精品解析：云南省玉溪第一中学2026-2027学年高二上学期10月期中数学试题

玉溪一中2026—2027学年上学期高二期中数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出斜率即可得出倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可得直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为. 2. 若椭圆的焦距是2，则实数的值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3或5 【答案】D 【解析】 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 3. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵在空间直角坐标系中，轴垂直平面， 即平面，又，， 即是平面的一个法向量. 4. 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为. 5. 已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的轨迹性质求出对应轨迹方程，根据圆上点到圆心的距离即可求解. 【详解】因为，， 而，所以， 整理得，即点在以为圆心，半径的圆上， 而，所以， 而点在圆的内部，所以， 故的最小值为 6. 已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用垂径定理求出圆的半径，再由条件推出圆心到直线的距离即可. 【详解】圆心到轴的距离为2， 又圆截轴所得弦长为， 由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上 恰好有4个不同的点到直线的距离为2， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 7. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，根据向量模的定义可知，故A正确； 对于B，，等号左边运算结果是数字，等号右边在向量的运算中无定义，所以不成立，故B错误； 对于C，等号左边， 等号右边，二者只有在时相等，其余情况不相等，故C错误； 对于D，根据数量积运算律，，故D正确. 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；B选项，由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程，从而得到中垂线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，根据垂径定理可得的长；D选项，到直线的距离加上半径即为所求. 【详解】A选项，与相减， 化简得，故公共弦所在直线方程为，A错误； B选项，的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程， 即，化简得，B正确； C选项，圆心到直线的距离为， 故公共弦的长为，C错误； D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为到直线的距离加上半径， 即，D正确. 11. 已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. ，，，四点可能共圆 C. 为直角三角形 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A直接由椭圆的几何性质计算可得；对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再由，再结合对称性可知四点不共圆；对C，设，由三角形面积关系得，再通过解方程可得，进而可得，从而可判断C，再由直角三角形中边角关系可得，由基本不等式可得最小值，可判断D选项. 【详解】因为椭圆（）满足 ，结合椭圆关系， 代入得：，即，所以，因此离心率​​，选项A正确. 设，由椭圆关于原点对称得 ；轴则. 所以​，由题意. 设 ，的面积也可表示为， 所以，得，即. 由，椭圆方程可写为， 又因为直线过和，斜率， 直线方程为，代入椭圆方程，， 结合，得，，， ，， ，， ，解得或. 所以，代入得，即， 所以， 又因为，所以，即，因此， 所以为直角三角形，故C正确. 由是直角，所以在直角三角形中， 又因为， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确.  对选项B，，若四点共圆， 则圆心必在弦的垂直平分线 轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点， 因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点. 所以圆的半径，圆的方程为. 又因为在椭圆上，也在圆上， 联立，显然方程组无解，故不存在， 所以，，，四点不可能共圆，故B错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 13. 已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．如图所示：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．—束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则________． 【答案】8 【解析】 【分析】由椭圆定义、双曲线定义结合离心率公式即可得解. 【详解】椭圆和双曲线共焦点，令椭圆和双曲线的长半轴长、实半轴长分别为， 由椭圆及双曲线定义得， 因此的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回， 不妨设，激光从发出后经C处反射后经过，再由D处反射后返回，如图， 由椭圆定义知的周长为， 一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，经过的路程为的周长， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，经过的路程为的周长， 而激光速度相同，椭圆和双曲线的焦距相同， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 【答案】（1）证明：依题意，将的方程变形为，由，得， 所以直线过定点. （2）或 【解析】 【分析】（1）变形直线方程，进而求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，，否则直线在轴上无截距， 令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，得，解得或， 所以直线的方程为或． 16. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为、，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得，再通过离心率为可得到的关系，从而求得，再由，最后求得椭圆的方程； （2）由已知，，设，由，得，即联立椭圆方程，结合在第一象限求出 点的坐标. 【小问1详解】 由焦距． 离心率，所以， 所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 由已知，，设， 则， 因为，所以， 故． 联立椭圆方程：，由①得 代入②可得， ． 在第一象限，，，，． 故． 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. （3）若本例条件不变，为的中点，证明： 【答案】（1）证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，即，； （2） （3）证明：因为为的中点，所以， 又因为 所以， 所以，即， 又平面，平面， 所以 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，由，即可证明； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. （3）利用向量证明，再结合平面，平面即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 ， 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或 （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）设动点，根据数量积的坐标表示求点的轨迹方程； （2）（ⅰ）分析可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；（ⅱ）联立方程可得韦达定理，利用消元法可得，代入韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）略 19. 已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． （1）若的面积是的面积的倍，求的值； （2）设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在第一象限时，若的面积是的面积的倍，求点的纵坐标（用表示）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（，）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化为两顶点到直线的水平距离之比，进而得，代入椭圆方程得到，进而算出. （2）(i)设交点，写出直线、的点斜式，联立方程解得，，再利用椭圆方程消去参数，得到关系式；结合题意舍去，得到的轨迹（双曲线）； (ii)将面积比转化为轴上线段长度之比，解出；再利用(i)中两直线比值关系求出点横坐标；将代入双曲线轨迹方程，结合第一象限，解出纵坐标（用表示）. 【小问1详解】 解：由题意知，，， 由的面积是的面积的倍可得， 即，解得， 再代入椭圆方程解得， 所以． 【小问2详解】 （i）直线的方程为①， 直线的方程为②， 设交点，由①得，由②得 ， 两式相除消去得 交叉相乘得：， 展开：， 化简得：， 由①式得 ，将 代入得 因为点在椭圆上，满足， 代入得 整理得：，即 ， 因为 是不同的动点，所以，从而， 所以，点的轨迹的方程为（，）． （ⅱ）当的面积是的面积的倍时，可得， 即，解得， 又点坐标满足，即， 代入的轨迹方程得， 解得（舍负），即点的纵坐标为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2026—2027学年上学期高二期中数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦距是2，则实数的值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3或5 3. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 12 6. 已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（       ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. ，，，四点可能共圆 C. 为直角三角形 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 13. 已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．如图所示：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．—束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为、，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标． 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. （3）若本例条件不变，为的中点，证明： 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 19. 已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． （1）若的面积是的面积的倍，求的值； （2）设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在第一象限时，若的面积是的面积的倍，求点的纵坐标（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $