专题12 整式的乘法 同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题12整式的乘法同步培优讲义 ✺知识框架 1.单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式 2.整式除法：单项式除以单项式、多项式除以单项式 3.综合应用：幂的运算与整式乘除混合运算、化简求值 ✅ 本节以幂的运算性质为基础，依托乘法运算律得到整式乘除法则；核心思想为转化，将多项式运算转化为单项式运算，重点攻克符号判定、漏项、同类项合并问题。 ✺学习目标 1.理解整式乘除法则的推导依据，能结合乘法交换律、结合律、分配律理解运算原理。 2.熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，规范书写运算步骤。 3.掌握整式乘除混合运算顺序，能够结合幂的运算性质对整式进行化简，并完成代入求值类问题。 4.运算中的典型误区，做到不漏项、不丢字母、符号准确，提升代数运算的严谨性。 ✺题型归纳 题型1.计算单项式乘单项式 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.计算单项式乘多项式及求值 题型4.单项式乘多项式的应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.计算多项式乘多项式 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型9.多项式乘多项式——化简求值 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12.整式乘法混合运算 题型13.同底数幂的除法运算 题型14.同底数幂除法的逆用 题型15.零指数幂 题型16.计算单项式除以单项式 题型17.用科学记数法表示数的除法 题型18.多项式除以单项式 题型19.整式四则混合运算 题型20.课堂小练 ✺知识清单 知识点 01 单项式乘单项式 法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘；只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 备注：运算结果仍是单项式；该法则适用于多个单项式连续相乘。 知识点 02 单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 p(a+b+c)=pa+pb+pc 本质：乘法分配律。 备注：积的项数与原多项式项数保持一致，防止漏乘；相乘时要连带项前面的符号一起运算。 知识点 03 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 备注：展开时做到不重不漏，展开之后必须合并同类项；教材范围内以一次式相乘为主，不拓展高次多项式相乘。 知识点 04 单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 知识点 05 多项式除以单项式 法则：先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 (am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m 知识点 06 整式混合运算顺序 1.先乘方，再乘除； 2.同级运算，从左至右依次计算； 3.有括号时，优先计算括号内的式子； 4.运算最后合并同类项。 补充：化简求值题型，优先化简式子，再代入数值计算。 思想方法：转化思想，把多项式的乘除运算转化为单项式运算，单项式运算依托幂的运算性质完成。 ✺题型精讲 题型1.计算单项式乘单项式 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．______． 3．计算：． 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 2．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 3．若，求的值． 题型3.计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．计算：_______． 3．先化简，再求值．，其中． 题型4.单项式乘多项式的应用 1．一个长方形的长和宽分别是，（其中），则这个长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为______． 3．公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 2．要使的展开式中不含项，则的值为______． 3．已知中不含项，求a的值． 题型6.计算多项式乘多项式 1．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则的值为___________． 3．已知，，化简． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 1．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则的值为_______． 3．小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 2．若去括号后不含x的一次项，则m的值为______． 3．已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值． 题型9.多项式乘多项式——化简求值 1．实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 2．已知，，则的值为________________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型10.多项式乘多项式与图形面积 1．学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（    ）. A． B． C． D． 2．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 3．一个长方形草坪，长为米，宽为米． (1)求该长方形草坪的面积； (2)当时，求草坪的面积． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． ； ； ； ； ； 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为_________；的展开式中第三项的系数为_________．（        ） A．6，4753 B．6，4752 C．6，4751 D．6，4750 2．观察规律：，直接写出___________． 3．实践与探索 (1)根据以上规律，填空：_______． 当时，_______． (2)求的值． 题型12.整式乘法混合运算 1．下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 3．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型13.同底数幂的除法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：_______． 3．计算： (1)； (2) 题型14.同底数幂除法的逆用 1．若，，则（     ） A． B． C． D． 2．若，，则________． 【答案】 3．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型15.零指数幂 1．下列计算一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若有意义，则的取值范围是______． 3．计算： (1)； (2)． 题型16.计算单项式除以单项式 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．计算 ______； ______． 3．计算：． 题型17.用科学记数法表示数的除法 1．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 2．计算： (1)； (2)． 3．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 题型18.多项式除以单项式 1．小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 2．已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 3．计算： (1)； (2)． 题型19.整式四则混合运算 1．如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 3．计算： (1)； (2)． ✺课堂小练 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．若不含项，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．计算：__________． 6．若展开式中不含有的一次项，则的值为______． 7．在等式中，括号内表示的整式是_________． 三、解答题 8．先化简，再求值：，其中． 9．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 10．如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形． (1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______； (2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积； (3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12整式的乘法同步培优讲义 ✺知识框架 1.单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式 2.整式除法：单项式除以单项式、多项式除以单项式 3.综合应用：幂的运算与整式乘除混合运算、化简求值 ✅ 本节以幂的运算性质为基础，依托乘法运算律得到整式乘除法则；核心思想为转化，将多项式运算转化为单项式运算，重点攻克符号判定、漏项、同类项合并问题。 ✺学习目标 1.理解整式乘除法则的推导依据，能结合乘法交换律、结合律、分配律理解运算原理。 2.熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，规范书写运算步骤。 3.掌握整式乘除混合运算顺序，能够结合幂的运算性质对整式进行化简，并完成代入求值类问题。 4.运算中的典型误区，做到不漏项、不丢字母、符号准确，提升代数运算的严谨性。 ✺题型归纳 题型1.计算单项式乘单项式 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.计算单项式乘多项式及求值 题型4.单项式乘多项式的应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.计算多项式乘多项式 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型9.多项式乘多项式——化简求值 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12.整式乘法混合运算 题型13.同底数幂的除法运算 题型14.同底数幂除法的逆用 题型15.零指数幂 题型16.计算单项式除以单项式 题型17.用科学记数法表示数的除法 题型18.多项式除以单项式 题型19.整式四则混合运算 题型20.课堂小练 ✺知识清单 知识点 01 单项式乘单项式 法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘；只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 备注：运算结果仍是单项式；该法则适用于多个单项式连续相乘。 知识点 02 单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 p(a+b+c)=pa+pb+pc 本质：乘法分配律。 备注：积的项数与原多项式项数保持一致，防止漏乘；相乘时要连带项前面的符号一起运算。 知识点 03 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 备注：展开时做到不重不漏，展开之后必须合并同类项；教材范围内以一次式相乘为主，不拓展高次多项式相乘。 知识点 04 单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 知识点 05 多项式除以单项式 法则：先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 (am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m 知识点 06 整式混合运算顺序 1.先乘方，再乘除； 2.同级运算，从左至右依次计算； 3.有括号时，优先计算括号内的式子； 4.运算最后合并同类项。 补充：化简求值题型，优先化简式子，再代入数值计算。 思想方法：转化思想，把多项式的乘除运算转化为单项式运算，单项式运算依托幂的运算性质完成。 ✺题型精讲 题型1.计算单项式乘单项式 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 故答案为D． 2．______． 【答案】 【分析】先分别计算乘方运算，再确定符号，最后由同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，幂的乘方的逆运算，把所求式子可变形为，进一步可变形，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型3.计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而算出式子的结果． 【详解】解：． 2．计算：_______． 【答案】 【分析】利用单项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】解：将单项式分别乘以多项式的每一项， 再合并结果，得． 3．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】利用单项式乘以多项式的运算法则，展开括号，再合并同类项，得出最简结果，把代入，即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴原式． 题型4.单项式乘多项式的应用 1．一个长方形的长和宽分别是，（其中），则这个长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形面积等于长乘宽列式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：长方形面积长宽， 面积． 2．下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为______． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用，将图形分割成两部分，然后列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用大长方形面积减去小长方形面积求解即可； （2）将代入（1）中的代数式，即可求值． 【详解】（1）解：草坪面积为： ； （2） 解：当时，草坪面积． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 2．要使的展开式中不含项，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 3．已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 题型6.计算多项式乘多项式 1．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ∵ ， ∴ ，， 解得，． 2．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】将等式左边展开合并同类项，对比等式两边对应项的系数即可求出的值． 【详解】解： ， 对比等式两边的一次项系数，可得． 3．已知，，化简． 【答案】 【分析】将A、B代入求解即可． 【详解】解：由题意得， ． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 1．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，． 2．若，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 3．小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，对比对应项系数得到的值； （2）先展开等式左侧得到与的值，再展开所求式子，整体代入计算得到结果． 【详解】（1）解：展开等式左侧得：， ∵，对应项系数相等， ∴； （2）展开等式左侧，得， ∵，对应项系数相等， ∴， ∴ ． 题型8.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开结果中不含项和x项， ，， 解得：，即， ． 2．若去括号后不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】 【分析】展开多项式后，不含的一次项说明一次项的系数为，据此列方程即可求出的值． 【详解】解：先展开多项式：， ∵ 展开后不含的一次项， ∴ 一次项的系数等于，即， 解得 ． 3．已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值． 【答案】， 【详解】解： ， 因为展开式中不含项和x项， 所以，， 所以，． 题型9.多项式乘多项式——化简求值 1．实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是求代数式的值．熟练掌握多项式乘多项式法则，等式变形，整体代入，是解题的关键． 根据整式的乘法法则计算，结果中保留，由得，根据即得． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．已知，，则的值为________________． 【答案】0 【分析】先将所求式子展开，整理成含有已知和的形式，再整体代入已知数值计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 题型10.多项式乘多项式与图形面积 1．学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到长方形草场的边缘，剩余部分即为草场面积，此时草场拼成一个新的长方形，直接计算新长方形的长和宽即可． 【详解】解：将横向小路平移至长方形上方，纵向小路平移至长方形左侧，剩余草场部分可拼成一个新的长方形， 原长方形长为，宽为，小路宽均为， 新长方形的长为，宽为， 草场的面积为． 2．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 【答案】6 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要（张）． 3．一个长方形草坪，长为米，宽为米． (1)求该长方形草坪的面积； (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)24平方米 【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）所求的式子中，计算对应的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴该长方形草坪的面积为平方米； （2）解：当时，， ∴草坪的面积为24平方米． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． ； ； ； ； ； 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为_________；的展开式中第三项的系数为_________．（        ） A．6，4753 B．6，4752 C．6，4751 D．6，4750 【答案】A 【分析】观察杨辉三角及给出的展开式，归纳出展开式中第二项系数等于，第三项系数等于，据此代入计算即可． 【详解】解：由题意及杨辉三角规律可得：的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为． 的第二项系数为． 又的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为． 的第三项系数为． ． 两个空分别为和． 2．观察规律：，直接写出___________． 【答案】 【详解】解：观察可知，， ∴． 3．实践与探索 (1)根据以上规律，填空：_______． 当时，_______． (2)求的值． 【答案】(1)，728 (2) 【分析】（1）根据前几个变化规律，得到； 将时的等式恒等变形即可得出答案； （2）利用（1）得出的规律，对原式变形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 当时，； （2）解：由（1）得 ， ， ， ． 题型12.整式乘法混合运算 1．下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的计算等知识点，根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则判断即可．掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 3．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，再整体代入求值即可； （2）根据，得出，再将进行化简，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 原式． （2）解：， ， 原式 ． 题型13.同底数幂的除法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的条件，同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方法则，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时无意义，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 2．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算乘方，再从左到右进行乘除运算即可． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型14.同底数幂除法的逆用 1．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用同底数幂的除法法则，将转化为已知幂的商，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．若，，则________． 【答案】 【分析】将所求指数式利用幂的运算法则变形为用已知和表示的形式，再代入数值计算即可. 【详解】解：， ， 将，代入得. 3．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则的逆运算计算即可． （2）先根据幂的乘方求出，再根据同底数幂的除法法则的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 题型15.零指数幂 1．下列计算一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于，而无意义，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，无意义，故不一定正确； ，故错误； 当时，，无意义，故不一定正确； ，，，故正确． 2．若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据零指数幂有意义的条件即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再计算即可； （2）先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型16.计算单项式除以单项式 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据单项式除法法则化简左边，得， ∵等式右边为， ∴对应字母的指数相等， ∴，， 由解得，将代入，得， 解得． 2．计算 ______； ______． 【答案】 【详解】解：； ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型17.用科学记数法表示数的除法 1．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法以及科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据单项式除单项式法则计算即可； （2）利用科学记数法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 题型18.多项式除以单项式 1．小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出原多项式，再用原多项式除以，即可求解． 【详解】解：原多项式为， 正确的计算结果是． 2．已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可得底边长等于面积的2倍除以高，再计算整式除法即可． 【详解】解：设这条边的长度为， 由三角形面积公式可得， ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得出结果； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型19.整式四则混合运算 1．如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作于H，由题意得，，，，计算出的面积为，的面积为，再列式计算即可得到答案． 【详解】解：连接，作于H， 由题意得，，，， 的面积为， 的面积为， 和面积的差为． 2．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 【详解】解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . ✺课堂小练 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 2．若不含项，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令项的系数之和为0，列方程求解． 【详解】解：， 合并项，得系数为， ∵多项式不含项， ∴， 解得． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，运算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 4．一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方形宽面积长，将问题转化为多项式除以单项式运算． 【详解】解：， ， ， 这个长方形机箱面板的宽为． 二、填空题 5．计算：__________． 【答案】 【分析】先利用任何非零数的零次幂等于化简，再算加法即可． 【详解】解：∵任何非零数的零次幂都等于，， ∴， ∴原式． 6．若展开式中不含有的一次项，则的值为______． 【答案】 【分析】展开原式，令的一次项系数为，即可求解的值． 【详解】解：， 展开式中不含有的一次项， ， 解得． 7．在等式中，括号内表示的整式是_________． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】设括号内的整式为， 由题意得， ． 三、解答题 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 9．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2） 略 10．如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形． (1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______； (2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积； (3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据长方形的对边相等，列出等量关系，进行求解即可； （2）根据（1）中的关系结合类卡片的面积，以及长方形的面积公式进行求解即可； （3）根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：由题意，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴图2的面积为； （3）解：∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴7张类卡片的面积之和为大长方形面积的， 由图可知，大长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $