精品解析：江苏盐城市东台市第六教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

江苏省盐城市东台市第六教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测 数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程配方为的形式，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是方程的两个实数根，则 的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4. 人工智能应用加速普及．某应用上线后用户数持续增长：月底用户为万人，到月底达到万人．设月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是反比例函数的是（） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数（k是常数且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知关于的方程的一个根是，则实数________． 10. 直角三角形中斜边长为10，另两条边的长为连续偶数，则直角三角形的周长为____________________． 11. 2026苏超足球联赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排x支队伍参赛，共比赛78场，则可列方程为______． 12. 若函数是反比例函数，则______． 13. 如图，的直径，弦于点，若，则的长为______． 14. 在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 15. 如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 16. 如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知一元二次方程的两根为和，求下列各式的值： （1） （2） 20. 定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值； （2）命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”） 21. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求的值． 22. 完成以下小题： （1）如图1，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为，与相等吗？为什么？，请证明； （2）如图2，的半径为（为定值），、是的弦，且，垂足为，当点在弦上运动时，的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 24. 已知点是反比例函数图象上一点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）点是否在这个函数的图象上? 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 26. 某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图，单位：m），现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花．若改造后观花道的面积为，求x的值． 27. 综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． （1）请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． （3）如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． （4）如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第六教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测 数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：∵ 方程中的最高次数为1，∴ 不是一元二次方程； B选项： ∵ 方程整理得，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，∴ 是一元二次方程； C选项：∵ 方程的分母含有未知数，∴ 不是一元二次方程； D选项：∵ 方程未限定，当时无二次项，∴ 不是一元二次方程． 2. 将方程配方为的形式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程配方后对应得到的值，再计算． 【详解】解：移项，得， 两边加，得， 即. 对应，． ． 3. 已知，是方程的两个实数根，则 的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，是方程的两个实数根，即可得，进而得，再根据根与系数的关系得，，把，，代入，进一步计算即可得答案. 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 是方程的一个实数根， ， ， . ∴ 的值为8. 4. 人工智能应用加速普及．某应用上线后用户数持续增长：月底用户为万人，到月底达到万人．设月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确3月底到5月底共经历2次月增长，以此为基础列方程． 【详解】解：∵3月底用户为100万人，月平均增长率为， ∴4月底用户数为万人， ∴5月底用户数为万人， ∵5月底用户为144万人， ∴可列方程． 5. 下列函数中，是反比例函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是一次函数，不是反比例函数． B．符合反比例函数形式． C．，无自变量，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数． D．由得，是正比例函数，不是反比例函数． 6. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数（k是常数且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵正比例函数的图象过原点，当时，正比例函数和反比例函数均过一，三象限，当时，正比例函数和反比例函数均过二，四象限； ∴满足题意的只有选项A的图象. 7. 如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点、、、都是上的点， ， ， ， ， ， 点、、、都是上的点， ， ． 8. 公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知关于的方程的一个根是，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的方程根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程后等式成立， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ． 10. 直角三角形中斜边长为10，另两条边的长为连续偶数，则直角三角形的周长为____________________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用和解一元二次方程．根据两直角边为连续偶数的关系设未知数，结合勾股定理求解边长，进而计算三角形周长． 【详解】解：设较短的直角边长为，由两直角边为连续偶数可知，较长的直角边长为 ∵ 该三角形为直角三角形，斜边长为， ∴ 根据勾股定理列方程得， 展开整理得， 两边同除以2化简得， 因式分解得， 解得，， ∵ 三角形边长为正实数， ∴ 舍去负根，取， ∴ 较长直角边长为， ∴ 该直角三角形的周长为． 11. 2026苏超足球联赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排x支队伍参赛，共比赛78场，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】赛制为单循环，每两队之间只赛一场，总场次为78场，计算总场次时需要去掉重复计算的部分，再根据总场次列方程． 【详解】解：∵共有队参赛，每两队之间赛一场， ∴每个队需要与其余个队各比赛一场，所有队累计比赛场次为， ∵每场比赛由两个队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场次为， ∵实际总比赛场次为78场， ∴可列方程： 12. 若函数是反比例函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵为反比例函数时，的次数为， ∴， 解得． 13. 如图，的直径，弦于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接构造直角三角形，根据直径求出半径，利用勾股定理计算的长； 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 14. 在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、， ∴由勾股定理可得斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆的直径为． 15. 如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理求解即可． 【详解】解：∵是的弦，半径于点， ∴． 16. 如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， 解得，. 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可． （2）利用平方差公式结合因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 19. 已知一元二次方程的两根为和，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根与系数的关系，可得出，，再整体代入求值即可． （2）利用根与系数的关系，可得出，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根为和， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ． 20. 定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值； （2）命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】（1） （2）假 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，反比例函数与综合．熟练掌握新定义，待定系数法求反比例函数的解析式，是解题的关键． （1）过点E作轴于点C，作轴于点D，根据“美好点”定义，写出矩形的周长和面积表达式，布列方程，解方程，得到，即得； （2）根点E是“美好点”，列方程，解方程，判断即可． 【小问1详解】 过点E作轴于点C，作轴于点D， ∵是“美好点”， ∴， 解得， ∴， 代入反比例函数， 得， 【小问2详解】 假设是“美好点”， 则， ∴，矛盾， ∴不是“美好点”， ∴原命题是假命题． 故答案为：假． 21. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得： ， ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 完成以下小题： （1）如图1，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为，与相等吗？为什么？，请证明； （2）如图2，的半径为（为定值），、是的弦，且，垂足为，当点在弦上运动时，的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）解：． 证明如下： ， ∴， 是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）不会改变，定值为 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及其推论，结合等角的余角相等求证即可； （2）连接并延长交与相交于点，连接，如图所示，由（1）中结论、直径所对的圆周角是直角及勾股定理求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变，这个定值为． 连接并延长与相交于点，连接，如图所示： 由（1）知， ∴， 是的直径， ∴， 在中，由勾股定理可得①；在中，由勾股定理可得②， ∴由①②可得， 在中，由勾股定理可得， 的半径为（为定值）， 即． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 【答案】（1）证明：连接、， ∵是的直径， ∴，即． 又， ∴，即D是的中点． ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 又是的半径， ∴是的切线； （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，结合，得出，则是的中位线，即可得，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在中，根据勾股定理求出，再根据等面积法求解即可； （3）过点O作于点H，根据三线合一得出，在中，是的中位线，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，． ∵， ∴，解得． 【小问3详解】 解：过点O作于点H， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴在中，是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离为4． 24. 已知点是反比例函数图象上一点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）点是否在这个函数的图象上? 【答案】（1） （2）点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点B和点C的横坐标代入对应的解析式中，求出y的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：在中，，，， ∴ ， ∴无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解k． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为， ∴在中，，， ， 解得，， 由（1）可知无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根， 的值为1或． 26. 某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图，单位：m），现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花．若改造后观花道的面积为，求x的值． 【答案】x的值为1 【解析】 【分析】根据改造后观花道的面积为可得剩余油菜花地面积为，再根据三角形面积公式并结合图片进行列方程求解即可． 【详解】解：∵改造后观花道的面积为， ∴剩余油菜花地面积为， 由图可得， 解得，（舍去）． 27. 综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． （1）请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． （3）如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． （4）如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1） 如图所示，点即为求作的“三音石”的位置； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得“三音石”的位置为圆形回音壁圆心的位置．在上任取三点，连接，，分别作，的垂直平分线，，交点即为“三音石”的位置； （2）声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上，再由回音壁反射回来经过的路程长为，即可求得时间； （3）设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于，进而求得， ， ，得出 ，，根据，求得，求得声波总长为，即可求这束声波到达点的时间； （4）设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于，由 为的切线，得，根据，得，进而根据解直角三角形得，由声源沿回音壁顺时针连续运动一周，得其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积，列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上， 再由回音壁反射回来经过的路程长为， 时间为； 【小问3详解】 解：设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于， ， ， 该圆的直径为， ， 中，， ， ， ， ， 所对的圆心角为，声波经过8次反射， ， 中，，， ， ， ， 中，， 即， ， 声波总长为， 这束声波到达点的时间为； 【小问4详解】 解：设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于， 为的切线， ， ，即， 中，， ， ，即， ， 若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积， 得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $