17.2 用公式法分解因式 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦“用公式法分解因式”核心知识点，从整式乘法公式逆向变形切入，分3课时依次学习平方差公式应用、完全平方式判断、综合运用提公因式与公式法，通过预习填空、活动探究、例题研习、小结梳理构建完整学习支架。 资料特色在于分层训练适配不同学生，预习自测与当堂练习培养抽象能力，例题整体思想与逆向思维发展推理意识，课堂小结与简便计算强化应用意识。课中活动助教师高效授课，课后参考答案与分层练习帮学生查漏补缺。

人教版数学八年级上册 · 第十七章 因式分解 · 17.2 用公式法分解因式(学生用书) 17.2 用公式法分解因式 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十七章 因式分解 · 3课时 · 配套《教师讲义》使用 一、学习目标 1. 知道因式分解的平方差公式、完全平方公式与整式乘法公式是方向相反的变形, 理解公式法的意义。 2. 理解完全平方式的概念, 能判断一个式子是不是完全平方式。 3. 能正确运用平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式, 会综合运用提公因式法和公式法。 4. 会利用公式法进行简便计算, 体会整体思想与逆向思维, 提高运算能力。 学习提示: 本节是第十七章的核心内容。请务必养成"一提(公因式)、二套(公式)、三查(是否分解彻底)"的做题顺序。 二、预习导航 请先阅读课本 P128-P131, 再完成下面的填空。 1. 乘法公式: (a+b)(a-b)=____; 把它反过来, 得 -=____。 2. 乘法公式: =____; =____; 反过来, 得 +2ab+=____; -2ab+=____。 3. 形如 +2ab+ 与 -2ab+ 的式子叫作____。 4. 平方差公式分解因式的适用特征: ____、____、____。 5. 把下列各式写成平方形式: =____; 9=____; =____; =____。 6. 因式分解的一般步骤: 一提(____)、二套(____)、三查(____)。 预习自测: 判断下列变形是不是因式分解。 (1) -4=(x+2)(x-2); (2) (x+2)(x-2)=-4。答: ____ 三、课内探究 第 1 课时 · 运用平方差公式分解因式 活动一 公式的由来(填空) 由 (a+b)(a-b)=____ 反过来, 得 - = ____。 文字表述: 两个数的____, 等于这两个数的____与这两个数的____的积。 口诀: 两数是平方, ____。 活动二 判断能否使用(课本 P129 练习第1题) 下列多项式能否用平方差公式分解因式? 在括号内写"能"或"不能", 并说明理由。 (1) + ( ) 理由: ____ (2) - ( ) 理由: ____ (3) -+ ( ) 理由: ____ (4) -- ( ) 理由: ____ 图 17.2-2 平方差公式分解因式的适用特征 我的作答: 活动三 例题研习(课本 P128 例1、例2) 例1 分解因式: (1) -9; (2) -。 【思路提示】先把 写成 , 把 9 写成 ; 把 写成 。 图 17.2-3 例1 分解因式 (课本 P128) 我的作答: 例2 分解因式: (1) -; (2) -。 【思路提示】(1) 把 写成 ; (2) 把 x+p 与 x+q 各看成一个____, 原式化为 -。 图 17.2-4 例2 分解因式 (课本 P128) 我的作答: 活动四 当堂练习(课本 P129 练习第2题) 分解因式: (1) 36-; (2) -1; (3) ; (4) -; (5) -; (6) -。 图 17.2-5 课本 P129 练习 我的作答: 第 2 课时 · 运用完全平方公式分解因式 活动一 公式的由来(填空) =____; =____。 反过来, +2ab+=____; -2ab+=____。 口诀: 首平方, ____, 积的 2 倍在中央。 图 17.2-6 完全平方公式分解因式与完全平方式 活动二 判断完全平方式 判断下列式子是不是完全平方式, 在括号内写"是"或"不是", 并说明理由。 (1) +4x+4 ( ) 理由: ____ (2) +4 ( ) 理由: ____ (3) +2ab- ( ) 理由: ____ (4) +ab+ ( ) 理由: ____ 我的作答: 活动三 例题研习(课本 P130 例3、例4) 例3 分解因式: (1) +4x+4; (2) -24x+9。 【思路提示】(1) 首项是____的平方, 尾项是____的平方, 中间项 4x = 2×____×____; (2) 首项写成 , 尾项写成 。 图 17.2-7 例3 分解因式 (课本 P130) 我的作答: 例4 分解因式: (1) -12(a+b)+36; (2) -+4xy-。 【思路提示】(1) 把 a+b 看成一个____; (2) 先提出____, 得 -(__)。 图 17.2-8 例4 分解因式 (课本 P130) 我的作答: 活动四 当堂练习(课本 P131 练习第2题) 分解因式: (1) +2a+1; (2) -12x+36; (3) -4x+1; (4) +12pq+; (5) -10(x+y)+25; (6) -2xy--。 图 17.2-9 课本 P131 练习第2题 我的作答: 第 3 课时 · 综合运用提公因式法和公式法 活动一 一般步骤(填空) 一提: ____; 二套: ____; 三查: ____。 图 17.2-10 因式分解的一般步骤 活动二 例题研习(课本 P131 例5、例6) 例5 分解因式: (1) -; (2) b-ab。 【思路提示】(1) 把 写成 , 写成 , 用过一次公式后还要再看每个因式能否继续分解; (2) 先提公因式____。 图 17.2-11 例5 分解因式 (课本 P131) 我的作答: 例6 分解因式: (1) +6axy+; (2) -+x-。 【思路提示】(1) 先提出公因式____; (2) 先提出____, 提出后括号内各项都要____。 图 17.2-12 例6 分解因式 (课本 P131) 我的作答: 活动三 探究(课本 P132) 你会把 +3x+2 分解因式吗? 请补全两种方法。 方法一: +3x+2=(+2x+1)+x+1=+(x+1)=____。 方法二: +3x+2=+2x+x+2=x(____)+____=____。 图 17.2-13 课本 P132 探究与阅读与思考 阅读与思考(拓展了解): 由 (x+p)(x+q)=+(p+q)x+pq 反过来, 得 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。当 p=1、q=2 时, +3x+2=____。 我的作答: 活动四 当堂练习(课本 P132 练习) 第1题 分解因式: (1) y-4y; (2) -+a; (3) +x+; (4) -+16; (5) 3a-6ax+; (6) -+8bxy-。 第2题 分解因式: (1) +4ab; (2) (p-4)(p+1)+3p。 图 17.2-14 课本 P132 练习 我的作答: 四、分层训练(A/B/C, 与《教师讲义》同题) 说明: 以下 A、B、C 三组与《教师讲义》第四部分逐题一致, 请在留白处作答; 答案见文末参考答案。 A 组(基础过关, 全体学生) 1. 分解因式: (1) -81 = ____; (2) - = ____; (3) +8a+16 = ____; (4) -6x+1 = ____。 2. 下列多项式能否用公式法分解因式? 能分解的写出结果, 不能的说明理由: (1) +4; (2) -+; (3) -2mn+; (4) +xy+。 我的作答: B 组(提高拓展, 中等及以上学生) 1. 分解因式: (1) -27 = ____; (2) -+m = ____; (3) -9 = ____; (4) -+8ab- = ____。 2. 利用因式分解计算: (1) - = ____; (2) +2×68×32+ = ____。 我的作答: C 组(挑战, 学有余力学生) 1. 分解因式: (1) -16 = ____; (2) - = ____。 2. 已知 a+b=6, ab=5, 求 b++ 的值。 3. 若 +kxy+ 是完全平方式, 求 k 的值。 我的作答: 五、课堂小结 1. 公式法: 把乘法公式反过来分解因式。平方差公式 -=____; 完全平方公式 ±2ab+=____。 2. 平方差公式分解因式的适用特征: ____、____、____。 3. 完全平方式的三个特征: ____、____、____。 4. 因式分解的一般步骤: 一提(____)、二套(____)、三查(____)。 5. 分解因式必须进行到____为止。 六、课后作业(课本《习题17.2》P132) 说明: 以下题目完整取自课本《习题17.2》, 请在留白处完成全部过程; 答案见文末参考答案。 复习巩固 第 1 题 分解因式: (1) -16; (2) -; (3) ; (4) 。 第 2 题 分解因式: (1) -4ab+; (2) -+10xy-; (3) 4+12(x-y)+9; (4) -+4(m+n)-4。 第 3 题 分解因式: (1) --; (2) -+81; (3) -; (4) -。 我的作答: 综合运用 第 4 题 利用因式分解计算: (1) +103×194+; (2) -+-。 第 5 题 已知 xy=4, x+y=5, 求 y++ 的值。 第 6 题 分解因式: (1) -; (2) -6(-)+9。 第 7 题 已知 n 为正整数, 求证: - 能被 24 整除。 我的作答: 拓广探索 第 8 题 已知 +my+9 是完全平方式, 求 m 的值。 第 9 题 观察下列式子, 你得出了什么结论? 你能证明你的结论吗? +×+=; +×+=; +×+=; …… 图 17.2-20 习题17.2 第9题 观察与证明 我的作答: 七、参考答案 【填空类】预习导航 1. -; (a+b)(a-b)。 2. +2ab+; -2ab+; ; 。 3. 完全平方式。 4. 两项; 异号; 两项都能写成平方形式。 5. ; ; ; 。 6. 提公因式; 套公式; 检查是否分解彻底。 预习自测: (1) 是; (2) 不是, 它是整式乘法, 方向相反。 【填空类】课内探究(各活动填空) 第1课时 活动一: (a+b)(a-b)=-; -=(a+b)(a-b); 平方差; 和; 差。口诀: 两数是平方, 减号在中央。 第1课时 活动二: (1) 不能, 是平方和; (2) 能; (3) 能, 先写成 -; (4) 不能, 提出负号后得 -(+), 括号内是平方和。 第1课时 活动三 思路提示: =, 9=, =; =; x+p 与 x+q 各看成一个整体。 第2课时 活动一: =+2ab+; =-2ab+; +2ab+=; -2ab+=; 首平方, 尾平方, 积的 2 倍在中央。 第2课时 活动二: (1) 是; (2) 不是, 只有两项; (3) 不是, 末项为负, 两项平方的符号不相同; (4) 不是, 中间项应为 2ab, 缺少系数 2。 第2课时 活动三 思路提示: 例3(1) 首项是 x 的平方, 尾项是 2 的平方, 4x=2×x×2; 例3(2) 首项写成 , 尾项写成 ; 例4(1) a+b 看成整体; 例4(2) 先提出负号, 得 -(-4xy+)。 第3课时 活动一: 一提(提公因式); 二套(套公式); 三查(检查是否分解彻底)。 第3课时 活动二 思路提示: 例5(1) 写成 , 写成 ; 例5(2) 先提公因式 ab; 例6(1) 先提公因式 3a; 例6(2) 先提出 -a, 提出后括号内各项都要变号。 第3课时 活动三: 方法一 +(x+1)=(x+1)(x+2); 方法二 x(x+2)+(x+2)=(x+1)(x+2)。阅读与思考: +3x+2=(x+1)(x+2)。 【练习类】课本例题与练习 例1: (1) (2x+3)(2x-3); (2) (a+5b)(a-5b)。 例2: (1) (x+)(x-); (2) (2x+p+q)(p-q)。 P129 练习第2题: (1) (6+m)(6-m); (2) (7n+1)(7n-1); (3) (a+ b)(a b); (4) (9a+)(9a-); (5) (3b+c)(b-c); (6) 8mn。 例3: (1) ; (2) 。 例4: (1) ; (2) -。 P131 练习第2题: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) -。 例5: (1) (+)(x+y)(x-y); (2) ab(a+1)(a-1)。 例6: (1) 3a; (2) -a。 P132 练习第1题: (1) y(x+2)(x-2); (2) a; (3) a; (4) -(+4)(a+2)(a-2); (5) 3a; (6) -4b。 P132 练习第2题: (1) ; (2) (p+2)(p-2)。 【练习类】分层训练 A / B / C A 组: 1. (1) (x+9)(x-9); (2) (2m+3n)(2m-3n); (3) ; (4) 。 A 组: 2. (1) 不能, 是平方和; (2) 能, 原式=-=(y+x)(y-x); (3) 能, 原式=; (4) 不能, 中间项应为 2xy, 缺少系数 2。 B 组: 1. (1) 3(x+3)(x-3); (2) m; (3) (x+2)(x-4); (4) -2。 B 组: 2. (1) (101+99)(101-99)=200×2=400; (2) ==10000。 C 组: 1. (1) (+4)(x+2)(x-2); (2) 。 C 组: 2. 原式=ab=5×=180。 C 组: 3. kxy=±2×3x×2y=±12xy, 所以 k=±12。 【练习类】课后作业《习题17.2》(课本 P132) 第 1 题: (1) (3a+4)(3a-4); (2) (9x+8y)(9x-8y); (3) (m+)(m); (4) ( y+ z)( y z)。 第 2 题: (1) ; (2) -; (3) ; (4) -。 第 3 题: (1) -; (2) ; (3) (+)(x+2y)(x-2y); (4) (a+c)(a-c)。 第 4 题: (1) 原式=+2×103×97+===40000; (2) 原式=(2021+2020)(2021-2020)+(2010+2009)(2010-2009)=4041+4019=8060。 第 5 题: 原式=xy=4×25=100。 第 6 题: (1) (2ab+1-); (2) 4。 第 7 题: 原式=[(4n+3)+(2n+3)][(4n+3)-(2n+3)]=(6n+6)×2n=12n(n+1)。因为 n 为正整数, n 与 n+1 中必有一个为偶数, 所以 12n(n+1) 能被 24 整除。 第 8 题: +my+9==±12y+9, 所以 m=±12。 第 9 题: 结论 ++=。证明: 左边=+(+2n+1)+(+2n+1)=+++2n+1==右边。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十七章 因式分解 · 17.2 用公式法分解因式(教师讲义) 17.2 用公式法分解因式 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十七章 因式分解 · 3课时 · 本书配套《学生用书》使用 一 教学导航 【教材分析】 17.2 用公式法分解因式是第十七章"因式分解"的第 2 节, 紧接 17.1 用提公因式法分解因式。第十六章已经学过两个乘法公式——平方差公式 (a+b)(a-b)=- 与完全平方公式 =±2ab+; 本节把这两个公式"反过来用", 就得到因式分解的平方差公式 -=(a+b)(a-b) 与完全平方公式 ±2ab+=, 这种利用乘法公式分解因式的方法叫作公式法。 教材的展开顺序是"逆向建构": 课本 P128 先由 (a+b)(a-b)=- 反推出平方差公式分解因式, 再用例1、例2 示范; P129 练习后转入完全平方公式, 由 =±2ab+ 反推出 ±2ab+=, 并给出"完全平方式"的概念, P130 用例3、例4 示范, P131 练习; 最后 P131 例5、例6 说明"有时需要多次运用公式, 有时需要综合运用提公因式法和公式法", P132 练习与探究 +3x+2 把方法引向"先看结构、再选方法"的一般策略, 并衔接 P133"阅读与思考—+(p+q)x+pq 型式子的因式分解"。 本节是第十七章的核心内容: 提公因式法是因式分解的"第一道工序", 公式法是"第二道工序", 二者结合才能处理绝大多数多项式。掌握本节也为后续进一步学习代数式的恒等变形奠基。 【学情分析】 学生已熟练掌握乘法公式, 也学过提公因式法, 具备"逆向变形"的经验, 但本节难点集中在"识别"与"彻底"两处: ① 认不出平方差形式——需要先把某些项改写成平方形式, 如 =、9=、=、=、 =; ② 把"平方和"误当成完全平方式, 以为 + 也能分解; ③ 中间项漏乘 2, 如把 +4x+4 中的 4x 看成 x×4 而不是 2×x×2; ④ 首项系数为负时提出负号后括回各项忘变号; ⑤ 分解不彻底, 如 - 只写到 (+)(-) 就停笔; ⑥ 项数多时无从下手, 缺少"先看项数、再看结构"的思考顺序。 【教学目标】 ① 理解公式法的意义, 知道因式分解的平方差公式、完全平方公式与整式乘法公式是方向相反的变形; ② 理解完全平方式的概念, 能判断一个式子是否为完全平方式; ③ 能正确运用平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式, 会综合运用提公因式法与公式法, 并能分解到每一个因式都不能再分解为止; ④ 经历"乘法公式逆向使用"的过程, 体会整体思想、转化思想与逆向思维, 发展运算能力与推理能力。 【重难点】 教学重点: 运用平方差公式、完全平方公式分解因式。教学难点: 把多项式转化为公式的"标准形式"(平方形式的改写、整体思想、首项为负的处理), 以及"分解到不能再分解为止"的判断。 【教学策略】 采用"逆向类比 — 公式建模 — 例题示范 — 变式辨析 — 综合运用"五环节教学法。用"方向相反"的箭头图把乘法公式与因式分解公式并置, 让互逆关系可视化; 用两句口诀("两数是平方, 减号在中央""首平方, 尾平方, 积的 2 倍在中央")降低识别难度; 用找错活动集中突破"未提公因式""分解不彻底""符号错误"三类典型错误; 用课本探究 +3x+2 与"阅读与思考"拓展方法视野。 【课时建议】 本节建议 3 课时, 具体安排见下表。每课时 40 分钟, 新授约 25 分钟, 巩固与作业约 15 分钟。 课时 内容 课本页码 核心要点 第 1 课时 运用平方差公式分解因式 P128-P129 逆向引入 → 公式与三个特征 → 例1 → 例2 → 练习 1、2 第 2 课时 运用完全平方公式分解因式 P129-P131 完全平方式 → 例3 → 例4 → 练习 1、2 第 3 课时 综合运用提公因式法和公式法 P131-P132 例5 → 例6 → 探究 +3x+2 → 练习 1、2 → 阅读与思考 【教学准备】 多媒体课件; 复习卡片(平方差公式、完全平方公式的整式乘法形式); "公式对照卡"(左列整式乘法形式, 右列因式分解形式); 彩笔用于板书公式结构。 二 教学过程 第 1 课时 · 运用平方差公式分解因式 一、复习引入(5分钟) 【情境】把乘法公式反过来用 【教师活动】提问: 第十六章我们学过哪些乘法公式? 请写出平方差公式。 【教师活动】 板书 (a+b)(a-b)=-, 追问: 如果已知 -, 能不能把它写成两个整式的积? 【学生活动】 口答: -=(a+b)(a-b)。 【板演】 教师用双箭头把两式并置: 从左到右是整式乘法(积化和), 从右到左是把多项式化为几个整式的积——因式分解(和化积)。 图 17.2-1 公式法: 把乘法公式反过来分解因式 【关键提示】 把乘法公式反过来对多项式进行因式分解, 这种方法叫作公式法。本节先学平方差公式法。 【预设与对策】 可能有学生认为"因式分解就是把式子展开后再合并", 这与方向相反。对策: 反复用"和化积 / 积化和"一说就清。 二、公式建模(8分钟) 【教师活动】 写出平方差公式分解因式并强调适用特征。 图 17.2-2 平方差公式分解因式的适用特征 【板演】 板书: -=(a+b)(a-b)。文字表述: 两个数的平方差, 等于这两个数的和与这两个数的差的积。 【教师活动】 口诀归纳: 两数是平方, 减号在中央。强调公式中的 a、b 既可以表示数, 也可以表示单项式, 还可以表示多项式。 【学生活动】 判断下列多项式能否用平方差公式分解因式, 并说明理由: (1) +; (2) -; (3) -+; (4) --。 【预设与对策】 预期三种反应: ① 把 + 当成平方差(只有加号, 不行); ② 对 -+ 不敢下手(先交换成 - 即可); ③ 对 -- 直接分解(提出负号得 -(+), 括号内是平方和, 不能分解)。对策: 先让学生"化成 - 的样子"再判断。 【找错活动】 补充辨析: (1) "+=(x+y)(x-y)"——错, 这是平方和, 不能分解; (2) "--=-(x+y)(x-y)"——错, 提出负号后括号内是平方和, 不能再分解。 三、例题示范(12分钟) 【教师活动】 板演例1、例2, 重点示范"把某项改写成平方形式"。 图 17.2-3 例1 分解因式 (课本 P128) 【板演】 例1(1) -9=-=(2x+3)(2x-3)。强调 要写成 , 9 要写成 。 【板演】 例1(2) -=-=(a+5b)(a-5b)。强调 要写成 。 【学生活动】 学生独立完成, 同桌互查, 指名板演; 教师巡视, 重点看是否有学生把 写成 、把 写成 。 图 17.2-4 例2 分解因式 (课本 P128) 【板演】 例2(1) -=-=(x+)(x-)。强调 要看成 。 【板演】 例2(2) -=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)。 【教师活动】 追问: 例2(2) 为什么要"整体看"? 若把 (x+p) 设成 a、(x+q) 设成 b, 原式就是 -, 这正是整体思想。 四、巩固与练习(10分钟) 【学生活动】 完成课本 P129 练习第 1、2 题。 图 17.2-5 课本 P129 练习 【学生活动】 第1题口答并说明理由; 第2题 6 小题独立完成, 四人小组互批, 组长汇总典型错误报给教师。 【找错活动】 预判错误: ① -1=(49n+1)(49n-1)——错, 应写成 ; ② 写成 (a+ b)(a b)——错, 应写成 ; ③ - 展开时符号写错。对策: 要求每题先在旁边写出"-"这一行, 再套公式。 五、小结与作业(5分钟) 【学生活动】 口述平方差公式分解因式的三个特征。 【课堂小结】 平方差公式分解因式: 两项、异号、都能写成平方形式。口诀: 两数是平方, 减号在中央。关键动作: 先把每一项改写成平方形式。 【作业布置】 课本 P129 练习第 1、2 题整理到作业本; 预习 P129-P130 完全平方公式分解因式, 思考 +2ab+ 反过来写成什么。 第 2 课时 · 运用完全平方公式分解因式 一、复习引入(5分钟) 【教师活动】 提问: 平方差公式分解因式的特征是什么? 下列两式能分解吗? (1) +4x+4; (2) +4。 【学生活动】 口答前一问; 对后两问产生疑问——+4x+4 是三项, 不符合平方差公式的特征。 【教师活动】 顺势板书完全平方公式 =+2ab+、=-2ab+, 并反向写出 +2ab+=、-2ab+=。 图 17.2-6 完全平方公式分解因式与完全平方式 【板演】 文字表述: 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍, 等于这两个数的和(或差)的平方。 【关键提示】 形如 +2ab+ 与 -2ab+ 的式子叫作完全平方式。口诀: 首平方, 尾平方, 积的 2 倍在中央。 【补充辨析活动】 判断下列式子是不是完全平方式, 并说明理由: (1) +4x+4; (2) +4; (3) +2ab-; (4) +ab+。 【预设与对策】 标准答案: (1) 是; (2) 不是, 只有两项; (3) 不是, 末项为负, 两项平方的符号不相同; (4) 不是, 中间项应为 2ab, 缺少系数 2。对策: 让学生逐条对照"三项、两项同号平方、第三项是两数积的 2 倍"三条标准。 二、例题示范(12分钟) 【教师活动】 板演例3、例4。 图 17.2-7 例3 分解因式 (课本 P130) 【板演】 例3(1) +4x+4=+2×x×2+=; 例3(2) -24x+9=-2×4x×3+=。 【教师活动】 强调"验中间项": 首尾确定后, 中间项必须等于 2×首底×尾底, 才能用完全平方公式。 图 17.2-8 例4 分解因式 (课本 P130) 【板演】 例4(1) -12(a+b)+36=-2×(a+b)×6+=。 【板演】 例4(2) -+4xy-=-(-4xy+)=-。强调首项为负时先提出负号, 并提出后括号内各项都要变号。 【预设与对策】 学生常见错误: ① 例4(1) 把 12(a+b) 看成 (a+b)×12 而不是 2×(a+b)×6; ② 例4(2) 提出负号后漏改 4xy 的符号。对策: 要求学生提负号后"逐项念一遍符号"。 三、巩固与练习(12分钟) 【学生活动】 完成课本 P131 练习第 2 题。 图 17.2-9 课本 P131 练习第 2 题 【学生活动】 6 小题独立完成, 指名板演 (1)(3)(5)(6), 其余同桌互查。 【找错活动】 预判错误: ① -4x+1=——错, 首项底数应为 2x, 正解 ; ② -2xy--=——错, 漏提负号, 正解 -; ③ -10(x+y)+25 写成 ——错, 中间项应看成 2×(x+y)×5, 正解 。 【方法提示】 先看项数: 三项才考虑完全平方公式; 再看两项平方是否同号; 最后验中间项是否等于 2ab。三步都满足才动手。 四、小结与作业(6分钟) 【学生活动】 归纳完全平方式的三个特征。 【课堂小结】 完全平方式: 三项; 两项是两个数的平方且符号相同; 第三项是这两个数的积的 2 倍。口诀: 首平方, 尾平方, 积的 2 倍在中央。 【作业布置】 课本 P131 练习第 2 题整理到作业本; 预习 P131-P132 综合运用, 思考 - 与 b-ab 怎样分解因式。 第 3 课时 · 综合运用提公因式法和公式法 一、复习引入(5分钟) 【教师活动】 提问: 现在我们学过哪几种因式分解的方法? 遇到一个多项式, 应该按什么顺序思考? 【学生活动】 说出三种方法: 提公因式法、运用平方差公式法、运用完全平方公式法。 图 17.2-10 因式分解的一般步骤 【板演】 总口诀: 一提、二套、三查。一提: 各项有公因式先提; 二套: 两项想平方差, 三项想完全平方; 三查: 每个因式是否还能继续分解, 必须分解到不能再分解为止。 二、例题示范(13分钟) 【教师活动】 板演例5、例6。 图 17.2-11 例5 分解因式 (课本 P131) 【板演】 例5(1) -=-=(+)(-)=(+)(x+y)(x-y)。 【教师活动】 追问: + 还能继续分解吗? 为什么? (不能, 它是平方和。) 强调"分解到每一个因式都不能再分解为止"。 【板演】 例5(2) b-ab=ab(-1)=ab(a+1)(a-1)。强调先提公因式 ab, 再套平方差公式。 【及时巩固】 课本练习: 分解因式 (1) -1; (2) -。请两名学生板演, 其余在练习本上完成。 图 17.2-12 例6 分解因式 (课本 P131) 【板演】 例6(1) +6axy+=3a(+2xy+)=3a; 例6(2) -+x-=-a(-2ax+)=-a。 【预设与对策】 例6(2) 是关键: 首项系数为负, 要先提出 -a, 括号内各项变号后再套完全平方公式。对策: 板书时用不同颜色标出变号后的三项, 让学生跟读一遍。 三、探究与拓展(10分钟) 【教师活动】 完成课本 P132 探究, 并介绍"阅读与思考"。 图 17.2-13 课本 P132 探究与阅读与思考 【教师活动】 提问: 你会把 +3x+2 分解因式吗? 引导两种思路——方法一: 先凑出完全平方式 (+2x+1), 再提公因式; 方法二: 把 3x 拆成 2x+x, 分组提公因式。 【学生活动】 同桌交流两种方法, 并比较哪种更简便。 【拓展了解】 阅读与思考: 由 (x+p)(x+q)=+(p+q)x+pq 反过来得 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。当 p=1、q=2 时, +3x+2=(x+1)(x+2)。这种借助十字交叉线分解二次三项式的方法叫十字相乘法。 【预设与对策】 十字相乘法属于课本"阅读与思考"的拓展内容, 教学时点到为止, 不要求全体学生掌握, 可作为学有余力学生的兴趣点, 也可布置为选做。 四、巩固与练习(8分钟) 【学生活动】 完成课本 P132 练习第 1、2 题。 图 17.2-14 课本 P132 练习 【学生活动】 第1题 6 小题、第2题 2 小题独立完成, 小组互批, 教师抽查易错的 (4)(6) 与第2题 (2)。 【找错活动】 预判错误: ① -+16 写成 -(+4)(-4) 后停笔——未分解彻底, 应继续写成 -(+4)(a+2)(a-2); ② -+8bxy- 提出 -4b 后括号内符号写错——正解 -4b; ③ (p-4)(p+1)+3p 直接套公式——应先展开、合并同类项化为 -4, 再用平方差公式。 五、小结与作业(4分钟) 【学生活动】 复述"一提二套三查"。 【课堂小结】 因式分解的一般步骤: 一提(公因式)、二套(公式)、三查(是否彻底)。分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【作业布置】 课本 P132 习题17.2 第 1-9 题(复习巩固第 1-3 题、综合运用第 4-7 题、拓广探索第 8-9 题), 详见第七部分作业布置。 三 公式对比与易错辨析 图 17.2-15 因式分解方法选择一览 三种方法的适用形式各不相同, 教学时要让学生"看结构、选方法", 而不是拿到题目就套公式。下表可作为板书或复习卡使用。 方法 适用形式 课本示例 提公因式法 各项含有公因式 +6axy+=3a 平方差公式 两项、异号、都是平方形式 -9=(2x+3)(2x-3) 完全平方公式 三项、两项同号平方、第三项是两数积的 2 倍 +4x+4= 图 17.2-16 三类典型易错点警示 三类典型错误必须在课堂上当场纠正: ① 未先提公因式就套公式, 使分解过程复杂且不规范; ② 分解不彻底, 括号内还有可用平方差公式的二次式就停笔; ③ 首项为负时漏掉负号, 导致结果符号正好相反。 四 分层巩固训练(A/B/C, 与《学生用书》同题) 说明: 以下 A、B、C 三组为教师根据本节知识范围自编的分层训练题, 与《学生用书》逐题一致, 便于配套发用。课本练习与习题另见第七部分作业布置。 A 组(基础过关, 全体学生) 1. 分解因式: (1) -81; (2) -; (3) +8a+16; (4) -6x+1。 2. 下列多项式能否用公式法分解因式? 能分解的写出结果, 不能的说明理由: (1) +4; (2) -+; (3) -2mn+; (4) +xy+。 B 组(提高拓展, 中等及以上学生) 1. 分解因式: (1) -27; (2) -+m; (3) -9; (4) -+8ab-。 2. 利用因式分解计算: (1) -; (2) +2×68×32+。 C 组(挑战, 学有余力学生) 1. 分解因式: (1) -16; (2) -。 2. 已知 a+b=6, ab=5, 求 b++ 的值。 3. 若 +kxy+ 是完全平方式, 求 k 的值。 五 课堂小结 【学生说, 教师补】 请学生用自己的话回答下列问题, 教师用板书补全: 1. 什么叫公式法? 它与整式乘法是什么关系? ——把乘法公式反过来对多项式分解因式的方法叫公式法; 与整式乘法是方向相反的变形。 2. 平方差公式分解因式的形式与特征? ——-=(a+b)(a-b); 两项、异号、都能写成平方形式。 3. 什么叫完全平方式? 它的三个特征? ——±2ab+ 这样的式子; 三项、两项同号平方、第三项是两数积的 2 倍。 4. 因式分解的一般步骤? ——一提(公因式)、二套(公式)、三查(分解是否彻底)。 5. 分解因式要注意什么? ——必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止; 首项为负先提负号并变号。 【方法提炼表】 见第三部分图 17.2-15 与方法对照表, 可让学生抄写到笔记本上作为本章的方法索引。 六 板书设计 【主板书(随课时推进书写顺序)】 课题: 17.2 用公式法分解因式 课时 1 用平方差公式: (1) 逆向: (a+b)(a-b)=- ←→ -=(a+b)(a-b) (2) 特征: 两项 / 异号 / 都是平方形式 口诀: 两数是平方, 减号在中央 (3) 例1: -9=-=(2x+3)(2x-3); -=(a+5b)(a-5b) (4) 例2: -=(x+)(x-); -=(2x+p+q)(p-q) 课时 2 用完全平方公式: (1) 逆向: =±2ab+ ←→ ±2ab+= (2) 特征: 三项 / 两项同号平方 / 第三项是两数积的 2 倍 口诀: 首平方, 尾平方, 积的 2 倍在中央 (3) 例3: +4x+4=; -24x+9= (4) 例4: -12(a+b)+36=; -+4xy-=- 课时 3 综合运用: (1) 步骤: 一提、二套、三查 (2) 例5: -=(+)(x+y)(x-y); b-ab=ab(a+1)(a-1) (3) 例6: +6axy+=3a; -+x-=-a (4) 拓展: +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 【副板书(学生板演 / 错例纠正 / 公式对照)】 错例栏: 错例 1: -9=(4x+3)(4x-3) → 平方形式写错, 应为 -, 结果 (2x+3)(2x-3) 错例 2: -4x=x(-4) → 分解不彻底, 应为 x(x+2)(x-2) 错例 3: -+4xy-= → 漏负号, 应为 - 错例 4: -8=(2x+4)(2x-4) → 未先提公因式, 应为 2(x+2)(x-2) 公式对照栏: 整式乘法(积化和): (a+b)(a-b)=-; =±2ab+ 因式分解(和化积): -=(a+b)(a-b); ±2ab+= 七 作业布置(真实还原《习题17.2》P132, 2024版) 【基础层(必做, 所有学生)】 1. 课本 P129 练习第 1、2 题(对应第 1 课时); 2. 课本 P131 练习第 2 题(对应第 2 课时); 3. 课本 P132 练习第 1、2 题(对应第 3 课时)。 【巩固层(必做, 中等及以上学生) — 课本 P132 习题17.2 复习巩固 第 1-3 题】 第 1 题(分解因式): (1) -16; (2) -; (3) ; (4) 。 第 2 题(分解因式): (1) -4ab+; (2) -+10xy-; (3) 4+12(x-y)+9; (4) -+4(m+n)-4。 图 17.2-17 习题17.2 第3题 分解因式 第 3 题(分解因式): (1) --; (2) -+81; (3) -; (4) -。 【综合层(选做, 学有余力学生) — 课本 P132 习题17.2 综合运用 第 4-7 题】 图 17.2-18 习题17.2 第4题 利用因式分解计算 第 4 题(利用因式分解计算): (1) +103×194+; (2) -+-。 第 5 题: 已知 xy=4, x+y=5, 求 y++ 的值。 图 17.2-19 习题17.2 第6题 分解因式 第 6 题(分解因式): (1) -; (2) -6(-)+9。 第 7 题: 已知 n 为正整数, 求证: - 能被 24 整除。 【拓广层(挑战, 尖子生) — 课本 P132 习题17.2 拓广探索 第 8-9 题】 第 8 题: 已知 +my+9 是完全平方式, 求 m 的值。 图 17.2-20 习题17.2 第9题 观察与证明 第 9 题: 观察下列式子, 你得出了什么结论? 你能证明你的结论吗? +×+=; +×+=; +×+=; …… 八 教学反思 本节教学的亮点是把"乘法公式"与"因式分解公式"用双箭头并置呈现, 学生一眼能看出"方向相反"这一本质; 两句口诀("两数是平方, 减号在中央""首平方, 尾平方, 积的 2 倍在中央")把结构识别变成了可复述的动作, 课堂反馈良好。 预设改进点: ① 平方差公式的难点不在公式本身, 而在"把某项改写成平方形式"。建议每道题都要求学生先写出"-"这一行再套公式, 形成固定动作。 ② 完全平方式的"中间项验算"要成为硬性步骤。可让学生养成"先定首尾底数, 再用 2ab 验中间项"的习惯, 避免出现 这类首项底数取错的错误。 ③ 首项为负的多项式 (如 -+4xy-、-+x-) 建议单独示范一题, 并让学生口头复述"提出负号后括号内各项都要变号"。 ④ "分解不彻底"是本节的顽固错误。建议在每道题末尾追问一句"每个因式还能再分解吗", 并把 -、-+16 作为标准反例写进错例栏。 ⑤ 第 3 课时的"阅读与思考"涉及十字相乘法, 属拓展内容, 建议控制在 3 分钟以内, 只作介绍不作统一要求, 避免挤占综合运用的训练时间。 后续衔接: 本节之后是本章的"阅读与思考—+(p+q)x+pq 型式子的因式分解"、数学活动(P134)与小结(P135); 本章结束后进入代数式的进一步学习。本节务必把"一提二套三查"的顺序与"分解彻底"的意识打牢。 九 参考答案 第 1 课时 课本 P128-P129 例题与练习 例 1: (1) (2x+3)(2x-3); (2) (a+5b)(a-5b)。 例 2: (1) (x+)(x-); (2) (2x+p+q)(p-q)。 练习第 1 题: (1) 不能, 是平方和; (2) 能; (3) 能, 先写成 -; (4) 不能, 提出负号后得 -(+), 括号内是平方和。 练习第 2 题: (1) (6+m)(6-m); (2) (7n+1)(7n-1); (3) (a+ b)(a b); (4) (9a+)(9a-); (5) (3b+c)(b-c); (6) 8mn。 第 2 课时 课本 P130-P131 例题与练习 例 3: (1) ; (2) 。 例 4: (1) ; (2) -。 补充辨析活动: (1) +4x+4 是; (2) +4 不是(只有两项); (3) +2ab- 不是(末项为负, 两项平方的符号不相同); (4) +ab+ 不是(中间项应为 2ab, 缺少系数 2)。 练习第 2 题: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) -。 第 3 课时 课本 P131-P132 例题与练习 例 5: (1) (+)(x+y)(x-y); (2) ab(a+1)(a-1)。 例 5 配套练习: (1) -1=(+1)(p-1)(p+1); (2) -=(+)(x+3y)(x-3y)。 例 6: (1) 3a; (2) -a。 练习第 1 题: (1) y(x+2)(x-2); (2) a; (3) a; (4) -(+4)(a+2)(a-2); (5) 3a; (6) -4b。 练习第 2 题: (1) ; (2) (p+2)(p-2)。 探究: +3x+2 的分解——方法一: +3x+2=(+2x+1)+x+1=+(x+1)=(x+1)(x+2); 方法二: +3x+2=+2x+x+2=x(x+2)+(x+2)=(x+1)(x+2)。 《习题17.2》(课本 P132) 参考答案 第 1 题: (1) (3a+4)(3a-4); (2) (9x+8y)(9x-8y); (3) (m+)(m); (4) ( y+ z)( y z)。 第 2 题: (1) ; (2) -; (3) ; (4) -。 第 3 题: (1) -; (2) ; (3) (+)(x+2y)(x-2y); (4) (a+c)(a-c)。 第 4 题: (1) 原式=+2×103×97+===40000; (2) 原式=(2021+2020)(2021-2020)+(2010+2009)(2010-2009)=4041+4019=8060。 第 5 题: y++=xy=4×=4×25=100。 第 6 题: (1) (2ab+1-); (2) 4。 第 7 题: -=[(4n+3)+(2n+3)][(4n+3)-(2n+3)]=(6n+6)×2n=12n(n+1)。因为 n 为正整数, n 与 n+1 是两个连续整数, 必有一个为偶数, 所以 n(n+1) 为偶数, 故 12n(n+1) 能被 24 整除, 即 - 能被 24 整除。 第 8 题: 因为 +my+9=+my+ 是完全平方式, 所以 +my+9==±12y+9, 比较一次项系数得 m=±12。 第 9 题: 结论: ++=。证明: 左边=+(+2n+1)+(+2n+1)=+++2n+1=+(n+1)+==右边。 A 组基础 参考答案 1. (1) (x+9)(x-9); (2) (2m+3n)(2m-3n); (3) ; (4) 。 2. (1) 不能, 是平方和; (2) 能, -+=-=(y+x)(y-x); (3) 能, -2mn+=; (4) 不能, 中间项应为 2xy, 缺少系数 2。 B 组提高 参考答案 1. (1) 3(x+3)(x-3); (2) m; (3) (x+2)(x-4); (4) -2。 2. (1) (101+99)(101-99)=200×2=400; (2) ==10000。 C 组挑战 参考答案 1. (1) -16=(+4)(-4)=(+4)(x+2)(x-2); (2) -=[(+)+2ab][(+)-2ab]=。 2. b++=ab(+2ab+)=ab=5×=5×36=180。 3. 因为 +kxy+=+kxy+ 是完全平方式, 所以 kxy=±2×3x×2y=±12xy, 故 k=±12。 学科网（北京）股份有限公司 $