑整后套公式 凑整的方向　 离 只差 所以 ．看到 这类数，一律写成"整数 小数"，再套完全平方。 分清平方还是平方差　 是"一个数的平方"，要用 才是平方差 ．一个因数变形成两个因数的积，才是平方差。 两个数平方和　 的两个底数关于 对称，设 则 ．对称的两个平方相加，交叉项正好抵消，只剩 小数与分数的处理　平方时中间项是 小数位数要数清；分数型（如 ）变成 再算。 易错　①把 写成平方差；　②中间项丢了 （ 写成 ）；　③末尾的 漏写；　④小数点位错；　⑤ 直接算成 要点　凑成"整数 小数"再套完全平方；指数是 用完全平方，两个因数相乘才用平方差。 1． 若用简便方法计算应当用式子 （  ） A． B． C． D． 2． 利用完全平方公式计算得 （  ） A． B． C． D． 3． 运用公式简便计算： （1）． （2）． 　 　 　 　 　 　题型 5　　三兄弟变形：和、差、平方和与积知二求一 知识梳理 ​ 三个核心关系　两式相加得 两式相减得 ．和、差、平方和、积四个量，知道任意两个就能求另外两个。 代入示范　则 ．不用解出 ，这正是"整体思想"的用处。 带系数的版本　求 把它看成 ．先认准"哪两个整体互为和与差"，再套。 对称型两数的技巧　 求 令 则两数为 和为 得 ．看到"关于某数对称的两个数"，一律设中间那个为 ，这是本节最漂亮的一招。 易错　①两式相加相减记反（求 用了加）；　②带系数时把 写成 　③对称型硬解 　④ 开方时漏 　⑤整体代换后没换回原字母。 要点　和差两式加得平方和、减得积的两倍；带系数先认整体，对称型设中间数为 1． 已知则ab等于 （  ） A．24 B．48 C．12 D． 2．  对称设元 已知(x2015)＋(x2017)=34，则(x2016)的值是 （  ） A．4 B．8 C．12 D．16 3． 已知则      ． 　 4． 已知则的值为      ． 　 5． （1）设求和的值． （2）已知求下列各式的值； ① ② 　 　 　 　 　 　题型 6　　配方与整体思想：配成平方和为零 知识梳理 把含两个字母的二次式配成"平方 平方 "，则每一块都为零 配方的套路　把 拆成 原式 于是 得 ．先找哪两项能凑成完全平方，剩下的自然成另一块。 为什么能"各自为零"　平方数不小于 几个非负数之和为 只能每个都为 ．答题时必须写出这句话，这是配方法得分的依据。 三角形三边的判定　 移项后配方：得 故为等边三角形．三边关系题先配方、再判断形状。 连等式型　已知 要求 注意 把 分别记作 则 即 所以 从而 ．换元后式子只剩一个恒等式，这是这类题的通法。 易错　①拆项时把 拆错（要拆成 ）；　②配完不算出字母就停；　③不写"非负数之和为零"的依据；　④连等式直接展开成一大堆；　⑤配方后符号反（ 写成 ）。 要点　拆项 分组 配成平方和 各自为零；换元能让长式子瞬间变短。 1． 若求的值． 解： ​ ​ ​． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）①若求的值； ②若求的值． （2）试说明：不论x，y取何值，多项式的值总是正数． （3）已知a，b，c是不等边三角形的三边长，满足且c是的最长边长，求c的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 2． 已知求的值． 　 　 　 3．  判断三角形形状 （1）已知是的三边，且满足判定的形状． （2）求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 　 　 　 　 　 　题型 7　　化简求值：先化简，再整体代值 知识梳理 先把括号全部展开合并，用到"已知式"时整体搬，不要硬解方程 固定流程　展开 合并同类项 代值． 中，注意 于是原式 ．先提公因式再展开，往往能一步见底。 整体代值　已知 即 要求 先化成 ．把化简结果凑成"已知式"的样子，不要解一元二次方程（本章还没学）。 对称式代值　当 时 即 而 ．看到 与 就把 当一个字母。 取倒数型的值　 时 化简结果若含 就直接为 ．这类"互为倒数"的赋值，是化简题故意的设计，先看化简结果里有没有 这个整体。 易错　①不化简直接代入分数；　② 提负号时漏变号；　③已知 却去解方程；　④整体代换后符号反；　⑤化简结果没化到最简（还留着可约的因式）。 要点　先化简到最简整式，再整体代值；遇到"已知某式 "就把它当整体。 1． 先化简，再求值： （1）其中． （2）其中． 　 　 　 　 　 2． 若则的值为 （  ） A． B．6 C．18 D．30 　题型 8　　图形面积与代数恒等式 知识梳理 同一块面积两种算法 恒等式；反过来，见到"面积"就把边长写成代数式 看图写恒等式　边长为 的正方形里挖去边长为 的小正方形与两条 宽的带，剩下的是边长为 的正方形，于是 ．写答案时先说"两种算法算同一块面积"，再列等式。 给条件求面积　 求阴影面积：先由 得 再把阴影面积写成 代入得 ．条件给的是差与积，就一定先求 。 面积变更型　边长增加 面积增加 左边展开得 解得 ．"增加了多少"就是"新面积 旧面积"，写成等式一步到位。 割补与半圆　拱门、环形这类带 的图形，先算整块再减去空白，半圆面积是 直径换成半径别忘了除以 ；最后结果保留 易错　①恒等式写反（ 与 混）；　②面积表达式漏减空白；　③"增加 "写成等于 的新面积；　④半圆半径用成直径；　⑤答句不带单位。 要点　两种算法算同一面积 列恒等式；给"差与积"先求 再代面积式。 1． 用如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，两个正方形的边长分别为a和b．如果那么阴影部分的面积是 （  ） A．30 B．34 C．40 D．44 3． 如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和设两个正方形的面积之和则的面积为      ． 　 4． 如图，两个正方形的边长分别为m，n． （1）求阴影部分的面积（用含m，n的式子表示） （2）当时，求此时阴影部分的面积的大小． 　 　 　 　 　 　题型 9　　阅读探究：拼图、杨辉三角与新定义 知识梳理 拼图得恒等式、数表得系数规律；新定义题先照定义算，再回到公式 拼图探究的四步　①分别写出各块的面积；②用两种方法表示同一块总面积；③令两式相等得恒等式；④把恒等式用于求值．"两种算法"是这类题唯一的方法论，答题时要把它写出来。 杨辉三角　 展开式的系数就是杨辉三角第 行，各行系数和依次为 即 的各项系数之和为 ．所以 的系数和为 ．求系数和最快的办法是令 。 三个数的平方和　已知 与 求 用 ．这是完全平方公式的三字母版本，与 的六项式是同一个式子。 新定义运算　规定 这类题，照着定义把数代进去算，遇到 就化成 移项得 新定义题的最后一步永远回到完全平方公式。 易错　①拼图题只写一个面积表达式；　②杨辉三角行号错位（第 行对应 次方）；　③三字母平方和漏乘 　④新定义里把 代成 之外的式子；　⑤求出 后不回答题目所问。 要点　两种算法得恒等式；系数和令 新定义最后都归到完全平方。 1．  杨辉三角 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为      ． 　 2． 图形1可以得到：图2可以得到：现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含的代数式表示出来）；图3表示：      ； （2）【解决问题】当时，求的值； （3）【拓展提升】如图4，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形和延长和交于点那么四边形为长方形，设图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和． 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜公式辨别、添括号与基础套用 1． 下列能用完全平方公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 2． 下列式子中，不能运用乘法公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 3． 若则N为 （  ） A． B．3xy C． D．xy 4． 若则括号内的整式是 （  ） A． B． C． D． 5． 将多项式添括号后正确的是（） A． B． C． D． 6． 下列添括号错误的是  （  ） A． B． C． D． 7． 已知实数a，b满足则等于 （  ） A．1 B．0 C． D． 8． 在下列括号里填上适当的项： （1）【a-(      )】【a-(      )】． （2）【b-(      )】【b+(      )】． 　 9． 已知则代数式的值为      ． 　 10． 计算：      ． 　 11．  面积增加求边长 一个正方形的边长增加了面积相应增加了则原来这个正方形的边长为      cm． 　 12． 如图，正方形的边长为阴影部分图形的面积为      ． 　 13． 运用乘法公式计算：． 　 　 　 14． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 B 组　提升题 必做｜知值求式、含参整体代值与图形面积 1． 若则的值是 （  ） A．3 B．2 C．1 D．0 2． 已知则的值是 （  ） A．5 B．9 C．13 D．17 3． 设．若则的值是 （  ） A．5 B．6 C．7 D．8 4． 当时，的值为则的值为 （  ） A． B． C．8 D．16 5． 已知则的值为      ． 　 6． 已知则的值是      ，的值是      ． 　 7． 在下列  （  ）里填上适当的项，使其符合的形式． （1） （2）． 　 　 　 　 　 8． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 9．  阅读材料配方 先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若求和的值． 解： ​ ​ ​ ​． （1）若求的值． （2）已知等腰三角形的三边长分别为其中满足求的周长． 　 　 　 　 　 10．  彩虹桥拱门 如图，景区设计了一款彩虹桥拱门，吸引了很多游客打卡．拱门两个半圆共圆心，分别为两个半圆的直径，则阴影部分的面积为      （用含的代数式表示）． 　 11．  长方形绿化 如下图，有一块长为宽为的长方形土地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间（空白部分）将修建一座边长为的正方形水池． （1）试用含a，b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）． （2）当时，求绿化部分的面积． 　 　 　 　 　 12． 如图，正方形的边长为长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．求图中阴影部分的面积． 　 　 　 13． （1） 已知 可得： ， （2） 已知求 的值． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜恒等探究、新定义与高次求值 1． 综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若求的值． 【类比应用】（2）若则      ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点在同一直线上，点也在同一直线上，连接．若求一块直角三角板的面积． 　 　 　 　 　 　 　 2． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出之间的等量关系是      ； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若且求的值； （3）若求的值； （4）如图3，在中，点在边上，在边上取一点使分别以为边在外部作正方形和正方形连接若的面积等于设求正方形和正方形的面积和． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3． 已知求的值． 　 　 　 4． 对于任意实数我们规定：例如：． （1）填空： ①      ； ②若则      ； ③若则      0；（填“”或“”） （2）若且求与的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $