16.3.1 平方差公式讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.3.1  平方差公式 解析版  16.3.1　平方差公式 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　公式本体：相同项平方减相反项平方 2 　　题型 2　认项与补项：先摆正位置，再动公式 3 　　题型 3　连用公式：一路乘到四次方 5 　　题型 4　简便运算：把数凑成和与差 6 　　题型 5　化简求值与整体代入 8 　　题型 6　数形结合：用面积解释公式 10 　　题型 7　规律、新定义与阅读材料 12 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 13 　题型 1　　公式本体：相同项平方减相反项平方 知识梳理 ​——两数和乘这两数差，等于平方差 公式　．左边是"一项相同、一项相反"的两个二项式相乘，右边是"相同项的平方 相反项的平方"。如 把 写成 就看清了。 怎么认　先把两个括号里的项对齐摆好，符号一样的叫相同项（如 里的 ），符号相反的叫相反项（这里的 与 ）。结果是 相同项在前、相反项在后，顺序不能颠倒。 能用的判据　两个括号必须恰好一项相同、一项相反． 都不能直接用；前者是和的平方，中者提负号后变成 后者没有相同项。 符号藏在括号里　 的相同项是 相反项是 与 所以结果是 ．平方之后负号自动消失，这一步最容易漏。 易错　①把 也套平方差；　②结果写成 （符号错）；　③ 写成 （系数没平方）；　④ 写成 （ 整体平方才是 ）；　⑤把 与平方差混为一谈。 要点　一项相同、一项相反才能用；结果是"相同项平方 相反项平方"，系数也要平方。 1． 计算的结果正确的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了平方差公式的运用，先将式子变为再利用平方差公式计算即可 解：故选：A 2． 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查平方差公式的适用条件，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此对各选项逐一判断即可． 解：A选项：中，相同项为与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算，符合题意； B选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项：中，虽然有相同项但与不是互为相反数，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 3． 下列运算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式计算各项并判断，即可解题． 解：A. 选项计算错误，不符合题意； B. 选项计算错误，不符合题意； C. 选项计算错误，不符合题意； D. 选项计算正确，符合题意；故选：D． 4． 计算： （1）      ； （2）      ． 　思路分析　　本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式进行求解； （2）根据平方差公式进行求解． 解：（1） （2） 故答案为． 5． 运用平方差公式计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． （1）解：原式 （2）解：原式． 　题型 2　　认项与补项：先摆正位置，再动公式 知识梳理 把两个括号按同一顺序摆好，相同项写前、相反项写后；缺的项用"平方差"倒推 补括号　右边是 所以括号里应是 ．看到平方差的结果，先把它写成"某式的平方 某式的平方"，缺的那个因式自然就出来了。 字母与数字混着补　右边 而左边第一项是 所以对应 ．先看结果里谁在前，再看左式里谁的符号是负的。 反求参数　即 故 ．平方相等有两种符号，只写 会丢一半。 新定义运算　规定" ※ "这类题，照定义把式子摆成"平方差"的形状再算：" ※ "就是 这时才用平方差（或直接展开）．方框、三角这类符号题先分类讨论，再逐个验证。 易错　①补项时把 的次序看反；　② 只写 　③新运算里把""当成减法；　④符号选择题不分类讨论就下结论。 要点　先把结果化成"平方 平方"，再对位补项；平方相等要带 1． 若等式成立，则括号内所填的代数式是  （  ） A． B． C． D． 解： ​括号内所填的代数式是． 2． 若则的值为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用平方差公式展开化简后，即可求出的值． 解： ​ ​． 3． 在化简整式（x2）■（x＋2）＋▲中，“■”表示运算符号“”“”中的某一个，“▲”表示一个整式． （1）计算（x2）（x＋2）＋（2＋y）； （2）若（x2）（x＋2）＋▲=3＋4，求出整式▲； （3）已知（x2）■（x＋2）＋▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值． 　思路分析　　（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将（x2）（x＋2）移项到等号右边即可得▲的代数式，根据平方差公式计算化简即可； （3）根据计算结果是二次得■运算符号为乘号，将原式化简，根据计算结果是单项式得出▲的值． （1）原式2x22＋y ​6； （2）根据题意得：▲=3＋4（x2）（x＋2） =3＋4（4） =3＋4＋4 =2＋8； （3）计算结果是二次单项式， ​■表示的运算符号是 ​原式=（x2）（x＋2）＋▲ =4＋▲， ​计算结果是单项式， ​▲的值为4． 　题型 3　　连用公式：一路乘到四次方 知识梳理 ​缺 就自己补一个 两次连用　前两个先乘得 再与 相乘得 ．一次只用一次公式，把上一次的结果当成新的"相同项"。 缺一项就补一项　要算 前面补上 即可（因为 值不变）：原式 ．补的那个因式必须等于 ，这是这类题唯一的门槛。 乘 也是补因式　 里把 写成 于是原式 ．看出来" 恰好是 "是关键，先看首项的数字能不能凑成差。 整体代换　已知 则 ．先合并成一个平方差，再整体平方，比先展开省一半功夫。 易错　①中间结果忘了再乘一次；　②补 时把值改了；　③ 拆成两个平方差分别算；　④指数算错（ 写成 ）；　⑤最后一项 相减时去括号没变号。 要点　一次一公式、结果当新项；缺因式就补一个等于 的差式。 1． 计算的结果为 （  ） A．0 B． C． D． 　答案　　A 2． 如果则的值为 （  ） A．4 B．16 C．24 D．32 　思路分析　　本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式整理，然后代入数据计算即可得解． 解： ​ ​．故选：B． 3． 化简：． 解：原式 ​ ​ ​． 先观察上面的解题过程，然后解答下列问题． 化简： （1）． （2）（是大于3的整数）． 　思路分析　　本题主要考查了平方差公式，关键在于式子的变形． （1）根据题意，原式乘以后可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算； （2）根据题意，原式乘以后可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算． 解：（1）原式 ​． （2）原式． 　题型 4　　简便运算：把数凑成和与差 知识梳理 ​——找中间数，写成和与差 找中间数　 的两个因数关于 对称，于是 ．两数相差 时，中间数就是平均数，一般形式 ． 平方差型比较大小　而 所以 ．看到"中间数的平方"和"两边各差 的积"，就该想到平方差。 别把减号算错　．结果常常就是 ，这类题的答案极少是复杂数。 凑整与提公因式并用　．先提公因式，再用平方差，两步都不能省。 易错　①中间数找错（ 与 的中间数是 不是 ）；　② 忘了平方；　③分母里的 没先化；　④提公因式时只提了系数、漏了 　⑤最后一步加减算错（ 变成 ）。 要点　找中间数 写成 ；能提公因式先提。 1． 用简便方法计算变形正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将原式中的两个因数拆分为整百数加、减同一个数，即可利用平方差公式变形得到结果． 解： ​． 2． 利用平方差公式计算的结果是 （  ） A． B．1 C． D．2 　思路分析　　本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 解： ​ ​ ​ ​故选：B． 3． 简便运算： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到再由平方差公式计算即可得到答案． （1）解： ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​． 4． 已知 若a是整数，则       ． 　思路分析　　本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 将原式变形为再由平方差公式计算即可． 解： ​a是整数， ​故答案为：． 　题型 5　　化简求值与整体代入 知识梳理 先把括号全部乘开合并，再代值；条件是方程组或平方差时，整体搬过去 固定顺序　乘开 合并同类项 代值．如 代入 得 ．能约掉的平方项一定先约掉，这是化简题设的用意。 整体代入　已知 由 得 ．不要解方程组，直接把 当整体用。 方程组型　要求 就先把它写成 已知 再由第二个方程得 即 于是 ．先把目标式因式分解，再看两个方程能不能直接提供这两个因式。 过程纠错型　给出别人的解题过程让你找错，错误几乎都出在"括号前是负号，去括号没变号"这一步．答题时要先指明第几步错、错在哪里、再写出完整过程，三样齐全才满分。 易错　①不化简直接代值；　②去括号该变号没变；　③整体条件当成要解方程；　④平方差与完全平方混用；　⑤纠错题只写正确答案不指出错因。 要点　先化简后代值；条件能凑成两个因式就整体代入，不必解方程组。 1． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　先根据平方差公式，单项式乘多项式进行计算，然后合并同类项，再代入字母的值计算即可． 解：原式． 当时，原式． 2． 已知：整式t为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被24整除． 　思路分析　　本题考查了平方差公式的计算，熟记平方差公式是解答的关键； （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式解析计算得出即可求解． （1）解：的值不可能为负数，理由如下： ​ ​ ​ ​的值不可能为负数； （2）证明： ​ ​ ​t是整数， ​一定能被24整除 ​当t是整数时，的值一定能被24整除． 3． 下面是小明同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 化简：． 小明的做法： 解：原式…………第一步 / ………………⋅第二步 / ……………………⋅第三步 / ．………………………………⋅第四步 任务：仔细检查小明同学解题的过程，回答下列问题： （1）第一步用到的乘法公式用字母表示为      ； （2）第      步开始出现错误，这一步错误的原因是      ．请写出正确的化简过程． 　思路分析　　（1）根据平方差公式，即可求解； （2）根据平方差公式、多项式乘多项式和去括号法则，计算即可． （1）解： （2）解：小明在第三步时出现错误，错误的将展开为正确应为 故错误原因为：括号前为“”号，去括号时“”未变号． 正确过程略． 4． 若=100，x+y=-25，则x-y的值是  （  ） A．5 B．4 C． D．以上都不对 　思路分析　　由已知条件，利用平方差公式将因式分解，再x＋y=25代入求xy的值． 解：=（x＋y）（xy）=100， 将x＋y=25代入，解得xy=4．故选C． 　题型 6　　数形结合：用面积解释公式 知识梳理 同一块阴影用两种方法算面积，令其相等就得到公式 两种算法得一个公式　大正方形挖去小正方形（边长 ），阴影面积可以写成 把阴影剪拼成长方形，长 宽 面积 ．两者相等即得 ．"剪拼前后面积不变"是全部依据，答题时必须写出这句话。 看图写式子　题目给"图 1 到图 2"的变形，就分别写出两图的面积表达式，再让它们相等．注意看图里哪条边被平移、平移后拼成了哪一段，边长标注一定要看清是 还是 。 租地问题　边长 的正方形改成"一边加 一边减 "，面积由 变成 少了 平方米，所以张老汉吃亏。只要"加的数"与"减的数"相同，面积必减不减增，这是结论可以直接记。 立体图形　长方体容积 长 宽 深，宽与深恰好是 与 先乘这两个得 再乘长 得 ．连用两次公式，顺序可以调换，先乘带平方差的那一对更省力。 易错　①只说"面积相等"不写两个表达式；　②剪拼后长宽看反（长是 宽是 ）；　③租地问题以为面积不变；　④立体图形漏乘一次；　⑤带单位的量最后不写单位。 要点　同一面积两种算法 相等 得公式；加同数减同数，面积一定变小。 1． 如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， ​图1中阴影部分的长方形长为宽为则面积为 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为 由于两个阴影部分面积相等，则得故选：C． 2． 如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． （1）设图①中阴影部分面积为图②中阴影部分面积为请直接用含a，b的式子表示 （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 　思路分析　　本题主要考查了平方差公式的应用： （1）根据题意可得图①中阴影部分的面积为长为宽为的长方形的面积，图②中阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即可解答； （2）根据即可解答． （1）解：根据题意得： （2）解：根据题意得： ​． 3．  租地问题 从前，一位农场主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会  （  ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 　思路分析　　分别求出变化前后2次的面积，比较大小即可． 解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 ​ ​面积变小了，故选：C． 4．  游泳池容积 某中学建了一个长方体游泳池，若游泳池的长为m，宽为m，深为m，则这个游泳池的容积是多少？ 　思路分析　　本题考查了平方差公式的应用，根据长方体游泳池的容积等于长宽高进行列式计算，即可作答． 解：游泳池的长为m，宽为m，深为m， ​ ​ ​ ​（立方米）， 即这个游泳池的容积是立方米． 　题型 7　　规律、新定义与阅读材料 知识梳理 先用公式把式子化到最简，再看它能被谁整除、有什么规律 连续奇数的平方差　．结论：两个连续奇数的平方差一定是 的倍数．于是判断"幸福数"就看它能不能被 整除。 能整除谁　．结果与 无关，是个常数，所以能整除它的整数是 的因数（含 ）。先把式子算成一个数，再谈整除，这是此类题的统一套路。 三个连续偶数的积　中间数为 则三个数是 积 ．先用平方差把两头乘掉，再乘中间，比逐个展开短得多。 阅读材料的两种写法　一类是" 的不同算法"，要你说清每种算法用的运算律或公式（分配律 / 平方差）；另一类是 这类推广，照 的规律写出 再用它把一长串和化成"两个幂的差除以一个差"。 易错　①平方差展开时符号错（应为 而不是 ）；　②算完还有 就说"与 有关"；　③三个连续偶数写成 　④推广式里项数与指数对不上；　⑤阅读题只写结果不写"用了什么公式"。 要点　先化简成最简式，再看整除与规律；推广题照 的样式写出通式。 1． 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中，为“幸福数”的是 （  ） A．205 B．250 C．502 D．520 　答案　　D 2． 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明： / 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： / ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： （1）小明进行简便计算的原理为乘法分配律：      ；小军进行简便计算的原理为乘法公式：      ． （2）选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ① ②． 　思路分析　　本题主要考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律（乘法分配律）、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． （1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律： 小军进行简便计算的原理为乘法公式： 故答案为： （2）解：① ​ ​ ​ ​ ② ​ ​ ​ ​． A 组　基础题 必做｜公式正用与凑数简算的基础套用 1． ​的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查的是平方差公式的应用，熟记平方差公式是解本题的关键，本题直接利用平方差公式计算即可． 解：故选D 2． 下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解题的关键； 根据平方差公式逐一判断即可． 解：A．能用平方差公式计算； B．能用平方差公式计算； C．不能用平方差公式计算； D．能用平方差公式计算；故选：C． 3． 下列各式中不能用平方差公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 　答案　　D 4． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式“”进行排除选项即可． 解：A、原计算错误，故不符合题意； B、原计算错误，故不符合题意； C、原计算正确，故符合题意； D、原计算错误，故不符合题意；故选C． 5． 观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为  （  ） A．（a+b）（ab）= B．=（a+b）（ab） C．（a+b） D．=（a+b） 　思路分析　　根据边长为的正方形剪掉边长为的正方形的面积和长方形的面积相等，进行判断即可． 解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b）， 图2：剪掉边长为b的正方形的面积为： 所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=．故选：A． 6． 已知则      ． 　思路分析　　本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则． 利用平方差公式化简后代入求值即可． 解： ​ ​ ​原式=．故答案为：． 7．  比较大小 已知则与的大小关系是      N．（填“或=”） 　思路分析　　将N表示为利用平方差公式化简，再利用作差法比较即可． 解： 又 ​ ​． 8． 如图，大正方形的边长为小正方形的边长为．已知图中阴影部分的面积为16，且小正方形的面积为4，则大正方形的面积为      ． 　思路分析　　本题主要考查列代数式，解答的关键是结合图形分析清楚其中的等量关系． 由题意可得：结合正方形的面积公式及三角形的面积公式进行求解即可． 解：由题意得： ​ ​ 即 ​ ​ ​小正方形的面积为 ​ ​即大正方形的面积为．故答案为：． 9． 计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查了平方差公式． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． （1）原式 （2）原式． 10． 计算： （1） （2）． 　思路分析　　（1）连续利用平方差公式计算即可； （2）分别利用平方差公式与单项式乘多项式，再合并同类项即可． （1）解：原式． （2）解：原式． 11． 计算：． 解：原式． 12． 运用平方差公式计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据平方差公式进行求解即可． （1）解：原式 （2）解：原式 ​ ​． B 组　提升题 必做｜认项补项、整体代值与图形面积计算 1． 式子的值 （  ） A．与无关 B．与无关 C．与无关 D．与有关 　思路分析　　本题考查了平方差公式，能熟练地运用公式进行计算是解此题的关键． 先算乘法，合并同类项，关键是求出的结果判断即可． 解： ​ ​ 即与无关，故选：B． 2． 某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算： ​  （  ） A．1 B．2 C． D． 　思路分析　　此题考查了运用平方差公式计算． 把原式前面乘进一步利用平方差公式计算即可； 解：原式= ​ ​ ​ =2．故选：B． 3． 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会 （  ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 　思路分析　　分别求出2次的面积，比较大小即可． 解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 ​ ​ 所以面积变小了，故选C． 4．  关于 y 轴对称 在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 （  ） A． B．1 C．7 D． 　思路分析　　本题考查关于轴对称的点的坐标特征及平方差公式的应用，本题先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出和的值，再运用平方差公式计算的值． 解：点与点关于轴对称， ​根据关于轴对称的点的坐标性质：纵坐标相等，横坐标互为相反数， ​ ​．故选：A． 5． 三个连续偶数，若中间一个数为则它们的积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出三个连续偶数，求出之积即可． 解：中间一个数为则另外两个数为 它们的积为：．故选：C． 6．  新定义运算 对于任意实数定义一种新运算“”，规定若为实数，则的化简结果为      ． 　思路分析　　根据新定义以及平方差公式进行计算即可． 解：． 7． 若则      ，      ． 　思路分析　　本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式直接化简即可． 解： ​ ​故答案为：． 8． 若满足且则的值为      ． 　思路分析　　先根据点 和点 是这个图形上的一对对称点，确定对称关系，再根据该对称关系求点 的对称点的坐标即可． 解： 点 和点 是这个图形上的一对对称点， ​ 点 与点 关于直线 对称， ​ 点 关于直线 的对称点为 故答案为：． 9． 已知则      ． 　思路分析　　本题主要考查了平方差公式和积的乘方逆运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 先利用积的乘方逆运算将变形为再根据平方差公式化简计算即可． 解： ​ ​ ​ ​．故答案为：． 10．  方程组型 已知方程组则      ． 　思路分析　　由题意根据平方差公式化简式子，进而整体代入方程组的值进行计算即可得出答案． 解：由 ​ ​．故答案为：3． 11． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟记整式乘法公式是解决问题的关键． 先由平方差公式、单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到化简结果，再将代入化简结果计算即可得到答案． 解： ​ ​ ​ ​ 当时，原式． 12． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　利用单项式乘以多项式和平方差公式计算括号内运算，再计算多项式除以单项式，即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 解： ​ ​ ​ ​ 当时， 原式 13． （1）先化简，再求值：其中． （2）已知求代数式的值． 　思路分析　　本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据平方差公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可； （2）根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据可以得到最后将其整体代入化简后的式子计算即可． （1）解：原式． 当时，原式． （2）原式． 由得 ​原式． 14． 已知其中是整式． （1）求整式 （2）当时，求的值． 　思路分析　　（1）将等式变形，然后展开，再合并同类项即可； （2）将代入（1）中所得的代数式即可． （1）解： ​ （2）解：当时，． 15． 如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． （1）请表示图①中阴影部分的面积； （2）某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图②所示，请你表示出它的面积； （3）比较（1）（2）的结果，你能发现什么结论？ 　思路分析　　本题主要考查平方差公式与图形面积问题，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据正方形面积公式及题意可直接进行求解； （2）由图②可知长方形的长为宽为然后根据面积公式可进行求解； （3）由（1）（2）可进行求解． （1）解：由图①可知：阴影部分的面积为 （2）解：由图②可知：长方形的长为宽为 ​面积为 （3）解：由（1）（2）的结果可知结论为：． 16． 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式      （用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知则的值为      ； （2）计算： 【拓展】计算：． 　思路分析　　本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 解：【探究】图①中阴影部分面积为图②中阴影部分面积为所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1） ​． ​且 ​． 故答案为：3 （2） ​ ​ ​ ​． 【拓展】原式 ​ ​． C 组　拓展题 选做｜整除规律与分数连锁阅读 1． 对于任意整数能整除式子的值的整数是 （  ） A． B． C．3 D．4 　思路分析　　此题考查了整式的化简与数的整除，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式利用平方差公式化简，去括号合并后即可作出判断． 解： ​ ​ 则对于任意整数能整除式子的整数是．故选：A． 2． 阅读下面的材料并填空： ①反过来，得 ②反过来，得            ； ③反过来，得      ． 利用上面材料中的方法计算：． 　思路分析　　此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，约分，是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，约分即得出答案． 解：①反过来，得 ②反过来，得 故答案为： ③反过来，得． 故答案为： 利用上面材料中的方法计算： ​ ​ ​ ​ ​ 3． 阅读解答： （1）填空：      ；      ；      ； （2）类推：      （其中为正整数，且）； （3）利用（）的结论计算： ​ ； ​． 　思路分析　　（）按照多项式乘多项式即可完成； （）根据（）中的结果，可以猜想得到结论； （）根据（）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果； ​根据（）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果； 此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）解： ​ ​ 故答案为： （2）解： 故答案为： （3）解： ， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.1  平方差公式 学生版  16.3.1　平方差公式 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　公式本体：相同项平方减相反项平方 2 　　题型 2　认项与补项：先摆正位置，再动公式 3 　　题型 3　连用公式：一路乘到四次方 4 　　题型 4　简便运算：把数凑成和与差 5 　　题型 5　化简求值与整体代入 6 　　题型 6　数形结合：用面积解释公式 7 　　题型 7　规律、新定义与阅读材料 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 11 　题型 1　　公式本体：相同项平方减相反项平方 知识梳理 ​——两数和乘这两数差，等于平方差 公式　．左边是"一项相同、一项相反"的两个二项式相乘，右边是"相同项的平方 相反项的平方"。如 把 写成 就看清了。 怎么认　先把两个括号里的项对齐摆好，符号一样的叫相同项（如 里的 ），符号相反的叫相反项（这里的 与 ）。结果是 相同项在前、相反项在后，顺序不能颠倒。 能用的判据　两个括号必须恰好一项相同、一项相反． 都不能直接用；前者是和的平方，中者提负号后变成 后者没有相同项。 符号藏在括号里　 的相同项是 相反项是 与 所以结果是 ．平方之后负号自动消失，这一步最容易漏。 易错　①把 也套平方差；　②结果写成 （符号错）；　③ 写成 （系数没平方）；　④ 写成 （ 整体平方才是 ）；　⑤把 与平方差混为一谈。 要点　一项相同、一项相反才能用；结果是"相同项平方 相反项平方"，系数也要平方。 1． 计算的结果正确的是  （  ） A． B． C． D． 2． 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 3． 下列运算正确的是 （  ） A． B． C． D． 4． 计算： （1）      ； （2）      ． 　 5． 运用平方差公式计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 2　　认项与补项：先摆正位置，再动公式 知识梳理 把两个括号按同一顺序摆好，相同项写前、相反项写后；缺的项用"平方差"倒推 补括号　右边是 所以括号里应是 ．看到平方差的结果，先把它写成"某式的平方 某式的平方"，缺的那个因式自然就出来了。 字母与数字混着补　右边 而左边第一项是 所以对应 ．先看结果里谁在前，再看左式里谁的符号是负的。 反求参数　即 故 ．平方相等有两种符号，只写 会丢一半。 新定义运算　规定" ※ "这类题，照定义把式子摆成"平方差"的形状再算：" ※ "就是 这时才用平方差（或直接展开）．方框、三角这类符号题先分类讨论，再逐个验证。 易错　①补项时把 的次序看反；　② 只写 　③新运算里把""当成减法；　④符号选择题不分类讨论就下结论。 要点　先把结果化成"平方 平方"，再对位补项；平方相等要带 1． 若等式成立，则括号内所填的代数式是  （  ） A． B． C． D． 2． 若则的值为 （  ） A． B． C． D． 3． 在化简整式（x2）■（x＋2）＋▲中，“■”表示运算符号“”“”中的某一个，“▲”表示一个整式． （1）计算（x2）（x＋2）＋（2＋y）； （2）若（x2）（x＋2）＋▲=3＋4，求出整式▲； （3）已知（x2）■（x＋2）＋▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　连用公式：一路乘到四次方 知识梳理 ​缺 就自己补一个 两次连用　前两个先乘得 再与 相乘得 ．一次只用一次公式，把上一次的结果当成新的"相同项"。 缺一项就补一项　要算 前面补上 即可（因为 值不变）：原式 ．补的那个因式必须等于 ，这是这类题唯一的门槛。 乘 也是补因式　 里把 写成 于是原式 ．看出来" 恰好是 "是关键，先看首项的数字能不能凑成差。 整体代换　已知 则 ．先合并成一个平方差，再整体平方，比先展开省一半功夫。 易错　①中间结果忘了再乘一次；　②补 时把值改了；　③ 拆成两个平方差分别算；　④指数算错（ 写成 ）；　⑤最后一项 相减时去括号没变号。 要点　一次一公式、结果当新项；缺因式就补一个等于 的差式。 1． 计算的结果为 （  ） A．0 B． C． D． 2． 如果则的值为 （  ） A．4 B．16 C．24 D．32 3． 化简：． 解：原式 ​ ​ ​． 先观察上面的解题过程，然后解答下列问题． 化简： （1）． （2）（是大于3的整数）． 　 　 　 　 　 　题型 4　　简便运算：把数凑成和与差 知识梳理 ​——找中间数，写成和与差 找中间数　 的两个因数关于 对称，于是 ．两数相差 时，中间数就是平均数，一般形式 ． 平方差型比较大小　而 所以 ．看到"中间数的平方"和"两边各差 的积"，就该想到平方差。 别把减号算错　．结果常常就是 ，这类题的答案极少是复杂数。 凑整与提公因式并用　．先提公因式，再用平方差，两步都不能省。 易错　①中间数找错（ 与 的中间数是 不是 ）；　② 忘了平方；　③分母里的 没先化；　④提公因式时只提了系数、漏了 　⑤最后一步加减算错（ 变成 ）。 要点　找中间数 写成 ；能提公因式先提。 1． 用简便方法计算变形正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 利用平方差公式计算的结果是 （  ） A． B．1 C． D．2 3． 简便运算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 4． 已知 若a是整数，则       ． 　 　题型 5　　化简求值与整体代入 知识梳理 先把括号全部乘开合并，再代值；条件是方程组或平方差时，整体搬过去 固定顺序　乘开 合并同类项 代值．如 代入 得 ．能约掉的平方项一定先约掉，这是化简题设的用意。 整体代入　已知 由 得 ．不要解方程组，直接把 当整体用。 方程组型　要求 就先把它写成 已知 再由第二个方程得 即 于是 ．先把目标式因式分解，再看两个方程能不能直接提供这两个因式。 过程纠错型　给出别人的解题过程让你找错，错误几乎都出在"括号前是负号，去括号没变号"这一步．答题时要先指明第几步错、错在哪里、再写出完整过程，三样齐全才满分。 易错　①不化简直接代值；　②去括号该变号没变；　③整体条件当成要解方程；　④平方差与完全平方混用；　⑤纠错题只写正确答案不指出错因。 要点　先化简后代值；条件能凑成两个因式就整体代入，不必解方程组。 1． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 2． 已知：整式t为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被24整除． 　 　 　 　 　 3． 下面是小明同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 化简：． 小明的做法： 解：原式…………第一步 / ………………⋅第二步 / ……………………⋅第三步 / ．………………………………⋅第四步 任务：仔细检查小明同学解题的过程，回答下列问题： （1）第一步用到的乘法公式用字母表示为      ； （2）第      步开始出现错误，这一步错误的原因是      ．请写出正确的化简过程． 　 　 　 　 　 4． 若=100，x+y=-25，则x-y的值是  （  ） A．5 B．4 C． D．以上都不对 　题型 6　　数形结合：用面积解释公式 知识梳理 同一块阴影用两种方法算面积，令其相等就得到公式 两种算法得一个公式　大正方形挖去小正方形（边长 ），阴影面积可以写成 把阴影剪拼成长方形，长 宽 面积 ．两者相等即得 ．"剪拼前后面积不变"是全部依据，答题时必须写出这句话。 看图写式子　题目给"图 1 到图 2"的变形，就分别写出两图的面积表达式，再让它们相等．注意看图里哪条边被平移、平移后拼成了哪一段，边长标注一定要看清是 还是 。 租地问题　边长 的正方形改成"一边加 一边减 "，面积由 变成 少了 平方米，所以张老汉吃亏。只要"加的数"与"减的数"相同，面积必减不减增，这是结论可以直接记。 立体图形　长方体容积 长 宽 深，宽与深恰好是 与 先乘这两个得 再乘长 得 ．连用两次公式，顺序可以调换，先乘带平方差的那一对更省力。 易错　①只说"面积相等"不写两个表达式；　②剪拼后长宽看反（长是 宽是 ）；　③租地问题以为面积不变；　④立体图形漏乘一次；　⑤带单位的量最后不写单位。 要点　同一面积两种算法 相等 得公式；加同数减同数，面积一定变小。 1． 如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． （1）设图①中阴影部分面积为图②中阴影部分面积为请直接用含a，b的式子表示 （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3．  租地问题 从前，一位农场主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会  （  ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 4．  游泳池容积 某中学建了一个长方体游泳池，若游泳池的长为m，宽为m，深为m，则这个游泳池的容积是多少？ 　 　 　 　题型 7　　规律、新定义与阅读材料 知识梳理 先用公式把式子化到最简，再看它能被谁整除、有什么规律 连续奇数的平方差　．结论：两个连续奇数的平方差一定是 的倍数．于是判断"幸福数"就看它能不能被 整除。 能整除谁　．结果与 无关，是个常数，所以能整除它的整数是 的因数（含 ）。先把式子算成一个数，再谈整除，这是此类题的统一套路。 三个连续偶数的积　中间数为 则三个数是 积 ．先用平方差把两头乘掉，再乘中间，比逐个展开短得多。 阅读材料的两种写法　一类是" 的不同算法"，要你说清每种算法用的运算律或公式（分配律 / 平方差）；另一类是 这类推广，照 的规律写出 再用它把一长串和化成"两个幂的差除以一个差"。 易错　①平方差展开时符号错（应为 而不是 ）；　②算完还有 就说"与 有关"；　③三个连续偶数写成 　④推广式里项数与指数对不上；　⑤阅读题只写结果不写"用了什么公式"。 要点　先化简成最简式，再看整除与规律；推广题照 的样式写出通式。 1． 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中，为“幸福数”的是 （  ） A．205 B．250 C．502 D．520 2． 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明： / 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： / ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： （1）小明进行简便计算的原理为乘法分配律：      ；小军进行简便计算的原理为乘法公式：      ． （2）选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ① ②． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜公式正用与凑数简算的基础套用 1． ​的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 3． 下列各式中不能用平方差公式计算的是 （  ） A． B． C． D． 4． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 5． 观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为  （  ） A．（a+b）（ab）= B．=（a+b）（ab） C．（a+b） D．=（a+b） 6． 已知则      ． 　 7．  比较大小 已知则与的大小关系是      N．（填“或=”） 　 8． 如图，大正方形的边长为小正方形的边长为．已知图中阴影部分的面积为16，且小正方形的面积为4，则大正方形的面积为      ． 　 9． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 10． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 11． 计算：． 　 　 　 12． 运用平方差公式计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜认项补项、整体代值与图形面积计算 1． 式子的值 （  ） A．与无关 B．与无关 C．与无关 D．与有关 2． 某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算： ​  （  ） A．1 B．2 C． D． 3． 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会 （  ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 4．  关于 y 轴对称 在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 （  ） A． B．1 C．7 D． 5． 三个连续偶数，若中间一个数为则它们的积为 （  ） A． B． C． D． 6．  新定义运算 对于任意实数定义一种新运算“”，规定若为实数，则的化简结果为      ． 　 7． 若则      ，      ． 　 8． 若满足且则的值为      ． 　 9． 已知则      ． 　 10．  方程组型 已知方程组则      ． 　 11． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 12． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 13． （1）先化简，再求值：其中． （2）已知求代数式的值． 　 　 　 　 　 14． 已知其中是整式． （1）求整式 （2）当时，求的值． 　 　 　 　 　 15． 如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． （1）请表示图①中阴影部分的面积； （2）某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图②所示，请你表示出它的面积； （3）比较（1）（2）的结果，你能发现什么结论？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 16． 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式      （用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知则的值为      ； （2）计算： 【拓展】计算：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜整除规律与分数连锁阅读 1． 对于任意整数能整除式子的值的整数是 （  ） A． B． C．3 D．4 2． 阅读下面的材料并填空： ①反过来，得 ②反过来，得            ； ③反过来，得      ． 利用上面材料中的方法计算：． 　 　 　 　 　 　 　 3． 阅读解答： （1）填空：      ；      ；      ； （2）类推：      （其中为正整数，且）； （3）利用（）的结论计算： ​ ； ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $