第16章整式的乘法 章末培优复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.4  章末培优复习 学生版  16.4　章末培优复习 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　幂的四条运算法则：加减乘除各管一段 2 　　题型 2　整式的乘法与"不含某一项" 3 　　题型 3　乘法公式：平方差与完全平方 4 　　题型 4　整式的除法与竖式 5 　　题型 5　公式变形与整体代入求值 7 　　题型 6　化简求值与过程纠错 9 　　题型 7　新定义、规律探究与阅读材料 10 　　题型 8　图形、面积与实际应用 11 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 13 　题型 1　　幂的四条运算法则：加减乘除各管一段 知识梳理 同底相乘加、同底相除减、幂的乘方乘、积的乘方分配；零指数 （） 四条法则一次列清　．只有乘除才动指数加减，乘方一律相乘。如 逆用与凑底　 时 ．把底数凑成互为倒数或同底，是指数运算题的第一反应。 比大小先化同底或同指数　 三个数，指数有公约数 所以最大的是 ．指数能提公因数就先提，底数一比就出来了。 指数方程与整体代换　左边 于是 得 ．又如 则 ．先把两边化成同底，再对指数列方程。 易错　①把 写成 　② 与 混；　③ 算成 （故结果为 ）；　④积的乘方只乘了第一个因式；　⑤比大小时底数不同硬比指数。 要点　乘加除减、乘方相乘、积的乘方逐项乘；不同底先化同底或提公因数。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 若单项式和的积为则的值为 （  ） A．2 B．30 C． D．15 3． 已知则等于 （  ） A．8 B．9 C．10 D．11 4． 已知则的值为 （  ） A．9 B． C．12 D． 5． 计算：      ． 　 　题型 2　　整式的乘法与"不含某一项" 知识梳理 单项式乘单项式：系数相乘、同底相加；多项式相乘不能漏项；"不含某项"就是该项系数为 三类乘法的分工　单 单：系数相乘、同底数幂相加；单 多：逐项乘、项数不变；多 多：前一个括号的每一项都要乘后一个括号的每一项， 项乘 项得 项（合并前）。如 "不含某一项"的处理　展开后把该项的系数写成 ，解出参数．如积中不含 项，就令 的系数 含两个条件（不含 项与不含 项）就列两个方程，这是本章最标准的参数题。 合并与化简　．乘完先合并同类项，再决定要不要继续除。 纠错与批改　给别人批改作业时，四类错误按顺序查：系数算错、指数算错、漏乘一项、符号错．如 而不是 而不是 ． 易错　①多项式相乘漏乘（ 项写成 项）；　②合并同类项时指数也相加；　③"不含某项"忘了把系数设为 　④添括号时符号没全变；　⑤除法与乘法混着做，顺序乱。 要点　逐项乘、项数对、合并后再除；"不含某项"即该项系数为零。 1．  批改作业 甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是 （  ） ​√ / ② / ③√ / ④√ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 2． 下列运算正确的是 （  ） A． B． C． D． 3．  笔记本上的方框 小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：那么■中的一项是 （  ） A． B． C． D． 4． 若的结果中不含项，则的值为      ． 　 5． 若的积中不含和项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 　 　 　 　 　 　题型 3　　乘法公式：平方差与完全平方 知识梳理 两项看"相同与相反"用平方差，二项式自乘用完全平方；和差两式加减可互换 与 两个公式的判别　 要求"一项相同、一项相反"； 是一个二项式自乘． 这类要先添括号分组，凑成 再用平方差。 和差两式的四则　．所以给 立刻得 两式相减得 即 ．两式相加得平方和、相减得积的四倍。 多个公式连用　这是"缺一项就补一项"的推广； 是立方和差，结构一致：一正一反一平方，结果就是立方。 比较大小　作差得 故 ．多项式比大小一律作差，差的正负一眼可判。 易错　①不能用的式子硬套平方差；　② 中间项符号错；　③ 的中间项只写 　④推导规律题不先算前几个；　⑤比大小直接代特殊值（对任意 不成立时结论会错）。 要点　相同与相反 平方差，二项自乘 完全平方；和差两式加减即得平方和与积。 1． 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是  （  ） A． B． C． D． 2． 如果那么代数式的值为 （  ） A． B． C．6 D．13 3． 已知则      ． 　 4． 观察下列各式： ​ ​ ​ 根据这一规律完成下面各题： （1）      ； ​      ； ​      ； （2）计算：． 　 　 　 　 　 　题型 4　　整式的除法与竖式 知识梳理 被除式 除式 商 余式；多项式除多项式用竖式，余式次数低于除式即停 两档除法　多项式除以单项式：逐项除，．多项式除以多项式：降幂排列、缺项补零、竖式相除，如 每一步"商一项、乘回去、减下来"。 残缺题目求被除式　给" 除式 商"，被除式就是商乘除式；给"被除式 商"，除式就是被除式除以商．被撕掉一角、墨迹污损的题，都是靠这条互逆关系补回去。 同类项与指数对齐　两个单项式是同类项，就要求相同字母的指数分别相等： 与 得 解出 后再相乘．先列指数方程，再谈运算。 法则的分段　同底数幂相除按 分三种情形，前两种给正整数指数与 第三种给 ．用分段法则解方程时，先判断指数的大小关系属于哪一段，再在该段内求解，最后把解代回去检验是否满足该段的前提。 易错　①逐项除时漏项；　②竖式没降幂、没补零；　③余式次数还高于除式就停；　④同类项的指数方程列错（把相加写成相等）；　⑤分段法则解出的根不检验前提。 要点　逐项除 / 竖式除；被除式 除式 商 余；分段法则要验根。 1． ​的结果为 （  ） A． B． C． D． 2．  作业本撕掉一角 小明的作业本被撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示．请你帮他推测出被除式应等于 （  ） A． B． C． D． 3． 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算可用竖式除法，如图． ​除以商式为余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）的商式是      ，余式是      ． （2）能被整除，求a，b的值． 　 　 　 　 　 　题型 5　　公式变形与整体代入求值 知识梳理 把某个式子记作一个字母（换元），再用完全平方或平方差把条件与目标连起来 换元的标准动作　若 求 设 则 目标 ．换元之后只剩"和"与"积"两条信息，题就变成上一节的"三兄弟"。 整体代入　已知 求 先展开成 再把每项凑成 代入得 ．展开后一定要往回凑成已知式的幂，这是"整体思想"的全部技术。 非负数之和为零　只能各自为零，得 再代入所求式子．先定字母、再算代数式，两步分开写。 跨章节综合　不等式的最小整数解、方程的解，都可以当作"求字母的值"的第一步：先解不等式得 取最小整数，再代回方程求 最后算 ．这类题的关键是分清哪一步求谁，中间结果别代错位置。 易错　①换元后忘了"和"与"积"要一起用；　②展开后没凑成已知式的幂；　③非负数之和为零不写依据；　④不等式取整数解时把端点取进来；　⑤最后一步指数或符号算错。 要点　换元 找和与积 用公式；展开后往回凑已知式，是整体代入的固定手法。 1．  新运算 * 对于任意的有理数定义关于“\*”的一种运算，规定：若则的值为      ． 　 2． 【阅读理解】若x满足求的值． 解：设则． 我们把这种方法叫作换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足则      ． （2）若x满足求的值， （3）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，且分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为求图中阴影部分的面积和． 　 　 　 　 　 　 　 3． （1）已知试求的值． （2）已知试求的平方根． 　 　 　 　 　 　题型 6　　化简求值与过程纠错 知识梳理 乘方 乘除 合并 代值；纠错题要指出"第几步、错在哪、怎么改" 化简的四步　先算乘方（含积的乘方），再做乘除，然后合并同类项，最后代值．如 代入 得 ．"能约掉的先约掉"永远是化简题的第一目标。 看错符号、看错运算　把 看成 把 里的 看成 这类题的解法是先把看错后的式子列出来，由它求出被看错的字母，再回到正确式子重算．列两个方程、各管一件事，不要混在一起算。 纠错题的答题格式　①指出第几步出错；②说明错因（去括号没变号、漏乘、公式用错）；③写出完整正确过程．三样齐全才给满分，只写正确答案通常只得一半分。 新运算要先算再判　 这类定义，先算出 与 都是 再判断 是否恒成立；要验证分配律，就把左右两边分别展开再比，结论只能来自展开后的比较，不能靠举例。 易错　①乘方与乘法顺序颠倒；　②看错类题目只改结果不改过程；　③纠错题不指出错因；　④新运算只验证一组数就下"恒成立"的结论；　⑤代值时符号错（ 代成 ）。 要点　乘方 乘除 合并 代值；纠错三件套：第几步、错因、正确过程。 1．  新运算 @ 规定一种新运算：对于任意有理数定义． （1）计算： ， ； 判断：（填“”或“”）； （2）对于任意有理数成立吗？请说明理由． 　 　 　 　 　 2． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 3． 已知B是多项式．王虎同学在计算时，误把看成了结果得． （1）求多项式B． （2）求． 　 　 　 　 　 　题型 7　　新定义、规律探究与阅读材料 知识梳理 新定义照定义算，规律题先算前三个找"型"，阅读材料照结构仿写 规律题的通用三步　①按题目给的式子多算几个；②把结果与序号对照，写出含 的猜想；③回到原式验证一次．如 已知一次项系数为 常数项为 就是找两数"和为 积为 "，即 与 杨辉三角　 的展开式系数就是第 行，偶数位取负；求系数和就令 新定义运算　" 表示 "这几类，解法完全一样：先按定义把式子翻译成普通的乘除或乘方，再化简．如 表示 那么 这一类就化成 "同底数幂相乘、指数相加"，把左边的两个幂相乘，再写成" 那个积"的形式读出 ． 连续整数乘积与平方差　其中 用了平方差；三个连续整数中最大与最小的平方差一定是 的倍数，这就是"能被 整除"的证明。 易错　①规律题只算一个就猜；　②杨辉三角行号与次数错位；　③新定义把符号当成普通运算；　④证明"能被整除"只举例不化式；　⑤阅读材料不按它的格式仿写。 要点　多算几个找型 写含 的通式 回代验证；新定义先翻译成普通运算。 1． 定义一种新运算若则例．已知则的值为      ． 　 2． 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（其中为正整数）的展开式（按的降幂排列）的系数规律．例如：三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应着展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数，等等．根据上面的规律，的展开式是      （请按的降幂排列）． 　 3． 小贤同学发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差能被4整除． （1）求的值； （2）设三个连续的整数中间的数为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它能被4整除； （3）在任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差能被8整除，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 8　　图形、面积与实际应用 知识梳理 面积用两种方法算 得恒等式；拼图题数清每类卡片的张数 拼图数卡片　要拼长 宽 的长方形，先展开 的系数是 正方形卡片的张数、 的系数是 长方形卡片的张数、 的系数是 正方形卡片的张数——具体哪一类标作 要看题给的那张图，不要按字母背．展开式的系数就是卡片张数，这是这类题唯一的算法。 两种算法得恒等式　同一块图形用"整体"与"分割"两种方法算面积，令其相等就得到代数恒等式；反过来，给出恒等式让你选图，就看哪个图的分割方式与之对应（平方差要"大正方形挖小正方形再剪拼"，完全平方要"四块拼成大正方形"）。 面积变化类　长减少 宽增加 原面积 新面积 差为 正负取决于 与 的大小，所以答题时要分类说明，不能一句"变小了"了事。 组合图形求面积　火箭模型这类由梯形、长方形、三角形拼成的图形，先分别写三块面积，再相加；带 的（半圆）注意半径是直径的一半；最后按题目要求化简、代值、写单位。 易错　①拼图题把 类卡片搞混；　②两种算法算的不是同一块面积；　③面积变化不分类讨论；　④组合图形漏算一块；　⑤结果不化简、不带单位。 要点　展开式的系数就是卡片张数；两种算法算同一面积即得恒等式。 1． 我们知道，借助图形可以验证公式.下列图形可以用来验证平方差公式=(a+b)(a−b)的是 （  ） A． B． C． D． 2． 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会 （  ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 3． “燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为      ． 　 4． 某学校举办火箭模型制作比赛．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用含a，b的式子表示该截面的面积S； （2）当时，求这个截面的面积． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜幂运算与整式乘除的基础套用 1． 计算的结果是 （  ） A． B．1 C．19 D．0 2． 计算的结果是 （  ） A．1 B．-5 C．0 D． 3． 若a，b是正整数，且满足则a与b的关系正确的是 （  ） A． B． C． D． 4． 计算： （  ） A． B． C． D． 5． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 6． 计算： （  ） A．a B． C． D． 7． 下列计算错误的是 （  ） A． B． C． D． 8． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 9． 如果单项式2与是同类项，那么这两个单项式的积是 （  ） A．2 B．2 C．2 D．4 10． 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为宽为的长方形，需要B类卡片  （  ） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 11． 计算 的结果是      ． 　 12． 计算的结果为      ． 　 13． 已知则的值为      ． 　 14． 化简：      ． 　 15． 将多项式中的一次项放在前面带有“+”号的括号里，二次项放在前面带有“-”号的括号里，结果为      ． 　 16． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 17． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 18． 计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 19． 先化简，再求值： （1）其中 （2）其中． 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜幂的逆用、含参与公式变形 1． 如果（2）成立，则  （  ） A．m=3，n=2 B．m=2，n=3 C．m=2，n=5 D．m=6，n=2 2． 请你计算： 猜想的结果是 （  ） A． B． C． D． 3． 观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若则的值可能分别是 （  ） A． B． C． D． 4． 现定义一种新运算“※”，对任意有理数都有则  （  ） A． B． C． D． 5． 如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张．如果要拼一个长为宽为的大长方形，那么需要C类卡片的张数是 （  ） A．11 B．9 C．6 D．3 6． 如图将一个边长为a的小正方形与四个边长均为b的大正方形拼接在一起（其中），则四边形的面积为 （  ） A． B． C． D． 7． 王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是 （  ） A． B． C． D． 8．  指数方程 若则a的值为      ． 　 9． 若则      ． 　 10． 以下三个数：最大的数是      ． 　 11． 计算的值是      ． 　 12． 若的结果中不含项，则的值为      ． 　 13． 已知则的值是      ． 　 14． 若则      ．（填“”或“=”） 　 15．  关于 y 轴对称 若则点关于y轴对称的点的坐标是      ． 　 16． 已知为任意整数，代数式的值记为有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是      ． 　 17． （1）计算：． （2）利用平方差公式进行简便运算：． 　 　 　 　 　 18． 观察下列一组等式： ​ ​ ​． （1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①      ； ②（      ） ③（      ） （2）利用你的发现计算：． 　 　 　 　 　 　 　 19． 本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空：      ，      ； （2）如果求出的值； （3）如果请直接写出的值． 　 　 　 　 　 　 　 20． 有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（），面积分别为和． （1）①计算：      ；      ； ②填空：      （填“”或“”）； （2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积表示为． ①正方形纸片的边长为      ； ②与的差与是否有关系，并通过计算说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 21． 先阅读下面的材料，再解答问题： 已知求的值． 分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入． 解： ​ ​ ​． 问题： （1）已知求的值． （2）已知求的值． 　 　 　 　 　 22． 已知并且一个多项式与的乘积等于求这个多项式． 　 　 　 23． 先化简，再求值： （1）其中 （2）其中 　 　 　 　 　 24． 如图所示的是一道例题及部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察例题及解答过程，解答下列问题： （1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果． （2）求多项式A与B的平方差． 　 　 　 　 　 25． 某同学化简a（a+2b）（a+b）（ab）出现了错误，解答过程如下： 原式=+2ab（） （第一步） =（第二步） =2ab （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 　 　 　 　 　 26． 在计算时，甲错把看成了得到的结果是乙错把看成了得到的结果是． （1）求的值； （2）求的正确结果． 　 　 　 　 　 27． 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即所以所以．请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若求的值； （2）计算：． 　 　 　 　 　 28． 阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 / 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： / ……． / 如果将中间的数记为为整数且那么三个连续自然数可以表示为它们的乘积可记为． / 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： / 第一步 / 第二步 / 第三步 / ． 第四步 / 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： （1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了      公式． （2）利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． （3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为且）的乘积的规律． 　 　 　 　 　 　 　 29． 若的积中不含x的二次项和一次项，求的值． 　 　 　 30． 学校原有一块长为宽为的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了宽增加了． （1）建设前场地的面积为      建设后场地的面积为      ．（用含a，b的代数式表示） （2）已知建设后场地的面积增加了． ①求的值； ②若求建设前场地的面积． 　 　 　 　 　 31． 当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到1个等式．例如，由图①可得等式：． （1）由图②可得等式：      ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值． （3）如图③，1个小长方形的长为宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图④）．求在大长方形中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜新定义综合、不等式联动与规律推广 1． 信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出时，解密后明文的值      ． 　 2． 对于实数规定一种运算例如：．若则      ． 　 3． 对于任意正整数a，b，规定：．试求的值． 　 　 　 4． 已知不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求此时的值． 　 　 　 5． 观察下列各式： ​ ​ ​． （1）请你按照以上各式的运算规律，填空． ①　　； ② ③． （2）应用规律计算： ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.4  章末培优复习 解析版  16.4　章末培优复习 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　幂的四条运算法则：加减乘除各管一段 2 　　题型 2　整式的乘法与"不含某一项" 3 　　题型 3　乘法公式：平方差与完全平方 6 　　题型 4　整式的除法与竖式 8 　　题型 5　公式变形与整体代入求值 9 　　题型 6　化简求值与过程纠错 12 　　题型 7　新定义、规律探究与阅读材料 13 　　题型 8　图形、面积与实际应用 15 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 18 　题型 1　　幂的四条运算法则：加减乘除各管一段 知识梳理 同底相乘加、同底相除减、幂的乘方乘、积的乘方分配；零指数 （） 四条法则一次列清　．只有乘除才动指数加减，乘方一律相乘。如 逆用与凑底　 时 ．把底数凑成互为倒数或同底，是指数运算题的第一反应。 比大小先化同底或同指数　 三个数，指数有公约数 所以最大的是 ．指数能提公因数就先提，底数一比就出来了。 指数方程与整体代换　左边 于是 得 ．又如 则 ．先把两边化成同底，再对指数列方程。 易错　①把 写成 　② 与 混；　③ 算成 （故结果为 ）；　④积的乘方只乘了第一个因式；　⑤比大小时底数不同硬比指数。 要点　乘加除减、乘方相乘、积的乘方逐项乘；不同底先化同底或提公因数。 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 解：． 2． 若单项式和的积为则的值为 （  ） A．2 B．30 C． D．15 　思路分析　　本题考查单项式与单项式相乘问题，先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 解：单项式和的积为 ​ ​ ​ ​．故选择：D． 3． 已知则等于 （  ） A．8 B．9 C．10 D．11 解： ​解得 ​． 4． 已知则的值为 （  ） A．9 B． C．12 D． 　思路分析　　本题考查同底数幂的除法及幂的乘方逆运算，利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算法则计算即可． 解：．故选：C． 5． 计算：      ． 　思路分析　　本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；把原式化为即可求解． 解：故答案为： 　题型 2　　整式的乘法与"不含某一项" 知识梳理 单项式乘单项式：系数相乘、同底相加；多项式相乘不能漏项；"不含某项"就是该项系数为 三类乘法的分工　单 单：系数相乘、同底数幂相加；单 多：逐项乘、项数不变；多 多：前一个括号的每一项都要乘后一个括号的每一项， 项乘 项得 项（合并前）。如 "不含某一项"的处理　展开后把该项的系数写成 ，解出参数．如积中不含 项，就令 的系数 含两个条件（不含 项与不含 项）就列两个方程，这是本章最标准的参数题。 合并与化简　．乘完先合并同类项，再决定要不要继续除。 纠错与批改　给别人批改作业时，四类错误按顺序查：系数算错、指数算错、漏乘一项、符号错．如 而不是 而不是 ． 易错　①多项式相乘漏乘（ 项写成 项）；　②合并同类项时指数也相加；　③"不含某项"忘了把系数设为 　④添括号时符号没全变；　⑤除法与乘法混着做，顺序乱。 要点　逐项乘、项数对、合并后再除；"不含某项"即该项系数为零。 1．  批改作业 甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是 （  ） ​√ / ② / ③√ / ④√ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 　思路分析　　根据单项式乘多项式法则、平方差公式和完全平方公式，逐个判断计算是否正确即可． 解：① ​ 甲的计算正确，同桌乙同学的批改正确； ② ​ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改正确； ③ ​ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； ④ ​ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； 因此同桌乙同学的批改正确是第①、②题． 2． 下列运算正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解． 解：A. 故该选项不正确，不符合题意； B. 故该选项不正确，不符合题意； C. 故该选项不正确，不符合题意； D. 故该选项正确，符合题意．故选：D． 3．  笔记本上的方框 小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：那么■中的一项是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了整式乘除法的运算，理解整式乘除法的运算法则是解答关键． 根据整式乘除法的运算列出算式得到即可求解． 解：根据题意得 ​ ​ ​ ​ ​ ​．故选：A． 4． 若的结果中不含项，则的值为      ． 　思路分析　　本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确结果不含项，则其相应的系数为0． 利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为0，从而可求解． 解： ​ ​ ​结果中不含项， ​ 解得：．故答案为：． 5． 若的积中不含和项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 　思路分析　　本题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）原式利用完全平方公式变形后，将与的值代入计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． （1）解：原式 ​． 由积中不含和项，得 解得． 则原式． （2） ​ ​原式 ​ ​ ​． 　题型 3　　乘法公式：平方差与完全平方 知识梳理 两项看"相同与相反"用平方差，二项式自乘用完全平方；和差两式加减可互换 与 两个公式的判别　 要求"一项相同、一项相反"； 是一个二项式自乘． 这类要先添括号分组，凑成 再用平方差。 和差两式的四则　．所以给 立刻得 两式相减得 即 ．两式相加得平方和、相减得积的四倍。 多个公式连用　这是"缺一项就补一项"的推广； 是立方和差，结构一致：一正一反一平方，结果就是立方。 比较大小　作差得 故 ．多项式比大小一律作差，差的正负一眼可判。 易错　①不能用的式子硬套平方差；　② 中间项符号错；　③ 的中间项只写 　④推导规律题不先算前几个；　⑤比大小直接代特殊值（对任意 不成立时结论会错）。 要点　相同与相反 平方差，二项自乘 完全平方；和差两式加减即得平方和与积。 1． 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 解：A、二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、能用平方差公式，不符合题意； D、能用平方差公式，不符合题意；故选：A 2． 如果那么代数式的值为 （  ） A． B． C．6 D．13 　思路分析　　本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．由已知可知再将代数式变形为即可计算求值． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：D． 3． 已知则      ． 　思路分析　　根据变形计算即可． 本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握公式是解题的关键． 解：由且 故 解得故答案为：． 4． 观察下列各式： ​ ​ ​ 根据这一规律完成下面各题： （1）      ； ​      ； ​      ； （2）计算：． 　思路分析　　（1）根据已知等式写出第4个等式即可；观察可知第n个式子左边的第一个多项式为第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是即可得一般式； 令第二个多项式最高次为代入一般式求解即可； （2）令代入一般式求解即可． （1）解：观察给出的等式可得规律， ​ ​ 令第二个多项式最高次为代入一般式得： ​ （2）解：令代入上述一般式得， ​ 两边同时除以得：． 　题型 4　　整式的除法与竖式 知识梳理 被除式 除式 商 余式；多项式除多项式用竖式，余式次数低于除式即停 两档除法　多项式除以单项式：逐项除，．多项式除以多项式：降幂排列、缺项补零、竖式相除，如 每一步"商一项、乘回去、减下来"。 残缺题目求被除式　给" 除式 商"，被除式就是商乘除式；给"被除式 商"，除式就是被除式除以商．被撕掉一角、墨迹污损的题，都是靠这条互逆关系补回去。 同类项与指数对齐　两个单项式是同类项，就要求相同字母的指数分别相等： 与 得 解出 后再相乘．先列指数方程，再谈运算。 法则的分段　同底数幂相除按 分三种情形，前两种给正整数指数与 第三种给 ．用分段法则解方程时，先判断指数的大小关系属于哪一段，再在该段内求解，最后把解代回去检验是否满足该段的前提。 易错　①逐项除时漏项；　②竖式没降幂、没补零；　③余式次数还高于除式就停；　④同类项的指数方程列错（把相加写成相等）；　⑤分段法则解出的根不检验前提。 要点　逐项除 / 竖式除；被除式 除式 商 余；分段法则要验根。 1． ​的结果为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将多项式的每一项分别除以单项式，再将所有商相加即可 解： 2．  作业本撕掉一角 小明的作业本被撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示．请你帮他推测出被除式应等于 （  ） A． B． C． D． 解：图中残缺的是被除式，已知除式与商．由"被除式 除式 商"得 被除式 ．故选 B． 3． 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算可用竖式除法，如图． ​除以商式为余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）的商式是      ，余式是      ． （2）能被整除，求a，b的值． 解：（1） 1 （2）由题意，得 ​能被整除， ​解得． 故． 　题型 5　　公式变形与整体代入求值 知识梳理 把某个式子记作一个字母（换元），再用完全平方或平方差把条件与目标连起来 换元的标准动作　若 求 设 则 目标 ．换元之后只剩"和"与"积"两条信息，题就变成上一节的"三兄弟"。 整体代入　已知 求 先展开成 再把每项凑成 代入得 ．展开后一定要往回凑成已知式的幂，这是"整体思想"的全部技术。 非负数之和为零　只能各自为零，得 再代入所求式子．先定字母、再算代数式，两步分开写。 跨章节综合　不等式的最小整数解、方程的解，都可以当作"求字母的值"的第一步：先解不等式得 取最小整数，再代回方程求 最后算 ．这类题的关键是分清哪一步求谁，中间结果别代错位置。 易错　①换元后忘了"和"与"积"要一起用；　②展开后没凑成已知式的幂；　③非负数之和为零不写依据；　④不等式取整数解时把端点取进来；　⑤最后一步指数或符号算错。 要点　换元 找和与积 用公式；展开后往回凑已知式，是整体代入的固定手法。 1．  新运算 * 对于任意的有理数定义关于“\*”的一种运算，规定：若则的值为      ． 　思路分析　　本题考查整式的化简求值，正确理解新定义运算，先根据新定义运算求出的值，再化简所求式子，代入计算即可． 解：根据新定义运算，可得 ​ ​ ​ ​ 又 ​ ，解得 ​ ​ ​ ​． 2． 【阅读理解】若x满足求的值． 解：设则． 我们把这种方法叫作换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足则      ． （2）若x满足求的值， （3）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，且分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为求图中阴影部分的面积和． 解：（1）15 （2）设则． ​ ​ ​ ​． （3）由题意，得． 设 ​． ​长方形的面积为 ​ ​图中阴影部分的面积和． 3． （1）已知试求的值． （2）已知试求的平方根． 　思路分析　　（1）根据同底数幂的运算法则进行直接运算； （2）根据绝对值和数平方为非负数、运用完全平方公式变形形式即可解答此题． 解：（1） ​ ​ ​ ​ （2） ​ ​ ​ ​ 所以的平方根为：． 　题型 6　　化简求值与过程纠错 知识梳理 乘方 乘除 合并 代值；纠错题要指出"第几步、错在哪、怎么改" 化简的四步　先算乘方（含积的乘方），再做乘除，然后合并同类项，最后代值．如 代入 得 ．"能约掉的先约掉"永远是化简题的第一目标。 看错符号、看错运算　把 看成 把 里的 看成 这类题的解法是先把看错后的式子列出来，由它求出被看错的字母，再回到正确式子重算．列两个方程、各管一件事，不要混在一起算。 纠错题的答题格式　①指出第几步出错；②说明错因（去括号没变号、漏乘、公式用错）；③写出完整正确过程．三样齐全才给满分，只写正确答案通常只得一半分。 新运算要先算再判　 这类定义，先算出 与 都是 再判断 是否恒成立；要验证分配律，就把左右两边分别展开再比，结论只能来自展开后的比较，不能靠举例。 易错　①乘方与乘法顺序颠倒；　②看错类题目只改结果不改过程；　③纠错题不指出错因；　④新运算只验证一组数就下"恒成立"的结论；　⑤代值时符号错（ 代成 ）。 要点　乘方 乘除 合并 代值；纠错三件套：第几步、错因、正确过程。 1．  新运算 @ 规定一种新运算：对于任意有理数定义． （1）计算： ， ； 判断：（填“”或“”）； （2）对于任意有理数成立吗？请说明理由． （1）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． ​ （2）不成立．理由如下： 左边： ​ ​ ​ 右边： ​ ​ ​． ​左边右边， ​不成立． 2． 先化简，再求值：其中． 解：原式． 当时， 原式． 3． 已知B是多项式．王虎同学在计算时，误把看成了结果得． （1）求多项式B． （2）求． 解：（1）由题意，得 ​． （2）． 　题型 7　　新定义、规律探究与阅读材料 知识梳理 新定义照定义算，规律题先算前三个找"型"，阅读材料照结构仿写 规律题的通用三步　①按题目给的式子多算几个；②把结果与序号对照，写出含 的猜想；③回到原式验证一次．如 已知一次项系数为 常数项为 就是找两数"和为 积为 "，即 与 杨辉三角　 的展开式系数就是第 行，偶数位取负；求系数和就令 新定义运算　" 表示 "这几类，解法完全一样：先按定义把式子翻译成普通的乘除或乘方，再化简．如 表示 那么 这一类就化成 "同底数幂相乘、指数相加"，把左边的两个幂相乘，再写成" 那个积"的形式读出 ． 连续整数乘积与平方差　其中 用了平方差；三个连续整数中最大与最小的平方差一定是 的倍数，这就是"能被 整除"的证明。 易错　①规律题只算一个就猜；　②杨辉三角行号与次数错位；　③新定义把符号当成普通运算；　④证明"能被整除"只举例不化式；　⑤阅读材料不按它的格式仿写。 要点　多算几个找型 写含 的通式 回代验证；新定义先翻译成普通运算。 1． 定义一种新运算若则例．已知则的值为      ． 　思路分析　　本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 解：设 则由题意可得 ​ ​ 即故答案为：． 2． 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（其中为正整数）的展开式（按的降幂排列）的系数规律．例如：三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应着展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数，等等．根据上面的规律，的展开式是      （请按的降幂排列）． 　思路分析　　根据材料（a+b）和（a+b）展开式，可直接得出的展开式，然后令ab=-1即可求解． 解： ​可以得到 ​ 故答案为：． 3． 小贤同学发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差能被4整除． （1）求的值； （2）设三个连续的整数中间的数为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它能被4整除； （3）在任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差能被8整除，请说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算． （1）由有理数的混合运算法则计算即可； （2）设三个连续的整数中间的数为n，则最大的数为最小的数为根据因式分解求解即可； （3）设中间的奇数为n，则最大的奇数为最小的奇数为根据因式分解求解即可． （1）解： （2）证明如下： 三个连续的整数中间的数为n， 则最大的数为最小的数为 ​． 又是整数， ​能被4整除， ​任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差能被4整除． （3）解：设中间的奇数为n， 则最大的奇数为最小的奇数为 ​． 又是整数， ​能被8整除， ​任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差能被8整除． 　题型 8　　图形、面积与实际应用 知识梳理 面积用两种方法算 得恒等式；拼图题数清每类卡片的张数 拼图数卡片　要拼长 宽 的长方形，先展开 的系数是 正方形卡片的张数、 的系数是 长方形卡片的张数、 的系数是 正方形卡片的张数——具体哪一类标作 要看题给的那张图，不要按字母背．展开式的系数就是卡片张数，这是这类题唯一的算法。 两种算法得恒等式　同一块图形用"整体"与"分割"两种方法算面积，令其相等就得到代数恒等式；反过来，给出恒等式让你选图，就看哪个图的分割方式与之对应（平方差要"大正方形挖小正方形再剪拼"，完全平方要"四块拼成大正方形"）。 面积变化类　长减少 宽增加 原面积 新面积 差为 正负取决于 与 的大小，所以答题时要分类说明，不能一句"变小了"了事。 组合图形求面积　火箭模型这类由梯形、长方形、三角形拼成的图形，先分别写三块面积，再相加；带 的（半圆）注意半径是直径的一半；最后按题目要求化简、代值、写单位。 易错　①拼图题把 类卡片搞混；　②两种算法算的不是同一块面积；　③面积变化不分类讨论；　④组合图形漏算一块；　⑤结果不化简、不带单位。 要点　展开式的系数就是卡片张数；两种算法算同一面积即得恒等式。 1． 我们知道，借助图形可以验证公式.下列图形可以用来验证平方差公式=(a+b)(a−b)的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　分别表示图形中的面积即可判断． 解：A、图形可以用来验证(a+b)+2ab，不能验证平方差公式，该选项不符合题意； ​即 ， 能验证平方差公式，该选项符合题意； C、即(a+b)=4ab，不能验证平方差公式，该选项不符合题意； D、图形可以用来验证(a+x)+ax+bx，不能验证平方差公式，该选项不符合题意；故选：B． 2． 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会 （  ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 　思路分析　　本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．分别求出2次的面积，比较大小即可． 解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 ​ ​ 所以面积变小了，故选：A． 3． “燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为      ． 解：长桌的宽为x，每张桌面的宽都相等， ​小桌的宽为x， 由题图可得小桌的长为2x， ​一张小桌的面积为． 4． 某学校举办火箭模型制作比赛．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用含a，b的式子表示该截面的面积S； （2）当时，求这个截面的面积． 　思路分析　　本题主要考查了三角形、长方形、梯形的面积公式以及代数式的求值，熟练掌握各图形的面积公式是解题的关键． （1）分别计算三角形、长方形、梯形的面积，再将它们相加得到截面的总面积． （2）把代入（1）中所求的面积表达式，计算出具体数值． （1）解： ​ ​ （2）解：把代入得： ​ ​ ​ ​ A 组　基础题 必做｜幂运算与整式乘除的基础套用 1． 计算的结果是 （  ） A． B．1 C．19 D．0 解：任何非零数的 次幂都等于 所以 于是 ．故选 D． 2． 计算的结果是 （  ） A．1 B．-5 C．0 D． 　思路分析　　根据零指数幂运算法则计算即可． 解：(-5)=1故选：A． 3． 若a，b是正整数，且满足则a与b的关系正确的是 （  ） A． B． C． D． 解： 个 相加就是 个 相乘就是 ． 两边底数相同，指数必须相等，所以 ．故选 A． 4． 计算： （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查单项式乘以单项式，直接运用单项式乘以单项式运算法则进行计算即可得到答案． 解： ​ ​故选：B． 5． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了单项式除以单项式，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据单项式除以单项式和单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 解： ​ ​．故选：D． 6． 计算： （  ） A．a B． C． D． 解：先算单项式乘多项式：再合并同类项：．故选 D． 7． 下列计算错误的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．根据据此求解即可． 解：A、原式计算正确，不符合题意； B、原式计算正确，不符合题意； C、原式计算正确，不符合题意； D、原式计算错误，符合题意；故选：D． 8． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了多项式除以单项式．熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式的法则，是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式的法则进行运算即可． 解： ​ ​ ​．故选：A． 9． 如果单项式2与是同类项，那么这两个单项式的积是 （  ） A．2 B．2 C．2 D．4 解：由同类项的定义得，a-2b=3，2a+b=8b，联立这两个方程解得a=7，b=2， 所以-2．故选B． 10． 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为宽为的长方形，需要B类卡片  （  ） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 　思路分析　　本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 解：拼成的长方形的长为：宽为： ​长方形的面积为： ​ ​ ​ ​需要B类卡片的张数为（张）．故选：C． 11． 计算 的结果是      ． 解：． 12． 计算的结果为      ． 解：积的乘方等于各因式分别乘方：． 13． 已知则的值为      ． 　思路分析　　本题主要考查了同底数幂除法的逆用，熟练掌握同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”是解题的关键． 解： ​．故答案为：3． 14． 化简：      ． 　思路分析　　本题考查了整式的加减和去括号、合并同类项，掌握去括号法则、合并同类项法则来化简式子是解题的关键． 本题先根据括号前是 “−”，去掉括号后括号内的各项要变号，再根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数保持不变准确合并同类项，从而完成整式的化简． 解： ​ ​ ​． 故答案为：． 15． 将多项式中的一次项放在前面带有“+”号的括号里，二次项放在前面带有“-”号的括号里，结果为      ． 　思路分析　　本题考查了对多项式的理解，先把一次项和二次项分别放在一起，然后根据添括号的法则计算即可． 解： ​ 故答案为： ． 16． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　（1）先积的乘方，幂的乘方计算，再利用单项式乘以单项式法则计算； （2）先利用单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除的法则计算，再合并同类项； （3）先利用平方差公式，完全平方公式展开，再合并同类项； （4）利用平方差公式计算． （1）解：原式 ​ （2）原式 ​ （3）原式 ​ （4）原式 ​ ​． 17． 计算： （1） （2）． （1）解：原式． （2）解：原式． 18． 计算： （1） （2）． （1）解：原式 ​． （2）解：原式 ​． 19． 先化简，再求值： （1）其中 （2）其中． 　思路分析　　本题主要考查了整式的化简，解决此题的关键是正确的计算； （1）运用平方差公式和二项式相乘法则化简，再把x值代入即可； （2）运用完全平方公式和两项式相乘法则化简，再把a，b的值代入即可； （1）解：原式． 当时， 原式． （2）解：原式． ​ ​ 当时， 原式． B 组　提升题 必做｜幂的逆用、含参与公式变形 1． 如果（2）成立，则  （  ） A．m=3，n=2 B．m=2，n=3 C．m=2，n=5 D．m=6，n=2 　思路分析　　先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于m，n的方程即可求解． 解：（2） ​3m=9，3（m+n）=15， 解得m=3，n=2，故选A． 2． 请你计算： 猜想的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，先分别计算和再根据计算结果总结规律即可求解，掌握多项式的乘法运算法则是解题的关键． 解： ​ 猜想：故选：． 3． 观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若则的值可能分别是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到即可求解． 解：由题意得： ​ ​或 ​的值可能为：故选：A 4． 现定义一种新运算“※”，对任意有理数都有则  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式． 原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 解：根据题中的新定义得： ​ ​ ​ ​故选：B． 5． 如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张．如果要拼一个长为宽为的大长方形，那么需要C类卡片的张数是 （  ） A．11 B．9 C．6 D．3 解：长为宽为的大长方形的面积为A类卡片的面积为B类卡片的面积为C类卡片的面积为．因此，拼成一个长为宽为的大长方形，需要3张A类卡片、6张B类卡片和11张C类卡片． 6． 如图将一个边长为a的小正方形与四个边长均为b的大正方形拼接在一起（其中），则四边形的面积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用四边形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，进行求解即可； 解：由图可知：四边形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积， 直角三角形的长直角边为大正方形的边长即b，短直角边为大正方形的边长减去小正方形的边长即 ​四边形的面积 ​故选D． 7． 王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查整式乘法的几何背景，用含a，b的式子分别表示出选项中每个阴影图形的面积，即可判断出正确答案． 解：A．左边图形中阴影面积为：右边图形中阴影面积为：可以验证不合题意； B．左边图形中阴影面积为：右边图形中阴影面积为：可以验证不合题意； C．左边图形中阴影面积为：右边图形中阴影面积为：不能验证符合题意； D．左边图形中阴影面积为：右边图形中阴影面积为：可以验证不合题意；故选C． 8．  指数方程 若则a的值为      ． 解： ​或或 ​或或． 9． 若则      ． 　思路分析　　本题主要考查了幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 根据题意，得将变形为即可求解． 解： ​ ​．故答案为：． 10． 以下三个数：最大的数是      ． 　思路分析　　观察三个数的指数，发现存在公因数可利用幂的乘方变形，将三个数化为指数相同的形式，再比较底数大小得到结果． 解：第三个数为 ​指数为正整数，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大，且 ​即 ​最大的数是． 11． 计算的值是      ． 　思路分析　　本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，把原式化为再计算即可． 解： 故答案为：． 12． 若的结果中不含项，则的值为      ． 　思路分析　　本题考查了多项式乘以多项式，根据结果中不含项，得出进而即可求解． 解： ​ ​ ​结果中不含项， ​ 解得：故答案为：． 13． 已知则的值是      ． 　思路分析　　利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 解： ​ ​ 整理得 ​． 14． 若则      ．（填“”或“=”） 　思路分析　　比较两个多项式的大小，采用作差法，计算根据结果的符号判断大小关系． 解：展开得 计算得 ​ ​ ​． 15．  关于 y 轴对称 若则点关于y轴对称的点的坐标是      ． 　思路分析　　本题考查多项式乘法与因式分解的关系、关于轴对称的点的坐标特征，掌握多项式乘法法则，关于轴对称的点的坐标规律是解题的关键． 本题先通过多项式展开求出的值确定点的坐标，再利用关于轴对称的坐标规律求出目标点坐标． 解： ​即点坐标为 ​点关于轴对称的点的坐标是．故答案为：． 16． 已知为任意整数，代数式的值记为有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是      ． 　思路分析　　先利用平方差公式化简代数式可得再根据整数的性质逐个判断即可． 解： ​ ​ 当时， ，不是正整数，故①错误； ​为任意整数， ​是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， ​一定是奇数，故②正确； ​是整数， ​是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 17． （1）计算：． （2）利用平方差公式进行简便运算：． 　思路分析　　（1）根据幂的运算法则，先分别计算每一项，然后将计算结果进行加减运算，即可解决该幂的混合运算问题． （2）根据平方差公式的形式特征，得到符合平方差公式的式子，利用平方差公式计算，即可解决该简便运算问题． （1）解： ​ ​． （2）解： ​ ​ ​ ​． 18． 观察下列一组等式： ​ ​ ​． （1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①      ； ②（      ） ③（      ） （2）利用你的发现计算：． 　思路分析　　本题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）把一四、二三因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． （1）解：① ② ③． 故答案为：①②③ （2）原式 ​ ​ ​． 19． 本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空：      ，      ； （2）如果求出的值； （3）如果请直接写出的值． 　思路分析　　（1）直接利用例题的方法计算； （2）利用例题方法得出解方程即可； （3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可． （1）解： ​ 故答案为 （2）解： ​ ​ ​ 解得： ​ （3）解： 当时， 当时， 当时，． ​或或． 20． 有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（），面积分别为和． （1）①计算：      ；      ； ②填空：      （填“”或“”）； （2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积表示为． ①正方形纸片的边长为      ； ②与的差与是否有关系，并通过计算说明理由． 　思路分析　　本题考查了整式的乘法，图形的周长和面积，整式的减法，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则． （1）根据面积公式，即可求得两个长方形的面积，用作差法比较大小即可； （2）求出乙长方形的周长，即为正方形的周长，由正方形周长和边长之间的关系即可求得正方形的边长，代入正方形的面积公式，求得正方形的面积，与乙长方形的面积作差，看结果是否含有即可． （1）解： ​ 故答案为：． ​ ​ ​ 故答案为：． （2）解：乙长方形的周长 ​正方形的周长 ​正方形的边长为 故答案为：． ​解： ​ ​与的差恒为与的取值无关． 21． 先阅读下面的材料，再解答问题： 已知求的值． 分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入． 解： ​ ​ ​． 问题： （1）已知求的值． （2）已知求的值． 　思路分析　　（1）（2）根据单项式乘多项式的运算法则、积的乘方法则把原式变形，代入计算即可． （1）解： ​ ​ ​ 当时， 原式． （2）解： ​ ​ 当时， 原式． 22． 已知并且一个多项式与的乘积等于求这个多项式． 　思路分析　　本题主要考查非负数的性质和整式的除法，根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0求出的值；求出再进行整式的除法即可． 解： ​ ​ ​ ​． 23． 先化简，再求值： （1）其中 （2）其中 　思路分析　　（1）可先提取出公因式，用单项式除以单项式即可得出结果，最后代入数值计算． （2）完全平方、多项式乘多项式展开合并，整体代换求值． （1）原式 ​ 当时，原式． （2）原式 ​ ​ ​ ​ ​原式． 24． 如图所示的是一道例题及部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察例题及解答过程，解答下列问题： （1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果． （2）求多项式A与B的平方差． 解：（1）． 原式． （2）． 25． 某同学化简a（a+2b）（a+b）（ab）出现了错误，解答过程如下： 原式=+2ab（） （第一步） =（第二步） =2ab （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 　思路分析　　去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号；根据上述法则判断哪一步错误，再正确的去掉括号，合并同类项即可． 解：（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； （2）原式=+2ab-() = =2ab+． 故答案为（1）第二步，去括号时没有变号；（2）2ab+． 26． 在计算时，甲错把看成了得到的结果是乙错把看成了得到的结果是． （1）求的值； （2）求的正确结果． 　思路分析　　本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． （1）解：甲错把看成了 ​ 又 ​ ​． ​乙错把看成了 ​ 又 ​ ​ ​． 故． （2）解：由（1）得 ​ ​ ​ 27． 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即所以所以．请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若求的值； （2）计算：． 　思路分析　　（1）逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法计算即可． （1）解：． ​ ​ 解得． （2）原式 ​． 28． 阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 / 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： / ……． / 如果将中间的数记为为整数且那么三个连续自然数可以表示为它们的乘积可记为． / 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： / 第一步 / 第二步 / 第三步 / ． 第四步 / 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： （1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了      公式． （2）利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． （3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为且）的乘积的规律． 　思路分析　　本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． （1）解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为 则三个连续偶数的乘积 ​ ​ ​． 29． 若的积中不含x的二次项和一次项，求的值． 解：原式． ​的积中不含x的二次项和一次项， ​ ​． 30． 学校原有一块长为宽为的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了宽增加了． （1）建设前场地的面积为      建设后场地的面积为      ．（用含a，b的代数式表示） （2）已知建设后场地的面积增加了． ①求的值； ②若求建设前场地的面积． 解：（1） （2）①由题意，得 ​ ​． ② ​ 即． ​ ​． 故建设前场地的面积是． 31． 当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到1个等式．例如，由图①可得等式：． （1）由图②可得等式：      ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值． （3）如图③，1个小长方形的长为宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图④）．求在大长方形中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）． 解：（1） （2） ​ ​ ​ ​ ​． （3）由图可知，大长方形的面积为 ​ ​ ​ ​阴影部分的面积为 ​ ​． C 组　拓展题 选做｜新定义综合、不等式联动与规律推广 1． 信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出时，解密后明文的值      ． 解：． 当时， ​． 2． 对于实数规定一种运算例如：．若则      ． 　思路分析　　本题考查新定义运算、整式的加减乘法运算等知识，理解新定义运算是解决问题的关键．根据题中新定义的将化为再由整式的乘法运算、加减运算求解即可得到答案． 解： ​ 即 ​ 解得故答案为：． 3． 对于任意正整数a，b，规定：．试求的值． 　思路分析　　先根据新运算法则代入，再分别计算乘方，最后求差． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​． 4． 已知不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求此时的值． 　思路分析　　本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的求解，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的方法是解题的关键．先求解不等式，得出其解集，确定最小整数解，再将该最小整数解代入方程，求出a的值，最后代入式子计算． 解：由得 ​ ​ 解得 ​它的最小整数解为． 将代入得 ​ 解得 ​． 5． 观察下列各式： ​ ​ ​． （1）请你按照以上各式的运算规律，填空． ①　　； ② ③． （2）应用规律计算： ​． 　思路分析　　（1）根据材料中的规律可得结论； （2）先将分解为再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，最后再根据平方差公式进行计算即可． （1）① ② ③． 故答案为：①②③ （2） ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $