第11讲·乘法公式·培优讲义（平方差公式 完全平方公式）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第11讲·乘法公式·培优讲义（平方差公式 完全平方公式）· 2026-2027学年人教版八年级数学上册（平方差公式 完全平方公式）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握平方差公式及其应用 · 掌握完全平方公式及其应用 · 能逆用乘法公式进行变形求值 · 理解乘法公式的几何意义 · 熟练进行整式乘法混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 公式中的a和b可以是数也可以是代数式 逆用：a^2-b^2=(a+b)(a-b) 概念辨析例题：计算：(x+2)(x-2) 答案：x^2-4 解析：平方差公式：x^2-2^2=x^2-4。 ☆ 2.完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 两数和（差）的平方等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍 注意中间项是2倍乘积 概念辨析例题：计算：(x+3)^2 答案：x^2+6x+9 解析：完全平方公式：x^2+2·x·3+3^2=x^2+6x+9。 ☆ 3.乘法公式综合与变形 乘法公式常与整式混合运算结合 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab (a+b)^2-(a-b)^2=4ab 注意公式的逆用与变形 概念辨析例题：已知a+b=5，ab=6，求a^2+b^2 答案：13 解析：a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 相同项平方减相反项平方 完全平方和 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 中间项2ab 完全平方差 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 中间项-2ab 变形公式 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab 注意符号 混合运算 先乘方再乘除后加减 注意括号 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方差公式（第1-27题） · (a+b)(a-b)=a^2-b^2 · 找相同项和相反项 · 逆用分解因式 · 注意符号 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算（       ） A． B．1 C．0 D．2 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·福建漳州·期中）计算：________． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）计算：___________． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）若，则的值为__________． 10．（25-26九年级下·河南漯河·期中）化简：________． 11．（23-24八年级上·江西赣州·期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长b为的正方形的花坛、学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 具体数据如图所示，则______．（填“＞”，“＜”或“＝”）    12．（24-25九年级下·山东滨州·期中）________． 13．（25-26七年级上·上海·课后作业）如果，那么____，_____． 14．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）________．（结果用幂的形式表示） 15．（20-21七年级下·江西上饶·期中）先化简，再求值：，其中， 16．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）简便运算： (1) (2) 17．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 18．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢？请举例说明你的思考． 20．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 本题考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先利用单项式乘多项式法则，平方差公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，最后将的值代入计算即可； 【考点2】完全平方公式（第28-55题） · (a±b)^2=a^2±2ab+b^2 · 中间项是2倍乘积 · 几何面积验证 · 注意符号 22．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．15 B．14 C．38 D．50 26．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 27．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 28．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，正方形的边长为，正方形与正方形的重叠部分为长方形，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（   ） A．29 B．28 C．30 D．31 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 30．（23-24七年级下·山东淄博·期中）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是___________． 31．（2026·陕西榆林·二模）我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，由边长分别为、的两个正方形和两个长、宽分别为、的矩形无缝隙、无重叠地拼成边长为的正方形，若，则的值为_____． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：________． 33．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段检测）__________________． 34．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知实数满足，那么的平方根是______________． 35．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为______． 36．（24-25八年级上·江西新余·期末）计算：_____________． 37．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为______；最小值为______． 38．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）化简求值： (1)，其中，，； (2)已知，求代数式的值． 39．（24-25七年级下·广东佛山·期中）化简： (1) (2)； 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当，，，0，1时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值的正负．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 41．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 42．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算． (1)； (2)． 43．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【考点3】乘法公式综合与变形求值（第56-52题） · a^2+b^2=(a+b)^2-2ab · (a+b)^2-(a-b)^2=4ab · 整体代入求值 · 注意运算顺序 44．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1和图2所示，先在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2）． （1）若图2的一边长为，则“？”所对应的边长为___________（用含的式子表示）； （2）若图2是一个正方形，那么___________． 46．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 _____． 47．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，则_______． 48．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是_______． 49．（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）已知，则______． 50．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． (1)判断58是否是“完美数”，并说明理由； (2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； (3)已知 ，求的值． 51．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】若x满足，求的值． 设，则， ． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值为____________． (2)若x满足，求的值． 52．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图1，将一个边长为的大正方形拆分为边长分别为a，b的两个小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式． (1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________； ②如果，，则_______；如果，，则_______； (2)【类比应用】①若，则______； ②若x满足，则_____； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连结．若，，求一块直角三角板的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方差和乘差平方差 · 完全平方和展开三项 · 中间项2倍乘积别忘 · 变形公式整体代入 · 混合先乘方后乘除 【作业1】．（24-25七年级下·广东佛山·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【作业4】．（24-25七年级下·广西崇左·期末）在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则等于（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【作业7】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ，，则 ___________． 【作业8】．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）化简： ___． 【作业9】．（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）计算________． 【作业10】．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）如图甲所示，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到两数和的完全平方公式是：，根据图乙能得到的数学公式是___________． 【作业11】．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是______． 【作业12】．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式：______；根据图2，可以得到两数差的平方公式：______． 【作业13】．（23-24八年级上·天津滨海新区·期末）（1）已知，，则的值为______． （2）已知，，则的值为______． （3）已知满足，则的值为______． 【作业14】．（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【作业15】．（24-25七年级下·四川雅安·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【作业16】．（2025·江苏常州·一模）先化简，再求值：，其中． 【作业17】．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【作业18】．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ （平方差公式 完全平方公式）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 第11讲 乘法公式 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握平方差公式及其应用 · 掌握完全平方公式及其应用 · 能逆用乘法公式进行变形求值 · 理解乘法公式的几何意义 · 熟练进行整式乘法混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 公式中的a和b可以是数也可以是代数式 逆用：a^2-b^2=(a+b)(a-b) 概念辨析例题：计算：(x+2)(x-2) 答案：x^2-4 解析：平方差公式：x^2-2^2=x^2-4。 ☆ 2.完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 两数和（差）的平方等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍 注意中间项是2倍乘积 概念辨析例题：计算：(x+3)^2 答案：x^2+6x+9 解析：完全平方公式：x^2+2·x·3+3^2=x^2+6x+9。 ☆ 3.乘法公式综合与变形 乘法公式常与整式混合运算结合 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab (a+b)^2-(a-b)^2=4ab 注意公式的逆用与变形 概念辨析例题：已知a+b=5，ab=6，求a^2+b^2 答案：13 解析：a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 相同项平方减相反项平方 完全平方和 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 中间项2ab 完全平方差 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 中间项-2ab 变形公式 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab 注意符号 混合运算 先乘方再乘除后加减 注意括号 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方差公式（第1-27题） · (a+b)(a-b)=a^2-b^2 · 找相同项和相反项 · 逆用分解因式 · 注意符号 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式． 根据平方差公式的结构特征，即两数和与两数差的乘积，需满足一项完全相同，另一项互为相反数．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：可变形为，即，不符合平方差公式； 选项B：既无相同项也无相反项，不符合平方差公式； 选项C：既无相同项也无相反项，不符合平方差公式； 选项D：，符合平方差公式； 故选：D 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 3．（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算（       ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故选B 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式：． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算，涉及平方差公式的应用，关键是熟练掌握多项式乘法法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，同时牢记平方差公式，避免混淆公式． 【详解】解：对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：A． 6．（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律：先计算，然后再计算所给式子即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：B． 7．（23-24七年级下·福建漳州·期中）计算：________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，直接运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）计算：___________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，直接利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）若，则的值为__________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式化简等式左边，再通过乘方定义求解的值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴． 10．（25-26九年级下·河南漯河·期中）化简：________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开原式，再去括号合并同类项，即可得到化简结果. 【详解】解： ． 11．（23-24八年级上·江西赣州·期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长b为的正方形的花坛、学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 具体数据如图所示，则______．（填“＞”，“＜”或“＝”）    【答案】＞ 【知识点】整式加减的应用、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式，整式的加减，正确识别图形是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：方案一：如图1，， 方案二：如图2， ∴． 故答案为：＞． 12．（24-25九年级下·山东滨州·期中）________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海·课后作业）如果，那么____，_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 14．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差的运用，观察表达式，发现已有因子2可视为，从而与后续因子构成连续平方差公式，化简后加1得到结果． 【详解】解：由于，则原式， 应用平方差公式： ， ， ， ， 因此原式， 故答案为：． 15．（20-21七年级下·江西上饶·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】，1 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式，化简求值，正确掌握相关性质是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 16．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）将原式变形后利用平方差公式计算即可； （2）将原式变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；21 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式乘法混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式乘法运算法则，完全平方公式，是解题的关键．根据整式乘法混合运算法则，进行化简，然后再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 18．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢？请举例说明你的思考． 【答案】可以，例如多项式乘单项式 可以通过长方形面积直观解释， 如图， 大长方形的面积利用公式法计算为，利用割补法计算两个小长方形和两个正方形面积之和计算大长方形面积为， ∴． 【知识点】单项式乘多项式的应用、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【详解】略 20．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4）； （5） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果. 本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式． 【详解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】 本题考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先利用单项式乘多项式法则，平方差公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，最后将的值代入计算即可； （2）先利用平方差公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． 当时，原式． （2）原式 ． ， ∴原式． 【考点2】完全平方公式（第28-55题） · (a±b)^2=a^2±2ab+b^2 · 中间项是2倍乘积 · 几何面积验证 · 注意符号 22．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的几何推导方法是解题的关键．通过计算大正方形的面积和分割后四个小区域的面积之和，利用面积相等的关系来推导对应的乘法公式，从而选出正确选项． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为 ∵大正方形被分割为四个部分，面积分别为、、、， ∴四个部分的面积之和为 ∵大正方形的面积等于四个部分的面积之和， ∴ 故选：B． 23．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边同类项的系数，即可求出的值． 【详解】解：左边：， 右边：， ， 故． 24．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将 表示为 ，然后代入已知值计算． 【详解】解： , ， . 故选：A． 25．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．15 B．14 C．38 D．50 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：连接， ，， ． 故选：B． 26．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为， ， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 27．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了乘法公式的几何意义，准确分析计算是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形乙的边长为，得出，，求出，，再根据计算即可； 【详解】设正方形的边长为，正方形乙的边长为， ，， ， ，， 两式相减得：， ， ，， ． 故选． 28．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，正方形的边长为，正方形与正方形的重叠部分为长方形，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（   ） A．29 B．28 C．30 D．31 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为，，， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， 重叠部分的面积为 故选：B． 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， . 又 ，且 ， ， . 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，解决本题的关键是将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 30．（23-24七年级下·山东淄博·期中）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是___________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，把拆分为、拆分为是解题的关键． 设，将分母中的和分别表示为 和 ，然后利用完全平方公式展开并简化分母，最后约分得到结果即可． 【详解】解：设，则、 则原式为： ． 故答案为：． 31．（2026·陕西榆林·二模）我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，由边长分别为、的两个正方形和两个长、宽分别为、的矩形无缝隙、无重叠地拼成边长为的正方形，若，则的值为_____． 【答案】13 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， ， ． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，根据进行展开，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段检测）__________________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 34．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知实数满足，那么的平方根是______________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、运用完全平方公式进行运算 【分析】化成，后利用非负数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式，实数的非负性，平方根，熟练掌握公式和非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 故的平方根是， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案． 【详解】解：方法一：利用乘法公式展开 ， ， ， ； 方法二：取特殊值法 ， 求的值，可以取得到， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及整式乘法运算、完全平方和公式、多项式乘以多项式、多项式相等等知识，熟记整数乘法运算展开是解决问题的关键． 36．（24-25八年级上·江西新余·期末）计算：_____________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式计算法则，将变为，将变为，利用完全平方公式计算，由此化简分母，再化简分数得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为． 37．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为______；最小值为______． 【答案】 78 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解二元一次方程，设的最大值为A，不妨设，由于，，则可推出取最大值时，，同理可得，则，据此可得最大值；设的最小值为B，不妨设，由于 ，且由，得 ，故可得当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是可得，则，据此可得最小值． 【详解】解：设的最大值为A，不妨设． 若，则因，且， ∴用，，，…，代替，它们的和仍为46，但它们的平方和却增加了，这与已使取最大值矛盾，故． 同理，于是， ∴的最大值为． 设的最小值为B，不妨设． 对任意，有， 假设存在，使，因为 ，且由，得 ， 所以，用和分别代替和，其他的数不变，它们的和仍为46，但它们的平方和却减少了，这与已取得最小值矛盾． 于是，当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是， ∴， ∵a为正整数，k为非负整数， ∴ 所以，时，取最小值， ∴ ． 故答案为：318；78． 38．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）化简求值： (1)，其中，，； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)，13 (2)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，合并同类项法则化简，然后把a、b的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则化简，然后把整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 39．（24-25七年级下·广东佛山·期中）化简： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘除、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别计算单项式的乘法和除法，再合并即可； （2）利用完全平方公式和整式的乘法计算，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当，，，0，1时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值的正负．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 【答案】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 猜想：当为任意实数时，代数式的值为非负数． 验证：因为，所以该猜想是正确的． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是代数式求值及完全平方公式的应用，把x的值分别代入代数式求出值，再根据完全平方公式验证即可． 【详解】略 41．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）依据正方形的面积公式以及大正方形的各个组成部分，即可得到该图形的总面积； （2）由（1）可得，即可得出的值； （3）设，，则，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）解：方法1，图中大正方形的边长为，所以面积为； 方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为． （2）解：由（1）得， ，， ． （3）解：设，， 则，， 由，得， ， 即的值为28． 42．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：与的和大于1 与的和大于1． 【知识点】整式加减的应用、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：，； （2）略 【考点3】乘法公式综合与变形求值（第56-52题） · a^2+b^2=(a+b)^2-2ab · (a+b)^2-(a-b)^2=4ab · 整体代入求值 · 注意运算顺序 44．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘单项式、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、多项式除单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式等知识点逐个计算得结论． 【详解】解：，故①运算错误； ，故②运算错误； ，故③运算正确； ，故④运算正确； ，故⑤运算错误； 综上所述，正确的有③④，一共2个． 故选：B． 45．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1和图2所示，先在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2）． （1）若图2的一边长为，则“？”所对应的边长为___________（用含的式子表示）； （2）若图2是一个正方形，那么___________． 【答案】 / 1 【知识点】多项式除以单项式、完全平方公式在几何图形中的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，完全平方公式在几何图形中的应用，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握完全平方公式． （1）根据图形列出算式，再利用完全平方公式计算，然后利用多项式除以单项式计算出“？”所对应的边长为； （2）根据图2是一个正方形，列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：图1的阴影部分面积为 ， ∵将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2），图2的一边长为， ∴“？”所对应的边长为， 故答案为：； （2）∵图2是一个正方形， ∴，解得：， 故答案为：． 46．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】9 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法，用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方公式的变换，可求出阴影部分面积． 【详解】解：∵两个正方形边长分别为a，b， ∴， ∴， ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴S阴影． 故答案为：9 47．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，则_______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解答本题的关键， 利用完全平方公式的变形，先求出的值，再求的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ． 又 ∵ ， ∴ ， 解得 ． 又 ， ∴ ． 故答案为：． 48．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是_______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 49．（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式的灵活运用，解题的关键是根据两数和的完全平方公式将转化为，化简后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 50．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． (1)判断58是否是“完美数”，并说明理由； (2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； (3)已知 ，求的值． 【答案】(1) 58是“完美数”，理由如下： 依题意，， ∴58是“完美数”， (2) (3)2 【知识点】新定义下的实数运算、已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了新定义，完全平方式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理得，结合“完美数”的定义，进行作答即可． （2）先整理得，因为要使W为“完美数”，所以需要是完全平方式，即可作答． （3）因为，得出，得，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解： ∵要使W为“完美数”， ∴需要是完全平方式， 即， ∴． （3）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 51．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】若x满足，求的值． 设，则， ． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值为____________． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)120 (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）仿照示例，利用完全平方公式的变形公式：进行解题即可； （2）利用示例的启发，通过求设出变量的差，再利用完全平方公式的变形公式进行解题即可． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：设，则， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形公式：；，掌握公式的变形是解题的关键． 52．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图1，将一个边长为的大正方形拆分为边长分别为a，b的两个小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式． (1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________； ②如果，，则_______；如果，，则_______； (2)【类比应用】①若，则______； ②若x满足，则_____； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连结．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1)①；②，5 (2)①31，②1010 (3)30 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）①根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积列出等式即可解答；②利用完全平方公式，再代入已知数据计算即可； （2）①先求出，根据求出结果即可；②同理①，根据求出结果即可； （3）先证明 三点共线，，可得 结合已知条件可得，再利用求出，从而可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意：； ② ， 若，， ， ； 若，， ， ； （2）解：① ，， ； ② ，， ； （3）解：三点共线，且， ， ∴， ∴三点共线， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即一块直角三角板的面积为30． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方差和乘差平方差 · 完全平方和展开三项 · 中间项2倍乘积别忘 · 变形公式整体代入 · 混合先乘方后乘除 【作业1】．（24-25七年级下·广东佛山·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了完全平方公式的几何应用，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意； 由B选项可得：，故本选项不符合题意； 由C选项可得：，故本选项符合题意； 由选项D可得：，故本选项不符合题意， 故选：C． 【作业2】．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】直接套用初中平方差公式即可计算出结果． 【详解】解：． 【作业3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 【作业4】．（24-25七年级下·广西崇左·期末）在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数）是解题的关键．根据平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、可变形为，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算，符合题意； B、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； C、可变形为，符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； D、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 【作业5】．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，根据一次项等于二次项底数积的倍，列式即可求解，掌握完全平方公式 是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：． 【作业6】．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片4张， 面积为， 小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为， 还需4张丙纸片，即， 故选：A． 【作业7】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ，，则 ___________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，解题关键是掌握通过对完全平方公式变形求值． 通过对完全平方公式变形，再整体代入求值． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）化简： ___． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据完全平方公式和平方差公式计算，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）计算________． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键，根据整式乘法的平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【作业10】．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）如图甲所示，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到两数和的完全平方公式是：，根据图乙能得到的数学公式是___________． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟悉图中面积关系是关键． 对图乙：一方面，阴影部分正方形面积是，另一方面，它的面积是大正方形面积减去两个相等长方形面积，再加上一个边长为b的小正方形面积，根据面积相等即可得到等式． 【详解】解：图乙阴影部分正方形面积可以表示为， 还可以表示为， ∴由面积相等关系得：． 故答案为： 【作业11】．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】14 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，完全平方公式，利用整体代入法是解题关键．由一元一次方程的解的定义得到，再将变形为，代入计算求值即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故答案为：14． 【作业12】．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式：______；根据图2，可以得到两数差的平方公式：______． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景问题，在图1中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得，在图2中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得， 熟练掌握其性质并能通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解决此题的关键． 【详解】解：图1中大正方形的面积为， 也可以由一个边长为的小正方形，一个边长为的小正方形和两个长为a，宽为b的长方形的面积的和得到 ∴ 图2中左上角的正方形的面积为， 也可以由一个边长为的大正方形，一个边长为的小正方形，减去两个长为m，宽为n的长方形的面积得到， ∴， 故答案为：，． 【作业13】．（23-24八年级上·天津滨海新区·期末）（1）已知，，则的值为______． （2）已知，，则的值为______． （3）已知满足，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题． （2）本题解法与（1）类似，先利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题． （3）本题利用数学整体的思想，设，将等式变成含的方程，表示出的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ． 故答案为：． （2）解：， ，， ， ． 故答案为：． （3）解：设，则，， ， ，有， 整理得， ， 故答案为：． 【作业14】．（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法； （1）根据完全平方公式可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题； （3）根据平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业15】．（24-25七年级下·四川雅安·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 【作业16】．（2025·江苏常州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式和去括号计算，然合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【作业17】．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 【作业18】．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、归纳与类比 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $