精品解析：江苏省盐城市东台市第五教育联盟2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025秋学期第二次质量抽测 九年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 一组数据，1，1，0，3，1的众数是（ ）． A. B. 2 C. 0 D. 1 2. 线段、的比例中项为（ ）． A. 4 B. 8 C. D. 3. 二次函数的最小值是 A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 5 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 5. 已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ）． A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 6. 如图，相交于点E，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.16秒2，乙的方差是0.08秒2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是_____.（填“甲”或“乙”） 10. 如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段_______． 11. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 12. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小聪参加选拔的各项成绩如下：读：92分，听：80分，写：90分，若把读，听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小聪的个人总分为____分． 13. 在平面直角坐标系中， 若拋物线 与轴只有一个交点， 则 __________ 14. 如图，为的中线，G为的重心，若，则______． 15. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 16. 若，则的最大值是______． 三、解答题（共102分） 17. （1）解方程． （2）计算已知，，求a的值． 18. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 19. 在一个不透明的布袋中装有形状大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，2，3．现规定从布袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的十位数字；然后把小球放回袋中并搅匀，接着从袋中再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的个位数字． （1）请你用画树状图或列表法分析并写出按上述规定得到所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于5的概率． 20. 2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2・15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________； （2）本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档； （3）若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数． 21. 如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，和相似吗？为什么？ 22. 已知二次函数． （1）直接写出这个函数的顶点坐标为__________，与轴的交点坐标为________； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； （3）①写出一个此二次函数的性质______________； ②当时，的取值范围是_______________． 23. 如图，中，，，，D为上一点，，在上找一点E，得到，若与相似，求的长． 24. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个. （1）求八，九两月销量的月平均增长率； （2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？ 25. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长32m），其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 26. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． （1）求，的值． （2）当点在线段上时，求的最大值． （3）设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋学期第二次质量抽测 九年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 一组数据，1，1，0，3，1的众数是（ ）． A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数定义；众数是一组数据中出现次数最多的数，通过计算每个数据出现的次数即可确定众数. 【详解】解：∵ 数据出现1次，1出现3次，0出现1次，3出现1次； ∴ 1出现的次数最多，故众数为1； 故选：D. 2. 线段、的比例中项为（ ）． A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段，设线段、的比例中项为，根据比例中项的定义得到，然后求算术平方根即可． 【详解】解：设线段、的比例中项为， 根据题意得， 解得：或（舍去）， 即线段、的比例中项为． 故选：A． 3. 二次函数的最小值是 A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值． 【详解】解：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（x﹣2）2+1， ∴当x=2时，二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将解析式化为顶点式即可求解，是基础题． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 5. 已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ）． A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆和直线位置关系的判断；比较圆心到直线的距离和半径的大小即可确定． 【详解】解：∵的直径为6， ∴半径， ∵点O到直线l的距离为4， ∴， ∴直线l与相离； 故选：C． 6. 如图，相交于点E，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长． 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况， ∴能让灯泡L1发光的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及勾股定理：解决本题的关键是确定点在以为直径的上，从而利用两点之间线段最短解决问题．利用得，则，根据圆周角定理的推论可判定点在以为直径的上，连接交于，此时的长最小，然后利用勾股定理计算出即可得到长的最小值． 【详解】解：， 而， ， ， 点在以为直径的上， 连接交于，此时的长最小， ， 长的最小值为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.16秒2，乙的方差是0.08秒2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是_____.（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】通过比较甲乙两个人的方差，方差小的成绩比较稳定. 【详解】∵ ∴乙的训练成绩较稳定 故答案为：乙 【点睛】本题主要考查方差，方差越小，说明波动越小，成绩越稳定. 10. 如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到AD=BC=AB=，然后利用CD=AD+BC-AB进行计算． 【详解】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点， ∴AD=BC=AB==， ∴CD=AD+BC-AB==， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 11. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式，设圆锥的母线长是，利用扇形面积公式表示出圆锥侧面积，再利用圆锥侧面积公式表示出圆锥侧面积，根据面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥的母线长是， 则有， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 圆锥的母线长是； 故答案为：． 12. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小聪参加选拔的各项成绩如下：读：92分，听：80分，写：90分，若把读，听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小聪的个人总分为____分． 【答案】88 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例求得小莹的个人总分即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， 答：小聪的个人总分为88分； 故答案为：88． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 13. 在平面直角坐标系中， 若拋物线 与轴只有一个交点， 则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可得，有两个相等的实数根，即，即可求解． 【详解】解：由题意可得：有两个相等的实数根 即，解得 故答案为 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程的判别式与根的情况，解题的关键是理解二次函数与一元二次方程的关系． 14. 如图，为的中线，G为的重心，若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心定理，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：∵为的中线，G为的重心， ∴， ∴， 故答案为：9． 15. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离． 16. 若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 三、解答题（共102分） 17. （1）解方程． （2）计算已知，，求a的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程及比例的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再提取公因式将左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，解之即可； （2）设，，，由得出，解之求出的值，继而可得答案． 【详解】解：（1）， ， 则， 或， 解得，； （2）， 设，，， ， ， 解得：， 故． 18. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 在一个不透明的布袋中装有形状大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，2，3．现规定从布袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的十位数字；然后把小球放回袋中并搅匀，接着从袋中再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的个位数字． （1）请你用画树状图或列表法分析并写出按上述规定得到所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于5的概率． 【答案】 （1）解：画树状图得： 所以共有9种等可能的结果：11、12、13、21、22、23、31、32、33； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）根据树状图得出这些两位数中任取一个其算术平方根大于4且小于5的结果，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）在所得9个有理数中，算术平方根大于4且小于5的有21、22、23这3个， 所以其算术平方根大于4且小于5的概率为 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2・15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________； （2）本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档； （3）若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数． 【答案】（1）40，12 （2）C （3）80人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求中位数等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先由档人数除以占比求出抽取的人数，由档人数除以抽取人数求出占比即可；由抽取人数减去档人数即可求解“B档”成绩的人数； （2）由中位数的概念即可求解； （3）根据用样本估计总体的方法 即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生数为， ∴， ∴； “B档”成绩的人数为：； 故答案为：40，12； 【小问2详解】 解：∵抽取60名学生， ∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数， 由条形统计图第30，31名男生成绩均在档， ∴中位数落在档， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人． 21. 如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，和相似吗？为什么？ 【答案】 和相似，理由如下： 由图可得，，，，，， ∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理，二次根式，相似三角形的判定，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形的边和边的关系．利用格点三角形的知识求出两个三角形三边的长度，继而可作出判断． 【详解】略 22. 已知二次函数． （1）直接写出这个函数的顶点坐标为__________，与轴的交点坐标为________； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； （3）①写出一个此二次函数的性质______________； ②当时，的取值范围是_______________． 【答案】（1）；， （2）如图所示； （3）①开口向上；对称轴是直线；当时，随的增大而增大；② 【解析】 【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标； （2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图像即可； （3）根据函数性质写出回答即可，的取值范围可以由图像来解． 【详解】解：（1）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴顶点坐标为（2，-1）， 令y=0，则x2-4x+3=0， 解得x1=1，x2=3， 所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）； 故答案为：（2，-1）；（1，0），（3，0）； （2）略 （3）①开口向上；对称轴是直线；当时，随的增大而增大；②． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图像和性质，抛物线与x轴的交点问题，及二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质以及函数图像的作法是解题的关键． 23. 如图，中，，，，D为上一点，，在上找一点E，得到，若与相似，求的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键．由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：，， ， 由题意知，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，； 综上所述，或． 24. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个. （1）求八，九两月销量的月平均增长率； （2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？ 【答案】（1）八，九两月销量的月平均增长率为20%. （2）该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为x，根据七月份、九月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价a元，用含a的代数式表示出十月份销量及单件利润，根据获利1800元列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设八，九两月销量的月平均增长率为，则： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：八，九两月销量的月平均增长率为20%； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔售价降低元，则： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） （元） 答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长32m），其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为， 由题意得：， 解得， ∵， ∴， 答：与墙垂直的边长为． 【小问2详解】 解：设与墙平行的边长为，则与墙垂直的边长为，设围成的面积为． 由题意得：， ∵，，在对称轴直线的左边随的增大而增大， ∴当时，有最大值． 答：与墙平行的边的长度为32米时，花圃的面积最大． 26. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，为所求： （2） 证明：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． （1）求，的值． （2）当点在线段上时，求的最大值． （3）设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 【答案】（1）， （2） （3）2，0，4，无数 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解； （2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可； （3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可． 【小问1详解】 解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴， 解得： ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得， ∴当时，， 整理得：， ∴或， 对于，； 对于，， ∴当时，对应的t值有2个； 当时，，方程无解， ∴对应的t值有0个； 当时， 整理得：， ∴或， 对于方程，， 对于方程，， ∴当时，对应的t值有4个； 当时， ∵，， ∴始终成立， ∴当且时，始终成立， ∴当时，对应的t值有无数个， 故答案为：2，0，4，无数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $