16.1.2 幂的乘方与积的乘方（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

16.1.2 幂的乘方与积的乘方 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 幂的乘方运算 题型02 幂的乘方逆用 题型03 利用幂的乘方求参数的值 题型04 利用幂的乘方判断字母之间的关系 题型05 幂的乘方新定义问题 题型06 积的乘方运算 题型07 积的乘方的逆用 题型08 幂的混合运算 题型09 简便运算 题型10 比较大小 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 幂的乘方运算 1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算的结果是（     ） A．； B．； C．； D．． 2．（26-27八年级上·全国·单元复习）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·上海·期中）计算：______． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，则________ 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 幂的乘方逆用 6．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若，则__________． 8．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）已知，，则的值是___________． 9．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知 ，． 求： (1) 的值； (2) 的值． 10．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 题型03 利用幂的乘方求参数的值 11．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 12．（2026·河南平顶山·三模）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 13．（26-27八年级上·北京·开学考试）若，则______，______． 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为_________． 15．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知当（且，m，n是正有理数）时，则有． (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 题型04 利用幂的乘方判断字母之间的关系 16．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 19．（26-27七年级上·上海·阶段检测）如果，，那么______． 20．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，． (1)用含的代数式表示； (2)如果，求的值． 题型05 幂的乘方新定义问题 21．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）阅读下面材料，完成问题： 规定：如果 且，那么我们把m叫做以a为底b的指数． 例如：因为，所以以2为底8的指数为3． (1)填空：若，则    ；若 ，则 ． (2)已知， 求 的值． (3)若，求x的值． 22．（25-26七年级下·河北承德·期末）规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 23．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 题型06 积的乘方运算 24．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 25．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算：___________ 26．（26-27八年级上·香洲区期末）已知an＝3，bn＝5，则（ab）n＝　　 ． 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 28．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2) (3) 题型07 积的乘方的逆用 29．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的值为（     ） A． B． C．5 D． 30．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 31．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 33．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 题型08 幂的混和运算 34．（26-27七年级上·全国·期中）计算：． 35．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： (1)； (2)． 题型09 简便运算 38．（25-26七年级上·上海·阶段检测）用简便方法进行计算： 39．（25-26七年级上·江苏·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 40．（2026七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算：（结果用科学记数法表示） 41．简便运算： (1)； (2)． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）简便计算： (1) (2) 题型10 比较大小 43．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 44．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 45．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）若，，则，的大小关系是______________． 46．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． B组 能力进阶 1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，则_____________． 4．若，，则______． 5．（2026七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 6．（2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 8．（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 9．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． C组 思维拔高 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则下列表示正确的为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 4．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）若正整数，满足，则的值为________． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定对于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)若，则： ①计算； ②当，求的值； (2)若为正整数，，化简：． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 拓展 链接中考 1．（2026·江苏常州·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·中考真题）已知，，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·上海·中考真题）计算的结果为________． 8．（2026·山东青岛·中考真题）计算：＝________． 9．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则，_______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.1.2幂的乘方与积的乘方 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01幂的乘方运算 题型02幂的乘方逆用 题型03利用幂的乘方求参数的值 题型04利用幂的乘方判断字母之间的关系 题型05幂的乘方新定义问题 题型06积的乘方运算 题型07积的乘方的逆用 题型08幂的混合运算 题型09简便运算 题型10比较大小 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01幂的乘方运算 1.B 2.D 3.-x6 4.16 5.【详解】(1)解：222=22*2=24=16； (2)解：y2=y25=y, (3)解：x=x43=x2 (4)解：y2·y2=y2×2.y23=yy=y*6=y2 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02幂的乘方逆用 6.C 7.49 8.96 9.【详解】(1)解：102m=10m=2=4 (2)103m+2n=103m×102n=10m3×107=23×32=8×9=72 10.【详解】(1)解：，2x+3y-3=0, .2x+3y=3, 9*.27'=3233=32x33y=32+3y=33=27: (2)解：x2n=4, x-2xon =x2n-2x2n3 =42-2×43 =16-128 =-112. 题型03利用幂的乘方求参数的值 11.D 12.C 13.2 12 14.4 15.【详解】(1)解：22=25， .2-1=2, ∴.x-1=6, .x=7: (2)解：3*+1+3=3×3*+3=36， ∴.3×3+1=36，即3×4=36 ∴.3*=9 .3=32, ∴.X=2 题型04利用幂的乘方判断字母之间的关系 16.A 17.D 18.C 19.mn/nm 2/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.【详解】(1)解：，X=2m+2, .2"=X-2, ∴y=3+4=3+2m=3+x-22=x2-4x+7,即y=x2-4x+7. (2)解：当x=6时，y=62-4×6+7=19. 题型05幂的乘方新定义问题 21.【详解】（1)解：，3*=81=34,5y=25=52, ∴.x=4,y=2: (2)解：：2=3,2=5， 230=2=33=27,22b=2=52=25, .23a+2b=230.22b=27×25=675; (3)解：4+1.8*=221， 22+1.2=221, 22x+2.23x=221, 2x*2*3x=21, .2x+2+3x=21, 9 22.【详解】（1)解：3=9，.3,9=2. -23=-8,-2,-8=3. 2解：x宏-2 解得×言或x=吉 (3)解：.a,3=m,a,k=n ∴.am=3,a”=k, .am=a2m=32=9, .a2m+n=a2ma=9k=18, ∴.k=2 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.【详解】(1)解：①.52=25，∴.f5,25=2. ②34=81，∴.f3,81=4 (2)猜想：fa,m+fa,n=fa,mn. 理由：设fa,m=p,fa,n=q. .'ap=m,ag=n. ∴.aP·a9=mn .'.ap*4=mn. ∴.fa,mn=p+q. .fla,m+fla,nj=fla,mn). (3)解：.f9,y=3, ∴.y=93=3, ∴.f3,y=6 又f3,x=2, 由(2)可知f3,xy=f3,x+f3,y=2+6=8. 题型06积的乘方运算 24.C 25.16a2b 26.15. 27.【详解】(1)解：-5ab3=-53·a3.b3=-125a3b3. (2)解：-2abc24=(-24.a4.b4.c24=16ab2c8. 28.【详解】(1)解：x3x+xx =x8+x8 =2x8 (2)解：-2xy2+-3x2y月 =-2xy2+-33x2y4 =64xy2+-27)xy2 =37xy2 2 2025 (3)解： ×-0.52025×-32024 2025 ×-3224 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ×-32024 - 2024 1司 题型07积的乘方的逆用 29.D 30.C 31.A 32.-81 33.【详解】(1)解： =110=1 2m×=2× 100 20-1: (2)解：ab=a”b”;a·b·c”=abc”; (3)解：（-0.125)}2027×22026×42025 2025 ×2×22025×42025 025 言×2×4 =1×-12 32 =×-1 32 1 321 题型08幂的混和运算 34.0 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.【详解】(1)解： =1÷-8×-2-2 Γ4 =a-2-2 =1-2 16 ÷-31 16 (2)解：a2a4+-a23-2-a32 =a5-a5-2a6 =-2a6. 36.【详解】(1)解：原式=-x2-xx4=x: (2)解：原式=a5+-8a=a-8a=-7a; (3)解：原式=x5+x5-4x=-2x: (4)解：原式=64xy2-27xy2=37xy2 37.【详解】(1)解：-2a5--3a2+-2a2 =-25·a--27a1+-4a23 =64a5+27a5+-64a =64a5+27a5-64a5 =27a; a)解：-012z5"×-号×-8"×- -o12-a1-8✉ --0251-1- -o21a副8号 =12×17×24 -1×1×24 5 614 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =24 题型09简便运算 38.【详解】解：原式2×40× .1 1010 =2×4 1010 =2×-11010 =2 39.【详解11)解：3“×-号 =3 9✉日 b =-17 =-1. (2)解：0.1255×28 =0.1255×85×8 =0.125×85×8 =15×8 =8, 40.。【详解】解：35×- 15 ×55×5 =5×(-10)5 =-5×103. 41.【详解】(1)解：1232-122×124 =1232-123-1川123+1 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1232-1232-1 =1232-1232+1 =1: (2)解：0.252020×-42021 =0.252020×-42020×-4 =|0.25×-41220×-4 =-12020×-4 =-4. 2【详1a解：9×-引份 13 9 21 =23 =8: (2)0.259×220×259×643 ×220×518×49 -日x4小×2×5"2 /9 =19×1018×22 =1×1018×4 =4×108. 题型10比较大小 43.C 44.A 45.m<n/n>m 22 (2)解：3m×9m×27m=3m×32"×33=3m×32m×33m=36m 3m×9m×27m=32, 36m=32, ∴.6m=12 得m=2 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：a=25=25=321,b=34=34=81,c=533=53Ψ=1251 .32<81<125 ∴32<81<1251 ∴.a<b<c. B组 能力进阶 1.B 2.C 3.81 4.288 14005 5.【详解】(1)解： 4 ×162003 \4005 422003 ×44006 ×44005×4 4005 ×4 =-140o5×4 =-1×4 =-4: 2张3*引 町 份 3 =116×32 =9； 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解： 0.5×32×-2+3200 11 旧号2×品 6 1 (4)解：0.259×220×259×643 =0.259×643×220×259 =0.259×43×40×259 =0.259×49×49×4×259 =0.25×49×4×259×4 =19×1009×4 =1×1029×4 =4×1018. 12027 6.【详解】解：-0.42026× /+3 引引*号 2 7.【详解】(1)解：，α=3，b”=5, .a3m.b=a.b” =33×5 =135. (2)解：，4x+3y=5, ∴.81*×27y 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =34×33 =34x×33y =34x+3y =35 =243. 8.【详解】(1)解：3m=27=33,即m=3: (2)8×2=2P×2=23n×2=23n+9, 43m=22"=23n*2=25n, 8×29=43n, 23n+9=26m, .3n+9=6n, 解得：n=3; (3)32×52x=3×52=152x 32x×52=15*3, 152=15x*3, .2X=X+3, 解得：x=3 9.【详解】(1)解：.43=4×4×4=64,2026=1， .4,64=3,2026,1=0: (2)解：根据题意设：2026,7=x,2026,8=y, 则2026*=7,2026'=8， .2026*.2026y=7×8=56, 即2026x+y=56, .2026,56=x+y .2026,7+2026,8=2026,56: (3)解：4,25=a,2,3=b,4,225=c, ∴.4°=25,2=3,4=225， 即220=25,2°=3,220=225， .25×3×3=225, 22a.22=22, .2a+2b=2c, 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即a+b=C; (4)解：3,9=2，设3,15=m,3,25=n, 则3m=15,3”=25, ∴.3m=3×5, 3m-1=5, .3”=52 3m-12=3” 即n=2m-2 ∴3,9×3,15-3,25 =2m-n =2m-2m-2 =2 C组 思维拔高 1.A 2.B 3.②④ 4.3 5.【详解】(1)解：0.12530×-830 =0.12530×830 =0.125×8130 -130 =1: /10 Lx1x1xx2x1x10×9×8×…x3x2×1 (2)解：1098 [1x1x1x…xx1×10x9×8×…x3×2×1 1098 2 10 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1. 6.【详解】(1)解：①.f2=5, ∴.f6=f2+2+2 =f2·f2·f2 =5×5×5 =125: ②.25=5×5=f2f2=f2+2, 又.f2k=25, ∴.f2k=f2+2. .2k=4」 k=2 (2)解：，f2a=fa+a=fafa=3×3=32, f3a=fa+a+a=fafa小：fa=3×3×3=33, f10a=30, ∴fafl2afl3a…fl10a =3×32×33×…×310 =31+2+3++10 =35. 512021 12 12022 7.【详解】(1)解：《 5 512021/ 12 202112 2* 202112 + 5 =-121×12 -1号 ②28=20， 22=210, 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 223=210, 21+3x=210, .1+3x=10. ∴X=3 (2)解：①20=2”=810,320=32=910， 8<9, 80<910, 20<320: ②.80<81,244>243 .8016<8116,24413>24313, ∴.8016<346=364,24413>24313=353=365， 364<365, :.8016<364<365<24413 拓展 链接中考 1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.m8 8.4a6b2 9.12 14/14 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 幂的乘方运算 题型02 幂的乘方逆用 题型03 利用幂的乘方求参数的值 题型04 利用幂的乘方判断字母之间的关系 题型05 幂的乘方新定义问题 题型06 积的乘方运算 题型07 积的乘方的逆用 题型08 幂的混合运算 题型09 简便运算 题型10 比较大小 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 幂的乘方运算 1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算的结果是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】先用积的乘方运算规则拆分算式，然后计算常数项的乘方，并用幂的乘方运算规则计算含字母的项，最后合并结果． 【详解】解：． 2．（26-27八年级上·全国·单元复习）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用同底数幂的乘法法则，再利用幂的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：． 3．（26-27七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【分析】先计算括号内的乘方，再计算积的乘方和幂的乘方，即可得到答案． 【详解】解： ． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，则________ 【答案】16 【分析】幂的乘方的运算性质为：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为（m、n均为正整数），该公式可逆向使用，即． 【详解】解：所求式子的指数为，符合幂的乘方逆用的形式，因此可变形为： 已知，将其代入变形后的式子计算：． 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，利用幂的乘方法则计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 题型02 幂的乘方逆用 6．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件即可求解． 【详解】解： ，， ． 7．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若，则__________． 【答案】 【分析】根据积的乘方将所求式子变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． 8．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）已知，，则的值是___________． 【答案】96 【分析】将所求式子根据幂的运算法则变形，把已知条件代入计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得， ∵，且， ∴， 将，代入得． 9．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知 ，． 求： (1) 的值； (2) 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】（1）解： （2） 10．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ． 题型03 利用幂的乘方求参数的值 11．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】将等式两边化为底数为的幂，根据指数相等求解． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 12．（2026·河南平顶山·三模）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 13．（26-27八年级上·北京·开学考试）若，则______，______． 【答案】 2 12 【详解】解：， ，． 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数幂，利用底数相同的相等幂的指数相等求解． 【详解】解：， ， 由幂的乘方法则，得， 底数相同的两个幂相等，则指数相等， ， 移项得． 15．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知当（且，m，n是正有理数）时，则有． (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据幂的乘方运算法则得到，再根据已知条件得到，然后解方程即可； （2）先逆用同底数幂的乘法法则，结合乘法分配律得到，进而利用已知条件即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ，即 ， ， ． 题型04 利用幂的乘方判断字母之间的关系 16．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴代入得． 17．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据，结合同底数幂乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，通过计算幂值，根据同底数幂值相等则指数相等，推导的关系式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（26-27七年级上·上海·阶段检测）如果，，那么______． 【答案】/ 【详解】解：， ， ，， ． 20．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，． (1)用含的代数式表示； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再逆用幂的乘方可得，然后将代入化简即可； （2）将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即． （2）解：当时，． 题型05 幂的乘方新定义问题 21．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）阅读下面材料，完成问题： 规定：如果 且，那么我们把m叫做以a为底b的指数． 例如：因为，所以以2为底8的指数为3． (1)填空：若，则    ；若 ，则 ． (2)已知， 求 的值． (3)若，求x的值． 【答案】(1)4；2 (2)675 (3) 【分析】（1）根据即可得到答案； （2）根据题意求出的值，再根据可得答案； （3）根据可推出，进而得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26七年级下·河北承德·期末）规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算求解即可； （2）根据题意，得，求平方根解答即可； （3）根据题意，得，，利用逆用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵， ∴， 解得或； （3）解：， ，， ， ， 23．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2)猜想：． 理由：设． ． ． ． ． ． (3)8 【详解】（1）解：，． ，． （2）略． （3）解：， ， ． 又， 由（2）可知． 题型06 积的乘方运算 24．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 25．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算：___________ 【答案】 【详解】解：． 26．（26-27八年级上·香洲区期末）已知an＝3，bn＝5，则（ab）n＝　　 ． 【分析】先根据积的乘方法则计算，然后代入求值即可． 【解答】解：∵an＝3，bn＝5，则（ab）n＝anbn＝3×5＝15， 故答案为：15． 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 28．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算的，再合并同类项即可得答案. （2）先根据积的乘方法则、幂的乘方法则计算的 ，最后再合并同类项即可得答案. （3）先根据积的乘方法则的逆运算计算的得，再根据同底数幂的乘法逆运算计算，进一步计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． 题型07 积的乘方的逆用 29．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的值为（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解： ． 30．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由非负数和为0的性质求出的值，再逆用积的乘方运算简化待求式. 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，. ∴ . 31．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 32．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】将原式变形为同底数幂的形式，利用幂的乘方、同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算计算． 【详解】解： ． 33．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)； (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． （2）通过猜想归纳解决此题． （3）根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． 【详解】（1）解：； ； （2）解：；； （3）解： ． 题型08 幂的混和运算 34．（26-27七年级上·全国·期中）计算：． 【答案】0 【分析】根据幂的乘方的运算法则：，同底数幂相乘的运算法则：，积的乘方的运算法则：，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 35．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 37．（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查积的乘方、幂的乘方运算，根据幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，利用负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算后合并同类项即可． （2）本题考查幂运算的简便运算（逆用积的乘方公式），利用互为倒数的两个数乘积为，的任意整数次幂都等于，简化计算从而得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 简便运算 38．（25-26七年级上·上海·阶段检测）用简便方法进行计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 39．（25-26七年级上·江苏·寒假作业）（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，再逆用积的乘方运算法则进行计算； （2）先将变形，再综合运用幂的乘方与积的乘方运算法则的逆用进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 40．（2026七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算：（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意先将原式化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解． 【详解】解： ． 41．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行简便计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算和平方差公式，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和平方差公式，准确计算． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）根据积的乘方的逆运算及有理数的乘方运算法则计算即可； （2）将原式转化为，再利用有理数的乘方运算法则计算即可； 掌握相应的运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型10 比较大小 43．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先计算各数的最高次指数，化简各数后，利用幂的性质比较大小：同底数且底数大于1时，指数越大幂越大；同正指数时，底数越大幂越大． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 44．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察三个数的指数，、、均为111的倍数，可利用幂的乘方运算法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：； ； ． 又， ， 即． 45．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）若，，则，的大小关系是______________． 【答案】/ 【分析】将两个幂变形为指数相同的形式，再根据指数相同，正整数指数幂中底数越大，幂越大即可得． 【详解】解： ，， ∵， ∴． 46．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． B组 能力进阶 1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方运算化简等式左侧，对比相同正底数的指数求解n． 【详解】解：∵，又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，则_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 4．若，，则______． 【答案】 【分析】运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将所求式子变形为已知条件的形式，再代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 把，，代入得 原式． 5．（2026七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由于，再逆用同底数幂、积的乘方的运算性质，并且结合乘法的交换律、结合律简便计算； （2）由于，再逆用同底数幂、积的乘方的运算性质，并且结合乘法的交换律、结合律简便计算； （3）先逆用同底数幂的运算性质，将改写成，再逆用积的乘方的运算性质求解； （4）由于，，再逆用同底数幂、积的乘方的运算性质，并且结合乘法的交换律、结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】解：， ， ， ， ． 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂的逆运算，掌握计算公式和运算法则是解题的关键． 【详解】略 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 8．（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 9．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． (4)． 【分析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴，； （2）解：根据题意设：，， 则，， ， 即， ∴ ∴； （3）解：∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即； （4）解∶，设，， 则， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ ． C组 思维拔高 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则下列表示正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方运算法则，将和都化为关于的表达式，再代入消去，即可用含的代数式表示． 【详解】解： 又 将代入得：． 2．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】先将等式右边统一化为底数为3的幂，根据左边是正整数的平方，得到右边指数的奇偶性，再结合奇偶性的运算性质逐一判断说法 【详解】解：∵， ∴ ∵是正整数，是平方数， ∴指数必为偶数，故④正确； ∵一定是偶数， ∴ 是偶数， 又， 是偶数， ∴必为偶数，故②正确； 对于①，取，，满足是偶数，但都是奇数，故①错误； 对于③，若是奇数，是偶数，则 是奇数，故③错误； 因此正确的是②④ 4．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）若正整数，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先将等式中各项化为以为底的幂的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，得到，结合为正整数的条件，求出的值，即可计算得到的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴，， ∴． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定对于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)若，则： ①计算； ②当，求的值； (2)若为正整数，，化简：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据新定义运算，把拆成，转化为后代入求值． ②先把写成，逆用新定义得到，对应括号内的数相等，列等式求出． （2）利用新定义，依次化简，得到对应的3的幂次，再根据同底数幂乘法，指数相加进行计算． 【详解】（1）解：① ； ②， 又， ． ． ． （2）解：， ， …… ， ． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 拓展 链接中考 1．（2026·江苏常州·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．（2026·湖南·中考真题）已知，，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值． 【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得， 又∵，且，， ∴，对应指数相等，可得． 3．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项法则，幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算错误，故本选项不符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，运算正确，故本选项符合题意， 故选：D． 5．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 6．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 7．（2026·上海·中考真题）计算的结果为________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 8．（2026·山东青岛·中考真题）计算：＝________． 【答案】 【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可． 【详解】=， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 9．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则，_______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $