1.2 集合间的基本关系 第1课时 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学 · 人教A版必修第一册 · 第1章 集合与常用逻辑用语

1.2　集合间的基本关系

第 1 课时｜新授课｜45 分钟｜目标 · 重难点 · 教学过程 · 板书 · 思维导图 · 分层作业

2026 年 11 月　依据人教A版教材与一线课堂讲义整理编写　每题均附答案与点评

 

 

 

一、教材与学情分析

上一节解决的是「元素与集合」的关系，这一节把视角抬高一层，看「集合与集合」的关系。核心是四个东西：子集、真子集、集合相等、空集。教材先用 A＝{1,2,3} 与 B＝{1,2,3,4,5} 这类具体集合引出「A 中的每个元素都在 B 中」，再把这句话压缩成符号 A⊆B；接着用「互相包含」定义相等，用「包含且不相等」定义真子集；空集作为特殊集合单列，规定它是任何集合的子集。最后落到计数：含 n 个元素的集合有 2n 个子集。

学生的困难集中在三处：一是把 ⊆ 当成 ∈ 用，写出 1⊆A 这种句子；二是看不出 {0}、∅、{∅} 三者的区别，把空集和「含 0 的集合」混为一谈；三是遇到 B⊆A 求参数时，想不到 B 可以是空集，直接漏掉一类。第二处要用「装东西的盒子」作比喻讲透，第三处要靠例题反复示范。

二、教学目标

1．能说出子集、真子集、集合相等的含义，会正确使用 ⊆、⫋、＝ 三个符号；能举出 A⊆B 却 A≠B 的例子。

2．知道空集的含义，能复述「空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集」，并会用它判断 {0} 与 ∅ 的关系。

3．会写出给定集合的全部子集，会用 2n 算子集、真子集的个数；遇到 B⊆A 型求参数问题，会先讨论 B＝∅。

三、教学重点与难点

教学重点：子集、真子集、集合相等的含义与符号表示；子集个数的计算。

教学难点：空集的特殊性；含参集合包含关系中「B＝∅」这一类的补全。

四、教学过程（45 分钟）

（一）复习导入　5 分钟

师：先回答上节课留的问题：{0} 和空集是一回事吗？

生：（多数说不是，但说不清为什么）

师：先放一放，这节课上完，你们自己就能回答。看两个集合：A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}。A 里的数，B 里有没有？

生：都有。

师：一个不落，全在里面。数学上把这种关系叫「A 包含于 B」，记作 A⊆B。今天就把这层关系讲清楚。

（二）概念建构　13 分钟

1．子集（4 分钟）

一般地，若集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就说 A 是 B 的子集，记作 A⊆B（读作「A 包含于 B」），也可写成 B⊇A（读作「B 包含 A」）。

符号要读准：⊆ 是「包含于」，开口朝大的那个集合。判断一句话对不对，就看能不能说「A 里每一个，都在 B 里」。

师：那 1⊆{1,2,3} 这句话对吗？

生：（有人点头）

师：不对。⊆ 连接的是两个集合，1 是一个元素，元素只能用 ∈。写成 1∈{1,2,3} 才对。这两个符号长得像，但一个管集合，一个管元素，别串了。

2．集合相等（2 分钟）

如果 A⊆B 且 B⊆A，就说 A＝B。通俗讲：你包含我、我包含你，那咱俩装的东西一模一样。

师：A＝{x | x²＝1}，B＝{−1,1}，什么关系？

生：相等。

师：先化简再比。描述法摆在那儿不等于没化简，{x | x²＝1} 就是 {−1,1}。这一步很多同学跳过，直接判错。

3．真子集（3 分钟）

如果 A⊆B，但 A≠B（也就是 B 里至少有一个元素不在 A 里），就说 A 是 B 的真子集，记作 A⫋B。

例子：{1,2}⫋{1,2,3}；而 {1,2}⊆{1,2} 成立，但 {1,2}⫋{1,2} 不成立——自己不可能是自己的真子集。

4．空集（4 分钟）

不含任何元素的集合叫空集，记作 ∅。规定两条：

① 空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A 恒成立；

② 空集是任何非空集合的真子集，即 ∅⫋A（A≠∅）。

师：现在回答开头那个问题。∅ 里一个东西都没有；{0} 里有一个东西，那个东西叫 0。一个是空盒子，一个盒子装着数字 0，能一样吗？

生：不一样。

师：所以 ∅⫋{0}，而且 ∅≠{0}。再狠一点：{∅} 是什么？一个盒子里装着「空盒子」这个物件，它有一个元素，元素是 ∅。所以 {∅}≠∅，且 ∅∈{∅}。

预设错误：把「∅∈{∅}」写成「∅⊆{∅}」——注意，∅⊆{∅} 也对（空集是任何集合的子集），但 ∅∈{∅} 说的是「空集是那个集合的元素」，两个都对，含义不同，考试常拿来设陷阱。

5．子集个数（到这节课的最后一块）（2 分钟）

含 n 个元素的集合：子集 2n 个，真子集 2n−1 个，非空真子集 2n−2 个。

师：为什么是 2 的 n 次方？每个元素都有「进来」和「不进来」两种选择，n 个元素就是 n 个二选一，乘起来 2n。真子集要把自己那个「全进来」的情况去掉，所以减 1。