15.3.2 含30度角的直角三角形 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 15.3.2  含 30 度角的直角三角形（第 2 课时） 学生版  15.3.2　含 30 度角的直角三角形 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　30 度角所对的直角边 2 　　题型 2　顶角 120 度的等腰三角形 4 　　题型 3　垂直平分线与 30 度、15 度 6 　　题型 4　实际应用：断树、斜坡与电梯 9 　　题型 5　等边三角形里的 30 度计算 11 　　题型 6　动点与最值 13 　　题型 7　30 度射线系列与坐标 16 　　题型 8　综合应用与测量 18 　　题型 9　证明与探究 20 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 25 　题型 1　　30 度角所对的直角边 知识梳理 直角三角形中， 角所对的直角边 斜边；反过来"一条直角边是斜边的一半"也能推出它所对的角是 定理的两种说法：①在 中，若 则 （ 是对着 的那条）；②反过来，若 则 ．"对着谁"是唯一要盯的事： 所对的是最短的直角边，不是斜边、也不是另一条直角边。 三边比记牢： 的三角形三边之比是 ．给任何一边都能立刻写出另外两边；等边三角形的高 边长就是这条比的推论。 "和差型"（f28）： 且 把 换成 得 ，故 ．"设小不设大"：把短的设为 长的就是 方程永远最简单。 c10 的"高再分一次"：则 里 两次用同一条定理，可得 ．"直角三角形作斜边上的高"会切出两个相似的 三角形，这是本类题的标准结构。 s50 的"角之比"：先用内角和定出三个角（），认出是 直角三角形，再对号入座：故 是短直角边、 是斜边．先定角、再定边，不要边看边猜。 易错　①把" 所对的边"找成斜边；　②三边比记成 　③和差题设大不设小、方程复杂；　④两次用定理时把 与 搞混；　⑤角之比不先算出度数就下结论。 要点　 对短直角边 斜边；三边比 1．  30 度对边 4 求斜边 已知直角三角形中角所对的直角边为则斜边的长为（　　　） A． B． C． D． 2．  角之比 1 比 2 比 3 如图，在中，若则等于 （  ） A．12 B．9 C．3 D．2 3．  求斜边 如图，在中，若则的长为 （  ） A．5 B．6 C．7.5 D．10 4．  斜边上的高 如图，在中，垂足为D，则与的数量关系是  （  ） A． B． C． D． 5．  高与 BD 已知在中，是边上的高，若则的长为 （  ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．  BC 加 AB 等于 6 如图，在中，BC＋则BC=      cm． 　 7．  角之比求 AB 在中，求的长度． 　 　 　 　题型 2　　顶角 120 度的等腰三角形 知识梳理 顶角 的等腰三角形，底边上的高把顶角分成两个 ，于是 高 腰、底边 腰 标准图形：作底边上的高 则 是 三角形，故 ．" 的等腰"和" 直角三角形"是同一件事。 c12 的用法：则 于是 也是等腰（），再在 里用 定理得 ．" 减去直角还剩 "是这一步的关键。 c17 的"线段范围"： 在 上动， 最短是底边上的高、最长是腰，故 的取值范围是 一类；"不可能是"就选落在范围外的那个数．动点求范围 求两端的最值。 s51 的""： 是 中点、先用 定理得 ，再由 与 的关系一步步换成 "全部化成同一条线段"是唯一办法，不要中途跳步。 c19、c23 的"套用"：c19 给顶角 腰 直接写"底边上的高 "；c23 用尺规作 的垂直平分线，先认出 在中垂线上 ，再用 的等腰定角．两步：先认结构，再用定理。 易错　① 的等腰不作高就开始算；　②把"高 腰"记成"高 底"；　③c17 把端点也算进"不可能"；　④s51 化归时换了参照线段；　⑤c23 不先认垂直平分线。 要点　 等腰 作高得两个 直角三角形；高 腰、底 腰。 1．  高是底边一半 在等腰中，已知于点且则底角的度数为 （  ） A． B． C． D．或或 2．  120 度等腰与垂线 如图，在中，交于点则的长是 （  ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．  AD 不可能是 如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是 （  ） A．3 B．5 C．6 D．7 4．  120 度等腰求高 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为腰长为则底边上的高是 （  ） A． B． C． D． 5．  尺规作中垂线 如图，在中，．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若则BD的长为 （  ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．  CD 等于 3 个 AD 如图，在中，点P为边的中点，于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 　 　 　 　 　 　题型 3　　垂直平分线与 30 度、15 度 知识梳理 垂直平分线给等边，等边再给等角； 的题一律"用外角变成 " 的标准处理： 垂直平分 则 外角 ，于是在 里用 定理得 ．""是这类题的唯一入口，c14、f29、c16、f38、f44 全是这条路。 为什么垂直平分线一定先登场：它的作用就是把远处的线段搬到近处（），从而让""变成""．看到垂直平分线 小角，就想"造等腰、翻倍角"。 c22 的"周长转化"： 垂直平分 故 的周长 ．又是"等量替换"，而 用勾股定理算出（）． 这组勾股数要眼熟。 c25 的"两弧作图"：以 为圆心画弧 作 的垂直平分线， 在中垂线上 ；再由 与已知边长用 定理求 ．认图（作的是什么）永远在第一步。 f44 的"角平分线 垂直平分线"： 垂直平分 且 平分 则 三个角相等 每个 ；再由 （ 是 到 的距离）用 定理求 最后 ．"三个 "是这道题的题眼。 易错　① 不做外角、直接硬算；　②垂直平分线给了等边却不用；　③c22 周长不替换；　④c25 认不出作的是中垂线；　⑤f44 忘了" 是到 的距离"这一身份。 要点　中垂线 等腰 外角翻倍； 一律变 1．  15 度与中垂线 如图，在中，的垂直平分线交于点．若则的长为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．  中垂线与 30 度 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若则的长为 （  ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．  中垂线与周长 如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若则的周长为 （  ） A．13 B．17 C．18 D．30 4．  两弧作图 如图，中，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点作直线分别与交于点和点以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和点再分别以点点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线若射线恰好经过点则下列四个结论： ①②垂直平分线段③④． 其中，正确结论的个数有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．  15 度与 BE 如图，在中，是的垂直平分线，则的长为      ． 　 6．  中垂线与 CE 如图，在中，的垂直平分线交和于点．若则线段的长度等于        ． 　 7．  中垂线与角平分 如图，在中，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分若则BC的长是      ． 　 　题型 4　　实际应用：断树、斜坡与电梯 知识梳理 应用题先画"直角三角形"， 对着的那条边就是"斜边的一半"；断树题要算"两段之和" 断树题的统一模型：树干原高 折断处离地高度 倒下部分长度．若倒下部分与地面成 则 倒下部分（斜边） 折断处高度；于是 原高 折断处高度．f34 给原高 故断处 c03 给断处 故原高 c11 给断处 故原高 ．" 倍关系"是断树题的秒杀式。 若是"树尖恰好碰地、给了夹角"（c15）：夹角 时，倒下的那一段是斜边，断处高度是 的对边，关系变成"断处 斜边"，用设未知数解方程更稳：设断处 倒下段 或按 处理． 与 谁对谁，一定要看准图。 斜坡与太阳能板（f35）：斜面长 与水平面夹角 支撑杆 地面，则 就是 所对的直角边，故 米．"与水平面的夹角"就是斜边与水平直角边的夹角，垂直高度是它的对边。 电梯与屋架（f43、c20）：f43 里 先取邻补角得 ，上升高度 c20 里 是斜梁中点、 都垂直横梁， 是 的中位线，故 而 ．"中位线"与" 定理"叠在一起用，是本类题的标准套路。 易错　①断树题把"断处高度"当成"倒下段"；　② 与 的对边搞反；　③斜坡题把斜面长当成高；　④f43 不用邻补角；　⑤c20 忘记中位线那一层。 要点　断树 两段之和（ 时是 倍关系）；斜坡的"垂直高度"是 的对边。 1．  断树 4 米 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为 （  ）米． A．4 B．8 C．12 D． 2．  断树 3 米 如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为 （  ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．  断树 60 度 如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量则树高为 （  ） A． B． C． D． 4．  屋架与立柱 如图所示，屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱垂直于横梁则和的长分别等于 （  ） A．2m，2m B．4m，2m C．2m，4m D．4m，4m 5．  断树 15 米 如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知则松树断裂处离地面的距离的长为      米． 　 6．  太阳能板 如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面与水平面的夹角支撑杆垂直于地面则的长是      米． 　 　题型 5　　等边三角形里的 30 度计算 知识梳理 等边三角形的高把顶角分成两个 于是每条边、每条高都能用 定理表达 基本事实：等边三角形的高 把 分成两个 三角形，故 ．等边题里凡是出现"垂线"，就落实成这两个式子。 c05 的"用 表示"：在 中 故 再由 在 里用 定理，一路用 表示到 ．"用 表示"就是把每条线段都写成 的一次式，中途不要留未知量。 c07 的"两段之和"： 在 上，则 两式相加得 ，与 的位置无关．"两段各取一半、相加得定值"是等边题的常客。 f30 的"角平分线 垂线"： 在平分线上 但更快的路是用"角平分线上的点到两边等距"： 就是 到 的距离，于是 到 的距离也是 的面积用"底 高"直接算． 的算法是""，先把 用 定理求出。 f46 的"五个说法"：等边 于是 推出 （等于 ）； 时，在 里 或 ，据此判 一类的说法．"先证全等、再算角、最后套 定理"三段走。 易错　①等边的高不用 而硬算；　②c05 中途换字母；　③c07 忘记"相加得一半"；　④f30 不用"角平分线到两边等距"；　⑤f46 不算清 与 就判说法。 要点　等边的高 两个 直角三角形；两段各取一半相加常得定值。 1．  用 x 表示 AE 如图，等边中，点在边上，垂足分别为设若用含的式子表示的长，正确的是 （  ） A． B． C． D． 2．  两段之和 如图，是等边三角形，点D是BC边上任意一点，于点E，于点F，则BE+CF的长是 （  ） A．6 B．5 C．12 D．8 3．  四边形与 60 度 如图，在四边形中，过点作分别交于点若则的长为  （  ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．  角平分线与面积 如图，P是平分线上一点，则的面积为       　 5．  高与 60 度 如图， 在中 为边上的高，则       ． 　 6．  五个说法 如图，是等边三角形，于Q，交于点P，下列说法：①②③④⑤．其正确的有      ． 　 　题型 6　　动点与最值 知识梳理 动点题先找不变量（定长、定角），再把动点线段写成关于 的一次式；求最值就用"垂线段最短"或"端点取到" c21 的"最大值在端点"： 随 变化， 随 移动而单调变化，故最大值在 取端点时出现；"动点在一条线段上，最值一般在端点" —— 先算两个端点，再比较。 c26 的"等边 "：以 为边作等边三角形， 是 绕 转 的像，于是 的最小值 到" 的轨迹"的距离一类的转化；先把 的轨迹认清楚（圆或直线），再求距离最值。 f31、c27、s49 的"行程型"：速度 时间 路程，把每条动线段写成 或 ，再按题目问的"等腰""等边""面积"列方程；注意"到端点就停"的时间上限，求出解后必须检查 是否在允许范围内。 f45 的"两个等边"： 以 cm/s 从 向 运动， 交 于 是 直角三角形，故 再以 为边作等边 ．动点题的通用手法：把所有线段都写成 的式子。 书写规范：①设时间 写出各段长；②按"是什么三角形"列方程；③解出后写明 的取值范围并检验；④作答"当 时…"．漏掉"检验范围"是动点题最常见的扣分点。 易错　①最值不求端点、凭感觉；　②c26 不认 的轨迹；　③列方程后不检验 的范围；　④f45 把 写成 　⑤作答不写"当 时"。 要点　动线段写成 的一次式；最值看端点或垂线段；解完必检验范围。 1．  BF 的最大值 如图，中，． D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E ，F，则线段长的最大值为 （  ） A． B． C． D．4 2．  等边 PDQ 如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接以为边在的下方作等边三角形连接．则的最小值是 （  ） A． B．1 C． D． 3．  动点与 60 度 如图，Rt中，D为BC的中点，若动点E以/s的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接DE，当是直角三角形时，t的值为 A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 4．  角平分线与动点 如图，在中，平分交于点过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，度数是      ． 　 5．  两个等边与动点 如图，等边三角形的边长为动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作交边于点Q，以为边作等边三角形使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动      s． 　 6．  两个动点 如图，在中，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 　 　 　 　 　 　题型 7　　30 度射线系列与坐标 知识梳理 一条射线与另一条成 逐个等边三角形的边长按 倍（或 倍）增长；坐标题照同样的规律取点 c08、f40 的"等边链"：… 都是等边三角形且依次变大，每个新等边三角形的边长是前一个的 倍（这是这类题的固定规律）；先算出第一个的边长，再乘 ．f40 在坐标里，第一次的边长由 定出，之后每次减半，于是第 个的纵坐标按 递减。 为什么是 倍：设第一个等边边长为 由外角 与 的关系可推出下一个的边长是 ；这一步要写出来，直接写"规律是 倍"不给分。 f42 的"锐角三角形"范围： 在射线 上，要三个角都是锐角，于是 且 用" 与 的大小关系"翻译成 的范围：大角对大边， 要求 不能太大、 要求 不能太小．"锐角三角形 每个角 每条边小于另外两条的平方和"，初中阶段用"大角对大边"最直观。 f43 的"扶梯"：取邻补角得 ，上升高度 ．" 先变 "是本课时反复出现的动作，别对钝角直接套公式。 易错　①等边链的倍数记成 倍；　②不写"为什么是 倍"；　③f42 用"两边之和"判锐角；　④f42 范围端点取错（锐角不含直角）；　⑤f43 直接用 算。 要点　 射线上的等边链边长按 倍增长；钝角先取邻补角。 1．  30 度射线与等边链 如图，已知点…在射线上，点…在射线上，…均为等边三角形．若则的边长为 （  ） A． B． C． D． 2．  坐标里的等边 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是以为边在其右侧作等边三角形过点作轴的垂线，垂足为点以为边在其右侧作等边三角形再过点作轴的垂线，垂足为点以为边在其右侧作等边三角形按此规律继续作下去，得到等边三角形则点的纵坐标为      ． 　 3．  锐角三角形的范围 如图，若的顶点B在射线AM上，且点C在射线AN上运动，当是锐角三角形时，则AC长的取值范围为      ． 　 4．  手扶电梯 如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为       米． 　 　题型 8　　综合应用与测量 知识梳理 测量题画图后必有一个 直角三角形；最值题先"拉直折线"，再用 定理算长度 s48 的"方位角测量"：外角 ，故 （等腰）；"方位角之差 三角形的一个内角"是这类题的核心，算出 海里，则 海里。 f41 的"暗礁"： 处北偏西 处北偏西 先求 到航线 的距离（作 ），在 中用 定理，若这个距离小于 海里就有危险．"到航线的距离"永远是这类题的判据。 f36 的"折线拉直"： 垂直平分 在 上 ，故 最小值就是 ；再用 定理由 求 ．"垂直平分线 最值"的标准解法就是这一步替换。 f47 的"两解"： 在直线 上（注意是直线，不是线段）， 时 可能在线段内、也可能在 的延长线或 的延长线上，两种情形各算一次，答案 或 就是两解．"在直线上"必须分类，只算一种必错。 f33、s55 的"中点 + 平分"：f33 里 是 中点、 平分 由"中点 + 角平分"想到"等腰"或"中位线"；s55 是屋架题，，两次用 （或中位线）即可．这类题的答案都是"原长的分数"，先把倍数关系理清。 易错　①s48 不用"方位角之差"；　②f41 不算"到航线的距离"；　③f36 不做 的替换；　④f47 只算一解；　⑤s55 把两次"一半"当成一次。 要点　方位角之差 内角；折线拉直求最值；"在直线上"要分类。 1．  中点与角平分 如图，中，过点作于点取中点连接若平分则      ． 　 2．  AP 加 BP 最小 如图，在中，垂直平分点P为直线上的任一点，则的最小值是      ． 　 3．  轮船与暗礁 如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，      触礁的危险．（“有”或“无”） 　 4．  两解问题 如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且则的长为      ． 　 5．  轮船与灯塔 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 　 　 　 　 　 6．  屋架立柱 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱垂直于横梁立柱要多长？ 　 　 　 　题型 9　　证明与探究 知识梳理 证" 倍"或"一半"关系时，先把长的那条分成两半，再证其中一半等于短的 倍关系的三种证法：①用 定理（最短路径：找出 直角三角形）；②取中点，证两段相等；③用中位线（）．s53 的第 2 问求面积比，实际是在用"高之比"；s58 的第 2 问用中垂线与角平分线造等边，最后还是落到"一半"上。 s52 的"两个等腰"：由 与直角得 ，故 第 2 问给 于是 是" 等腰"，用"底 腰"一类关系求 ．先证全等、再用 结构。 s54 的"联系"型阅读题：题目先讲"等腰作高可转成直角三角形、直角三角形翻折可得等腰"，这就是让你"用 三角形去构造等腰"；照着材料给的方法做，把自己的做法与材料对照写清．阅读题的分都在"按材料的方法"上。 s56 的"中垂线 "： 垂直平分 则 故 里 ；再配合 求 ．" 等腰 外角 再用 定理" 是本册的经典四步。 s57、s59、s60 各有入口：s57 等边 是 直角三角形；s59 两个等边共顶点，先证 全等，再用 定量；s60 由中垂线得 再用 " 平分 " 把角串起来，最后用 定理求 ．证明题先找"哪个三角形含 "，找不到就作高。 易错　①证"一半"不指出 　②s52 不先用全等；　③s54 不按材料方法做；　④s56 漏掉外角那一步；　⑤s60 不用"平分"这个条件。 要点　证一半看 取中点或用中位线；证明题先找含 的三角形。 1．  两个等腰与 30 度 如图，在中，是边上的两点，并且． （1）求证： （2）若求的长度． 　 　 　 　 　 2．  角平分线与面积 如图，是的平分线，分别是和的高，垂足为． （1）求证： （2）若求的长． 　 　 　 　 　 3．  等腰与直角的联系 【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系.等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等． （1）【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“角所对的直角边等于斜边的一半”.并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程．已知：如图，在中， ． 求证： ． 证明： （2）【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图①所示，方桌的主视图如图②.经测得 将桌子放平，两条桌腿叉开的角度． 求：桌面与地面的高度． 　 　 　 　 　 4．  中垂线与 CE 如图，在中，的垂直平分线交于点交于点若求的长． 　 　 　 5．  等边与垂线 如图，为等边三角形，于点若的周长为求的长． 　 　 　 6．  角平分线与中垂线 在中，的平分线交于点如图1． （1）求的度数； （2）作线段的垂直平分线交于点交的延长线于点（尺规作图，不写作法） （3）在（2）的条件下，已知求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 7．  两个等边共顶点 如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边连接． （1）求证： （2）若求的度数 （3）在（2）的条件下，若求的长 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜对称与中垂线、角平分线求线段与支撑木条 1．  对称与垂直平分 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在的延长线上，若垂直平分则的值为 （  ） A． B． C． D． 2．  角平分线求 AD 如图，已知中，平分且交于点D，那么的长是      ． 　 3．  支撑木条 数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，．然后她依次添加支撑木条并使得垂足分别为则支撑木条长度为 （  ） A． B． C． D． B 组　提升题 必做｜要绕一步：转杆模型、两条垂线与四边形草坪 1．  杆与滑轮 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知当杆AB与水平面夹角为时，测得此时点B到AD的距离为      ． 　 2．  两条垂线与角 如图，在中，是边上任意一点，过点分别向引垂线，垂足分别为． （1）当点在的什么位置时，？并说明理由； （2）在（1）的条件下，若求的长． 　 　 　 　 　 　 　 3．  四边形草坪 校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB=米，AD=米， （1）求证： ； （2）求草坪造型的面积． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜角平分线配中垂线、双动点与斜坡改造 1．  中垂线与平分 如图，在中，的垂直平分线交于点E，垂足为D，平分． （1）求的度数； （2）若求的长． 　 　 　 　 　 2．  两个动点 如图，在中，点D从点A出发以/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，为等边三角形； （2）当t为何值时，为直角三角形． 　 　 　 　 　 3．  斜坡改造 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 　 　 　 　 　 4．  等腰与平行 如图，是等腰三角形，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2  含 30 度角的直角三角形（第 2 课时） 解析版  15.3.2　含 30 度角的直角三角形 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　30 度角所对的直角边 2 　　题型 2　顶角 120 度的等腰三角形 5 　　题型 3　垂直平分线与 30 度、15 度 11 　　题型 4　实际应用：断树、斜坡与电梯 16 　　题型 5　等边三角形里的 30 度计算 19 　　题型 6　动点与最值 24 　　题型 7　30 度射线系列与坐标 31 　　题型 8　综合应用与测量 35 　　题型 9　证明与探究 41 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 48 　题型 1　　30 度角所对的直角边 知识梳理 直角三角形中， 角所对的直角边 斜边；反过来"一条直角边是斜边的一半"也能推出它所对的角是 定理的两种说法：①在 中，若 则 （ 是对着 的那条）；②反过来，若 则 ．"对着谁"是唯一要盯的事： 所对的是最短的直角边，不是斜边、也不是另一条直角边。 三边比记牢： 的三角形三边之比是 ．给任何一边都能立刻写出另外两边；等边三角形的高 边长就是这条比的推论。 "和差型"（f28）： 且 把 换成 得 ，故 ．"设小不设大"：把短的设为 长的就是 方程永远最简单。 c10 的"高再分一次"：则 里 两次用同一条定理，可得 ．"直角三角形作斜边上的高"会切出两个相似的 三角形，这是本类题的标准结构。 s50 的"角之比"：先用内角和定出三个角（），认出是 直角三角形，再对号入座：故 是短直角边、 是斜边．先定角、再定边，不要边看边猜。 易错　①把" 所对的边"找成斜边；　②三边比记成 　③和差题设大不设小、方程复杂；　④两次用定理时把 与 搞混；　⑤角之比不先算出度数就下结论。 要点　 对短直角边 斜边；三边比 1．  30 度对边 4 求斜边 已知直角三角形中角所对的直角边为则斜边的长为（　　　） A． B． C． D． 　思路分析　　根据角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长． 解：直角三角形中角所对的直角边为 ​斜边长为．故选：A． 2．  角之比 1 比 2 比 3 如图，在中，若则等于 （  ） A．12 B．9 C．3 D．2 　思路分析　　由题意中三个角的比及三角形内角和定理可得出三角形为直角三角形且有一个角是根据角所对直角边是斜边的一半即可得． 解： ​根据三角形内角和定理可得： 在中， ​ ​故选：A． 3．  求斜边 如图，在中，若则的长为 （  ） A．5 B．6 C．7.5 D．10 　思路分析　　此题考查含直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 解：在中， 则．故选：D． 4．  斜边上的高 如图，在中，垂足为D，则与的数量关系是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据含30度角的直角三角形的性质先得到再由三角形内角和定理求出从而得到据此可得答案． 解：在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​即故选；C． 5．  高与 BD 已知在中，是边上的高，若则的长为 （  ） A．4 B．3 C．2 D．1 　思路分析　　本题考查直角三角形的性质，先根据直角三角形的两个锐角互余及余角性质求得再根据直角三角形中， 30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 解：是边上的高， ​ ​ 在中， ​ 在中，故选：A． 6．  BC 加 AB 等于 6 如图，在中，BC＋则BC=      cm． 　思路分析　　先根据点 和点 是这个图形上的一对对称点，确定对称关系，再根据该对称关系求点 的对称点的坐标即可． 解： 点 和点 是这个图形上的一对对称点， ​ 点 与点 关于直线 对称， ​ 点 关于直线 的对称点为 故答案为：． 7．  角之比求 AB 在中，求的长度． 　思路分析　　由三个角的比结合三角形内角和定理求出度数，再利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长度． 解：设则 由三角形内角和定理得 ​ 解得 ​ ​． 　题型 2　　顶角 120 度的等腰三角形 知识梳理 顶角 的等腰三角形，底边上的高把顶角分成两个 ，于是 高 腰、底边 腰 标准图形：作底边上的高 则 是 三角形，故 ．" 的等腰"和" 直角三角形"是同一件事。 c12 的用法：则 于是 也是等腰（），再在 里用 定理得 ．" 减去直角还剩 "是这一步的关键。 c17 的"线段范围"： 在 上动， 最短是底边上的高、最长是腰，故 的取值范围是 一类；"不可能是"就选落在范围外的那个数．动点求范围 求两端的最值。 s51 的""： 是 中点、先用 定理得 ，再由 与 的关系一步步换成 "全部化成同一条线段"是唯一办法，不要中途跳步。 c19、c23 的"套用"：c19 给顶角 腰 直接写"底边上的高 "；c23 用尺规作 的垂直平分线，先认出 在中垂线上 ，再用 的等腰定角．两步：先认结构，再用定理。 易错　① 的等腰不作高就开始算；　②把"高 腰"记成"高 底"；　③c17 把端点也算进"不可能"；　④s51 化归时换了参照线段；　⑤c23 不先认垂直平分线。 要点　 等腰 作高得两个 直角三角形；高 腰、底 腰。 1．  高是底边一半 在等腰中，已知于点且则底角的度数为 （  ） A． B． C． D．或或 　思路分析　　等腰三角形未明确腰与底边，高的位置不确定，需分情况讨论，结合等腰三角形、直角三角形性质求解． 解：分三种情况讨论． 当为底边，时： ​ ​ ​ ​ ​ 当为腰，且高在内部时： 取的中点为点连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 当为腰，且高在外部（在延长线上）时： ​ ​ ​ ​ ​ ​是的外角， ​ 又 ​ ​． 综上，底角的度数为或或． 2．  120 度等腰与垂线 如图，在中，交于点则的长是 （  ） A．6 B．4 C．3 D．2 　思路分析　　根据等边对等角和三角形内角和定理可得则可得到再证明即可得到． 解：在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 3．  AD 不可能是 如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是 （  ） A．3 B．5 C．6 D．7 　思路分析　　本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并求出的取值范围是解题的关键． 先通过等腰三角形“三线合一”的性质，确定是边上的高和中线，同时平分顶角再利用含角的直角三角形性质求出的长度，得到的最小值；结合得到的最大值，从而确定的取值范围，最后判断选项． 解：过点作于 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的长度不可能是3，故选：A． 4．  120 度等腰求高 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为腰长为则底边上的高是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 解：如图，作于点D， ​中, ​ ​ ​故选B． 5．  尺规作中垂线 如图，在中，．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若则BD的长为 （  ） A．4 B．5 C．6 D．7 　思路分析　　连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=求得再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ​ ​ ​ ​则 ​BAD=120 ​故选：C． 6．  CD 等于 3 个 AD 如图，在中，点P为边的中点，于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 　思路分析　　本题考查等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据等边对等角，利用三角形内角和定理进行求解即可； （2）连接根据三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可。 （1）解： ​ （2）证明：连接则 由（1）知，． ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ 即． 　题型 3　　垂直平分线与 30 度、15 度 知识梳理 垂直平分线给等边，等边再给等角； 的题一律"用外角变成 " 的标准处理： 垂直平分 则 外角 ，于是在 里用 定理得 ．""是这类题的唯一入口，c14、f29、c16、f38、f44 全是这条路。 为什么垂直平分线一定先登场：它的作用就是把远处的线段搬到近处（），从而让""变成""．看到垂直平分线 小角，就想"造等腰、翻倍角"。 c22 的"周长转化"： 垂直平分 故 的周长 ．又是"等量替换"，而 用勾股定理算出（）． 这组勾股数要眼熟。 c25 的"两弧作图"：以 为圆心画弧 作 的垂直平分线， 在中垂线上 ；再由 与已知边长用 定理求 ．认图（作的是什么）永远在第一步。 f44 的"角平分线 垂直平分线"： 垂直平分 且 平分 则 三个角相等 每个 ；再由 （ 是 到 的距离）用 定理求 最后 ．"三个 "是这道题的题眼。 易错　① 不做外角、直接硬算；　②垂直平分线给了等边却不用；　③c22 周长不替换；　④c25 认不出作的是中垂线；　⑤f44 忘了" 是到 的距离"这一身份。 要点　中垂线 等腰 外角翻倍； 一律变 1．  15 度与中垂线 如图，在中，的垂直平分线交于点．若则的长为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．6 　思路分析　　本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到再根据等边对等角和三角形外角的性质推出则． 解：如图，连接 ​的垂直平分线交于点 ​ ​ ​ 又 ​故选：B． 2．  中垂线与 30 度 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若则的长为 （  ） A．3 B．4 C．5 D．6 　思路分析　　由垂直平分线的性质得到求出然后求出即可得到． 解：边的垂直平分线交于点D， ​ ​ ​ ​ ​ ​． 3．  中垂线与周长 如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若则的周长为 （  ） A．13 B．17 C．18 D．30 　思路分析　　本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，先利用勾股定理求出再由线段垂直平分线的性质得到则由三角形周长公式可得的周长． 解：在中， ​ ​的垂直平分线分别交于点 ​ ​的周长故选：C． 4．  两弧作图 如图，中，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点作直线分别与交于点和点以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和点再分别以点点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线若射线恰好经过点则下列四个结论： ①②垂直平分线段③④． 其中，正确结论的个数有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段平分进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 解：由作图可知垂直平分线段 ​ ​ 由作图可知平分 ​ ​ ​故①正确， ​ ​ ​ ​垂直平分线段故②正确， ​ ​故③正确， ​ ​ ​ ​故④正确．故选：D． 5．  15 度与 BE 如图，在中，是的垂直平分线，则的长为      ． 　思路分析　　连接根据垂直平分线的性质可知根据等边对等角可知根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出的长度． 解：如下图所示，连接 ​是的垂直平分线， ​ ​ ​ 又 ​． 6．  中垂线与 CE 如图，在中，的垂直平分线交和于点．若则线段的长度等于        ． 　思路分析　　连接由垂直平分线的性质证得从而证得由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 解：如图，连接 ​ ​ ​是线段的垂直平分线， ​ ​ ​ 在中， ​ ​． 7．  中垂线与角平分 如图，在中，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分若则BC的长是      ． 　思路分析　　根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得再根据等边对等角的性质求出然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可． 解：AD平分且 ​ ​DE是AB的垂直平分线， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​+2=3，故答案为3． 　题型 4　　实际应用：断树、斜坡与电梯 知识梳理 应用题先画"直角三角形"， 对着的那条边就是"斜边的一半"；断树题要算"两段之和" 断树题的统一模型：树干原高 折断处离地高度 倒下部分长度．若倒下部分与地面成 则 倒下部分（斜边） 折断处高度；于是 原高 折断处高度．f34 给原高 故断处 c03 给断处 故原高 c11 给断处 故原高 ．" 倍关系"是断树题的秒杀式。 若是"树尖恰好碰地、给了夹角"（c15）：夹角 时，倒下的那一段是斜边，断处高度是 的对边，关系变成"断处 斜边"，用设未知数解方程更稳：设断处 倒下段 或按 处理． 与 谁对谁，一定要看准图。 斜坡与太阳能板（f35）：斜面长 与水平面夹角 支撑杆 地面，则 就是 所对的直角边，故 米．"与水平面的夹角"就是斜边与水平直角边的夹角，垂直高度是它的对边。 电梯与屋架（f43、c20）：f43 里 先取邻补角得 ，上升高度 c20 里 是斜梁中点、 都垂直横梁， 是 的中位线，故 而 ．"中位线"与" 定理"叠在一起用，是本类题的标准套路。 易错　①断树题把"断处高度"当成"倒下段"；　② 与 的对边搞反；　③斜坡题把斜面长当成高；　④f43 不用邻补角；　⑤c20 忘记中位线那一层。 要点　断树 两段之和（ 时是 倍关系）；斜坡的"垂直高度"是 的对边。 1．  断树 4 米 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为 （  ）米． A．4 B．8 C．12 D． 　思路分析　　如图，由于倒下部分与地面成夹角，所以由此得到CB，而离地面米处折断倒下，即米，所以得到米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 如图，CB，而米，米，这棵大树在折断前的高度为AB+米． 故选C． 2．  断树 3 米 如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为 （  ） A．米 B．米 C．米 D．米 　思路分析　　本题主要考查了直角三角形的性质由题意可知米，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可得米，这棵树在折断前的高度为． 解：如下图所示， 由题意可知米， ​米， ​这棵树折断前的高度为米． 故选：D． 3．  断树 60 度 如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量则树高为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先根据含角的直角三角形的性质，求出的长度，再求出树高． 解：由题意可知， ​ ​ ​树高为． 4．  屋架与立柱 如图所示，屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱垂直于横梁则和的长分别等于 （  ） A．2m，2m B．4m，2m C．2m，4m D．4m，4m 　思路分析　　根据角所对得直角边等于斜边的一半求解即可． 解：由题意得三角形为直角三角形， ​ ​点D是斜梁的中点， ​ ​ ​故选：B． 5．  断树 15 米 如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知则松树断裂处离地面的距离的长为      米． 　思路分析　　本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得再由树高为15米得到米，据此可得答案． 解：由题意得，在中， ​ ​树高为15米， ​米， ​ ​米，故答案为：5． 6．  太阳能板 如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面与水平面的夹角支撑杆垂直于地面则的长是      米． 　思路分析　　本题考查了30度角的性质． 直接根据30度角所对的直角边等于斜边的一半作答即可． 解：太阳能板的斜面长度为2米， ​米．故答案为：1． 　题型 5　　等边三角形里的 30 度计算 知识梳理 等边三角形的高把顶角分成两个 于是每条边、每条高都能用 定理表达 基本事实：等边三角形的高 把 分成两个 三角形，故 ．等边题里凡是出现"垂线"，就落实成这两个式子。 c05 的"用 表示"：在 中 故 再由 在 里用 定理，一路用 表示到 ．"用 表示"就是把每条线段都写成 的一次式，中途不要留未知量。 c07 的"两段之和"： 在 上，则 两式相加得 ，与 的位置无关．"两段各取一半、相加得定值"是等边题的常客。 f30 的"角平分线 垂线"： 在平分线上 但更快的路是用"角平分线上的点到两边等距"： 就是 到 的距离，于是 到 的距离也是 的面积用"底 高"直接算． 的算法是""，先把 用 定理求出。 f46 的"五个说法"：等边 于是 推出 （等于 ）； 时，在 里 或 ，据此判 一类的说法．"先证全等、再算角、最后套 定理"三段走。 易错　①等边的高不用 而硬算；　②c05 中途换字母；　③c07 忘记"相加得一半"；　④f30 不用"角平分线到两边等距"；　⑤f46 不算清 与 就判说法。 要点　等边的高 两个 直角三角形；两段各取一半相加常得定值。 1．  用 x 表示 AE 如图，等边中，点在边上，垂足分别为设若用含的式子表示的长，正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用等边三角形的性质可得=再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可． 解：是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：． 2．  两段之和 如图，是等边三角形，点D是BC边上任意一点，于点E，于点F，则BE+CF的长是 （  ） A．6 B．5 C．12 D．8 　思路分析　　先设BD则-x，根据是等边三角形，得出再利用三角函数求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值． 设BD则-x， ​是等边三角形， ​． ​ 同理可得，CF= ​BE+CF= ．故选A． 3．  四边形与 60 度 如图，在四边形中，过点作分别交于点若则的长为  （  ） A．7 B．6 C．5 D．4 　思路分析　　本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，先证明为等边三角形，为等边三角形，再进一步求解即可． 解： ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​故选：D 4．  角平分线与面积 如图，P是平分线上一点，则的面积为       　思路分析　　如图，过点P作于点E，根据角平分线的性质可得PE=继而根据含30度角的直角三角形的性质可得由已知可推导得出根据等角对等边即可得AM=．然后根据三角形面积公式计算即可． 解：如图，过点P作于点E， ​P是平分线上一点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． ​． 故答案为36． 5．  高与 60 度 如图， 在中 为边上的高，则       ． 　思路分析　　本题考查了直角三角形两锐角互余以及角所对的直角边等于斜边的一半，确定是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余得由为边上的高得由角所对的直角边等于斜边的一半即可得． 解： ​ ​为边上的高， ​即是直角三角形， ​．故答案为：． 6．  五个说法 如图，是等边三角形，于Q，交于点P，下列说法：①②③④⑤．其正确的有      ． 　思路分析　　本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明以及． 解：是等边三角形， ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​故①正确； ​ ​ ​ ​ ​③正确； ​ ​ ​故④正确； 无法证明以及故②和⑤错误；故答案为：①③④． 　题型 6　　动点与最值 知识梳理 动点题先找不变量（定长、定角），再把动点线段写成关于 的一次式；求最值就用"垂线段最短"或"端点取到" c21 的"最大值在端点"： 随 变化， 随 移动而单调变化，故最大值在 取端点时出现；"动点在一条线段上，最值一般在端点" —— 先算两个端点，再比较。 c26 的"等边 "：以 为边作等边三角形， 是 绕 转 的像，于是 的最小值 到" 的轨迹"的距离一类的转化；先把 的轨迹认清楚（圆或直线），再求距离最值。 f31、c27、s49 的"行程型"：速度 时间 路程，把每条动线段写成 或 ，再按题目问的"等腰""等边""面积"列方程；注意"到端点就停"的时间上限，求出解后必须检查 是否在允许范围内。 f45 的"两个等边"： 以 cm/s 从 向 运动， 交 于 是 直角三角形，故 再以 为边作等边 ．动点题的通用手法：把所有线段都写成 的式子。 书写规范：①设时间 写出各段长；②按"是什么三角形"列方程；③解出后写明 的取值范围并检验；④作答"当 时…"．漏掉"检验范围"是动点题最常见的扣分点。 易错　①最值不求端点、凭感觉；　②c26 不认 的轨迹；　③列方程后不检验 的范围；　④f45 把 写成 　⑤作答不写"当 时"。 要点　动线段写成 的一次式；最值看端点或垂线段；解完必检验范围。 1．  BF 的最大值 如图，中，． D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E ，F，则线段长的最大值为 （  ） A． B． C． D．4 　思路分析　　本题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及不等式的应用．利用特殊直角三角形的性质，确定的长度，再利用线段垂直平分线的性质，设并根据直角三角形的性质求解的最大值． 解：过点F作于H，连接 ​ ​ 设则 ​ ​垂直平分 ​ 在中， 当点重合时， ​解得 ​的最小值为的最大值为．故选：C． 2．  等边 PDQ 如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接以为边在的下方作等边三角形连接．则的最小值是 （  ） A． B．1 C． D． 　思路分析　　以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得进而可得则有然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为时，最后问题可求解． 解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示： ​是等边三角形， ​ ​是公共角， ​ ​（SAS）， ​点D是边的中点， ​ ​点Q是在QE所在直线上运动， ​当时，CQ取的最小值， ​ ​故选B． 3．  动点与 60 度 如图，Rt中，D为BC的中点，若动点E以/s的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接DE，当是直角三角形时，t的值为 A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 解：中， ​（cm）． ​D为BC的中点，动点E以/s的速度从A点出发， ​（cm），t（cm）， 若 ​ ​． ​（cm）． 当时，t=40.5=3.5； 当时，t=4+0.5=4.5． 若时， ​ ​． ​（cm）． 当时， ​t=42=2； 当时，t=4+2=6（舍去）． 综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D． 4．  角平分线与动点 如图，在中，平分交于点过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，度数是      ． 　思路分析　　分两种情况：当点在边上时，连接过点作于根据平行线之间距离相等可得由含角的直角三角形性质可得再结合三角形面积即可得出最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点在边上时，过点作于点利用角平分线判定定理可得出平分即点与点重合，再利用平行线性质即可． 解：当点在边上时，如图，连接过点作于F， ​ ​ 在中， ​． ​ ​ ​ ​ ​ 当点在边上时，如图，过点作于点 ​ ​即 ​． ​平分 ​点到的距离为2， ​点与点重合． ​ ​即 综上所述，或． 5．  两个等边与动点 如图，等边三角形的边长为动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作交边于点Q，以为边作等边三角形使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动      s． 　思路分析　　当点D落在上时，如图，根据等边三角形，是等边三角形，证明进而可得x的值． 解：设点P的运动时间为由题意得 ​ ​ ​ ​和是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 解得．故答案为：1． 6．  两个动点 如图，在中，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 　思路分析　　本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 用含t的代数式表示出． （1）由于当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． （1）解：在中， ​ ​． ​ ​． 当时，为等边三角形． 即． ​． 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时， 即 ​． ②当时， 即 ​． 即当或时，为直角三角形． 　题型 7　　30 度射线系列与坐标 知识梳理 一条射线与另一条成 逐个等边三角形的边长按 倍（或 倍）增长；坐标题照同样的规律取点 c08、f40 的"等边链"：… 都是等边三角形且依次变大，每个新等边三角形的边长是前一个的 倍（这是这类题的固定规律）；先算出第一个的边长，再乘 ．f40 在坐标里，第一次的边长由 定出，之后每次减半，于是第 个的纵坐标按 递减。 为什么是 倍：设第一个等边边长为 由外角 与 的关系可推出下一个的边长是 ；这一步要写出来，直接写"规律是 倍"不给分。 f42 的"锐角三角形"范围： 在射线 上，要三个角都是锐角，于是 且 用" 与 的大小关系"翻译成 的范围：大角对大边， 要求 不能太大、 要求 不能太小．"锐角三角形 每个角 每条边小于另外两条的平方和"，初中阶段用"大角对大边"最直观。 f43 的"扶梯"：取邻补角得 ，上升高度 ．" 先变 "是本课时反复出现的动作，别对钝角直接套公式。 易错　①等边链的倍数记成 倍；　②不写"为什么是 倍"；　③f42 用"两边之和"判锐角；　④f42 范围端点取错（锐角不含直角）；　⑤f43 直接用 算。 要点　 射线上的等边链边长按 倍增长；钝角先取邻补角。 1．  30 度射线与等边链 如图，已知点…在射线上，点…在射线上，…均为等边三角形．若则的边长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据等边三角形的性质可知根据三角形外角的性质可知根据等角对等边可以求出的边长为同理可以求出的边长为的边长为根据规律可以求出的边长为． 解：是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的边长为 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​的边长为 ​ 同理可得： ​的边长为 ​ ​的边长为． 2．  坐标里的等边 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是以为边在其右侧作等边三角形过点作轴的垂线，垂足为点以为边在其右侧作等边三角形再过点作轴的垂线，垂足为点以为边在其右侧作等边三角形按此规律继续作下去，得到等边三角形则点的纵坐标为      ． 　思路分析　　本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，规律型：点的坐标，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案． 解：点的坐标是 ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​过点作轴的垂线，垂足为点 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​过点作轴的垂线，垂足为点 ​ ​ 同理得到： 按此规律得到： ​点的纵坐标为 ． 故答案为：． 3．  锐角三角形的范围 如图，若的顶点B在射线AM上，且点C在射线AN上运动，当是锐角三角形时，则AC长的取值范围为      ． 　思路分析　　过点B作于D，过点B作交AN于点E，则可分别求得AD、AE 的值，当点C在线段DE上（不包括两个端点）时，则分别是两个小于直角的角， 从而可得是锐角三角形，即可得AC的取值范围． 解：过点B作于D，过点B作交AN于点E，如图 ​ ​ ​ 当点C在线段DE上时（不包括两个端点）， 在Rt中，在Rt中， 表明为锐角三角形 此时AD 即1故答案为：4． 4．  手扶电梯 如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为       米． 　思路分析　　本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意，过点作延长线于点则可得运用含角的直角三角形的性质即可求解． 解：如图所示，过点作延长线于点则 ​ ​ ​在中，（米）， ​点到点上升的高度米，故答案为： ． 　题型 8　　综合应用与测量 知识梳理 测量题画图后必有一个 直角三角形；最值题先"拉直折线"，再用 定理算长度 s48 的"方位角测量"：外角 ，故 （等腰）；"方位角之差 三角形的一个内角"是这类题的核心，算出 海里，则 海里。 f41 的"暗礁"： 处北偏西 处北偏西 先求 到航线 的距离（作 ），在 中用 定理，若这个距离小于 海里就有危险．"到航线的距离"永远是这类题的判据。 f36 的"折线拉直"： 垂直平分 在 上 ，故 最小值就是 ；再用 定理由 求 ．"垂直平分线 最值"的标准解法就是这一步替换。 f47 的"两解"： 在直线 上（注意是直线，不是线段）， 时 可能在线段内、也可能在 的延长线或 的延长线上，两种情形各算一次，答案 或 就是两解．"在直线上"必须分类，只算一种必错。 f33、s55 的"中点 + 平分"：f33 里 是 中点、 平分 由"中点 + 角平分"想到"等腰"或"中位线"；s55 是屋架题，，两次用 （或中位线）即可．这类题的答案都是"原长的分数"，先把倍数关系理清。 易错　①s48 不用"方位角之差"；　②f41 不算"到航线的距离"；　③f36 不做 的替换；　④f47 只算一解；　⑤s55 把两次"一半"当成一次。 要点　方位角之差 内角；折线拉直求最值；"在直线上"要分类。 1．  中点与角平分 如图，中，过点作于点取中点连接若平分则      ． 　思路分析　　本题考查了直角三角形的相关计算，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；由题意求得过点E作由平分得证得再证是等边三角形即可解答． 解： ​ ​点是的中点， ​ 过点E作 ​ ​平分 ​ ​ ​ ​是等边三角形 ​故答案为4． 2．  AP 加 BP 最小 如图，在中，垂直平分点P为直线上的任一点，则的最小值是      ． 　思路分析　　本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，根据题意，当点三点共线时，的值最小，最小值为由此即可求解． 解：在中， ​ 如图所示，连接 ​是线段的垂直平分线， ​ ​ ​当点三点共线时，的值最小，最小值为故答案为：6 ． 3．  轮船与暗礁 如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，      触礁的危险．（“有”或“无”） 　思路分析　　本题考查等腰三角形的判定与性质．含直角三角形的性质，根据题意过点作求出的长度与18比较即可． 解：如图，过点作 ​ ​ ​ ​海里， ​海里， ​海里， ​ ​有触礁的危险．故答案为：有． 4．  两解问题 如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且则的长为      ． 　思路分析　　本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线段时，②点D在线段延长线上时， ③点D在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 解： ​ ①点D在线段时， ​ ​ ​ ​ ②点D在线段延长线上时， ​ ​ ​ ​ ③点D在线段延长线上时， 此时即故不符合题意，舍去， 综上，的长为6或12． 5．  轮船与灯塔 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 　思路分析　　此题主要考查了等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）根据可得等腰再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）点作于点的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度，最后求出时间即可解答． （1）解：由题意得：（海里）． ​ ​． ​． ​（海里）． ​从海岛B到灯塔C的距离为30海里． （2）解：如图，过点C作于点P． ​根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，． 又 ​． 在中， ​（海里）． ​航行的时间为（时）． ​这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短． 6．  屋架立柱 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱垂直于横梁立柱要多长？ 　思路分析　　本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并应用含30度角的直角三角形的性质；根据30度角所对的直角边是斜边的一半求解即可． 解：立柱垂直于横梁 ​ ​D是中点， ​ ​ ​． 　题型 9　　证明与探究 知识梳理 证" 倍"或"一半"关系时，先把长的那条分成两半，再证其中一半等于短的 倍关系的三种证法：①用 定理（最短路径：找出 直角三角形）；②取中点，证两段相等；③用中位线（）．s53 的第 2 问求面积比，实际是在用"高之比"；s58 的第 2 问用中垂线与角平分线造等边，最后还是落到"一半"上。 s52 的"两个等腰"：由 与直角得 ，故 第 2 问给 于是 是" 等腰"，用"底 腰"一类关系求 ．先证全等、再用 结构。 s54 的"联系"型阅读题：题目先讲"等腰作高可转成直角三角形、直角三角形翻折可得等腰"，这就是让你"用 三角形去构造等腰"；照着材料给的方法做，把自己的做法与材料对照写清．阅读题的分都在"按材料的方法"上。 s56 的"中垂线 "： 垂直平分 则 故 里 ；再配合 求 ．" 等腰 外角 再用 定理" 是本册的经典四步。 s57、s59、s60 各有入口：s57 等边 是 直角三角形；s59 两个等边共顶点，先证 全等，再用 定量；s60 由中垂线得 再用 " 平分 " 把角串起来，最后用 定理求 ．证明题先找"哪个三角形含 "，找不到就作高。 易错　①证"一半"不指出 　②s52 不先用全等；　③s54 不按材料方法做；　④s56 漏掉外角那一步；　⑤s60 不用"平分"这个条件。 要点　证一半看 取中点或用中位线；证明题先找含 的三角形。 1．  两个等腰与 30 度 如图，在中，是边上的两点，并且． （1）求证： （2）若求的长度． 　思路分析　　本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由等腰三角形的性质得出垂直得出用证得即可得出结论； （2）由（1）得则再由三角形内角和定理求出证明出是等边三角形，进一步证明得出同理得出即可求解． （1）证明： ​ 在和中， ​ ​ ​ （2）解： ​ 由（1）得 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ 同理可得： ​． 2．  角平分线与面积 如图，是的平分线，分别是和的高，垂足为． （1）求证： （2）若求的长． 　思路分析　　（1）由分别是和的高得结合是的平分线由角平分线的性质得 （2）先把面积拆成两个小三角形面积之和求出再利用角平分线得在中利用角所对的直角边是斜边一半求出． （1）证明：分别是和的高， ​ ​是的平分线， ​ （2）解：由（1）得 ​ ​ ​ ​是的平分线， ​ ​． 3．  等腰与直角的联系 【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系.等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等． （1）【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“角所对的直角边等于斜边的一半”.并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程．已知：如图，在中， ． 求证： ． 证明： （2）【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图①所示，方桌的主视图如图②.经测得 将桌子放平，两条桌腿叉开的角度． 求：桌面与地面的高度． 　思路分析　　（1）取斜边中点，构造等边三角形可证； （2）过O作，于E，于点F，构造出直角三角形，利用特殊三角形性质计算OE，OF长度． 解：（1）取AB的中点D，连接CD ​在Rt中，点D是AB的中点, ​ AB ​ ​ ​是等边三角形 ​=DB ​ AB （2）过O作，于E，于点F ​ ​ 在Rt中， ​ 同理： 所以，桌面与地面的高度是． 4．  中垂线与 CE 如图，在中，的垂直平分线交于点交于点若求的长． 　思路分析　　本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，连接根据中垂线的性质，得到根据含30度角的直角三角形的性质，得到再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：连接 ​的垂直平分线交于点交于点 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 5．  等边与垂线 如图，为等边三角形，于点若的周长为求的长． 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，是解题的关键．根据等边三角形性质得出根据平行线的性质得出根据直角三角形的性质得出即可得出答案． 解：为等边三角形， ​ ​的周长为 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在中， ​ ​． 6．  角平分线与中垂线 在中，的平分线交于点如图1． （1）求的度数； （2）作线段的垂直平分线交于点交的延长线于点（尺规作图，不写作法） （3）在（2）的条件下，已知求的长． 　思路分析　　本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形中角的性质和全等三角形的判定进行推理计算。 （1）利用三角形内角和与角平分线定义求角度； （2）按要求完成尺规作图； （3）由作图知是线段的垂直平分线，求得再证明据此求解即可． （1）解： ​． ​平分 ​． ​ （2）如图所示，即为所求； （3）解：如图所示 ​ ​． ​平分 ​． ​． 在中， ​． ​． 由作图可知垂直平分 ​ ​． 在和中， ​ ​ ​． 7．  两个等边共顶点 如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边连接． （1）求证： （2）若求的度数 （3）在（2）的条件下，若求的长 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． （1）证明：和都是等边三角形， ​ ​ ​ ​ （2）解：是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ （3）解：是等边三角形， ​ ​即 ​． A 组　基础题 必做｜对称与中垂线、角平分线求线段与支撑木条 1．  对称与垂直平分 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在的延长线上，若垂直平分则的值为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　证明可得结论． 解：点关于直线的对称点落在的延长线上， ​ ​垂直平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：D． 2．  角平分线求 AD 如图，已知中，平分且交于点D，那么的长是      ． 　思路分析　　本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得则得再求出即可得出结论． 解： ​ ​平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​故答案为：． 3．  支撑木条 数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，．然后她依次添加支撑木条并使得垂足分别为则支撑木条长度为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先根据直角三角形两锐角互余求出根据含角的直角三角形的性质求出再根据线段的和差求出再次根据含角的直角三角形的性质求出即可． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​在中， ​ ​在中， ​ 即支撑木条长度为． B 组　提升题 必做｜要绕一步：转杆模型、两条垂线与四边形草坪 1．  杆与滑轮 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知当杆AB与水平面夹角为时，测得此时点B到AD的距离为      ． 　思路分析　　作交于点构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出求解即可， 解：如图：作交于点 ​ ​ 又 ​为等边三角形， ​ ​中， ​故答案为：． 2．  两条垂线与角 如图，在中，是边上任意一点，过点分别向引垂线，垂足分别为． （1）当点在的什么位置时，？并说明理由； （2）在（1）的条件下，若求的长． 　思路分析　　本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质． 根据等腰三角形三线合一与角平分线上的点到角两边的距离相等说明即可； 两次利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得． （1）解：当点在的中点上时，． 理由：连接． ​为中点， ​为的平分线， ​ ​． （2）解:为中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 3．  四边形草坪 校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB=米，AD=米， （1）求证： ； （2）求草坪造型的面积． 　思路分析　　（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可； （2）过点A作于点E，利用含的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出即可求出草坪造型的面积． （1）证明：在和中， ​ ​ （2） 过点A作于点E， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​草坪造型的面积 所以，草坪造型的面积为． C 组　拓展题 选做｜角平分线配中垂线、双动点与斜坡改造 1．  中垂线与平分 如图，在中，的垂直平分线交于点E，垂足为D，平分． （1）求的度数； （2）若求的长． 　思路分析　　（1）由垂直平分线的性质可得即可得由角平分线定理可得最后由三角形内角和定理计算即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到根据直角三角形的性质计算即可． （1）解∶垂直平分 ​ ​ 又平分 ​ ​ （2）垂直平分 ​ 由（1）知， ​． 2．  两个动点 如图，在中，点D从点A出发以/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，为等边三角形； （2）当t为何值时，为直角三角形． 　思路分析　　（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论：①当为直角时，②当为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值． （1）根据题意可得 ADt，t， ​ ​ ​为等边三角形， ​ 6t=2t， t=2， ​当t为2时，为等边三角形； （2）①当为直角时， ​ 2t=（6t）， t= ②当为直角时， CD=CE， 6t=•2t， t=3． ​当t为或3时，为直角三角形． 3．  斜坡改造 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 　思路分析　　（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． （2）根据可得根据等腰三角形的性质即可求解． （1） ​ （2）C，A，D三点共线， ​ ​ 4．  等腰与平行 如图，是等腰三角形，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若求的长． 　思路分析　　本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． （1）证明： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是等腰三角形； （2）解： ​为等边三角形， ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $