16.1.2 幂的乘方与积的乘方 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.1.2  幂的乘方与积的乘方 解析版  16.1.2　幂的乘方与积的乘方 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　幂的乘方：底数不变，指数相乘 2 　　题型 2　积的乘方：每个因式分别乘方 3 　　题型 3　逆用求值：把指数拆成乘积 5 　　题型 4　三条法则辨析：加、乘、再乘方 6 　　题型 5　化成同底：比较大小与凑指数 8 　　题型 6　新定义与阅读材料 10 　　题型 7　整除、证明与综合应用 13 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 15 　题型 1　　幂的乘方：底数不变，指数相乘 知识梳理 ​——指数与指数相乘 法则的来历　 表示 个 相乘，每个 里有 个 一共 组、每组 个，所以共有 个 相乘：．括号里是幂、外面还是幂，指数就要乘——这是它与上一课"指数相加"的分别。 两层底数都要看清　——两个不同写法得到同一个结果，因为 ．所以 既可以写成 也可以写成 逆用时的选择就看"哪个指数与已知搭得上"（见题型 3）。 底数带负号时先定符号　而 ．括号的位置决定符号的去留：指数里的负号跟着括号走，括号外面的负号不参与乘方。 底数可以是单项式　（字母作指数时照样相乘）；．算完之后能算成具体数的就写成数，别停在幂的形式。 易错　①把指数相乘写成相加：不是 　②与同底数幂相乘混：　③漏掉括号里的负号；　④ 写成 （字母指数同样要相乘）。 要点　幂的乘方 → 指数相乘；同底数幂相乘 → 指数相加。两句话分开记，别混用。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了幂的乘方，解题关键是掌握幂的乘方． 利用幂的乘方直接计算． 解：故选：B． 2． ​的运算结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 解： ​ ​．故选：B． 3． 计算（）的结果是 （  ） A． B． C． D． 解：（）．故选A． 4． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键． （1）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （1）解： （2）解： （3）解： （4）解：． 　题型 2　　积的乘方：每个因式分别乘方 知识梳理 ​——括号里的每个因式都要乘方，系数也不例外 法则　推广到三个以上因式同样成立：．每一个因式都要乘方，漏一个就错。 系数是数字，也要乘方　．这里用了三条法则：积的乘方（分成三块）、幂的乘方（）、以及数字的乘方（）。最常见的错法是写成 ，把系数落下了。 系数为分数时同样乘方　（偶次方为正）。分数乘方时分子分母都要三次方，写成分数线更清楚。 积的乘方可以反向用　这一条在"同指数、不同底数"的题里是钥匙：．看到指数相同、底数不同，就合成一个括号（详见题型 5）。 易错　①只给字母乘方、忘了系数：不是 　②负系数漏判符号：（正），（负）；　③分数系数只算分子：　④把 当成 （乘方不是加法）。 要点　括号里的每个因式（含系数）分别乘方，再把结果相乘。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查积的乘方运算，根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可． 解：故选：A． 2． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　运用积的乘方与幂的乘方法则计算结果，选出正确选项 解： 积的乘方法则为幂的乘方法则为 ​ 3． 计算： （1）      ； （2）      ． 解：（1） （2）． 4． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　本题主要考查积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据积的乘方运算运算法则进行计算即可； （2）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解：． 　题型 3　　逆用求值：把指数拆成乘积 知识梳理 ​——见到幂的幂，就往已知上凑 求值题的两条路　一是把未知幂拆成已知幂的幂（），二是把已知幂合成未知幂（）。两条路都要会，题目给什么就往哪边走。 标准写法　已知 求 ．已知 求 所以原式 ．先把每个幂都凑到已知上，再代入相乘，别急着展开。 含参求指数　左边 比较指数得 所以 ．这类题的依据是"同底数幂相等则指数相等"，把两边都化成同底幂再逐个对位。 两个字母的关系式　若已知 则原式 ．括号外的指数必须分配到每一个因式，再各自换成已知值。 易错　① 写成 或 算成 　②已知 求 时乘错：应 不是 　③ 只给 乘方；　④比较指数时忘了两边都要化成同底。 要点　幂的幂 → 指数相乘；求值就"拆到已知、整体代入"。 1． 若则的值为  （  ） A．6 B．8 C．9 D．12 解：故选B． 2． 如果那么m，n的值等于 （  ） A．m=9，n=4 B．m=3，n=4 C．m=4，n=3 D．m=9，n=6 解：（） ​3m=9，3n=12； ​m=3，n=4.故选B． 3． 已知实数存在数量关系则      ． 　思路分析　　利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ 　题型 4　　三条法则辨析：加、乘、再乘方 知识梳理 同底相乘加指数、幂的乘方乘指数、积的乘方分家算 三条法则摆在一起　（加）；（乘）；（分）。辨析题给的四个选项，往往就是这三条各错一处，逐项对照"这是哪一条、有没有用错"即可。 最容易混的两条　 与 前者是"两个幂相乘"，指数 后者是"幂再乘方"，指数 ．看有没有括号：没有括号、中间是乘号 → 加；有括号、外面还有指数 → 乘。 正确答案常藏在"系数"里　 而 是错的；（系数相乘、指数相加）。判断时把系数与幂分开核对，两笔账都对了才算对。 "计算过程"型题　题目给出几步变形让你找错，就从第一步开始逐个等号验：错在第几步、错成什么，写清楚就给分。 易错　① 写成 　② 写成 　③ 写成 　④ 写成 （系数乘了、指数也乘了）。 要点　有括号看外面有没有指数（乘），没括号看中间是乘号（加），系数一律单独算。 1． 下列各式中计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得． 解：A、则此项错误，不符合题意； B、则此项错误，不符合题意； C、则此项错误，不符合题意； D、则此项正确，符合题意；故选：D． 2． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查整式的相关运算法则，需要根据合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则逐一判断选项的计算是否正确． 解：选项A，与不是同类项，不能合并， ​A计算错误，不符合题意； 选项B， ​B计算错误，不符合题意； 选项C， ​C计算错误，不符合题意； 选项D，计算符合运算法则， ​D计算正确． 3． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识，根据同底数幂相乘、幂的乘方等知识逐项计算进行判断即可求解﹒ 解：A. 故原选项计算错误，不合题意； B. 故原选项计算错误，不合题意； C. 故原选项计算正确，符合题意； D. 故原选项计算错误，不合题意﹒故选：C 4． 下列算式中，结果一定等于的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　由合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方进行判断，即可得到答案． 解：A、不能合并，故A不符合题意； B、故B不符合题意； C、不能合并，故C不符合题意； D、故D符合题意；故选：D． 5．  一题多写 ​（m，n都是正整数）．则可写成 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了幂的乘方的逆用， 根据提供的公式解答即可． 解：．故选：A． 6． ​      ． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行计算即可． 解：故答案为： ． 　题型 5　　化成同底：比较大小与凑指数 知识梳理 同指数凑底数、同底数凑指数，两条路都能把式子拉到一起 同指数、不同底数 → 合成一个括号　．——多出来的那一个指数单独提出来。 比较大小看"底数"或"指数"哪个能统一　指数 的最大公因数是 都化成 次方：于是 ．指数不统一就先找公因数，这是通法。 底数是幂的，先化同底　所以 ．全部化成 2 的幂再比指数，一眼就看出来。 指数方程照样靠"化同底"　左边提公因式 得 于是 ．提取公因式 → 化同底 → 比指数，三步走完。 易错　①指数不同还硬套积的乘方；　②多出的一个指数忘了单独乘（ 与 差一次）；　③比较大小只看底数不看指数， 与 大小判断反；　④化成同底时指数算错（不是 ）。 要点　底数能统一就统一底数，指数能统一就统一指数；两条路都不通时，取中间量比较。 1． 计算的结果为 （  ） A． B．1 C． D． 　思路分析　　本题考查了同底数幂乘法逆运算以及积的乘方逆运算，利用同底数幂乘法逆运算法则及积的乘方逆运算法则先对原式进行变形为计算即可． 解： ​ ​ ​ ​ ​．故选：C． 2． 计算等于 （  ） A．0 B．1 C． D． 　思路分析　　本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方运算是解题的关键．逆向运用积的乘方运算即可． 解：．故选：D． 3．  化同底比大小 已知则的大小关系是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将都转化为底数相同的幂，再通过比较指数大小判断原数的大小． 解： ​ ​即． 4． ​的计算结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解： ​ ​ ​故选：D． 5． 计算：      ． 　思路分析　　本题考查了积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则，进行计算即可求解，熟练掌握积的乘方法则，是解决问题的关键． 解：故答案为：-1 ． 6． 比较下列各题中幂的大小： （1）比较这3个数的大小关系； （2）已知比较a、b、c的大小关系． 　思路分析　　本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​ ​． 　题型 6　　新定义与阅读材料 知识梳理 读规则、照格式、逐条验——新定义题考的是翻译与表达 函数式新定义　规定 则 已知 就得 ．规则给的是"乘对应加"，把要求的数拆成两个已知数之和即可。 对数式新定义　若 记作 则 ．要证 就把三个记号都翻译回幂：设 由 得 等式成立。"翻译回幂"是这类题的唯一解法。 阅读材料要"照着做"　材料给了一个范例（如比较 与 的大小），后面的问题就用同一套流程：化同底 → 比指数 → 下结论。答题格式也要照抄，先写"因为…"，再写"所以…"，最后一句必须是结论（谁大谁小、能否整除）。 数字运算程序　输入 → 乘 → 除以 → 减 → 输出，把每一步写清楚： 时，．按箭头顺序逐步算，别跳步，也别把 当成 易错　①把自定义符号当普通运算；　②阅读题不顺材料给的流程、自己另起炉灶；　③只写结论不写理由；　④ 与 混淆（前者 后者 ）。 要点　翻译 → 照做 → 说理由；材料题的分都在"过程写没写全"上。 1．  教材例题 【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． / 解：原式 / / / ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． （1）计算： ① ② （2）如果求的值． 　思路分析　　（1）①将拆为逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． （1）解：① ② （2）解： ​ ​ ​ 解得． 2．  一数多形 若（ 且 是正整数），则一个数也可以有不同的表达形式，例如：．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果求的值； （2）如果求的值． 　思路分析　　本题考查了幂的乘方的逆用． （1）逆用幂的乘方将化为得到进而得到求解即可； （2）逆用幂的乘方将化为得到进而得到求解即可． （1）解： ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​． 3． 规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若则． （1）若 ①求的值； ②当求n的值． （2）若求的值． 　思路分析　　（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． （1）解：① ​． ② ​． （2）解：依题意，得 ​． 4．  结论应用 若（m，n都是正整数），则利用上面结论解决下面的问题： （1）如果求x的值； （2）若用含x的代数式表示y． 　思路分析　　（1）利同底数幂的乘法逆运算法则可得出答案； （2）利用幂的乘方的逆用可得结果． （1） ​ ​ ​． （2） ​ ​． 5．  劳格数 材料一：如果1那么b为n的劳格数，记为b（n），由定义可知：1与b（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：1=10，d（10）=1； 材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）（m）+d（n） （1）根据劳格数的定义，填空：d（1）= ，d（1）= ； （2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值； （3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义变形，将已知等式代入计算即可求出值； （3）已知等式利用题中新定义化简，即可得证． 解：（1）根据题意得：d（1）=2，d（1）=2； （2）d（2）=0.301， ​原式=2d（2）+4d（2）=6d（2）=1.806； （3）已知等式整理得：d（3）=2a+b， d（9）=2d（3）=4a+2b=3a+2b+c，即a d（27）（3）+d（9）=2a+b+3a+2b+c=5a+3b+c=6a+2b+c，即a 则a故答案为（1）2；2． 　题型 7　　整除、证明与综合应用 知识梳理 提公因式拆出"能整除的那个因子"，是整除题的固定套路 整除题的套路　要证 能被 整除，就把各项都化成 的幂：于是原式 能被 整除，所以整体能被 整除。"化成同底 → 提公因式 → 看括号里的数"三步。 证明题要"从条件出发"　已知 求证 把三个条件都化成 的幂：代入得 比指数即得 ．"化同底 → 代入 → 比指数"是代数证明题的主线。 用字母表示数　（1）若 则 ．指数的和拆成幂的积、指数的倍拆成幂的幂，两条逆用各管一段。 综合题的顺序　先算括号里、再乘方、最后合并同类项。例：．系数与幂分开算，最后再合并，别一边算一边合并。 易错　①整除题不提公因式，硬算到底（数字爆炸且看不出整除性）；　②证明题从结论往回凑、不写依据；　③化同底时把 写成 （应为 ）；　④合并同类项时系数算错： 要点　化同底 → 提公因式 / 代入 → 比指数或看整除；字母表示数时"和拆积、倍拆幂"。 1．  整除 设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除 （  ） A．55 B．56 C．57 D．58 　思路分析　　利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用将改写成由此即可得． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​能被57整除， ​也能被57整除， 又能被57整除， ​也能被57整除， 即能被57整除，故选：C． 2． 判断能否被9整除，并说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算和同底数幂乘法的逆运算，把先变形为进一步变形得到则可最后变形为据此可得结论． 解：能被9整除，理由如下： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​能被9整除． 3． 已知为正整数，求证：． 　思路分析　　本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用．先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理即可． 解： ​ ​ ​ ​ 即． 4． 按要求解答问题： （1）如果求的值． （2）若为正整数，且求的值． 　思路分析　　（1）根据积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则对等号左边变形，然后列出关于m、n的方程求解即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，然后逆用幂的乘方法则变形，最后将代入计算即可． （1）解： ​ ​． （2）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​． A 组　基础题 必做｜幂的乘方与积的乘方的直接计算、单项求值、程序框图，一步到底 1． 幂的运算中：运算的依据是  （  ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 　思路分析　　本题主要考查了积的乘方法则、幂的运算法则等知识点，掌握积的乘方法则是给积的每一个因式分别乘方成为解题的关键． 根据积的乘方的运算法则即可解答． 解：幂的运算中：运算的依据是积的乘方法则．故选D． 2． ​则 （  ）里可以填写的式子是 （  ） A． B． C． D． 解： ​D选项正确． 3． ​ （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查积的乘方，根据积的乘方计算法则计算即可． 解：．故选：D． 4． 下列等式错误的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　逐个用积的乘方法则算出结果，再与选项比对，找出错误的一项． 解：A．正确； B．正确； C．正确； D．错误．故选 D． 5． 计算：      ；      ；      ． 　思路分析　　本题考查了乘方运算、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方与积的乘方法则逐个计算即可得． 解： ​ ​． 故答案为：64；． 6． 若则      ． 　思路分析　　将所求代数式变形为再代入已知条件计算即可． 解： ​． 7． 计算：      ． 解：． 8． 若则      ． 　思路分析　　本题考查了幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键，根据计算即可． 解：原式． 9．  程序框图 如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为2时，输出的数值为      ． 输入输出答案 　思路分析　　把x=2代入数值运算法则计算即可求出输出结果． 解：把x=2代入得：2（-4）÷2-=-4-9=-13，故答案为：-13． 10． 计算： （1） （2）． 　思路分析　　（1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可． （1）解：． （2）解：． B 组　提升题 必做｜找错、整体代入、指数方程、分数与负数的幂、同指数合并 1．  找错第一步 计算的过程如下：①步骤①，②分别表示的运算是 （  ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 　思路分析　　根据积的乘方和同底数幂相乘的法则，分别判断两个步骤对应的运算类型即可． 解：步骤①将化简为是将积的每个因式分别乘方再相乘，符合积的乘方的运算法则， ​步骤①是积的乘方运算； ​计算时，用到底数不变，指数相加的计算规则，符合同底数幂相乘的运算法则， ​步骤②是同底数幂相乘运算． 2． 下列计算正确的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　按照同底数幂的乘法法则、合并同类项、幂的乘方、积的乘方分别进行运算，即可得到答案． 解：A．故选项错误，不符合题意； B．故选项错误，不符合题意； C．故选项错误，不符合题意； D．故选项正确，符合题意．故选：D． 3． 已知正整数满足则      ． 　思路分析　　本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 简化底数后得到 从而求解． 解： ​ 即 ​ ​ ​故答案为：． 4． 已知则x的值为      ． 　思路分析　　提取公因式 化简左边，化成同底数幂后比指数． 解：原式 ． ​解得 ．故答案为：． 5． 已知 那么的值为       　思路分析　　本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 解： ​ ​．故答案为：9． 6． 已知则的值为      ． 　思路分析　　根据非负式子和为0，它们分别等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案； 解：且 ​ 解得： ​故答案为：1； 7． 计算：      ． 　思路分析　　本题主要考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，把原式化为然后逆用积的乘方计算即可求解． 解：原式 ​ ​ ​ ​ ​．故答案为：． 8． “整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： （1）以下是小明计算的过程． 解：原式① ​．② 小明的计算过程是从第      步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． （2）若求的值． 　思路分析　　本题考查了整式的混合运算，幂的运算公式的逆用等； （1）化为同底数后进行运算，即可求解； （2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式的逆用得即可求解； 能熟练利用幂的运算公式的逆用及整体思想进行运算是解题的关键． （1）小明的计算过程是从第①步开始出现错误， 原式 ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ 解得：． 9． 计算与比较： （1）若求x的值． （2）若比较M和N的大小． 　思路分析　　（1）首先利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法得到然后比较求解即可； （2）利用作差法比较即可． （1）解： ​ ​ ​ ​ 解得 （2）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 10． 计算：． 　思路分析　　本题考查的是含乘方的有理数的混合运算、同底数幂乘法的逆运算及积的乘方的逆运算，根据运算顺序和运算法则直接计算即可． 解：原式 ​ ​ ​ ​ ​ ​． 11． 已知n为正整数，且求的值． 　思路分析　　本题考查幂的乘方的逆应用，根据直接求解即可得到答案； 解： ​ ​ ​． 12． 计算： ①5（）-13（） ②7·（-x）+5（）-（） ③【（x+y）+【（x+y） ④【（b-3a）·【（3a-b）（n为正整数） ①根据幂的乘方的运算法则计算后合并同类项即可；（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方的运算法则计算后合并同类项即可；（3）根据幂的乘方的运算法则计算后合并同类项即可；（4）根据幂的乘方的运算法则计算后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． ①原式=5 ②原式=−7 ③原式= ④原式= C 组　拓展题 选做｜阅读材料、化同底比大小、证明与整除、新定义运算、规律求和 1． 嘉琪在学习幂的乘方时，发现两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由． 　思路分析　　本题考查了幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据法则计算，再作判断． 解：不同意． 理由如下： 当时， 此时 当时， ​ ​ 即 所以不同意． 2． 某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： （1）比较和的大小； （2）已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； （3）比较大小：    （填“”或“”） 　思路分析　　本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据结合即可比较； （2）根据题意可知，结合再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得再结合即可比较； （1）解：且 ​即 （2）解： ​ ​ ​ ​ （3）解： ​ 又 ​ 即．故答案为：． 3． 若与为同类项，求代数式的值． 　思路分析　　本题主要考查了幂的运算，同类项的定义，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行幂的运算，再根据同类项的定义得出然后代入求值即可． 解：． 因为与为同类项， 所以 所以． 4． 尝试使用幂的基本性质，解决下列问题： （1）将下列习题的过程补充完整： 题目：若用含x，y的代数式表示． / 解：       / / 原式      ． （2）根据（1）的过程，已知（其中a，b都是正整数），求的值． 　思路分析　　（1）根据同底数幂乘法的逆运算得到再由可得原式 （2）把可变形为进一步可变形为再根据已知条件可得答案． （1）解： ​ ​ ​ ​ ​原式 （2）解： ​ ​ ​原式． 5． 设a是方程的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： ​ ​ ​ ​ …… （1）根据以上规律填空：      ，      ； （2）小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若则请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了整式运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据则求出即可证明结论正确． （1）解： 故答案为： （2）解：这个猜想是正确的． 理由如下：． ​ ​ ​ ​ ​这个猜想是正确的． 6． （1）若用含的代数式表示． （2）若用含的代数式表示． 　思路分析　　本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知构造即可求出结果． 解：（1） ​． （2） ​ ​ ​ ​． 7． 逆向运用幂的运算法则可以得到在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）的结果是      ； （2）若求的值； （3）比较大小：已知求的大小关系．（提示：若为正整数，则） 　思路分析　　（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． （1）解：． （2）解：且 ​ ​ ​． （3）解：且 ​ 即． 8． 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：求x的值； （2）已知：求x的值． 　思路分析　　（1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到即求解即可； （2）利用积的乘方的逆用变形及等式性质，得到则求出x的值即可． （1）解： ​即 ​ 解得： ​的值为5； （2）解： ​ ​ ​ ​ 解得 ​的值为3． 9． 小林是一位刻苦学习，勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：=1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数=1，那么方程=1可以变成故x=±i，从而x=±i是方程=1的两个解，小林还发现i具有以下性质：=1，·i=i，=(1)=1，·i=(1)=1，i=i，=1，……请你观查上述等式，根据你发现的规律计算下列各式： （1）． （2）． （3）． 　思路分析　　根据题意=1，再利用幂的乘方公式逆运算继续化简即可． 解：（1） （2） （3）． 10． 阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且 ​即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且 ​即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较的大小； （2）比较的大小； （3）已知比较的大小； （4）比较与的大小． 　思路分析　　本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． （1）解： ​ ​ 即 （2） ​ ​ 即 （3） ​ ​ ​ ​ （4） 又 ​． 11． 规定两数之间的一种运算，记作如果那么．例如：因为所以． （1）根据上述规定，填空：      ，      ，      ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：并作出了如下的证明： ​设则 ​即 ​ ​． 试参照小明的证明过程，解决下列问题： ①计算； ②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明． 　思路分析　　（1）由新定义计算得出结果即可； （2）①由推理过程可得再相减结果得0即可； ②设则从而得到 （1）解： ​ ​ ​ ​ ​ 故答案为：3；2；5； （2）① ​ ​ ​ ②． 证明：设则 所以 所以． 12．  规律求和 观察等式： ​ ​ ​ ​ 请解答下列问题： （1）      ； （2）      ； （3）…，若设用含的式子表示这组数据的和． 　思路分析　　本题考查了等式中的变化规律，观察等式中数字的变化规律是解决本题的关键； （1）根据题目中的等式找到规律，再代入即可； （2）根据（1）中的规律，找到 ​即可求解； （3）根据（1）中的规律，找到 ​再根据幂的乘方运算即可求解． （1） ​ ​ ​ ​ ​ 故答案为： （2） ​ ​ ​ 故答案为： （3） ​ ​ ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1.2  幂的乘方与积的乘方 学生版  16.1.2　幂的乘方与积的乘方 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　幂的乘方：底数不变，指数相乘 2 　　题型 2　积的乘方：每个因式分别乘方 3 　　题型 3　逆用求值：把指数拆成乘积 4 　　题型 4　三条法则辨析：加、乘、再乘方 5 　　题型 5　化成同底：比较大小与凑指数 6 　　题型 6　新定义与阅读材料 8 　　题型 7　整除、证明与综合应用 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 11 　题型 1　　幂的乘方：底数不变，指数相乘 知识梳理 ​——指数与指数相乘 法则的来历　 表示 个 相乘，每个 里有 个 一共 组、每组 个，所以共有 个 相乘：．括号里是幂、外面还是幂，指数就要乘——这是它与上一课"指数相加"的分别。 两层底数都要看清　——两个不同写法得到同一个结果，因为 ．所以 既可以写成 也可以写成 逆用时的选择就看"哪个指数与已知搭得上"（见题型 3）。 底数带负号时先定符号　而 ．括号的位置决定符号的去留：指数里的负号跟着括号走，括号外面的负号不参与乘方。 底数可以是单项式　（字母作指数时照样相乘）；．算完之后能算成具体数的就写成数，别停在幂的形式。 易错　①把指数相乘写成相加：不是 　②与同底数幂相乘混：　③漏掉括号里的负号；　④ 写成 （字母指数同样要相乘）。 要点　幂的乘方 → 指数相乘；同底数幂相乘 → 指数相加。两句话分开记，别混用。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． ​的运算结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 计算（）的结果是 （  ） A． B． C． D． 4． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　积的乘方：每个因式分别乘方 知识梳理 ​——括号里的每个因式都要乘方，系数也不例外 法则　推广到三个以上因式同样成立：．每一个因式都要乘方，漏一个就错。 系数是数字，也要乘方　．这里用了三条法则：积的乘方（分成三块）、幂的乘方（）、以及数字的乘方（）。最常见的错法是写成 ，把系数落下了。 系数为分数时同样乘方　（偶次方为正）。分数乘方时分子分母都要三次方，写成分数线更清楚。 积的乘方可以反向用　这一条在"同指数、不同底数"的题里是钥匙：．看到指数相同、底数不同，就合成一个括号（详见题型 5）。 易错　①只给字母乘方、忘了系数：不是 　②负系数漏判符号：（正），（负）；　③分数系数只算分子：　④把 当成 （乘方不是加法）。 要点　括号里的每个因式（含系数）分别乘方，再把结果相乘。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 3． 计算： （1）      ； （2）      ． 　 4． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　逆用求值：把指数拆成乘积 知识梳理 ​——见到幂的幂，就往已知上凑 求值题的两条路　一是把未知幂拆成已知幂的幂（），二是把已知幂合成未知幂（）。两条路都要会，题目给什么就往哪边走。 标准写法　已知 求 ．已知 求 所以原式 ．先把每个幂都凑到已知上，再代入相乘，别急着展开。 含参求指数　左边 比较指数得 所以 ．这类题的依据是"同底数幂相等则指数相等"，把两边都化成同底幂再逐个对位。 两个字母的关系式　若已知 则原式 ．括号外的指数必须分配到每一个因式，再各自换成已知值。 易错　① 写成 或 算成 　②已知 求 时乘错：应 不是 　③ 只给 乘方；　④比较指数时忘了两边都要化成同底。 要点　幂的幂 → 指数相乘；求值就"拆到已知、整体代入"。 1． 若则的值为  （  ） A．6 B．8 C．9 D．12 2． 如果那么m，n的值等于 （  ） A．m=9，n=4 B．m=3，n=4 C．m=4，n=3 D．m=9，n=6 3． 已知实数存在数量关系则      ． 　 　题型 4　　三条法则辨析：加、乘、再乘方 知识梳理 同底相乘加指数、幂的乘方乘指数、积的乘方分家算 三条法则摆在一起　（加）；（乘）；（分）。辨析题给的四个选项，往往就是这三条各错一处，逐项对照"这是哪一条、有没有用错"即可。 最容易混的两条　 与 前者是"两个幂相乘"，指数 后者是"幂再乘方"，指数 ．看有没有括号：没有括号、中间是乘号 → 加；有括号、外面还有指数 → 乘。 正确答案常藏在"系数"里　 而 是错的；（系数相乘、指数相加）。判断时把系数与幂分开核对，两笔账都对了才算对。 "计算过程"型题　题目给出几步变形让你找错，就从第一步开始逐个等号验：错在第几步、错成什么，写清楚就给分。 易错　① 写成 　② 写成 　③ 写成 　④ 写成 （系数乘了、指数也乘了）。 要点　有括号看外面有没有指数（乘），没括号看中间是乘号（加），系数一律单独算。 1． 下列各式中计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 3． 下列计算正确的是 （  ） A． B． C． D． 4． 下列算式中，结果一定等于的是 （  ） A． B． C． D． 5．  一题多写 ​（m，n都是正整数）．则可写成 （  ） A． B． C． D． 6． ​      ． 　 　题型 5　　化成同底：比较大小与凑指数 知识梳理 同指数凑底数、同底数凑指数，两条路都能把式子拉到一起 同指数、不同底数 → 合成一个括号　．——多出来的那一个指数单独提出来。 比较大小看"底数"或"指数"哪个能统一　指数 的最大公因数是 都化成 次方：于是 ．指数不统一就先找公因数，这是通法。 底数是幂的，先化同底　所以 ．全部化成 2 的幂再比指数，一眼就看出来。 指数方程照样靠"化同底"　左边提公因式 得 于是 ．提取公因式 → 化同底 → 比指数，三步走完。 易错　①指数不同还硬套积的乘方；　②多出的一个指数忘了单独乘（ 与 差一次）；　③比较大小只看底数不看指数， 与 大小判断反；　④化成同底时指数算错（不是 ）。 要点　底数能统一就统一底数，指数能统一就统一指数；两条路都不通时，取中间量比较。 1． 计算的结果为 （  ） A． B．1 C． D． 2． 计算等于 （  ） A．0 B．1 C． D． 3．  化同底比大小 已知则的大小关系是 （  ） A． B． C． D． 4． ​的计算结果是 （  ） A． B． C． D． 5． 计算：      ． 　 6． 比较下列各题中幂的大小： （1）比较这3个数的大小关系； （2）已知比较a、b、c的大小关系． 　 　 　 　 　 　题型 6　　新定义与阅读材料 知识梳理 读规则、照格式、逐条验——新定义题考的是翻译与表达 函数式新定义　规定 则 已知 就得 ．规则给的是"乘对应加"，把要求的数拆成两个已知数之和即可。 对数式新定义　若 记作 则 ．要证 就把三个记号都翻译回幂：设 由 得 等式成立。"翻译回幂"是这类题的唯一解法。 阅读材料要"照着做"　材料给了一个范例（如比较 与 的大小），后面的问题就用同一套流程：化同底 → 比指数 → 下结论。答题格式也要照抄，先写"因为…"，再写"所以…"，最后一句必须是结论（谁大谁小、能否整除）。 数字运算程序　输入 → 乘 → 除以 → 减 → 输出，把每一步写清楚： 时，．按箭头顺序逐步算，别跳步，也别把 当成 易错　①把自定义符号当普通运算；　②阅读题不顺材料给的流程、自己另起炉灶；　③只写结论不写理由；　④ 与 混淆（前者 后者 ）。 要点　翻译 → 照做 → 说理由；材料题的分都在"过程写没写全"上。 1．  教材例题 【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． / 解：原式 / / / ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． （1）计算： ① ② （2）如果求的值． 　 　 　 　 　 2．  一数多形 若（ 且 是正整数），则一个数也可以有不同的表达形式，例如：．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果求的值； （2）如果求的值． 　 　 　 　 　 3． 规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若则． （1）若 ①求的值； ②当求n的值． （2）若求的值． 　 　 　 　 　 4．  结论应用 若（m，n都是正整数），则利用上面结论解决下面的问题： （1）如果求x的值； （2）若用含x的代数式表示y． 　 　 　 　 　 5．  劳格数 材料一：如果1那么b为n的劳格数，记为b（n），由定义可知：1与b（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：1=10，d（10）=1； 材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）（m）+d（n） （1）根据劳格数的定义，填空：d（1）= ，d（1）= ； （2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值； （3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 7　　整除、证明与综合应用 知识梳理 提公因式拆出"能整除的那个因子"，是整除题的固定套路 整除题的套路　要证 能被 整除，就把各项都化成 的幂：于是原式 能被 整除，所以整体能被 整除。"化成同底 → 提公因式 → 看括号里的数"三步。 证明题要"从条件出发"　已知 求证 把三个条件都化成 的幂：代入得 比指数即得 ．"化同底 → 代入 → 比指数"是代数证明题的主线。 用字母表示数　（1）若 则 ．指数的和拆成幂的积、指数的倍拆成幂的幂，两条逆用各管一段。 综合题的顺序　先算括号里、再乘方、最后合并同类项。例：．系数与幂分开算，最后再合并，别一边算一边合并。 易错　①整除题不提公因式，硬算到底（数字爆炸且看不出整除性）；　②证明题从结论往回凑、不写依据；　③化同底时把 写成 （应为 ）；　④合并同类项时系数算错： 要点　化同底 → 提公因式 / 代入 → 比指数或看整除；字母表示数时"和拆积、倍拆幂"。 1．  整除 设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除 （  ） A．55 B．56 C．57 D．58 2． 判断能否被9整除，并说明理由． 　 　 　 3． 已知为正整数，求证：． 　 　 　 4． 按要求解答问题： （1）如果求的值． （2）若为正整数，且求的值． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜幂的乘方与积的乘方的直接计算、单项求值、程序框图，一步到底 1． 幂的运算中：运算的依据是  （  ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 2． ​则 （  ）里可以填写的式子是 （  ） A． B． C． D． 3． ​ （  ） A． B． C． D． 4． 下列等式错误的是 （  ） A． B． C． D． 5． 计算：      ；      ；      ． 　 6． 若则      ． 　 7． 计算：      ． 　 8． 若则      ． 　 9．  程序框图 如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为2时，输出的数值为      ． 输入输出答案 　 10． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜找错、整体代入、指数方程、分数与负数的幂、同指数合并 1．  找错第一步 计算的过程如下：①步骤①，②分别表示的运算是 （  ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 2． 下列计算正确的是  （  ） A． B． C． D． 3． 已知正整数满足则      ． 　 4． 已知则x的值为      ． 　 5． 已知 那么的值为       　 6． 已知则的值为      ． 　 7． 计算：      ． 　 8． “整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： （1）以下是小明计算的过程． 解：原式① ​．② 小明的计算过程是从第      步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． （2）若求的值． 　 　 　 　 　 9． 计算与比较： （1）若求x的值． （2）若比较M和N的大小． 　 　 　 　 　 10． 计算：． 　 　 　 11． 已知n为正整数，且求的值． 　 　 　 12． 计算： ①5（）-13（） ②7·（-x）+5（）-（） ③【（x+y）+【（x+y） ④【（b-3a）·【（3a-b）（n为正整数） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜阅读材料、化同底比大小、证明与整除、新定义运算、规律求和 1． 嘉琪在学习幂的乘方时，发现两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由． 　 　 　 2． 某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： （1）比较和的大小； （2）已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； （3）比较大小：    （填“”或“”） 　 　 　 　 　 　 　 3． 若与为同类项，求代数式的值． 　 　 　 4． 尝试使用幂的基本性质，解决下列问题： （1）将下列习题的过程补充完整： 题目：若用含x，y的代数式表示． / 解：       / / 原式      ． （2）根据（1）的过程，已知（其中a，b都是正整数），求的值． 　 　 　 　 　 　 　 5． 设a是方程的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： ​ ​ ​ ​ …… （1）根据以上规律填空：      ，      ； （2）小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若则请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 　 　 　 　 　 6． （1）若用含的代数式表示． （2）若用含的代数式表示． 　 　 　 　 　 7． 逆向运用幂的运算法则可以得到在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）的结果是      ； （2）若求的值； （3）比较大小：已知求的大小关系．（提示：若为正整数，则） 　 　 　 　 　 　 　 8． 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：求x的值； （2）已知：求x的值． 　 　 　 　 　 9． 小林是一位刻苦学习，勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：=1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数=1，那么方程=1可以变成故x=±i，从而x=±i是方程=1的两个解，小林还发现i具有以下性质：=1，·i=i，=(1)=1，·i=(1)=1，i=i，=1，……请你观查上述等式，根据你发现的规律计算下列各式： （1）． （2）． （3）． 　 　 　 　 　 　 　 10． 阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且 ​即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且 ​即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较的大小； （2）比较的大小； （3）已知比较的大小； （4）比较与的大小． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 11． 规定两数之间的一种运算，记作如果那么．例如：因为所以． （1）根据上述规定，填空：      ，      ，      ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：并作出了如下的证明： ​设则 ​即 ​ ​． 试参照小明的证明过程，解决下列问题： ①计算； ②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明． 　 　 　 　 　 12．  规律求和 观察等式： ​ ​ ​ ​ 请解答下列问题： （1）      ； （2）      ； （3）…，若设用含的式子表示这组数据的和． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $